11.2: صيغ ودوائر المسافة ونقطة المنتصف
- Page ID
- 201797
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- استخدم صيغة المسافة
- استخدم صيغة نقطة الوسط
- اكتب معادلة الدائرة في الصورة القياسية
- رسم بياني لدائرة
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- أوجد طول وتر المثلث القائم الزاوية الذي تكون\(12\) أرجله ٤\(16\) بوصات.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 2.34. - عامل:\(x^{2}-18 x+81\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.24. - حل عن طريق إكمال المربع:\(x^{2}-12 x-12=0\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 9.22.
في هذا الفصل سنلقي نظرة على المقاطع المخروطية، التي تسمى عادة الأقماع المخروطية، وخصائصها. المخروطات هي منحنيات تنتج عن مستوى يتقاطع مع مخروط مزدوج - مخروطان يوضعان من نقطة إلى نقطة. كل نصف مخروط مزدوج يسمى القيلولة.
هناك أربعة رموز مخروطية - الدائرة، والقطع المكافئ، والقطع الناقص، والهايبربولا. يوضح الشكل التالي كيف ينتج المستوى الذي يتقاطع مع المخروط المزدوج في كل منحنى.
يحتوي كل منحنى على العديد من التطبيقات التي تؤثر على حياتك اليومية، من هاتفك الخلوي إلى الصوتيات وأنظمة الملاحة. في هذا القسم سنلقي نظرة على خصائص الدائرة.
استخدم صيغة المسافة
لقد استخدمنا نظرية فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلث القائم. هنا سنستخدم هذه النظرية مرة أخرى لإيجاد المسافات في نظام الإحداثيات المستطيلة. من خلال إيجاد المسافة في نظام الإحداثيات المستطيل، يمكننا الربط بين هندسة المخروط والجبر - مما يفتح عالمًا من الفرص للتطبيق.
خطوتنا الأولى هي تطوير صيغة لإيجاد المسافات بين النقاط في نظام الإحداثيات المستطيلة. سنرسم النقاط وننشئ مثلثًا قائمًا تمامًا كما فعلنا عندما وجدنا المنحدر في الرسوم البيانية والوظائف. ثم نخطو خطوة أخرى إلى الأمام ونستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول وتر المثلث - وهو المسافة بين النقاط.
استخدم نظام الإحداثيات المستطيل لإيجاد المسافة بين النقاط\((6,4)\) و\((2,1)\).
الحل
ارسم النقطتين. قم بتوصيل النقطتين بخط. ارسم مثلثًا قائمًا كما لو كنت ستعثر على منحدر. |
![]() |
أوجد طول كل ساق. |
![]() |
استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد\(d\) المسافة بين النقطتين. | \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) |
استبدل القيم. | \(3^{2}+4^{2}=d^{2}\) |
قم بالتبسيط. | \(9+16=d^{2}\) |
\(25=d^{2}\) | |
استخدم خاصية الجذر التربيعي. | \(d=5\quad\cancel{d=-5}\) |
بما أن المسافة إيجابية، يمكننا القضاء عليها\(d=-5\).\(d\) | المسافة بين النقاط\((6,4)\) و\((2,1)\) هي\(5\). |
استخدم نظام الإحداثيات المستطيل لإيجاد المسافة بين النقاط\((6,1)\) و\((2,-2)\).
- إجابة
-
\(d=5\)
استخدم نظام الإحداثيات المستطيل لإيجاد المسافة بين النقاط\((5,3)\) و\((-3,-3)\).
- إجابة
-
\(d=10\)

تقودنا الطريقة التي استخدمناها في المثال الأخير إلى الصيغة للعثور على المسافة بين النقطتين\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) و\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\).
عندما وجدنا طول الساق الأفقية، طرحنا\(6−2\) أيهما هو\(x_{2}-x_{1}\).
عندما وجدنا طول الساق الرأسية، طرحنا\(4−1\) أيهما هو\(y_{2}-y_{1}\).
إذا كان المثلث في موضع مختلف، فقد نكون قد طرحنا\(x_{1}-x_{2}\) أو\(y_{1}-y_{2}\). \(x_{1}-x_{2}\)تختلف التعبيرات\(x_{2}-x_{1}\) فقط في علامة الرقم الناتج. للحصول على القيمة الإيجابية - نظرًا لأن المسافة إيجابية - يمكننا استخدام القيمة المطلقة. لذلك للتعميم سنقول\(\left|x_{2}-x_{1}\right|\) و\(\left|y_{2}-y_{1}\right|\).
