3.5: مخططات فين

مخطط Venn هو صورة تمثل نتائج التجربة. يتكون بشكل عام من صندوق يمثل مساحة العينة S مع الدوائر أو الأشكال البيضاوية. تمثل الدوائر أو الأشكال البيضاوية الأحداث. تساعدنا مخططات Venn أيضًا على تحويل الكلمات الإنجليزية الشائعة إلى مصطلحات رياضية تساعد على إضافة الدقة.

تمت تسمية مخططات فن باسم مخترعها، جون فين، أستاذ الرياضيات في كامبريدج والقسيس الأنجليكاني. تم تنفيذ عمله الرئيسي في أواخر سبعينيات القرن التاسع عشر وأدى إلى ظهور فرع كامل من الرياضيات وطريقة جديدة للتعامل مع قضايا المنطق. سنقوم بتطوير قواعد الاحتمالات التي تمت تغطيتها للتو باستخدام هذه الطريقة القوية لإظهار افتراضات الاحتمالات بما في ذلك قاعدة الجمع وقاعدة الضرب وقاعدة المكمل والاستقلال والاحتمال الشرطي.

المثال 3.27

لنفترض أن التجربة لها النتائج 1، 2، 3،...، 12 حيث يكون لكل نتيجة فرصة متساوية في الحدوث. دع الحدث\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) والحدث\(B = \{6, 7, 8, 9\}\). ثم\(A\) تتقاطع\(B = A \cap B=\{6\}\)\(A\) وتتحد\(B = A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). مخطط Venn كما يلي:

الشكل 3.6

يوضح الشكل 3.6 العلاقة الأساسية بين هذه الأرقام. أولاً، تكون الأرقام في مجموعات تسمى المجموعات؛ المجموعة A والمجموعة B. بعض الأرقام في كلتا المجموعتين؛ نقول في المجموعة A\(\cap \) في المجموعة B. تعني الكلمة الإنجليزية «و» شاملة، بمعنى وجود خصائص كل من A و B، أو في هذه الحالة، كونها جزءًا من كل من A و B. وتسمى هذه الحالة تقاطع المجموعتين. يشكل جميع الأعضاء الذين يشكلون جزءًا من المجموعتين تقاطع المجموعتين. تتم كتابة التقاطع\(A\cap B\) حيث\(\cap\) يوجد الرمز الرياضي للتقاطع. تُقرأ العبارة A\ cap BA\ cap B على أنها «A تتقاطع B.» يمكنك تذكر ذلك من خلال التفكير في تقاطع شارعين.

هناك أيضًا تلك الأرقام التي تشكل مجموعة، للعضوية، يجب أن يكون الرقم في مجموعة واحدة أو أخرى. لا يجب أن يكون الرقم في كلتا المجموعتين، ولكن بدلاً من ذلك فقط في أي من المجموعتين. تسمى هذه الأرقام اتحاد المجموعتين وفي هذه الحالة تكون الأرقام 1-5 (من A حصريًا) و 7-9 (من المجموعة B حصريًا) وأيضًا 6، وهي في كلتا المجموعتين A و B. رمز الاتحاد هو\(\cup \)، وبالتالي\(A\cup B=\) الأرقام 1-9، ولكنه يستثني الأرقام 10 و 11 و 12. القيم 10 و 11 و 12 هي جزء من الكون، ولكنها ليست في أي من المجموعتين.

توفر ترجمة الكلمة الإنجليزية «AND» إلى رمز المنطق الرياضي\ cap والتقاطع والكلمة «OR» إلى الرمز الرياضي\ cup، union، طريقة دقيقة للغاية لمناقشة قضايا الاحتمالات والمنطق. تظهر المصطلحات العامة للمناطق الثلاث من مخطط Venn في الشكل 3.6 في الشكل 3.7.

التمرين 3.27

لنفترض أن نتائج التجربة هي الأسود والأبيض والأحمر والبرتقالي والأصفر والأخضر والأزرق والأرجواني، حيث تكون لكل نتيجة فرصة متساوية في الحدوث. دع الحدث C = {أخضر، أزرق، بنفسجي} وحدث P = {أحمر، أصفر، أزرق}. ثم\(C\cap P=\{blue\}\) و\(C \cup P=\{\text { green, blue, purple, red, yellow }\}\). ارسم مخطط Venn الذي يمثل هذا الموقف.

المثال 3.28

اقلب عملتين عادلتين. دع A = ذيول على العملة الأولى. دع B = ذيول على العملة الثانية. ثم A = {TT، TH} و B = {TT، HT}. لذلك،\(A\cap B=\{TT\}\). \(A\cup B=\{TH, TT, HT\}\).

