Skip to main content
Library homepage
 
Global

6.2: العامل المشترك الأكبر والعامل حسب التجميع

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • أوجد العامل المشترك الأكبر لتعبيرين أو أكثر
  • عامل: العامل المشترك الأكبر من دالة كثيرة الحدود
  • عامل حسب التجميع
كن مستعدًا

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

  1. ضع 56 في الأعداد الأولية.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
  2. ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعددين ١٨ و٢٤.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
  3. اضرب:3a(7a+8b).
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

أوجد العامل المشترك الأكبر لتعبيرين أو أكثر

في وقت سابق قمنا بمضاعفة العوامل معًا للحصول على منتج. الآن، سنقوم بعكس هذه العملية؛ سنبدأ بمنتج ثم نقسمه إلى عوامله. يُطلق على تقسيم المنتج إلى عوامل اسم التخصيم.

8 في 7 يساوي 56. هنا 8 و 7 عوامل و 56 هو المنتج. يسمى السهم الذي يشير من 8 في 7 إلى 56 بالضرب. يُطلق على السهم الذي يشير من 56 إلى 8 مرات 7 اسم العامل. 2x أقواس مفتوحة x بالإضافة إلى 3 أقواس قريبة تساوي 2x مربعة زائد 6x. هنا يتم تسمية الجانب الأيسر من المعادلة بالعوامل والجانب الأيمن يسمى المنتجات.

لقد تعلمنا كيفية حساب الأرقام للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين أو أكثر. سنقوم الآن بتحليل التعبيرات وإيجاد العامل المشترك الأكبر لتعبيرين أو أكثر. الطريقة التي نستخدمها مشابهة لما استخدمناه للعثور على LCM.

العامل المشترك الأكبر

العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيرين أو أكثر هو أكبر تعبير يمثل عاملًا لجميع التعبيرات.

نلخص الخطوات التي نستخدمها للعثور على العامل المشترك الأكبر.

أوجد العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيرين.
  1. ضع كل معامل في الأعداد الأولية. اكتب جميع المتغيرات ذات الأسس في صورة موسعة.
  2. ضع قائمة بجميع العوامل - مطابقة العوامل الشائعة في عمود. في كل عمود، ضع دائرة حول العوامل المشتركة.
  3. قلل العوامل المشتركة التي تشترك فيها جميع التعبيرات.
  4. اضرب العوامل.

سيوضح لنا المثال التالي خطوات العثور على العامل المشترك الأكبر لثلاثة تعبيرات.

مثال6.2.1

ابحث عن العامل المشترك الأكبر لـ21x3, 9x2, 15x.

إجابة
ضع كل معامل في الأعداد الأولية واكتب المتغيرات ذات الأسس في صورة موسعة. ضع دائرة حول العوامل المشتركة في كل عمود. قلل من العوامل المشتركة. .
اضرب العوامل. GCF=3x
  GCF لـ21x3,9x215x وهو3x.
مثال6.2.2

ابحث عن العامل المشترك الأكبر:25m4, 35m3, 20m2.

إجابة

5m2

مثال6.2.3

ابحث عن العامل المشترك الأكبر:14x3, 70x2, 105x.

إجابة

7x

عامل العامل المشترك الأكبر من دالة كثيرة الحدود

من المفيد أحيانًا تمثيل رقم كمنتج لعوامل، على سبيل المثال، 12 كـ2·6 أو3·4. في الجبر، قد يكون من المفيد أيضًا تمثيل متعدد الحدود في شكل عامل. سنبدأ بمنتج، مثل3x2+15x، وننتهي بعوامله،3x(x+5). للقيام بذلك، نطبق خاصية التوزيع «في الاتجاه المعاكس».

نذكر خاصية التوزيع هنا تمامًا كما رأيتها في الفصول السابقة و «بالعكس».

خاصية التوزيع

إذا كانت a و b و c أرقامًا حقيقية، إذن

a(b+c)=ab+acandab+ac=a(b+c)

يتم استخدام النموذج الموجود على اليسار للتكاثر. يتم استخدام النموذج الموجود على اليمين كعامل.

إذن كيف تستخدم خاصية التوزيع لحساب كثير الحدود؟ ما عليك سوى العثور على GCF لجميع المصطلحات وكتابة متعدد الحدود كمنتج!

مثال6.2.4: How to Use the Distributive Property to factor a polynomial

عامل:8m312m2n+20mn2.