في نظرية فيثاغورس، نستبدل التعبيرات\(\left|x_{2}-x_{1}\right|\) العامة\(\left|y_{2}-y_{1}\right|\) بدلاً من الأرقام.
\(\begin{array}{l c}{} & {a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {\text {Substitute in the values. }}&{(|x_{2}-x_{1}|)^{2}+(|y_{2}-y_{1}|)^{2}=d^{2}} \\ {\text{Squaring the expressions makes}}&{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}} \\ \text{them positive, so we eliminate} \\\text{the absolute value bars.}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{d=\pm\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\ {\text{Distance is positive, so eliminate}}&{d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\\text{the negative value.}\end{array}\)
هذه هي صيغة المسافة التي نستخدمها لإيجاد المسافة\(d\) بين النقطتين\((x_{1},y_{1})\) و\((x_{2}, y_{2})\).
صيغة المسافة
المسافة\(d\) بين النقطتين\((x_{1},y_{1})\) و\((x_{2}, y_{2})\)
\(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((-5,-3)\) و\((7,2)\).
الحل:
اكتب صيغة المسافة.
\(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
قم بتسمية النقاط\(\left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)\) واستبدالها.\(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-3}\end{array}\right)\)
\(d=\sqrt{(7-(-5))^{2}+(2-(-3))^{2}}\)
قم بالتبسيط.
\(d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}\)
\(d=\sqrt{144+25}\)
\(d=\sqrt{169}\)
\(d=13\)
الإجابة:
\(d=13\)
استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((-4,-5)\) و\((5,7)\).
- إجابة
-
\(d=15\)
استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((-2,-5)\) و\((-14,-10)\).
- إجابة
-
\(d=13\)
استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((10,−4)\) و\((−1,5)\). اكتب الإجابة في صورة دقيقة، ثم أوجد التقريب العشري، مع تقريبه لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.
الحل:
اكتب صيغة المسافة.
\(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
قم بتسمية النقاط\(\left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-1,5}\end{array}\right)\) واستبدالها.\(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {10,-4}\end{array}\right)\)
\(d=\sqrt{(-1-10)^{2}+(5-(-4))^{2}}\)
قم بالتبسيط.
\(d=\sqrt{(-11)^{2}+9^{2}}\)
\(d=\sqrt{121+81}\)
\(d=\sqrt{202}\)
نظرًا لأنه\(202\) ليس مربعًا مثاليًا، يمكننا ترك الإجابة بالشكل الدقيق أو إيجاد تقريب عشري.
\(d=\sqrt{202}\)
أو
\(d \approx 14.2\)
استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((−4,−5)\) و\((3,4)\). اكتب الإجابة في صورة دقيقة، ثم أوجد التقريب العشري، مع تقريبه لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.
- إجابة
-
\(d=\sqrt{130}, d \approx 11.4\)
استخدم صيغة المسافة للعثور على المسافة بين النقاط\((−2,−5)\) و\((−3,−4)\). اكتب الإجابة في صورة دقيقة، ثم أوجد التقريب العشري، مع تقريبه لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.
- إجابة
-
\(d=\sqrt{2}, d \approx 1.4\)
استخدم صيغة نقطة الوسط
غالبًا ما يكون من المفيد أن تكون قادرًا على العثور على نقطة الوسط في المقطع. على سبيل المثال، إذا كانت لديك نقاط النهاية لقطر الدائرة، فقد ترغب في العثور على مركز الدائرة الذي يمثل نقطة منتصف القطر. للعثور على نقطة الوسط لمقطع الخط، نجد متوسط\(x\) الإحداثيات -ومتوسط\(y\) إحداثيات -لنقاط النهاية.
صيغة ميدل بوينت
نقطة الوسط في مقطع الخط الذي تكون نقاط نهايته هي النقطتان\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\)\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) وهي
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
للعثور على نقطة الوسط لمقطع الخط، نجد متوسط\(x\) الإحداثيات -ومتوسط\(y\) إحداثيات -لنقاط النهاية.