مساحة العينة عند قلب عملتين عادلتين هي X = {HH، HT، TH، TT}. النتيجة HH موجودة في NOTNEN A NOR B. مخطط Venn هو كما يلي:

الشكل 3.7

التمرين 3.28

قم بقذف نرد عادل من ستة جوانب. دعونا A = يتم لف عدد أولي من النقاط. Let B = يتم لف عدد فردي من النقاط. ثم A= {2، 3، 5} و B = {1، 3، 5}. لذلك،\(A\cap B=\{3, 5\}\). \(A\cup B=\{1, 2, 3, 5\}\). مساحة العينة لدحرجة القالب العادل هي S = {1، 2، 3، 4، 5، 6}. ارسم مخطط Venn الذي يمثل هذا الموقف.

المثال 3.29

يمكن لأي شخص لديه فصيلة الدم O وعامل Rh السلبي (Rh-) التبرع بالدم لأي شخص بأي فصيلة دم. أربعة في المائة من الأمريكيين من أصل أفريقي لديهم فصيلة الدم O وعامل RH سلبي، و5 إلى 10٪ من الأمريكيين الأفارقة لديهم عامل Rh-، و 51٪ لديهم فصيلة الدم O.

الشكل 3.8

تمثل دائرة «O» الأمريكيين من أصل أفريقي من فصيلة الدم O. يمثل الشكل البيضاوي «Rh- «الأمريكيين من أصل أفريقي بعامل Rh-.

سنأخذ متوسط 5٪ و 10٪ ونستخدم 7.5٪ كنسبة مئوية من الأمريكيين الأفارقة الذين لديهم عامل Rh-. Let O = أمريكي من أصل أفريقي مع دم من النوع O و R = أمريكي من أصل أفريقي بعامل Rh-.

1. (P) = ___________
2. (ص) = ___________
3. \(P(O\cap R)=\)___________
4. \(P(O\cup R)=\)____________
5. في مخطط Venn، قم بوصف المنطقة المتداخلة باستخدام جملة كاملة.
6. في مخطط Venn، قم بوصف المنطقة في المستطيل ولكن خارج كل من الدائرة والبيضاوية باستخدام جملة كاملة.

إجابة

الحل 3.29

أ. 0.51؛ ب. 0.075؛ ج. 0.04؛ د. 0.545؛ هـ. تمثل المنطقة الأمريكيين من أصل أفريقي الذين لديهم فصيلة الدم O وعامل Rh- f. وتمثل المنطقة الأمريكيين الأفارقة الذين ليس لديهم فصيلة الدم O ولا عامل Rh.

المثال 3.30

يعمل خمسون بالمائة من العمال في المصنع في وظيفة ثانية، و 25٪ لديهم زوج يعمل أيضًا، و 5٪ يعملون في وظيفة ثانية ولديهم زوج يعمل أيضًا. ارسم مخطط Venn يوضح العلاقات. Let W = يعمل في وظيفة ثانية و S = الزوج يعمل أيضًا.

إجابة

ينتمي أربعون بالمائة من الطلاب في إحدى الكليات المحلية إلى نادٍ ويعمل 50٪ بدوام جزئي. يعمل خمسة بالمائة من الطلاب بدوام جزئي وينتمون إلى النادي. ارسم مخطط Venn يوضح العلاقات. Let C = ينتمي الطالب إلى النادي و PT = يعمل الطالب بدوام جزئي.

الشكل 3.9

إذا تم اختيار الطالب عشوائيًا، فابحث

• احتمال أن يكون الطالب منتميًا إلى نادٍ. ص (ج) = 0.40
• احتمال أن يعمل الطالب بدوام جزئي. (نقطة في البوصة) = 0.50
• احتمال أن ينتمي الطالب إلى النادي ويعمل بدوام جزئي. \(P(C\cap PT)=0.05\)
• احتمال أن ينتمي الطالب إلى النادي بالنظر إلى أن الطالب يعمل بدوام جزئي. \(P(C | P T)=\frac{P(C \cap P T)}{P(P T)}=\frac{0.05}{0.50}=0.1\)
• احتمال أن يكون الطالب منتميًا إلى نادٍ أو يعمل بدوام جزئي. \(P(C \cup P T)=P(C)+P(P T)-P(C \cap P T)=0.40+0.50-0.05=0.85\)

