Skip to main content
Global

11.2: صيغ ودوائر المسافة ونقطة المنتصف

  • Page ID
    201797
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • استخدم صيغة المسافة
    • استخدم صيغة نقطة الوسط
    • اكتب معادلة الدائرة في الصورة القياسية
    • رسم بياني لدائرة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. أوجد طول وتر المثلث القائم الزاوية الذي تكون\(12\) أرجله ٤\(16\) بوصات.
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 2.34.
    2. عامل:\(x^{2}-18 x+81\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.24.
    3. حل عن طريق إكمال المربع:\(x^{2}-12 x-12=0\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 9.22.

    في هذا الفصل سنلقي نظرة على المقاطع المخروطية، التي تسمى عادة الأقماع المخروطية، وخصائصها. المخروطات هي منحنيات تنتج عن مستوى يتقاطع مع مخروط مزدوج - مخروطان يوضعان من نقطة إلى نقطة. كل نصف مخروط مزدوج يسمى القيلولة.

    يوضح هذا الشكل مخروطين موضوعين من نقطة إلى نقطة. يتم تسميتها بالقيلولة.
    الشكل 11.1.1

    هناك أربعة رموز مخروطية - الدائرة، والقطع المكافئ، والقطع الناقص، والهايبربولا. يوضح الشكل التالي كيف ينتج المستوى الذي يتقاطع مع المخروط المزدوج في كل منحنى.

    يُظهر كل من هذه الأشكال الأربعة مخروطًا مزدوجًا يتقاطعه مستوى. في الشكل الأول، يكون المستوى عموديًا على محور المخاريط ويتقاطع مع المخروط السفلي لتشكيل دائرة. في الشكل الثاني، تكون الطائرة بزاوية المحور وتتقاطع مع المخروط السفلي بطريقة تتقاطع مع القاعدة أيضًا. وبالتالي، يكون المنحنى الذي يتكون من التقاطع مفتوحًا عند كلا الطرفين. هذا يسمى المكافئ. في الشكل الثالث، تكون الطائرة بزاوية المحور وتتقاطع مع المخروط السفلي بطريقة لا تتقاطع مع قاعدة المخروط. وبالتالي، فإن المنحنى الذي يتكون من التقاطع هو حلقة مغلقة تسمى الشكل البيضاوي. في الشكل الرابع، تكون الطائرة موازية للمحور، حيث تتقاطع مع المخاريط. هذا يسمى هيبربولا.
    الشكل 11.1.2

    يحتوي كل منحنى على العديد من التطبيقات التي تؤثر على حياتك اليومية، من هاتفك الخلوي إلى الصوتيات وأنظمة الملاحة. في هذا القسم سنلقي نظرة على خصائص الدائرة.

    استخدم صيغة المسافة

    لقد استخدمنا نظرية فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلث القائم. هنا سنستخدم هذه النظرية مرة أخرى لإيجاد المسافات في نظام الإحداثيات المستطيلة. من خلال إيجاد المسافة في نظام الإحداثيات المستطيل، يمكننا الربط بين هندسة المخروط والجبر - مما يفتح عالمًا من الفرص للتطبيق.

    خطوتنا الأولى هي تطوير صيغة لإيجاد المسافات بين النقاط في نظام الإحداثيات المستطيلة. سنرسم النقاط وننشئ مثلثًا قائمًا تمامًا كما فعلنا عندما وجدنا المنحدر في الرسوم البيانية والوظائف. ثم نخطو خطوة أخرى إلى الأمام ونستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول وتر المثلث - وهو المسافة بين النقاط.

    مثال\(\PageIndex{1}\)

    استخدم نظام الإحداثيات المستطيل لإيجاد المسافة بين النقاط\((6,4)\) و\((2,1)\).

