Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

6.4: منتجات خاصة بالمصنع

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • قوالب ثلاثية مربعة مثالية
  • فروق عوامل المربعات
  • مجاميع العوامل واختلافات المكعبات

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

  1. قم بالتبسيط:(3x2)3.
  2. اضرب:(m+4)2.
  3. اضرب:(x3)(x+3).

لقد رأينا أن بعض المقادير ذات الحدين والثلاثية تنتج عن منتجات خاصة - تربيع الحدين ومضاعفة المترافقات. إذا تعلمت التعرف على هذه الأنواع من كثيرات الحدود، يمكنك استخدام أنماط المنتجات الخاصة لتحليلها بسرعة أكبر.

قصص ثلاثية مربعة من فاكتور بيرفكت

بعض التثليث عبارة عن مربعات مثالية. وهي تنتج عن ضرب حاصل ضرب ذات حدين في حد ذاته. قمنا بتربيع معادلة ذات حدين باستخدام نمط المربعات ذات الحدين في الفصل السابق.

في الأقواس المفتوحة 3x زائد 4 أقواس قريبة مربعة، 3x هي a و 4 هي b. كتابتها كمربع زائد 2ab زائد b مربع، نحصل على أقواس مفتوحة 3x أقواس قريبة مربعة بالإضافة إلى 2 مرات 3x x x 4 زائد 4 مربعة. هذا يساوي 9 × مربع زائد 24 × زائد 16.

9x2+24x+16يُطلق على المثلث اسم المربع الثلاثي المثالي. إنه مربع المعادلة ذات الحدين3x+4.

في هذا الفصل، سوف تبدأ بثلاثية مربعة مثالية وتضعها في الاعتبار العوامل الرئيسية. يمكنك حساب هذا الثلاثي باستخدام الطرق الموضحة في القسم الأخير، نظرًا لأنه من النموذجax2+bx+c. ولكن إذا أدركت أن الحدين الأول والأخير عبارة عن مربعات وأن الثلاثية تناسب نمط التثليث المربع المثالي، فستوفر على نفسك الكثير من العمل. هذا هو النمط - عكس نمط المربعات ذات الحدين.

نمط ثلاثي الحدود المربع المثالي

إذا كانتab الأرقام حقيقية

a2+2ab+b2=(a+b)2

a22ab+b2=(ab)2

للاستفادة من هذا النمط، عليك أن تدرك أن ثلاثية معينة تناسبه. تحقق أولاً لمعرفة ما إذا كان المعامل الرئيسي مربعًا مثاليًا أم لاa2. تحقق بعد ذلك من أن المصطلح الأخير هو مربع مثالي,b2. ثم تحقق من المدى المتوسط - هل هو المنتج،2ab؟ إذا تم التحقق من كل شيء، يمكنك بسهولة كتابة العوامل.

مثال6.4.1: How to Factor Perfect Square Trinomials

عامل:9x2+12x+4.

إجابة

الخطوة 1 هي التحقق مما إذا كان الثلاثي يناسب نمط ثلاثي الحدود المربع المثالي، وهو مربع زائد 2ab زائد b مربع. لهذا نتحقق مما إذا كان المصطلح الأول مربعًا مثاليًا. 9 × مربع هو مربع 3x. بعد ذلك نتحقق مما إذا كان المصطلح الأخير مربعًا مثاليًا. 4 هو مربع 2. بعد ذلك نتحقق مما إذا كان المدى المتوسط هو 2ab. 12 x هو مرتين 3x مرات 2. ومن ثم لدينا مثلث مربع مثالي.الخطوة 2 هي كتابة هذا في صورة مربع مكون من حدين. نكتبها كأقواس مفتوحة 3x بالإضافة إلى 2 أقواس قريبة مربعة.الخطوة 3 هي التحقق عن طريق الضرب.

مثال6.4.2

عامل:4x2+12x+9.

إجابة

(2x+3)2

مثال6.4.3

عامل:9y2+24y+16.

إجابة

(3y+4)2

تحدد علامة المدى المتوسط النمط الذي سنستخدمه. عندما يكون المدى المتوسط سلبيًا، فإننا نستخدم النمطa22ab+b2 الذي يؤثر على ذلك(ab)2.

يتم تلخيص الخطوات هنا.