من أجل حل المثال 3.30، كان علينا الاعتماد على مفهوم الاحتمال الشرطي من القسم السابق. هناك استخدمنا مخططات الشجرة لتتبع التغييرات في الاحتمالات، لأن مساحة العينة تغيرت عندما رسمنا بدون استبدال. باختصار، الاحتمال الشرطي هو فرصة حدوث شيء ما نظرًا لحدوث حدث آخر بالفعل. بعبارة أخرى، احتمال حدوث شيء ما مشروطًا بالحالة التي يكون فيها شيء آخر صحيحًا أيضًا. في المثال 3.30، يكون الاحتمال P (C | | PT) هو الاحتمال الشرطي بأن يكون الطالب الذي تم رسمه عشوائيًا عضوًا في النادي، بشرط أن يكون الطالب أيضًا يعمل بدوام جزئي. هذا يسمح لنا برؤية العلاقة بين مخططات Venn وافتراضات الاحتمالات.

التمرين 3.30

في متجر الكتب، يكون احتمال شراء العميل لرواية هو 0.6، واحتمال شراء العميل لكتاب غير خيالي هو 0.4. لنفترض أن احتمال شراء العميل لكليهما هو 0.2.

1. ارسم مخطط Venn الذي يمثل الموقف.
2. أوجد احتمال أن يشتري العميل رواية أو كتابًا غير خيالي.
3. في مخطط Venn، قم بوصف المنطقة المتداخلة باستخدام جملة كاملة.
4. لنفترض أن بعض العملاء يشترون الأقراص المدمجة فقط. ارسم شكلًا بيضاويًا في مخطط Venn الخاص بك يمثل هذا الحدث.

المثال 3.31

لوحظ وجود مجموعة من 20 كلبًا من كلاب الراعي الألماني. 12 من الذكور، و 8 من الإناث، و 10 لديهم بعض الألوان البنية، و 5 تحتوي على بعض الأجزاء البيضاء من الفراء. أجب على ما يلي باستخدام مخططات Venn.

ارسم مخططًا لـ Venn يوضح ببساطة مجموعات الكلاب من الذكور والإناث.

إجابة

الحل 3.31

يوضح مخطط Venn أدناه حالة الأحداث الحصرية المتبادلة حيث تكون النتائج أحداثًا مستقلة. إذا كان الكلب لا يمكن أن يكون ذكرًا وأنثى، فلا يوجد تقاطع. فكون المرء ذكرًا يستبعد أن يكون أنثى وأن تكون أنثى يستبعد أن يكون ذكرًا: في هذه الحالة، فإن الجنس المميز يستبعد الآخر. يُظهر مخطط Venn هذا في شكل مجموعتين بدون تقاطع. يُقال أن التقاطع هو المجموعة الفارغة باستخدام الرمز الرياضي.

الشكل 3.10

ارسم مخططًا ثانيًا لـ Venn يوضح أن 10 من الكلاب الذكور لها لون بني.

إجابة

الحل 3.31

يوضح مخطط Venn أدناه التداخل بين الذكر والبني حيث يتم وضع الرقم 10 فيه. هذا يمثل\(\text{ Male}\cap \text{Brown }\): كل من الذكور والبني. هذا هو التقاطع بين هاتين الخاصيتين. للحصول على اتحاد مالي وبراون، فإن الأمر ببساطة هو المنطقتان المحاطتان بدائرة باستثناء التداخل. بعبارات مناسبة،\( \text{ Male}\cup \text{ Brown }=\text { Male }+\text { Brown }-\text { Male } \cap \text { Brown}\) سيعطينا عدد الكلاب في اتحاد هاتين المجموعتين. إذا لم نطرح التقاطع، لكنا قمنا بإحصاء بعض الكلاب مرتين.

الشكل 3.11

ارسم الآن موقفًا يصور سيناريو تمثل فيه المنطقة غير المظللة «لا يوجد فراء أبيض وأنثى»، أو الفراء الأبيض «\ كاب أنثى». يشير الجزء العلوي فوق «الفراء» إلى «ليس الفراء الأبيض». الأولية فوق المجموعة تعني عدم وجودها في تلك المجموعة، على سبيل المثال لا\(\mathrm{A}^{\prime}\) تعني ذلك\(\mathrm{A}\). في بعض الأحيان، يكون الترميز المستخدم عبارة عن سطر فوق الحرف. على سبيل المثال،\(\overline{A}=\mathrm{A}^{\prime}\).

