Skip to main content
Global

1.1: تعريفات الإحصاء والاحتمالات والمصطلحات الرئيسية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    198757

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    يتناول علم الإحصاء جمع البيانات وتحليلها وتفسيرها وعرضها. نحن نرى البيانات ونستخدمها في حياتنا اليومية.

    ستتعلم في هذه الدورة كيفية تنظيم وتلخيص البيانات. يُطلق على تنظيم وتلخيص البيانات اسم الإحصاء الوصفي. هناك طريقتان لتلخيص البيانات عن طريق الرسم البياني واستخدام الأرقام (على سبيل المثال، العثور على المتوسط). بعد دراسة التوزيعات الاحتمالية والاحتمالية، ستستخدم طرقًا رسمية لاستخلاص النتائج من البيانات «الجيدة». تسمى الطرق الرسمية بالإحصائيات الاستنتاجية. يستخدم الاستدلال الإحصائي الاحتمالات لتحديد مدى ثقتنا في صحة استنتاجاتنا.

    يعتمد التفسير الفعال للبيانات (الاستدلال) على إجراءات جيدة لإنتاج البيانات والفحص المدروس للبيانات. سوف تواجه ما يبدو أنه عدد كبير جدًا من الصيغ الرياضية لتفسير البيانات. الهدف من الإحصائيات ليس إجراء العديد من العمليات الحسابية باستخدام الصيغ، ولكن اكتساب فهم لبياناتك. يمكن إجراء الحسابات باستخدام آلة حاسبة أو كمبيوتر. يجب أن يأتي الفهم منك. إذا تمكنت من فهم أساسيات الإحصائيات بدقة، يمكنك أن تكون أكثر ثقة في القرارات التي تتخذها في الحياة.

    الاحتمالية

    الاحتمال هو أداة رياضية تستخدم لدراسة العشوائية. إنه يتعامل مع فرصة (احتمالية) وقوع حدث. على سبيل المثال، إذا رميت عملة معدنية عادلة أربع مرات، فقد لا تكون النتائج عبارة عن رأسين وذيلين. ومع ذلك، إذا رميت نفس العملة 4,000 مرة، فستكون النتائج قريبة من نصف الرأس ونصف الذيل. الاحتمال النظري المتوقع للرؤوس في أي رمية واحدة هو\(\frac{1}{2}\) أو 0.5. على الرغم من أن نتائج بعض التكرارات غير مؤكدة، إلا أن هناك نمطًا منتظمًا للنتائج عندما يكون هناك العديد من التكرارات. بعد القراءة عن الإحصائي الإنجليزي كارل بيرسون الذي رمى عملة 24 ألف مرة بنتيجة 12,012 رأسًا، قام أحد المؤلفين بإلقاء عملة معدنية 2000 مرة. كانت النتائج 996 رأسًا. الكسر\(\frac{996}{2000}\) يساوي 0.498 وهو قريب جدًا من 0.5، وهو الاحتمال المتوقع.

    بدأت نظرية الاحتمالات بدراسة ألعاب الحظ مثل البوكر. تأخذ التوقعات شكل الاحتمالات. للتنبؤ باحتمالية حدوث زلزال أو هطول أمطار أو ما إذا كنت ستحصل على درجة A في هذه الدورة التدريبية، فإننا نستخدم الاحتمالات. يستخدم الأطباء الاحتمالية لتحديد فرصة التطعيم المسبب للمرض الذي من المفترض أن يمنعه التطعيم. يستخدم وسيط البورصة الاحتمالية لتحديد معدل العائد على استثمارات العميل. يمكنك استخدام الاحتمالية لتقرر شراء تذكرة يانصيب أم لا. في دراستك للإحصاءات، ستستخدم قوة الرياضيات من خلال حسابات الاحتمالات لتحليل وتفسير بياناتك.