قوالب فاكتور بيرفكت مربعة ثلاثية الحدود

Step 1.Does the trinomial fit the pattern?a2+2ab+b2a22ab+b2Are the first and last terms perfect squares?Write them as squares.(a)2(b)2(a)2(b)2Check the middle term. Is it 2ab?2·a·b2·a·bStep 2.Write the square of the binomial.(a+b)2(ab)2Step 3.Check by multiplying.

سنعمل الآن على واحدة حيث يكون المدى المتوسط سلبيًا.

مثال6.4.4

عامل:81y272y+16.

إجابة

المصطلحان الأول والأخير هما مربعات. تحقق مما إذا كان الحد الأوسط يناسب نمط المربع الثلاثي المثالي. الحد الأوسط سالب، لذلك سيكون المربع ذو الحدين(ab)2.

  81y272y+16
هل المصطلحان الأول والأخير مربعات مثالية؟ .
تحقق من المدى المتوسط. .
هل تتطابق(ab)2؟ نعم. .
اكتب كمربع للرقم ذي الحدين. (9y4)2
تحقق عن طريق الضرب:

(9y4)2(9y)22·9y·4+4281y272y+16
 
مثال6.4.5

عامل:64y280y+25.

إجابة

(8y5)2

مثال6.4.6

عامل:16z272z+81.

إجابة

(4z9)2

سيكون المثال التالي عبارة عن مثلث مربع مثالي مع متغيرين.

مثال6.4.7

عامل:36x2+84xy+49y2.

إجابة
  36x2+84xy+49y2
اختبر كل مصطلح للتحقق من النمط. .
عامل. (6x+7y)2
تحقق عن طريق الضرب.

(6x+7y)2(6x)2+2·6x·7y+(7y)236x2+84xy+49y2
 
مثال6.4.8

عامل:49x2+84xy+36y2.

إجابة

(7x+6y)2

مثال6.4.9

عامل:64m2+112mn+49n2.

إجابة

(8m+7n)2

تذكر أن الخطوة الأولى في التخصيم هي البحث عن أكبر عامل مشترك. قد تحتوي الأشكال الثلاثية المربعة المثالية على GCF في جميع المصطلحات الثلاثة ويجب أخذها في الاعتبار أولاً. وفي بعض الأحيان، بمجرد أخذ GCF في الاعتبار، ستتعرف على المربع الثلاثي المثالي.

مثال6.4.10

عامل:100x2y80xy+16y.

إجابة
  100x2y80xy+16y
هل هناك GCF؟ نعم4y، لذا ضع في اعتبارك ذلك. 4y(25x220x+4)
هل هذه ثلاثية مربعة مثالية؟  
تحقق من النمط. .
عامل. 4y(5x2)2
تذكر: احتفظ بعامل 4 y في المنتج النهائي.  

تحقق من:

4y(5x2)24y[(5x)22·5x·2+22]

4y(25x220x+4)100x2y−80xy+16y\ علامة الاختيار\]

 
مثال6.4.11

عامل:8x2y24xy+18y.

إجابة

2y(2x3)2

مثال6.4.12

عامل:27p2q+90pq+75q.

إجابة

3q(3p+5)2

فروق عوامل المربعات

كان المنتج الخاص الآخر الذي رأيته في الفصل السابق هو نمط منتج الاقتران. لقد استخدمت هذا لضرب اثنين من الحدين المترافقين. في ما يلي مثال:

لدينا أقواس مفتوحة 3x ناقص 4 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة 3x زائد 4. هذا في شكل أ ناقص ب، أ زائد ب. نعيد الكتابة كأقواس مفتوحة 3x أقواس قريبة مربعة ناقص 4 مربعة. هنا، 3x هو a و 4 هو b، وهذا يساوي 9 × مربع ناقص 16.

اختلاف عوامل المربعات لمنتج المترافقات.

اختلاف نمط المربعات

إذا كانتab الأرقام حقيقية،

ناقص مربع ب مربع يساوي ناقص ب، أ زائد ب، وهنا، يمثل مربع ناقص ب مربع فرق المربعات، أما السالب ب، زائد ب، فهو عبارة عن مرافقات.

تذكر أن «الفرق» يشير إلى الطرح. لذلك، لاستخدام هذا النمط، يجب عليك التأكد من وجود حدين يتم فيه طرح مربعين.

مثال6.4.13: How to Factor a Trinomial Using the Difference of Squares

عامل:64y21.