استخدم صيغة نقطة المنتصف للعثور على نقطة الوسط لمقاطع الخط التي تكون نقاط نهايتها هي\((−5,−4)\) و\((7,2)\). ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط على نظام إحداثيات مستطيل.
الحل:
اكتب صيغة المنتصف. | \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) |
قم بتسمية النقاط\(\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)\) واستبدالها. | \(\left(\frac{-5+7}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\) |
قم بالتبسيط. | \(\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right)\) |
\((1,-1)\) نقطة الوسط في المقطع هي النقطة \((1,-1)\). |
|
ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط. |
![]() |
استخدم صيغة نقطة المنتصف للعثور على نقطة الوسط لمقاطع الخط التي تكون نقاط نهايتها هي\((−3,−5)\) و\((5,7)\). ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط على نظام إحداثيات مستطيل.
- إجابة
-
الشكل 11.1.7
استخدم صيغة نقطة المنتصف للعثور على نقطة الوسط لمقاطع الخط التي تكون نقاط نهايتها هي\((−2,−5)\) و\((6,−1)\). ارسم نقاط النهاية ونقطة الوسط على نظام إحداثيات مستطيل.
- إجابة
-
الشكل 11.1.8
تعتمد كل من صيغة المسافة وصيغة نقطة الوسط على نقطتين,\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) و\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\). من السهل الخلط بين الصيغة التي تتطلب الجمع وأي طرح للإحداثيات. إذا تذكرنا من أين تأتي الصيغ، فقد يكون من الأسهل تذكر الصيغ.

اكتب معادلة الدائرة في الصورة القياسية
كما ذكرنا، هدفنا هو ربط هندسة المخروط بالجبر. باستخدام مستوى الإحداثيات، يمكننا القيام بذلك بسهولة.

نحدد الدائرة على أنها جميع النقاط في المستوى الذي يمثل مسافة ثابتة من نقطة معينة في المستوى. تسمى النقطة المعطاة \((h,k)\)بالمركز، والمسافة الثابتة تسمى نصف قطر الدائرة.\(r\)
الدائرة هي جميع النقاط في المستوى الذي يبعد مسافة ثابتة عن نقطة معينة في المستوى. تسمى النقطة المعطاة \((h,k)\)بالمركز، والمسافة الثابتة تسمى نصف قطر الدائرة.\(r\)
نحن ننظر إلى دائرة في نظام الإحداثيات المستطيلة. نصف القطر هو المسافة من المركز\((h,k)\)، إلى نقطة على الدائرة،\((x,y)\). |
![]() |
لاشتقاق معادلة الدائرة، يمكننا استخدام صيغة المسافة مع النقاط\((h,k)\) والمسافة\(r\).\((x,y)\) |
\(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) |
استبدل القيم. | \(r=\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}\) |
قم بمربع كلا الجانبين. | \(r^{2}=(x-h)^{2}+(y-k)^{2}\) |
هذا هو الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر\(r\).\((h,k)\)
الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر هو\((h,k)\)\(r\)

اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات نصف القطر\(3\) والمركز\((0,0)\).
الحل:
استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة | \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) |
استبدل القيم\(r=3, h=0\)، و\(k=0\). | \((x-0)^{2}+(y-0)^{2}=3^{2}\) |
![]() |
|
قم بالتبسيط. | \(x^{2}+y^{2}=9\) |
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(6\) ومركزها\((0,0)\).
- إجابة
-
\(x^{2}+y^{2}=36\)
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(8\) ومركزها\((0,0)\).
- إجابة
-
\(x^{2}+y^{2}=64\)
في المثال الأخير، كان المركز\((0,0)\). لاحظ ما حدث للمعادلة. عندما يكون المركز\((0,0)\)، يصبح النموذج القياسي\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\).
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات نصف القطر\(2\) والمركز\((−1,3)\).
الحل:
استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة. | \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) |
استبدل القيم. | \((x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}\) |
![]() |
|
قم بالتبسيط. | \((x+1)^{2}+(y-3)^{2}=4\) |
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(7\) ومركزها\((2,−4)\).
- إجابة
-
\((x-2)^{2}+(y+4)^{2}=49\)
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها\(9\) ومركزها\((−3,−5)\).
