12.2: التسلسلات
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- اكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل
- ابحث عن صيغة للمصطلح العام (الحد النوني) للتسلسل
- استخدم الترميز العاملي
- ابحث عن المبلغ الجزئي
- استخدم رمز التلخيص لكتابة المجموع
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- قم بتقييم2n+3 الأعداد الصحيحة1,2,3، و4.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.6. - قم بتقييم(−1)n الأعداد الصحيحة1,2,3، و4.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.19. - إذاf(n)=n2+2، ابحثf(1)+f(2)+f(3).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 3.49.
اكتب الشروط القليلة الأولى من التسلسل
دعونا ننظر إلى الدالةf(x)=2x ونقيمها لأرقام العد فقط.
f(x)=2x | |
x | 2x |
1 | 2 |
2 | 4 |
3 | 6 |
4 | 8 |
5 | 10 |
... | ... |
إذا قمنا بإدراج قيم الدالة بالترتيب كـ2,4,6,8، و10،... فلدينا تسلسل. التسلسل هو دالة يكون مجالها هو أرقام العد.
التسلسل هو دالة يكون مجالها هو أرقام العد.
يمكن أيضًا رؤية التسلسل كقائمة مرتبة من الأرقام وكل رقم في القائمة هو مصطلح. قد يحتوي التسلسل على عدد لا نهائي من المصطلحات أو عدد محدود من المصطلحات. يحتوي التسلسل الخاص بنا على ثلاث نقاط (علامة الحذف) في النهاية مما يشير إلى أن القائمة لا تنتهي أبدًا. إذا كان المجال هو مجموعة جميع أرقام العد، فإن التسلسل هو تسلسل لا نهائي. مجاله هو جميع أرقام العد وهناك عدد لا حصر له من أرقام العد.
2,4,6,8,10,…
إذا قصرنا المجال على عدد محدود من أرقام العد، فإن التسلسل هو تسلسل محدود. إذا استخدمنا أرقام العد الأربعة الأولى فقط، فسيكون التسلسل1,2,3,4 الخاص بنا هو التسلسل المحدود،
2,4,6,8
في كثير من الأحيان عند العمل مع التسلسلات، لا نريد كتابة جميع المصطلحات. نريد طريقة أكثر إحكاما لإظهار كيفية تعريف كل مصطلح. عندما عملنا مع الوظائف، كتبناf(x)=2x وقلنا أن التعبير2x هو القاعدة التي تحدد القيم في النطاق. في حين أن التسلسل عبارة عن دالة، فإننا لا نستخدم رمز الدالة المعتاد. بدلاً من كتابة الدالة كـf(x)=2x، سنكتبها كـan=2n. anهذا هوn الحد العاشر من التسلسل، وهو المصطلح الموجودn في الموضع حيثn توجد قيمة في المجال. تُسمى صيغة كتابة الحدn العاشر من التسلسل بالمصطلح العام أو صيغة التسلسل.
تم العثور على المصطلح العام للتسلسل من صيغة كتابة المصطلحn العاشر من التسلسل. الحدn العاشر من التسلسلan، هو المصطلح الموجودn في الموضع الذيn توجد فيه قيمة في المجال.
عندما نحصل على الحد العام للتسلسل، يمكننا إيجاد المصطلحات عن طريق استبدالهاn بأرقام العد بالترتيب. من أجلan=2n،
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
an | 2⋅1 | 2⋅2 | 2⋅3 | 2⋅4 | 2⋅5 | 2⋅6 |
2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
a1,a2,a3,a4,a5,…,an,…
2,4,6,8,10,…
للعثور على قيم التسلسل، نستبدل أرقام العد بالترتيب في الحد العام للتسلسل.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=4n−3.
الحل:
نستبدل القيم1,2,3,45، وفي الصيغةan=4n−3، بالترتيب.
الإجابة:
المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل هي1,5,9,13، و17.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=3n−4.
- إجابة
-
−1,2,5,8,11
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=2n−5.