إجابة

الخطوة 1 هي التحقق مما إذا كان الحد ذي الحدين 64 y مربعًا ناقص 1 يناسب النمط. لذلك نتحقق مما يلي: هل هذا فرق؟ نعم. هل المصطلحان الأول والأخير مربعات مثالية؟ نعم.
الخطوة 2 هي كتابة كلا الحدين كمربعات، لذلك، لدينا أقواس مفتوحة 8y أقواس قريبة مربعة ناقص 1 مربعة.
الخطوة 3 هي كتابة حاصل ضرب المترافقات 8y ناقص 1، 8y زائد 1.
الخطوة 4 هي التحقق. نضرب للحصول على المعادلة الأصلية ذات الحدين

مثال6.4.14

عامل:121m21.

إجابة

(11m1)(11m+1)

مثال6.4.15

عامل:81y21.

إجابة

(9y1)(9y+1)

اختلافات عوامل المربعات.

Step 1.Does the binomial fit the pattern?a2b2Is this a difference?____−____Are the first and last terms perfect squares?Step 2.Write them as squares.(a)2(b)2Step 3.Write the product of conjugates.(ab)(a+b)Step 4.Check by multiplying.

من المهم أن تتذكر أن مجاميع المربعات لا تدخل في ناتج المعادلات ذات الحدين. لا توجد عوامل ذات حدين تتضاعف معًا للحصول على مجموع المربعات. بعد إزالة أي GCF،a2+b2 يكون التعبير أوليًا!

يوضح المثال التالي المتغيرات في كلا المصطلحين.

مثال6.4.16

عامل:144x249y2.

إجابة

144x249y2Is this a difference of squares? Yes.(12x)2(7y)2Factor as the product of conjugates.(12x7y)(12x+7y)Check by multiplying.(12x7y)(12x+7y)Check by multiplying.(12x7y)(12x+7y)144x249y2

مثال6.4.17

عامل:196m225n2.

إجابة

(14m5n)(14m+5n)

مثال6.4.18

عامل:121p29q2.

إجابة

(11p3q)(11p+3q)

كما هو الحال دائمًا، يجب أن تبحث عن عامل مشترك أولاً عندما يكون لديك تعبير أو عامل. في بعض الأحيان قد «يخفي» عامل مشترك فرق المربعات ولن تتعرف على المربعات المثالية حتى تقوم بحساب GCF.

أيضًا، لتحليل المعادلة ذات الحدين بالكامل في المثال التالي، سنقوم بحساب فرق المربعات مرتين!

مثال6.4.19

عامل:48x4y2243y2.

إجابة

48x4y2243y2Is there a GCF? Yes, 3y2—factor it out!3y2(16x481)Is the binomial a difference of squares? Yes.3y2((4x2)2(9)2)Factor as a product of conjugates.3y2(4x29)(4x2+9)Notice the first binomial is also a difference of squares!3y2((2x)2(3)2)(4x2+9)Factor it as the product of conjugates.3y2(2x3)(2x+3)(4x2+9)

لا يمكن حساب العامل الأخير، وهو مجموع المربعات.

Check by multiplying:3y2(2x3)(2x+3)(4x2+9)3y2(4x29)(4x2+9)3y2(16x481)48x4y2243y2

مثال6.4.20

عامل:2x4y232y2.

إجابة

2y2(x2)(x+2)(x2+4)

مثال6.4.21

عامل:7a4c27b4c2.

إجابة

7c2(ab)(a+b)(a2+b2)

يحتوي المثال التالي على كثير الحدود بـ 4 مصطلحات. حتى الآن، عندما حدث ذلك، قمنا بتجميع المصطلحات في قسمين وتم أخذها في الاعتبار من هناك. سنلاحظ هنا أن المصطلحات الثلاثة الأولى تشكل مربعًا ثلاثيًا مثاليًا.

مثال6.4.22

عامل:x26x+9y2.

إجابة

لاحظ أن المصطلحات الثلاثة الأولى تشكل مربعًا ثلاثيًا مثاليًا.

  x26x+9y2
عامل من خلال تجميع المصطلحات الثلاثة الأولى. x26x+9y2
استخدم النمط الثلاثي المربع المثالي. (x3)2y2
هل هذا فرق بين المربعات؟ نعم.  
نعم - اكتبها كمربعات. .
عامل كمنتج للمقارنات. .
  (x3y)(x3+y)

قد ترغب في إعادة كتابة الحل كـ(xy3)(x+y3).