    الشروط الرئيسية

    في الإحصاء، نريد عمومًا دراسة السكان. يمكنك التفكير في السكان كمجموعة من الأشخاص أو الأشياء أو الأشياء قيد الدراسة. لدراسة السكان، نختار عينة. تتمثل فكرة أخذ العينات في اختيار جزء (أو مجموعة فرعية) من عدد أكبر من السكان ودراسة هذا الجزء (العينة) للحصول على معلومات حول السكان. البيانات هي نتيجة أخذ العينات من السكان.

    نظرًا لأن فحص مجموعة سكانية بأكملها يستغرق الكثير من الوقت والمال، فإن أخذ العينات هو أسلوب عملي للغاية. إذا كنت ترغب في حساب متوسط الدرجات الإجمالي في مدرستك، فسيكون من المنطقي اختيار عينة من الطلاب الذين يذهبون إلى المدرسة. ستكون البيانات التي تم جمعها من العينة هي متوسطات درجات الطلاب. في الانتخابات الرئاسية، يتم أخذ عينات من استطلاعات الرأي من 1000 إلى 2000 شخص. من المفترض أن يمثل استطلاع الرأي وجهات نظر الناس في البلد بأكمله. يأخذ مصنعو المشروبات الغازية المعلبة عينات لتحديد ما إذا كانت 16 أونصة يمكن أن تحتوي على 16 أونصة من المشروبات الغازية.

    من البيانات النموذجية، يمكننا حساب إحصائية. الإحصاء هو رقم يمثل خاصية العينة. على سبيل المثال، إذا اعتبرنا فصل الرياضيات واحدًا عينة من السكان في جميع فصول الرياضيات، فإن متوسط عدد النقاط التي حصل عليها الطلاب في فصل الرياضيات هذا في نهاية الفصل الدراسي هو مثال للإحصاءات. والإحصاء هو تقدير لمعامل السكان، وهو في هذه الحالة المتوسط. المعلمة هي خاصية عددية لجميع السكان يمكن تقديرها بواسطة إحصائية. نظرًا لأننا اعتبرنا جميع فصول الرياضيات من السكان، فإن متوسط عدد النقاط المكتسبة لكل طالب في جميع فصول الرياضيات هو مثال على المعلمة.

    أحد الاهتمامات الرئيسية في مجال الإحصاء هو مدى دقة الإحصاء في تقدير المعلمة. تعتمد الدقة حقًا على مدى جودة تمثيل العينة للسكان. يجب أن تحتوي العينة على خصائص السكان حتى تكون عينة تمثيلية. نحن مهتمون بكل من إحصائية العينة ومعامل السكان في الإحصاءات الاستنتاجية. في فصل لاحق، سنستخدم إحصائية العينة لاختبار صحة المعلمة السكانية المحددة.

    المتغير، أو المتغير العشوائي، الذي يتم تدوينه عادةً بأحرف كبيرة مثل\(X\) و\(Y\)، هو خاصية أو قياس يمكن تحديده لكل فرد من السكان. قد تكون المتغيرات عددية أو فئوية. تأخذ المتغيرات العددية قيمًا بوحدات متساوية مثل الوزن بالرطل والوقت بالساعات. تضع المتغيرات الفئوية الشخص أو الشيء في فئة. إذا تركنا عددًا\(X\) متساويًا لعدد النقاط التي حصل عليها طالب رياضيات واحد في نهاية الفصل الدراسي، فسيكون ذلك\(X\) متغيرًا رقميًا. إذا\(Y\) سمحنا بالانتماء الحزبي لشخص ما، فإن بعض الأمثلة\(Y\) تشمل الحزب الجمهوري والديمقراطي والمستقل. \(Y\)هو متغير قاطع. يمكننا إجراء بعض العمليات الحسابية بقيم\(X\) (حساب متوسط عدد النقاط المكتسبة، على سبيل المثال)، ولكن ليس من المنطقي إجراء الرياضيات بقيم\(Y\) (حساب متوسط الانتماء الحزبي لا معنى له).