    الحل

    ارسم النقطتين. قم بتوصيل النقطتين
    بخط.
    ارسم مثلثًا قائمًا كما لو كنت
    ستعثر على منحدر.
    .
    الشكل 11.1.3
    أوجد طول كل ساق.
    .
    الشكل 11.1.4
    استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد\(d\) المسافة بين النقطتين. \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)
    استبدل القيم. \(3^{2}+4^{2}=d^{2}\)
    قم بالتبسيط. \(9+16=d^{2}\)
      \(25=d^{2}\)
    استخدم خاصية الجذر التربيعي. \(d=5\quad\cancel{d=-5}\)
    بما أن المسافة إيجابية، يمكننا القضاء عليها\(d=-5\).\(d\) المسافة بين النقاط\((6,4)\) و\((2,1)\) هي\(5\).
    الجدول 11.1.1
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{1}\)

    استخدم نظام الإحداثيات المستطيل لإيجاد المسافة بين النقاط\((6,1)\) و\((2,-2)\).

    إجابة

    \(d=5\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{2}\)

    استخدم نظام الإحداثيات المستطيل لإيجاد المسافة بين النقاط\((5,3)\) و\((-3,-3)\).

    إجابة

    \(d=10\)

    يوضح الشكل رسمًا بيانيًا بمثلث قائم الزاوية. يربط الوتر نقطتين، (2، 1) و (6، 4). يتم تصنيفها على التوالي (x1، y1) و (x2، y2). الارتفاع هو y2 ناقص y1، وهو 4 ناقص 1 يساوي 3. التشغيل هو x2 ناقص x1، وهو 6 ناقص 2 يساوي 4.
    الشكل 11.1.5

    تقودنا الطريقة التي استخدمناها في المثال الأخير إلى الصيغة للعثور على المسافة بين النقطتين\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) و\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\).

    عندما وجدنا طول الساق الأفقية، طرحنا\(6−2\) أيهما هو\(x_{2}-x_{1}\).

    عندما وجدنا طول الساق الرأسية، طرحنا\(4−1\) أيهما هو\(y_{2}-y_{1}\).

    إذا كان المثلث في موضع مختلف، فقد نكون قد طرحنا\(x_{1}-x_{2}\) أو\(y_{1}-y_{2}\). \(x_{1}-x_{2}\)تختلف التعبيرات\(x_{2}-x_{1}\) فقط في علامة الرقم الناتج. للحصول على القيمة الإيجابية - نظرًا لأن المسافة إيجابية - يمكننا استخدام القيمة المطلقة. لذلك للتعميم سنقول\(\left|x_{2}-x_{1}\right|\) و\(\left|y_{2}-y_{1}\right|\).

    في نظرية فيثاغورس، نستبدل التعبيرات\(\left|x_{2}-x_{1}\right|\) العامة\(\left|y_{2}-y_{1}\right|\) بدلاً من الأرقام.

    \(\begin{array}{l c}{} & {a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {\text {Substitute in the values. }}&{(|x_{2}-x_{1}|)^{2}+(|y_{2}-y_{1}|)^{2}=d^{2}} \\ {\text{Squaring the expressions makes}}&{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}} \\ \text{them positive, so we eliminate} \\\text{the absolute value bars.}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{d=\pm\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\ {\text{Distance is positive, so eliminate}}&{d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\\text{the negative value.}\end{array}\)

    هذه هي صيغة المسافة التي نستخدمها لإيجاد المسافة\(d\) بين النقطتين\((x_{1},y_{1})\) و\((x_{2}, y_{2})\).

    تعريف\(\PageIndex{1}\)

    صيغة المسافة

    المسافة\(d\) بين النقطتين\((x_{1},y_{1})\) و\((x_{2}, y_{2})\)

    \(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

    مثال\(\PageIndex{2}\)

    استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((-5,-3)\) و\((7,2)\).

    الحل:

    اكتب صيغة المسافة.

    \(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

    قم بتسمية النقاط\(\left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)\) واستبدالها.\(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-3}\end{array}\right)\)

    \(d=\sqrt{(7-(-5))^{2}+(2-(-3))^{2}}\)

    قم بالتبسيط.