مثال6.4.23

عامل:x210x+25y2.

إجابة

(x5y)(x5+y)

مثال6.4.24

عامل:x2+6x+94y2.

إجابة

(x+32y)(x+3+2y)

مجاميع عوامل المكعبات والاختلافات بينها

هناك نمط خاص آخر للخصم، وهو النمط الذي لم نستخدمه عند ضرب كثيرات الحدود. هذا هو النمط لمجموع المكعبات والفرق بينها. سنكتب هذه الصيغ أولاً ثم نتحقق منها بالضرب.

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

سوف نتحقق من النمط الأول ونترك الثاني لك.

  (a+b)(a2ab+b2)
قم بالتوزيع. a(a2ab+b2)+b(a2ab+b2)
اضرب. a3a2b+ab2+a2bab2+b3
اجمع بين المصطلحات المتشابهة. a3+b3
نموذج مجموع المكعبات والفرق بينهما

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

يبدو النمطان متشابهين جدًا، أليس كذلك؟ لكن لاحظ العلامات في العوامل. تتطابق علامة العامل ذي الحدين مع العلامة الموجودة في المعادلة الأصلية ذات الحدين. وعلامة الحد الأوسط للعامل الثلاثي هي عكس العلامة في المعادلة الأصلية ذات الحدين. إذا تعرفت على نمط العلامات، فقد يساعدك ذلك على حفظ الأنماط.

a cubed plus b cubed هو أقواس مفتوحة أ زائد ب أقواس قريبة أقواس مفتوحة علامة تبويب ناقص مربعة بالإضافة إلى ب أقواس إغلاق مربعة. علامة الطرح المكعبة ب المكعبة هي الأقواس المفتوحة ناقص الأقواس المفتوحة الأقواس المفتوحة والأقواس المفتوحة علامة التبويب زائد علامة التبويب بالإضافة إلى ب أقواس إغلاق مربعة. في كلتا الحالتين، تكون علامة الحد الأول على الجانب الأيمن من المعادلة هي نفس العلامة الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة وعلامة الحد الثاني هي عكس العلامة على الجانب الأيسر.

لا يمكن حساب العامل الثلاثي في مجموع وفرق نمط المكعبات.

سيكون من المفيد جدًا أن تتعلم التعرف على مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10، تمامًا كما تعلمت التعرف على المربعات. لقد قمنا بإدراج مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 في الجدول.

ن 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
مثال6.4.25: How to Factor the Sum or Difference of Cubes

عامل:x3+64.

إجابة

الخطوة 1 هي التحقق مما إذا كان الحد ذي الحدين يناسب مجموع أو فرق نمط المكعبات. لهذا، نتحقق مما إذا كان المجموع أم الفرق. x cubed plus 64 هو مجموع. بعد ذلك نتحقق مما إذا كان المصطلحان الأول والأخير عبارة عن مكعبات مثالية. إنهمالخطوة 2 هي إعادة الكتابة كمكعبات. لذلك نعيد الكتابة على هيئة x مكعبة زائد 4 مكعبة.الخطوة 3 هي استخدام مجموع أو فرق نمط المكعبات. نظرًا لأن هذا هو مجموع المكعبات، نحصل على أقواس مفتوحة x بالإضافة إلى 4 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة x مربعة ناقص 4x زائد 4 مربعة.الخطوة 4 هي التبسيط داخل الأقواس. تم تبسيطه بالفعلالخطوة 5 هي التحقق من خلال ضرب العوامل.

مثال6.4.26

عامل:x3+27.

إجابة

(x+3)(x23x+9)

مثال6.4.27

عامل:y3+8.

إجابة

(y+2)(y22y+4)

ضع في اعتبارك مجموع المكعبات أو الفرق بينها.
  1. هل يتناسب الحد ذي الحدين مع مجموع أو فرق نمط المكعبات؟
    هل هو مبلغ أم فرق؟
    هل المصطلحات الأولى والأخيرة مكعبات مثالية؟
  2. اكتبها على هيئة مكعبات.
  3. استخدم إما مجموع أو فرق نمط المكعبات.
  4. قم بالتبسيط داخل الأقواس.
  5. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
مثال6.4.28

عامل:27u3125v3.