- إجابة
-
−3,−1,1,3,5
بالنسبة لبعض التسلسلات، يكون المتغير هو الأس.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=2n+1.
الحل:
نستبدل القيم1,2,3,45، وفي الصيغةan=2n+1، بالترتيب.
الإجابة:
المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل هي3,5,9,17، و33.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=3n+4.
- إجابة
-
7,13,31,85,247
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=2n−5.
- إجابة
-
−3,−1,3,11,27
ليس من غير المألوف رؤية التعبيرات(−1)n أو(−1)n+1 المصطلح العام للتسلسل. إذا قمنا بتقييم كل من هذه التعبيرات لبعض القيم، فإننا نرى أن هذا التعبير يبدل علامة المصطلحات.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
\ (n\) ">(−1)n | \ (1\) ">(−1)1 −1 |
\ (2\) ">(−1)2 1 |
\ (3\) ">(−1)3 −1 |
\ (4\) ">(−1)4 1 |
\ (5\) ">(−1)5 −1 |
\ (n\) ">(−1)n+1 | \ (1\) ">(−1)1+1 1 |
\ (2\) ">(−1)2+1 −1 |
\ (3\) ">(−1)3+1 1 |
\ (4\) ">(−1)4+1 −1 |
\ (5\) ">(−1)5+1 1 |
a1,a2,a3,a4,a5,…,an,…
−1,1,−1,1,−1…1,−1,1,−1,1…
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=(−1)nn3.
الحل:
نستبدل القيم1,2,3,45، وفي الصيغةan=(−1)nn3، بالترتيب.
الإجابة:
المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل هي−1,8,−27,64,−1,8,−27,64، و−125.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=(−1)nn2.
- إجابة
-
−1,4,−9,16,−25
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=(−1)n+1n3.
- إجابة
-
1,−8,27,−64,125
ابحث عن صيغة للمصطلح العام (nالحد العاشر) من التسلسل
في بعض الأحيان يكون لدينا بعض المصطلحات للتسلسل وسيكون من المفيد معرفة المصطلح العامn أو المصطلح. للعثور على المصطلح العام، نبحث عن الأنماط في المصطلحات. غالبًا ما تتضمن الأنماط مضاعفات أو قوى. نحن نبحث أيضًا عن نمط في علامات المصطلحات.
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى. 4,8,12,16,20,…
الحل:
-
نحن نبحث عن نمط في المصطلحات. الأرقام كلها مضاعفات لـ4. المصطلح العام للتسلسل هوan=4n. الجدول 12-1-4 الإجابة:
المصطلح العام للتسلسل هوan=4n.
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى.
3,6,9,12,15,…
- إجابة
-
an=3n
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى.
5,10,15,20,25,…
- إجابة
-
an=5n
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى. 2,−4,8,−16,32,…
الحل:
-
نحن نبحث عن نمط في المصطلحات. الأرقام هي قوى لـ2. العلامات متناوبة، حتى وإن كانتn سلبية. المصطلح العام للتسلسل هوan=(−1)n+12n الجدول 12-1-5 الإجابة:
المصطلح العام للتسلسل هوan=(−1)n+12n.
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى.
−3,9,−27,81,−243,…
- إجابة
-
an=(−1)n3n
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى
1,−4,9,−16,25,…
- إجابة
-
an=(−1)n+1n2
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى. 13,19,127,181,1243,…
الحل:
-
نحن نبحث عن نمط في المصطلحات. البسط كلها1. القواسم هي قوى3. المصطلح العام للتسلسل هوan=13n. الجدول 12-1-6 الإجابة:
المصطلح العام للتسلسل هوan=13n.
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى.
12,14,18,116,132,…
- إجابة
-
an=12n
ابحث عن مصطلح عام للتسلسل الذي تظهر شروطه الخمسة الأولى.