    \(d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}\)
    \(d=\sqrt{144+25}\)
    \(d=\sqrt{169}\)
    \(d=13\)

    الإجابة:

    \(d=13\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{3}\)

    استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((-4,-5)\) و\((5,7)\).

    إجابة

    \(d=15\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{4}\)

    استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((-2,-5)\) و\((-14,-10)\).

    إجابة

    \(d=13\)

    مثال\(\PageIndex{3}\)

    استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((10,−4)\) و\((−1,5)\). اكتب الإجابة في صورة دقيقة، ثم أوجد التقريب العشري، مع تقريبه لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.

    الحل:

    اكتب صيغة المسافة.

    \(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

    قم بتسمية النقاط\(\left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-1,5}\end{array}\right)\) واستبدالها.\(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {10,-4}\end{array}\right)\)

    \(d=\sqrt{(-1-10)^{2}+(5-(-4))^{2}}\)

    قم بالتبسيط.

    \(d=\sqrt{(-11)^{2}+9^{2}}\)
    \(d=\sqrt{121+81}\)
    \(d=\sqrt{202}\)

    نظرًا لأنه\(202\) ليس مربعًا مثاليًا، يمكننا ترك الإجابة بالشكل الدقيق أو إيجاد تقريب عشري.

    \(d=\sqrt{202}\)
    أو
    \(d \approx 14.2\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{5}\)

    استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((−4,−5)\) و\((3,4)\). اكتب الإجابة في صورة دقيقة، ثم أوجد التقريب العشري، مع تقريبه لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.

    إجابة

    \(d=\sqrt{130}, d \approx 11.4\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{6}\)

    استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((−2,−5)\) و\((−3,−4)\). اكتب الإجابة في صورة دقيقة، ثم أوجد التقريب العشري، مع تقريبه لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.

    إجابة

    \(d=\sqrt{2}, d \approx 1.4\)

    استخدم صيغة نقطة الوسط

    غالبًا ما يكون من المفيد أن تكون قادرًا على العثور على نقطة الوسط في المقطع. على سبيل المثال، إذا كانت لديك نقاط النهاية لقطر الدائرة، فقد ترغب في العثور على مركز الدائرة الذي يمثل نقطة منتصف القطر. للعثور على نقطة الوسط لمقطع الخط، نجد متوسط\(x\) الإحداثيات -ومتوسط\(y\) إحداثيات -لنقاط النهاية.

    تعريف\(\PageIndex{2}\)

    صيغة ميدل بوينت

    نقطة الوسط في مقطع الخط الذي تكون نقاط نهايته هي النقطتان\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\)\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) وهي

    \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

    للعثور على نقطة الوسط لمقطع الخط، نجد متوسط\(x\) الإحداثيات -ومتوسط\(y\) إحداثيات -لنقاط النهاية.

    مثال\(\PageIndex{4}\)

    استخدم صيغة نقطة المنتصف للعثور على نقطة الوسط لمقاطع الخط التي تكون نقاط نهايتها هي\((−5,−4)\) و\((7,2)\). ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط على نظام إحداثيات مستطيل.

    الحل:

    اكتب صيغة المنتصف. \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
    قم بتسمية النقاط\(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)\) واستبدالها. \(\left(\frac{-5+7}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\)
    قم بالتبسيط. \(\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
     

    \((1,-1)\)

    نقطة الوسط في المقطع هي النقطة

    \((1,-1)\).

    ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط.
    .
    الشكل 11.1.6
    الجدول 11.1.2
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{7}\)

    استخدم صيغة نقطة المنتصف للعثور على نقطة الوسط لمقاطع الخط التي تكون نقاط نهايتها هي\((−3,−5)\) و\((5,7)\). ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط على نظام إحداثيات مستطيل.