- إجابة
-
\((x+3)^{2}+(y+5)^{2}=81\)
في المثال التالي، لا يتم إعطاء نصف القطر. لحساب نصف القطر، نستخدم صيغة المسافة مع النقطتين المعطاة.
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات المركز\((2,4)\) التي تحتوي أيضًا على النقطة\((−2,1)\).

الحل:
نصف القطر هو المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة حتى نتمكن من استخدام صيغة المسافة لحسابها. سوف نستخدم المركز\((2,4)\) والنقطة\((−2,1)\)
استخدم صيغة المسافة للعثور على نصف القطر.
\(r=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
استبدل القيم. \(\left( \begin{array}{l}{x_{1}, y_{1}} \\ {2,4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-2,1}\end{array}\right)\)
\(r=\sqrt{(-2-2)^{2}+(1-4)^{2}}\)
قم بالتبسيط.
\(r=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(r=\sqrt{16+9}\)
\(r=\sqrt{25}\)
\(r=5\)
الآن بعد أن عرفنا\(r=5\) نصف القطر والمركز\((2,4)\)، يمكننا استخدام الشكل القياسي لمعادلة الدائرة لإيجاد المعادلة.
استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة.
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
استبدل القيم.
\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5^{2}\)
قم بالتبسيط.
\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25\)
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات المركز\((2,1)\) التي تحتوي أيضًا على النقطة\((−2,−2)\).
- إجابة
-
\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25\)
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة ذات المركز\((7,1)\) التي تحتوي أيضًا على النقطة\((−1,−5)\).
- إجابة
-
\((x-7)^{2}+(y-1)^{2}=100\)
رسم بياني لدائرة
أي معادلة في النموذج\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) هي الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر\(r\).\((h,k)\) يمكننا بعد ذلك رسم الدائرة على نظام إحداثيات مستطيل.
لاحظ أن النموذج القياسي يستدعي الطرح من\(x\) و\(y\). في المثال التالي، تحتوي المعادلة على\(x+2\)، لذا نحتاج إلى إعادة كتابة عملية الجمع في صورة طرح سالب.
ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم ارسم الدائرة بيانيًا:\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9\).
الحل:
![]() |
|
استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة. حدد المركز\((h,k)\) ونصف القطر\(r\). |
![]() |
المركز:\((-2,1)\) دائرة نصف قطرها:\(3\) | |
رسم الدائرة بيانيًا. | ![]() |
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4\).
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((3,-4)\) بنصف قطر يساوي\(2\).
الشكل 11.1.19
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\((x-3)^{2}+(y-1)^{2}=16\).
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((3,1)\) بنصف قطر يساوي\(4\).
الشكل 11.1.20
للعثور على المركز ونصف القطر، يجب أن نكتب المعادلة في الشكل القياسي. في المثال التالي، يجب أن نحصل أولاً\(x^{2}, y^{2}\) على معامل واحد.
ابحث عن المركز ونصف القطر ثم ارسم الدائرة بيانيًا,\(4 x^{2}+4 y^{2}=64\).
الحل:
![]() |
|
قسّم كل جانب على\(4\). | ![]() |
استخدم الشكل القياسي لمعادلة الدائرة. حدد المركز\((h,k)\) ونصف القطر\(r\). |
![]() |
المركز:\((0,0)\) دائرة نصف قطرها:\(4\) | |
رسم الدائرة بيانيًا. | ![]() |
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(3 x^{2}+3 y^{2}=27\)
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((0,0)\) بنصف قطر يساوي\(3\).
الشكل 11.1.25
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(5 x^{2}+5 y^{2}=125\)
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((0,0)\) بنصف قطر يساوي\(5\).
الشكل 11.1.26
إذا قمنا بتوسيع المعادلة من المثال 11.1.8\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9\)، فإن معادلة الدائرة تبدو مختلفة جدًا.
\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9\)
قم بتربيع الحدود ذات الحدين.
\(x^{2}+4 x+4+y^{2}-2 y+1=9\)
رتب المصطلحات بترتيب تنازلي، واحصل على صفر على اليمين
\(x^{2}+y^{2}+4 x-2 y-4=0\)
هذا الشكل من المعادلة يسمى الشكل العام لمعادلة الدائرة.