11,14,19,116,125,…
- إجابة
-
an=1n2
استخدم الترميز العاملي
غالبًا ما تحتوي التسلسلات على مصطلحات هي منتجات الأعداد الصحيحة المتتالية. نشير إلى هذه المنتجات برمز خاص يسمى الترميز العاملي. على سبيل المثال5!،5 اقرأ العامل، يعني5⋅4⋅3⋅2⋅1. علامة التعجب ليست علامات ترقيم هنا؛ إنها تشير إلى الترميز العاملي.
إذا كانn عددًا صحيحًا موجبًا،n! فسيكون
n!=n(n−1)(n−2)…
نحن0! نعرّف على أنه1، لذلك0!=1.
يتم عرضn! قيم الأعداد الصحيحة5 الموجبة الأولى.
1!2!3!4!5!12⋅13⋅2⋅14⋅3⋅2⋅15⋅4⋅3⋅2⋅112624120
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=1n!.
الحل:
نستبدل القيم1,2,3,4,5 في الصيغةan=1n!، بالترتيب.
الإجابة:
المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل هي1,12,16,124,1120.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=2n!.
- إجابة
-
2,1,13,112,160
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=3n!.
- إجابة
-
3,32,12,18,140
عندما يكون هناك كسر يحتوي على عوامل في البسط والمقام، فإننا نصطف العوامل رأسيًا لتسهيل العمليات الحسابية.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=(n+1)!(n−1)!.
الحل:
نستبدل القيم1,2,3,4,5 في الصيغةan=(n+1)!(n−1)!، بالترتيب.
الإجابة:
المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل هي2,6,12,20، و30.
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=(n−1)!(n+1)!
- إجابة
-
12,16,112,120,130
اكتب الحدود الخمسة الأولى من التسلسل الذي يكون الحد العام لهan=n!(n+1)!.
- إجابة
-
12,13,14,15,16
ابحث عن المجموع الجزئي
في بعض الأحيان في التطبيقات، بدلاً من مجرد سرد المصطلحات، من المهم بالنسبة لنا إضافة شروط التسلسل. بدلاً من مجرد ربط المصطلحات بعلامات الجمع، يمكننا استخدام رمز التلخيص.
على سبيل المثال،a1+a2+a3+a4+a5 يمكن كتابتها كـ∑5i=1ai. نقرأ هذا على أنه «مجموعa الفرعيi منi يساوي واحدًا إلى خمسة». الرمز∑ يعني الإضافةi وهو فهرس التلخيص. 1يخبرنا من أين نبدأ (القيمة الأولية)5 ويخبرنا أين ننتهي (القيمة النهائية).
مجموعn المصطلحات الأولى من التسلسل الذي تمت كتابة المصطلحn الثالثan به في تدوين التلخيص على النحو التالي:
∑ni=1ai=a1+a2+a3+a4+a5+…+an
iهذا هو فهرس التلخيص1 ويخبرنا من أين نبدأn ويخبرنا من أين ننتهي.
عندما نضيف عددًا محدودًا من المصطلحات، فإننا نسمي المجموع بمبلغ جزئي.
قم بتوسيع المبلغ الجزئي وابحث عن قيمته:∑5i=12i.
الحل:
-
∑5i=12i نحن نستبدل القيم1,2,3,4,5 بالترتيب. 2⋅1+2⋅2+2⋅3+2⋅4+2⋅5 قم بالتبسيط. 2+4+6+8+10 أضف. 30∑5i=12i=30 الجدول 12-1.7 الإجابة:
30∑5i=12i=30
قم بتوسيع المبلغ الجزئي وابحث عن قيمته:∑5i=13i.
- إجابة
-
45
قم بتوسيع المبلغ الجزئي وابحث عن قيمته:∑5i=14i.
- إجابة
-
60
لا يجب أن يكون الفهرس دائمًا هوi أننا نستطيع استخدام أي حرف، ولكنik يتم استخدامه بشكل شائع. لا يجب أن يبدأ الفهرس بأي1 منهما - يمكن أن يبدأ وينتهي بأي عدد صحيح موجب.
قم بتوسيع المبلغ الجزئي وابحث عن قيمته:∑3k=01k!.