    إجابة
    يُظهر هذا الرسم البياني مقطع الخط بنقاط النهاية (سالب 3، سالب 5) و (5، 7) ونقطة الوسط (1، سالب 1).
    الشكل 11.1.7
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{8}\)

    استخدم صيغة نقطة المنتصف للعثور على نقطة الوسط لمقاطع الخط التي تكون نقاط نهايتها هي\((−2,−5)\) و\((6,−1)\). ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط على نظام إحداثيات مستطيل.

    إجابة
    يُظهر هذا الرسم البياني مقطع الخط بنقاط النهاية (سالب 2، سالب 5) و (6، سالب 1) ونقطة الوسط (2، سالب 3).
    الشكل 11.1.8

    تعتمد كل من صيغة المسافة وصيغة نقطة الوسط على نقطتين,\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) و\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\). من السهل الخلط بين الصيغة التي تتطلب الجمع وأي طرح للإحداثيات. إذا تذكرنا من أين تأتي الصيغ، فقد يكون من الأسهل تذكر الصيغ.

    صيغة المسافة هي d تساوي الجذر التربيعي للأقواس المفتوحة x2 ناقص x1 أقواس قريبة مربعة بالإضافة إلى الأقواس المفتوحة y2 ناقص y1 أقواس إغلاق نهاية الجذر المربعة. يُطلق على هذا اسم طرح الإحداثيات. صيغة نقطة الوسط هي أقواس مفتوحة أقواس مفتوحة x1 بالإضافة إلى x2 أقواس مغلقة على قوسين مفتوحين بفواصل y1 بالإضافة إلى y2 أقواس مغلقة على قوسين مغلقين. هذا يسمى إضافة الإحداثيات.
    الشكل 11.1.9

    اكتب معادلة الدائرة في الصورة القياسية

    كما ذكرنا، هدفنا هو ربط هندسة المخروط بالجبر. باستخدام مستوى الإحداثيات، يمكننا القيام بذلك بسهولة.

    يوضِّح هذا الشكل مخروطًا مزدوجًا ومستوًى متقاطعًا يكوِّنان دائرة.
    الشكل 11.1.10

    نحدد الدائرة على أنها جميع النقاط في المستوى الذي يمثل مسافة ثابتة من نقطة معينة في المستوى. تسمى النقطة المعطاة \((h,k)\)بالمركز، والمسافة الثابتة تسمى نصف قطر الدائرة.\(r\)

    تعريف\(\PageIndex{3}\)

    الدائرة هي جميع النقاط في المستوى الذي يبعد مسافة ثابتة عن نقطة معينة في المستوى. تسمى النقطة المعطاة \((h,k)\)بالمركز، والمسافة الثابتة تسمى نصف قطر الدائرة.\(r\)


    نحن ننظر إلى دائرة في نظام الإحداثيات المستطيلة.
    نصف القطر هو المسافة من المركز\((h,k)\)، إلى
    نقطة على الدائرة،\((x,y)\).
    .
    الشكل 11.1.11
    لاشتقاق معادلة الدائرة، يمكننا استخدام صيغة
    المسافة مع النقاط\((h,k)\)
    والمسافة\(r\).\((x,y)\)
    \(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
    استبدل القيم. \(r=\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}\)
    قم بمربع كلا الجانبين. \(r^{2}=(x-h)^{2}+(y-k)^{2}\)
    الجدول 11.1.3

    هذا هو الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر\(r\).\((h,k)\)

    تعريف\(\PageIndex{4}\)

    الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر هو\((h,k)\)\(r\)

    يوضح الشكل دائرة مركزها عند (h، k) ونصف قطرها r. النقطة الموجودة على الدائرة تسمى x، y. الصيغة هي الأقواس المفتوحة x ناقص h الأقواس المغلقة المربعة بالإضافة إلى الأقواس المفتوحة y ناقص k الأقواس المغلقة يساوي r المربعة بالإضافة إلى الأقواس المفتوحة y ناقص k الأقواس المربعة تساوي r مربعة.
    الشكل 11.1.12
    مثال\(\PageIndex{5}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات نصف القطر\(3\) والمركز\((0,0)\).