الشكل العام لمعادلة الدائرة هو
\(x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0\)
إذا حصلنا على معادلة في الصورة العامة، يمكننا تغييرها إلى الشكل القياسي من خلال إكمال المربعين في كل من\(x\) و\(y\). ثم يمكننا رسم الدائرة بيانيًا باستخدام مركزها ونصف قطرها.
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+4=0\)
الحل:
نحتاج إلى إعادة كتابة هذا النموذج العام في شكل قياسي من أجل العثور على المركز ونصف القطر.
![]() |
|
قم\(x\) بتجميع الشروط\(y\) والأحكام. اجمع الثوابت على الجانب الأيمن. |
![]() |
أكمل المربعات. |
![]() |
أعد الكتابة كمربعات ذات حدين. |
![]() |
حدد المركز ونصف القطر. | المركز:\((2,3)\) دائرة نصف قطرها:\(3\) |
رسم الدائرة بيانيًا. |
![]() |
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+9=0\).
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((3,4)\) بنصف قطر يساوي\(4\).
الشكل 11.1.32
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}+6 x-2 y+1=0\)
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((-3,1)\) بنصف قطر يساوي\(3\).
الشكل 11.1.33
في المثال التالي، هناك\(y\) مصطلح -term و\(y^{2}\) -term. لكن لاحظ أنه لا يوجد\(x\) مصطلح -مصطلح، فقط\(x^{2}\) مصطلح -مصطلح. لقد رأينا هذا من قبل ونعرف\(h\) أنه يعني ذلك\(0\). سنحتاج إلى إكمال مربع\(y\) الشروط، ولكن ليس\(x\) للشروط.
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}+8 y=0\)
الحل:
نحتاج إلى إعادة كتابة هذا النموذج العام في شكل قياسي من أجل العثور على المركز ونصف القطر.
![]() |
|
قم\(x\) بتجميع الشروط\(y\) والأحكام. | ![]() |
لا توجد ثوابت لجمعها على الجانب الأيمن. | |
أكمل المربع لـ\(y^{2}+8y\). | ![]() |
أعد الكتابة كمربعات ذات حدين. | ![]() |
حدد المركز ونصف القطر. | المركز:\((0,-4)\) دائرة نصف قطرها:\(4\) |
رسم الدائرة بيانيًا. | ![]() |
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-2 x-3=0\).
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((-1,0)\) بنصف قطر يساوي\(2\).
الشكل 11.1.39
- ابحث عن المركز ونصف القطر، ثم
- رسم بياني للدائرة:\(x^{2}+y^{2}-12 y+11=0\).
- إجابة
-
- تتمركز الدائرة\((0,6)\) بنصف قطر يساوي\(5\).
الشكل 11.1.40
يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية باستخدام معادلتي المسافة ونقطة الوسط، ورسم الدوائر.
- صيغ ودوائر المسافة ونقطة المنتصف
- إيجاد المسافة ونقطة المنتصف بين نقطتين
- إكمال المربع لكتابة المعادلة في الصورة القياسية للدائرة
المفاهيم الرئيسية
- صيغة المسافة: المسافة\(d\) بين النقطتين\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) و\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) هي
\(d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
- صيغة نقطة المنتصف: نقطة الوسط لمقطع الخط الذي تكون نقاط نهايته هي النقطتان\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\)\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) وهي
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
للعثور على نقطة الوسط لمقطع الخط، نجد متوسط\(x\) الإحداثيات -ومتوسط\(y\) إحداثيات -لنقاط النهاية. - الدائرة: الدائرة هي جميع النقاط في المستوى الذي يمثل مسافة ثابتة من نقطة ثابتة في المستوى. تسمى النقطة المعطاة \((h,k)\)بالمركز، والمسافة الثابتة تسمى نصف قطر الدائرة.\(r\)
- الشكل القياسي لمعادلة الدائرة: الشكل القياسي لمعادلة الدائرة ذات المركز ونصف القطر هو\((h,k)\)\(r\)

- الصورة العامة لمعادلة الدائرة: الشكل العام لمعادلة الدائرة هو
\(x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0\)
مسرد المصطلحات
- دائرة
- الدائرة هي جميع النقاط في المستوى الذي يبعد مسافة ثابتة عن نقطة ثابتة في المستوى.