إجابة
  27u3125v3
هذا الحد ذو الحدين هو الفرق. المصطلحان الأول والأخير
عبارة عن مكعبات مثالية.
 
اكتب المصطلحات في صورة مكعبات. .
استخدم الفرق بين نمط المكعبات. .
قم بالتبسيط. .
تحقق عن طريق الضرب. سنترك الشيك لك.
مثال6.4.29

عامل:8x327y3.

إجابة

(2x3y)(4x2+6xy+9y2)

مثال6.4.30

عامل:1000m3125n3.

إجابة

(10m5n)(100m2+50mn+25n2)

في المثال التالي، نقوم أولاً بتحليل GCF. ثم يمكننا التعرف على مجموع المكعبات.

مثال6.4.31

عامل:6x3y+48y4.

إجابة
  6x3y+48y4
عامل العامل المشترك. 6y(x3+8y3)
هذه المعادلة ذات الحدين عبارة عن مجموع. الحدان الأول والأخير
عبارة عن مكعبات مثالية.
 
اكتب المصطلحات في صورة مكعبات. .
استخدم نمط مجموع المكعبات. .
قم بالتبسيط. .

تحقق من:

وللتحقق من ذلك، قد تجد أنه من الأسهل ضرب مجموع عوامل المكعبات أولاً، ثم ضرب هذا المنتج في 6y.6y. سنترك عملية الضرب لك.

مثال6.4.32

عامل:500p3+4q3.

إجابة

4(5p+q)(25p25pq+q2)

مثال6.4.33

عامل:432c3+686d3.

إجابة

2(6c+7d)(36c242cd+49d2)

المصطلح الأول في المثال التالي هو مكعب ذو حدين.

مثال6.4.34

عامل:(x+5)364x3.

إجابة
  (x+5)364x3
هذا الحد ذو الحدين هو الفرق. المصطلحان الأول
والأخير عبارة عن مكعبات مثالية.
 
اكتب المصطلحات في صورة مكعبات. .
استخدم الفرق بين نمط المكعبات. .
قم بالتبسيط. (x+54x)(x2+10x+25+4x2+20x+16x2)
  (3x+5)(21x2+30x+25)
تحقق عن طريق الضرب. سنترك الشيك لك.
مثال6.4.35

عامل:(y+1)327y3.

إجابة

(2y+1)(13y2+5y+1)

مثال6.4.36

عامل:(n+3)3125n3.

إجابة

(4n+3)(31n2+21n+9)

يمكنك الوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع تصميم المنتجات الخاصة.

المفاهيم الرئيسية

  • نمط ثلاثي الحدود المربع المثالي: إذا كان a و b أرقامًا حقيقية،

    a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)2

  • كيفية حساب التثليث المربع المثالي.
    Step 1.Does the trinomial fit the pattern?a2+2ab+b2a22ab+b2Are the first and last terms perfect squares?Write them as squares.(a)2(b)2(a)2(b)2Check the middle term. Is it 2ab?2·a·b2·a·bStep 2.Write the square of the binomial.(a+b)2(ab)2Step 3.Check by multiplying.
  • فرق نمط المربعات: إذا كانت a و ba و b عبارة عن أرقام حقيقية،
    مربع ناقص ب مربع هو ناقص ب مربع هو ناقص ب، أ زائد ب، وهنا، يمثل مربع ناقص ب مربع الفرق بين المربعات، وناقص ب، زائد ب هما مترافقات.
  • كيفية حساب الاختلافات في المربعات.
    Step 1.Does the binomial fit the pattern?a2b2Is this a difference?____−____Are the first and last terms perfect squares?Step 2.Write them as squares.(a)2(b)2Step 3.Write the product of conjugates.(ab)(a+b)Step 4.Check by multiplying.
  • نموذج مجموع المكعبات والفرق بينها
    a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
  • كيفية حساب مجموع المكعبات أو الفرق بينها.
    1. هل يتناسب الحد ذي الحدين مع مجموع أو فرق نمط المكعبات؟
      هل هو مبلغ أم فرق؟
      هل المصطلحات الأولى والأخيرة مكعبات مثالية؟
    2. اكتبها على هيئة مكعبات.
    3. استخدم إما مجموع أو فرق نمط المكعبات.
    4. قم بالتبسيط داخل الأقواس
    5. تحقق من ذلك بضرب العوامل.