    الحل:

    استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
    استبدل القيم\(r=3, h=0\)، و\(k=0\). \((x-0)^{2}+(y-0)^{2}=3^{2}\)
    .  
    قم بالتبسيط. \(x^{2}+y^{2}=9\)
    الجدول 11-1-4
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{9}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(6\) ومركزها\((0,0)\).

    إجابة

    \(x^{2}+y^{2}=36\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{10}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(8\) ومركزها\((0,0)\).

    إجابة

    \(x^{2}+y^{2}=64\)

    في المثال الأخير، كان المركز\((0,0)\). لاحظ ما حدث للمعادلة. عندما يكون المركز\((0,0)\)، يصبح النموذج القياسي\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\).

    مثال\(\PageIndex{6}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات نصف القطر\(2\) والمركز\((−1,3)\).

    الحل:

    استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة. \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
    استبدل القيم. \((x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}\)
    .  
    قم بالتبسيط. \((x+1)^{2}+(y-3)^{2}=4\)
    الجدول 11.1.5
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{11}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(7\) ومركزها\((2,−4)\).

    إجابة

    \((x-2)^{2}+(y+4)^{2}=49\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{12}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(9\) ومركزها\((−3,−5)\).

    إجابة

    \((x+3)^{2}+(y+5)^{2}=81\)

    في المثال التالي، لا يتم إعطاء نصف القطر. لحساب نصف القطر، نستخدم صيغة المسافة مع النقطتين المعطاة.

    مثال\(\PageIndex{7}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات المركز\((2,4)\) التي تحتوي أيضًا على النقطة\((−2,1)\).

    يوضِّح هذا الرسم البياني دائرة مركزها عند (2، 4، نصف القطر 5) ونقطة على الدائرة ناقص 2، 1.
    الشكل 11.1.15

    الحل:

    نصف القطر هو المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة حتى نتمكن من استخدام صيغة المسافة لحسابها. سوف نستخدم المركز\((2,4)\) والنقطة\((−2,1)\)

    استخدم صيغة المسافة للعثور على نصف القطر.

    \(r=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

    استبدل القيم. \(\left( \begin{array}{l}{x_{1}, y_{1}} \\ {2,4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-2,1}\end{array}\right)\)

    \(r=\sqrt{(-2-2)^{2}+(1-4)^{2}}\)

    قم بالتبسيط.

    \(r=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}\)
    \(r=\sqrt{16+9}\)
    \(r=\sqrt{25}\)
    \(r=5\)

    الآن بعد أن عرفنا\(r=5\) نصف القطر والمركز\((2,4)\)، يمكننا استخدام الشكل القياسي لمعادلة الدائرة لإيجاد المعادلة.

    استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة.

    \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)

    استبدل القيم.

    \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5^{2}\)

    قم بالتبسيط.

    \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{13}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات المركز\((2,1)\) التي تحتوي أيضًا على النقطة\((−2,−2)\).

    إجابة

    \((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{14}\)

    اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات المركز\((7,1)\) التي تحتوي أيضًا على النقطة\((−1,−5)\).

    إجابة

    \((x-7)^{2}+(y-1)^{2}=100\)

    رسم بياني لدائرة

    أي معادلة في النموذج\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) هي الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر\(r\).\((h,k)\) يمكننا بعد ذلك رسم الدائرة على نظام إحداثيات مستطيل.

    لاحظ أن النموذج القياسي يستدعي الطرح من\(x\) و\(y\). في المثال التالي، تحتوي المعادلة على\(x+2\)، لذا نحتاج إلى إعادة كتابة عملية الجمع في صورة طرح سالب.

    مثال\(\PageIndex{8}\)

    ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم ارسم الدائرة بيانيًا:\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9\).

    الحل:

      .

    استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة.