إجابة

الحل 3.31

الشكل 3.12

قاعدة الجمع للاحتمال

لقد التقينا بقاعدة الإضافة سابقًا ولكن بدون مساعدة مخططات Venn. تساعد مخططات Venn في تصور عملية العد المتأصلة في حساب الاحتمال. لإعادة صياغة قاعدة الجمع للاحتمالات:

\[P(A \cup B)=P(\mathrm{A})+P(B)-P(A \cap B)\nonumber\]

تذكر أن الاحتمال هو ببساطة نسبة الكائنات التي نهتم بها بالنسبة إلى إجمالي عدد الكائنات. هذا هو السبب في أننا نستطيع أن نرى فائدة مخططات Venn. يوضح المثال 3.31 كيف يمكننا استخدام مخططات Venn لحساب عدد الكلاب في اتحاد البني والذكور من خلال تذكيرنا بطرح التقاطع بين البني والذكور. يمكننا أن نرى تأثير ذلك مباشرة على الاحتمالات في قاعدة الجمع.

المثال 3.32

دعونا نأخذ عينة من 50 طالبًا في فصل الإحصاء. 20 طالبًا جديدًا و 30 طالبًا في السنة الثانية. يحصل 15 طالبًا على «B» في الدورة، ويحصل 5 طلاب على «B» وهم طلاب جدد.

ابحث عن احتمال اختيار طالب يحصل على درجة «B» أو طالب جديد. نحن نترجم الكلمة OR إلى الرمز الرياضي لقاعدة الجمع، وهو اتحاد المجموعتين.

إجابة

الحل 3.32

نحن نعلم أن هناك 50 طالبًا في العينة، لذلك نعرف مقام الكسر الخاص بنا لإعطائنا الاحتمال. نحتاج فقط إلى العثور على عدد الطلاب الذين يستوفون الخصائص التي نهتم بها، أي أي طالب جديد وأي طالب حصل على درجة «B». باستخدام قاعدة الجمع للاحتمالات، يمكننا الانتقال مباشرة إلى الاحتمالات.

دع «A» = عدد الطلاب الجدد، ودع «B» = درجة «B» أدناه يمكننا أن نرى عملية استخدام مخططات Venn لحل هذه المشكلة.

ال\(P(A)=\frac{20}{50}=0.40, P(B)=\frac{15}{50}=0.30, \text { and } P(A \cap B)=\frac{5}{50}=0.10\)

لذلك،\(P(A \cap B)=0.40+0.30-0.10=0.60\)

الشكل 3.13

إذا كان هناك حدثان متنافيان، فعندئذٍ، مثل المثال الذي نرسم فيه كلاب الذكور والإناث، يتم تبسيط قاعدة الجمع إلى مجرد\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−0\). هذا صحيح لأنه، كما رأينا سابقًا، فإن اتحاد الأحداث الحصرية المتبادلة هو المجموعة الفارغة،. توضح الرسوم البيانية أدناه هذا.

الشكل 3.14

قاعدة الضرب في الاحتمالات

بإعادة صياغة قاعدة الضرب في الاحتمالات باستخدام تدوين مخططات فين، لدينا:

\[P(A\cap B)=P(A|B)⋅P(B)\nonumber\]

يمكن تعديل قاعدة الضرب بقليل من الجبر إلى القاعدة الشرطية التالية. ثم يمكن بعد ذلك استخدام مخططات Venn لتوضيح العملية.

القاعدة الشرطية:\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

باستخدام نفس الحقائق من المثال 3.32 أعلاه، ابحث عن احتمال حصول شخص ما على «B» إذا كان «طالبًا جديدًا».

\[P(A | B)=\frac{0.10}{0.30}=\frac{1}{3}\nonumber\]

الشكل 3.15

يجب أيضًا تغيير قاعدة الضرب إذا كان الحدثان مستقلين. يتم تعريف الأحداث المستقلة على أنها حالة يكون فيها الاحتمال الشرطي هو ببساطة احتمال حدث الاهتمام. بشكل رسمي، يتم تعريف استقلالية الأحداث على أنها\(P(A|B)=P(A)\) أو\(P(B|A)=P(B)\). عند تقليب العملات، تكون نتيجة الانقلاب الثاني مستقلة عن نتيجة الانقلاب الأول؛ العملات المعدنية لا تحتوي على ذاكرة. وهكذا تصبح قاعدة الضرب لاحتمالية الأحداث المستقلة:

\[P(A\cap B)=P(A)⋅P(B)\nonumber\]

إحدى الطرق السهلة لتذكر ذلك هي التفكير في ما نعنيه بكلمة «و». نرى أن قاعدة الضرب قد ترجمت الكلمة «و» إلى رمز Venn للتقاطع. لذلك، يجب أن تستوفي النتيجة شرطي الطلاب الجدد ودرجة «B» في المثال أعلاه. من الصعب، والأقل احتمالاً، تلبية شرطين من مجرد شرط واحد أو آخر. يمكننا محاولة رؤية منطق قاعدة الضرب للاحتمالية نظرًا لحقيقة أن الكسور مضروبة في بعضها البعض تصبح أصغر.