الحل:
∑3k=01k!Wesubstitutethevalues0,1,2,3inorder.11+11!+12!+13!Evaluatethefactorials.11+11+12!+16Simplify.1+1+36+16Simplify.166Simplify.83∑3k=01k!=83
قم بتوسيع المبلغ الجزئي وابحث عن قيمته:∑3k=02k!.
- إجابة
-
163
قم بتوسيع المبلغ الجزئي وابحث عن قيمته:∑3k=03k!.
- إجابة
-
8
استخدم رمز التلخيص لكتابة مجموع
في المثالين الأخيرين، انتقلنا من تدوين التلخيص إلى كتابة المجموع. الآن سنبدأ بمجموع ونغيره إلى تدوين التلخيص. هذا مشابه جدًا لإيجاد المصطلح العام للتسلسل. سنحتاج إلى إلقاء نظرة على المصطلحات والعثور على نمط. غالبًا ما تتضمن الأنماط مضاعفات أو قوى.
اكتب المجموع باستخدام رمز التلخيص:1+12+13+14+15.
الحل:
1+12+13+14+15n:1,2,3,4,5We look for a pattern in the terms. Terms: 1,12,13,14,15The numerators are all one. Pattern: 11,12,13,14,15,…1nThe denominators are the counting numbers from one to five.The sum written in summation notation1+12+13+14+15=∑5n=11n.
اكتب المجموع باستخدام رمز التلخيص:12+14+18+116+132.
- إجابة
-
∑5n=112n
اكتب المجموع باستخدام رمز التلخيص:1+14+19+116+125
- إجابة
-
∑5n=11n2
عندما تحتوي شروط المبلغ على معاملات سالبة، يجب علينا تحليل نمط العلامات بعناية.
اكتب المجموع باستخدام رمز التلخيص:−1+8−27+64−125.
الحل:
-
نحن نبحث عن نمط في المصطلحات. تتناوب علامات المصطلحات،
وتكون المصطلحات الفردية سلبية.الأرقام هي مكعبات أرقام
العد من واحد إلى خمسة.المجموع المكتوب في تدوين التلخيص هو −1+8−27+64−125=∑5n=1(−1)n⋅n3 الجدول 12-1-8
اكتب كل مجموع باستخدام رمز الجمع:1−4+9−16+25.
- إجابة
-
∑5n=1(−1)n+1n2
اكتب كل مجموع باستخدام رمز الجمع:−2+4−6+8−10.
- إجابة
-
∑5n=1(−1)n2n
قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة باستخدام التسلسلات.
المفاهيم الرئيسية
- الترميز العاملي
إذا كانn عددًا صحيحًا موجبًا،n! فسيكون
n!=n(n−1)(n−2)…(3)(2)(1)
نحن نعرّف0! على النحو1 التالي:0!=1
- تدوين التلخيص
مجموعn المصطلحات الأولى من التسلسل الذي تمت كتابة المصطلحn الثالثan به في تدوين التلخيص على النحو التالي:
∑ni=1ai=a1+a2+a3+a4+a5+…+an
iهذا هو فهرس التلخيص1 ويخبرنا من أين نبدأn ويخبرنا من أين ننتهي.
مسرد المصطلحات
- تسلسل محدود
- تسلسل ذو مجال يقتصر على عدد محدود من أرقام العد.
- مصطلح عام للتسلسل
- المصطلح العام للتسلسل هو صيغة كتابة الحدn العاشر من التسلسل. الحدn العاشر من التسلسلan، هو المصطلح الموجودn في الموضع الذيn توجد فيه قيمة في المجال.
- تسلسل لانهائي
- تسلسل يشمل نطاقه جميع الأرقام ويوجد عدد لا نهائي من أرقام العد.
- مبلغ جزئي
- عندما نضيف عددًا محدودًا من مصطلحات التسلسل، فإننا نسمي المجموع المجموع الجزئي.
- تسلسل
- التسلسل هو دالة يكون مجالها هو أرقام العد.