    حدد المركز\((h,k)\) ونصف القطر\(r\).

    .
      المركز:\((-2,1)\) دائرة نصف قطرها:\(3\)
    رسم الدائرة بيانيًا. .
    الجدول 11.1.6
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{15}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4\).
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((3,-4)\) بنصف قطر يساوي\(2\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني دائرة مركزها عند (3، سالب 4) ونصف قطرها 2.
    الشكل 11.1.19
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{16}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\((x-3)^{2}+(y-1)^{2}=16\).
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((3,1)\) بنصف قطر يساوي\(4\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني الدائرة التي مركزها عند (٣، ١) ونصف قطرها ٤.
    الشكل 11.1.20

    للعثور على المركز ونصف القطر، يجب أن نكتب المعادلة في الشكل القياسي. في المثال التالي، يجب أن نحصل أولاً\(x^{2}, y^{2}\) على معامل واحد.

    مثال\(\PageIndex{9}\)

    ابحث عن المركز ونصف القطر ثم ارسم الدائرة بيانيًا,\(4 x^{2}+4 y^{2}=64\).

    الحل:

      .
    قسّم كل جانب على\(4\). .
    استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة.
    حدد المركز\((h,k)\) ونصف القطر\(r\).
    .
      المركز:\((0,0)\) دائرة نصف قطرها:\(4\)
    رسم الدائرة بيانيًا. .
    الجدول 11.1.7
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{17}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(3 x^{2}+3 y^{2}=27\)
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((0,0)\) بنصف قطر يساوي\(3\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني الدائرة التي مركزها عند (0، 0) ونصف قطرها 3.
    الشكل 11.1.25
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{18}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(5 x^{2}+5 y^{2}=125\)
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((0,0)\) بنصف قطر يساوي\(5\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني الدائرة التي مركزها عند (0، 0) ونصف قطرها 5.
    الشكل 11.1.26

    إذا قمنا بتوسيع المعادلة من المثال 11.1.8\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9\)، فإن معادلة الدائرة تبدو مختلفة جدًا.

    \((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9\)

    قم بتربيع الحدود ذات الحدين.

    \(x^{2}+4 x+4+y^{2}-2 y+1=9\)

    رتب المصطلحات بترتيب تنازلي، واحصل على صفر على اليمين

    \(x^{2}+y^{2}+4 x-2 y-4=0\)

    هذا الشكل من المعادلة يسمى الشكل العام لمعادلة الدائرة.

    تعريف\(\PageIndex{5}\)

    الشكل العام لمعادلة الدائرة هو

    \(x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0\)

    إذا حصلنا على معادلة في الصورة العامة، يمكننا تغييرها إلى الشكل القياسي من خلال إكمال المربعين في كل من\(x\) و\(y\). ثم يمكننا رسم الدائرة بيانيًا باستخدام مركزها ونصف قطرها.

    مثال\(\PageIndex{10}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+4=0\)

    الحل:

    نحتاج إلى إعادة كتابة هذا النموذج العام في شكل قياسي من أجل العثور على المركز ونصف القطر.

     
    .
    الشكل 11.1.27
    قم\(x\) بتجميع الشروط\(y\) والأحكام.
    اجمع الثوابت على الجانب الأيمن.
    .
    الشكل 11.1.28
    أكمل المربعات.
    .
    الشكل 11.1.29
    أعد الكتابة كمربعات ذات حدين.
    .
    الشكل 11.1.30
    حدد المركز ونصف القطر. المركز:\((2,3)\) دائرة نصف قطرها:\(3\)
    رسم الدائرة بيانيًا.
    .
    الشكل 11.1.31
    الجدول 11.1.8
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{19}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+9=0\).
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((3,4)\) بنصف قطر يساوي\(4\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني الدائرة التي مركزها عند (٣، ٤) ونصف قطرها ٤.
    الشكل 11.1.32
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{20}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}+6 x-2 y+1=0\)
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((-3,1)\) بنصف قطر يساوي\(3\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني الدائرة التي مركزها عند (سالب 3، 1) ونصف قطرها 3.
    الشكل 11.1.33