يمكن إظهار تطوير قواعد الاحتمالات باستخدام مخططات Venn للمساعدة حيث نرغب في حساب الاحتمالات من البيانات المرتبة في جدول الطوارئ.

المثال 3.33

الجدول 3.11 مأخوذ من عينة من 200 شخص تم سؤالهم عن مقدار التعليم الذي أكملوه. تمثل الأعمدة أعلى مستوى تعليمي أكملوه، وتفصل الصفوف بين الأفراد حسب الذكور والإناث.

الجدول 3-11

	أقل من خريج المدرسة الثانوية	متخرج من المدرسة الثانوية	بعض الكليات	متخرج من الكلية	الإجمالي
ذكر	5	15	40	60	120
أنثى	8	12	30	30	80
الإجمالي	13	27	70	90	200

الآن، يمكننا استخدام هذا الجدول للإجابة على أسئلة الاحتمالات. تم تصميم الأمثلة التالية للمساعدة في فهم التنسيق أعلاه أثناء ربط المعرفة بكل من مخططات Venn وقواعد الاحتمالات.

ما احتمال أن يكون الشخص المختار قد أنهى دراسته الجامعية وأصبح أنثى؟

إجابة

الحل 3.33

هذه مهمة بسيطة للعثور على القيمة حيث تتقاطع الخاصيتان على الطاولة، ثم تطبيق افتراض الاحتمال، الذي ينص على أن احتمال الحدث هو نسبة النتائج التي تطابق الحدث الذي نهتم به كنسبة من إجمالي الممكن. النتائج.

\(P(\text {College Grad } \cap \text { Female })=\frac{30}{200}=0.15\)

ما هو احتمال اختيار أنثى أو شخص أنهى دراسته الجامعية؟

إجابة

الحل 3.33

تتضمن هذه المهمة استخدام قاعدة الجمع لحل هذا الاحتمال.

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female })=P(F)+P(C G)-P(F \cap C G)\)

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female }) =\frac{80}{200}+\frac{90}{200}-\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=0.70\)

ما هو احتمال اختيار خريج مدرسة ثانوية إذا اخترنا فقط من مجموعة الذكور؟

إجابة

الحل 3.33

هنا يجب أن نستخدم قاعدة الاحتمال الشرطي (قاعدة الضرب المعدلة) لحل هذا الاحتمال.

\(P (\text{HS Grad } | \text { Male }）=\frac{P(\mathrm{HS} \text { Grad } \cap \mathrm{Male})}{\mathrm{P}(\mathrm{Male})}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=0.125\)

هل يمكننا أن نستنتج أن مستوى التعليم الذي حققه هؤلاء الـ 200 شخص مستقل عن جنس الشخص؟

إجابة

الحل 3.33

هناك طريقتان للتعامل مع هذا الاختبار. تسعى الطريقة الأولى إلى اختبار ما إذا كان تقاطع حدثين يساوي ناتج الأحداث بشكل منفصل مع تذكر أنه إذا كان هناك حدثان مستقلان عن\(P(A)^{*} P(B)=P(A \cap B)\). من أجل البساطة، يمكننا استخدام القيم المحسوبة من الأعلى.

هل\(P(\text { College Grad } \cap \text { Female })=P(C G) \cdot P(F)\)؟

\(\frac{30}{200} \neq \frac{90}{200} \cdot \frac{80}{200}\)لأن 0.15 0.18.

لذلك، الجنس والتعليم هنا ليسا مستقلين.

الطريقة الثانية هي اختبار ما إذا كان الاحتمال الشرطي لـ A المعطى B يساوي احتمال A. مرة أخرى للبساطة، يمكننا استخدام قيمة محسوبة بالفعل من الأعلى.

هل\(P(H S \text { Grad } | \text { Male })=P(H S \text { Grad) }\)؟

\(\frac{15}{120} \neq \frac{27}{200}\)لأن 0.125 0.135.

لذلك، مرة أخرى، الجنس والتعليم هنا ليسا مستقلين.