    البيانات هي القيم الفعلية للمتغير. قد تكون أرقامًا أو قد تكون كلمات. المسند هو قيمة واحدة.

    الكلمتان اللتان تظهران غالبًا في الإحصائيات هما المتوسط والنسبة. إذا كان عليك إجراء ثلاثة اختبارات في فصول الرياضيات والحصول على درجات 86 و 75 و 92، فستحسب متوسط درجاتك عن طريق جمع درجات الاختبار الثلاثة والقسمة على ثلاثة (سيكون متوسط درجاتك 84.3 إلى رقم عشري واحد). إذا كان في فصل الرياضيات الخاص بك 40 طالبًا و 22 رجلاً و 18 امرأة، فإن نسبة الطلاب\(\frac{22}{40}\) الذكور هي ونسبة الطالبات هي\(\frac{18}{40}\). تمت مناقشة المتوسط والنسبة بمزيد من التفصيل في الفصول اللاحقة.

    ملاحظة

    غالبًا ما يتم استخدام الكلمتين "يعني" و "متوسط" بالتبادل. استبدال كلمة واحدة بالأخرى هو ممارسة شائعة. المصطلح الفني هو «المتوسط الحسابي»، و «المتوسط» هو من الناحية الفنية موقع مركزي. ومع ذلك، في الممارسة العملية بين غير الإحصائيين، يتم قبول «المتوسط» عمومًا لـ «المتوسط الحسابي».

    المثال 1.1

    حدد ما تشير إليه المصطلحات الرئيسية في الدراسة التالية. نريد أن نعرف متوسط (متوسط) المبلغ المالي الذي ينفقه طلاب السنة الأولى من الكلية في ABC College على اللوازم المدرسية التي لا تشمل الكتب. قمنا بمسح عشوائي لـ 100 طالب في السنة الأولى في الكلية. أنفق ثلاثة من هؤلاء الطلاب 150 دولارًا و 200 دولارًا و 225 دولارًا على التوالي.

    إجابة

    الحل 1.1

    جميع السكان هم طلاب السنة الأولى الذين يحضرون ABC College هذا الفصل الدراسي.

    يمكن أن تكون العينة جميع الطلاب المسجلين في قسم واحد من دورة الإحصاء الأولية في ABC College (على الرغم من أن هذه العينة قد لا تمثل جميع السكان).

    المعلمة هي متوسط (متوسط) مبلغ الأموال التي يتم إنفاقها (باستثناء الكتب) من قبل طلاب السنة الأولى من الكلية في ABC College هذا المصطلح: متوسط عدد السكان.

    الإحصاء هو متوسط (متوسط) المبلغ الذي تم إنفاقه (باستثناء الكتب) من قبل طلاب السنة الأولى في الكلية في العينة.

    يمكن أن يكون المتغير هو مقدار الأموال التي يتم إنفاقها (باستثناء الكتب) من قبل طالب في السنة الأولى. Let\(X\) = مبلغ المال الذي تم إنفاقه (باستثناء الكتب) من قبل طالب في السنة الأولى يدرس في كلية ABC.

    البيانات هي المبالغ بالدولار التي ينفقها طلاب السنة الأولى. ومن أمثلة البيانات 150 دولارًا و 200 دولارًا و 225 دولارًا.

    التمرين 1.1

    حدد ما تشير إليه المصطلحات الرئيسية في الدراسة التالية. نريد أن نعرف متوسط (متوسط) المبلغ الذي تنفقه العائلات التي لديها أطفال في Knoll Academy على الزي المدرسي كل عام. قمنا بمسح عشوائي لـ 100 عائلة لديها أطفال في المدرسة. أنفقت ثلاث من العائلات 65 دولارًا و 75 دولارًا و 95 دولارًا على التوالي.

    المثال 1.2

    حدد ما تشير إليه المصطلحات الرئيسية في الدراسة التالية.

    تم إجراء دراسة في إحدى الكليات المحلية لتحليل متوسط المعدل التراكمي للطلاب الذين تخرجوا العام الماضي. املأ حرف العبارة التي تصف بشكل أفضل كل عنصر من العناصر أدناه.