    في المثال التالي، هناك\(y\) مصطلح -term و\(y^{2}\) -term. لكن لاحظ أنه لا يوجد\(x\) مصطلح -مصطلح، فقط\(x^{2}\) مصطلح -مصطلح. لقد رأينا هذا من قبل ونعرف\(h\) أنه يعني ذلك\(0\). سنحتاج إلى إكمال مربع\(y\) الشروط، ولكن ليس\(x\) للشروط.

    مثال\(\PageIndex{11}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}+8 y=0\)

    الحل:

    نحتاج إلى إعادة كتابة هذا النموذج العام في شكل قياسي من أجل العثور على المركز ونصف القطر.

      .
    قم\(x\) بتجميع الشروط\(y\) والأحكام. .
    لا توجد ثوابت لجمعها على الجانب الأيمن.  
    أكمل المربع لـ\(y^{2}+8y\). .
    أعد الكتابة كمربعات ذات حدين. .
    حدد المركز ونصف القطر. المركز:\((0,-4)\) دائرة نصف قطرها:\(4\)
    رسم الدائرة بيانيًا. .
    الجدول 11.1.9
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{21}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-2 x-3=0\).
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((-1,0)\) بنصف قطر يساوي\(2\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني الدائرة التي مركزها عند (١، ٠) ونصف قطرها ٢.
    الشكل 11.1.39
    التمارين الرياضية\(\PageIndex{22}\)
    1. ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
    2. رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-12 y+11=0\).
    إجابة
    1. تتمركز الدائرة\((0,6)\) بنصف قطر يساوي\(5\).
    يوضِّح هذا الرسم البياني الدائرة التي مركزها عند (0، 6) ونصف قطرها 5.
    الشكل 11.1.40

    يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام معادلتي المسافة ونقطة الوسط، ورسم الدوائر.

    • صيغ ودوائر المسافة ونقطة المنتصف
    • إيجاد المسافة ونقطة المنتصف بين نقطتين
    • إكمال المربع لكتابة المعادلة في الصورة القياسية للدائرة

    المفاهيم الرئيسية

    • صيغة المسافة: المسافة\(d\) بين النقطتين\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) و\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) هي

      \(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

    • صيغة نقطة المنتصف: نقطة الوسط لمقطع الخط الذي تكون نقاط نهايته هي النقطتان\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\)\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) وهي

      \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

      للعثور على نقطة الوسط لمقطع الخط، نجد متوسط\(x\) الإحداثيات -ومتوسط\(y\) إحداثيات -لنقاط النهاية.
    • الدائرة: الدائرة هي جميع النقاط في المستوى الذي يمثل مسافة ثابتة من نقطة ثابتة في المستوى. تسمى النقطة المعطاة \((h,k)\)بالمركز، والمسافة الثابتة تسمى نصف قطر الدائرة.\(r\)
    • الشكل القياسي لمعادلة الدائرة: الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر هو\((h,k)\)\(r\)
    يوضح الشكل دائرة مركزها عند (h، k) ونصف قطرها r. النقطة الموجودة على الدائرة تسمى x، y. الصيغة هي الأقواس المفتوحة x ناقص h الأقواس المغلقة المربعة بالإضافة إلى الأقواس المفتوحة y ناقص k الأقواس المغلقة يساوي r المربعة بالإضافة إلى الأقواس المفتوحة y ناقص k الأقواس المربعة تساوي r مربعة.
    الشكل 11.1.41
    • الصورة العامة لمعادلة الدائرة: الشكل العام لمعادلة الدائرة هو

      \(x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0\)

    مسرد المصطلحات

    دائرة
    الدائرة هي جميع النقاط في المستوى الذي يبعد مسافة ثابتة عن نقطة ثابتة في المستوى.