    1. عدد السكان ____ 2. إحصائية ____ 3. المعلمة ____ 4. عينة ____ 5. المتغير ____ 6. البيانات ____

    1. جميع الطلاب الذين التحقوا بالكلية العام الماضي
    2. المعدل التراكمي لطالب واحد تخرج من الكلية العام الماضي
    3. 3.65، 2.80، 1.50، 3.90
    4. مجموعة من الطلاب الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي، تم اختيارهم عشوائيًا
    5. متوسط المعدل التراكمي للطلاب الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي
    6. جميع الطلاب الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي
    7. متوسط المعدل التراكمي للطلاب في الدراسة الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي
    إجابة

    الحل 1.2

    1. و؛ 2 غرام؛ 3. ه؛ 4. د؛ 5. ب؛ 6. ج

    المثال 1.3

    حدد ما تشير إليه المصطلحات الرئيسية في الدراسة التالية.

    كجزء من دراسة مصممة لاختبار سلامة السيارات، قام المجلس الوطني لسلامة النقل بجمع ومراجعة البيانات حول آثار حادث سيارة على دمى الاختبار. هذا هو المعيار الذي استخدموه:

    السرعة التي تحطمت بها السيارات موقع «القيادة» (أي الدمى)
    35 ميل/ساعة المقعد الأمامي
    الجدول 1.1

    اصطدمت السيارات ذات الدمى في المقاعد الأمامية بالحائط بسرعة 35 ميلاً في الساعة. نريد أن نعرف نسبة الدمى في مقعد السائق التي كانت ستتعرض لإصابات في الرأس، لو كانوا سائقين فعليين. نبدأ بعينة عشوائية بسيطة من 75 سيارة.

    إجابة

    الحل 1.3

    السكان هم جميع السيارات التي تحتوي على الدمى في المقعد الأمامي.

    العينة هي 75 سيارة، تم اختيارها من خلال عينة عشوائية بسيطة.

    المعلمة هي نسبة الدمى من السائقين (لو كانوا أشخاصًا حقيقيين) الذين كانوا سيعانون من إصابات في الرأس بين السكان.

    الإحصاء هو نسبة الدمى من السائقين (لو كانوا أشخاصًا حقيقيين) الذين تعرضوا لإصابات في الرأس في العينة.

    المتغير\(X\) = عدد الدمى الخاصة بالسائق (لو كانوا أشخاصًا حقيقيين) الذين تعرضوا لإصابات في الرأس.

    البيانات هي إما: نعم، تعرضت لإصابة في الرأس، أو لا، لم تفعل ذلك.

    المثال 1.4

    حدد ما تشير إليه المصطلحات الرئيسية في الدراسة التالية.

    ترغب شركة التأمين في تحديد نسبة جميع الأطباء الذين شاركوا في واحدة أو أكثر من دعاوى سوء الممارسة. تختار الشركة 500 طبيب عشوائيًا من دليل احترافي وتحدد الرقم في العينة الذين شاركوا في دعوى قضائية تتعلق بسوء الممارسة.

    إجابة

    الحل 1.4

    السكان هم جميع الأطباء المدرجين في الدليل المهني.

    المعلمة هي نسبة الأطباء الذين شاركوا في واحدة أو أكثر من دعاوى سوء الممارسة بين السكان.

    العينة هي 500 طبيب تم اختيارهم عشوائيًا من الدليل المهني.

    الإحصاء هو نسبة الأطباء الذين شاركوا في واحدة أو أكثر من دعاوى سوء الممارسة في العينة.

    المتغير\(X\) = عدد الأطباء الذين شاركوا في واحدة أو أكثر من دعاوى سوء الممارسة.

    البيانات هي إما: نعم، كان متورطًا في واحدة أو أكثر من دعاوى سوء الممارسة، أو لا، لم يكن كذلك.