إجابة

الخطوة الأولى هي إيجاد GCF لجميع المصطلحات في كثير الحدود. يبلغ إجمالي مساحة الأرض 8 مم مكعب، و12 مم مربع، و20 مم مربع يساوي 4 أمتار.الخطوة الأولى هي إيجاد GCF لجميع المصطلحات في كثير الحدود. يبلغ إجمالي مساحة الأرض 8 مم مكعب، و12 مم مربع، و20 مم مربع يساوي 4 أمتار.في الخطوة 3، استخدم خاصية التوزيع العكسي لتحليل التعبير كأقواس مفتوحة بحجم 4 أمتار × 2 م مربعة ناقص 3 مم زائد 5 n بين أقواس مغلقة مربعة.الخطوة 4 هي التحقق من خلال ضرب العوامل. من خلال ضرب العوامل، نحصل على متعدد الحدود الأصلي.

مثال6.2.5

عامل:9xy2+6x2y2+21y3.

إجابة

3y2(3x+2x2+7y)

مثال6.2.6

عامل:3p36p2q+9pq3.

إجابة

3p(p22pq+3q3)

عامل هو العامل المشترك الأكبر لكثيرات الحدود.
  1. ابحث عن GCF لجميع مصطلحات كثيرة الحدود.
  2. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام GCF.
  3. استخدم خاصية التوزيع «العكسية» لتحليل التعبير.
  4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
عامل كاسم وفعل

نحن نستخدم «العامل» كاسم وفعل:

Noun:7 is a factor of 14Verb:factor 3 from 3a+3

مثال6.2.7

عامل:5x325x2.

إجابة
ابحث عن GCF لـ5x3 و25x2. .
    .
    .
أعد كتابة كل مصطلح.   .
عامل عامل GCF.   .

تحقق من:

5x2(x5)

5x2·x5x2·5

5x325x2

   
مثال6.2.8

عامل:2x3+12x2.

إجابة

2x2(x+6)

مثال6.2.9

عامل:6y315y2.

إجابة

3y2(2y5)

مثال6.2.10

عامل:8x3y10x2y2+12xy3.

إجابة
GCF الخاص بـ8x3y, 10x2y2, and12xy3
هو2xy.
.
  .
  .
أعد كتابة كل مصطلح باستخدام GCF،2xy. .
عامل عامل GCF. .

تحقق من:

2xy(4x25xy+6y2)

2xy·4x22xy·5xy+2xy·6y2

8x3y10x2y2+12xy3

 
مثال6.2.11

عامل:15x3y3x2y2+6xy3.

إجابة

3xy(5x2xy+2y2)

مثال6.2.12

عامل:8a3b+2a2b26ab3.

إجابة

2ab(4a2+ab3b2)

عندما يكون المعامل الرئيسي سالبًا، نقوم بحساب السالب كجزء من GCF.

مثال6.2.13

عامل:4a3+36a28a.

إجابة

المعامل الرئيسي سلبي، وبالتالي فإن GCF سيكون سالبًا.

  .
أعد كتابة كل مصطلح باستخدام GCF،4a. .
عامل عامل GCF. .

تحقق من:

4a(a29a+2)

4a·a2(4a)·9a+(4a)·2

4a3+36a28a

 
مثال6.2.14

عامل:4b3+16b28b.

إجابة

4b(b24b+2)

مثال6.2.15

عامل:7a3+21a214a.

إجابة

7a(a23a+2)

حتى الآن كانت أكبر العوامل المشتركة لدينا هي الأحادية. في المثال التالي، العامل المشترك الأكبر هو المعادلة ذات الحدين.

مثال6.2.16

عامل:3y(y+7)4(y+7).

إجابة

إن GCF هو الحد ذي الحدينy+7.

    .
عامل GCF,(y+7).   (y+7)(3y4)
تحقق بنفسك عن طريق الضرب.    
مثال6.2.17

عامل:4m(m+3)7(m+3).

إجابة

(m+3)(4m7)

مثال6.2.18

عامل:8n(n4)+5(n4).

إجابة

(n4)(8n+5)

عامل حسب التجميع

في بعض الأحيان لا يوجد عامل مشترك لجميع مصطلحات كثيرة الحدود. عندما تكون هناك أربعة مصطلحات، نقوم بفصل متعدد الحدود إلى جزأين بحدين في كل جزء. ثم ابحث عن GCF في كل جزء. إذا كان من الممكن أخذ كثير الحدود في الاعتبار، ستجد عاملاً مشتركًا يظهر من كلا الجزأين. لا يمكن أخذ جميع كثيرات الحدود في الاعتبار. تمامًا مثل بعض الأرقام الأولية، تعتبر بعض كثيرات الحدود أولية.

مثال6.2.19: How to Factor a Polynomial by Grouping

عامل حسب التجميع:xy+3y+2x+6.

إجابة

الخطوة 1 هي تجميع المصطلحات مع العوامل المشتركة. لا يوجد عامل مشترك أكبر في جميع المصطلحات الأربعة لـ xy plus 3y plus 2x plus 6. لذلك، افصل المصطلحين الأولين عن المصطلحين الثاني.الخطوة 2 هي حساب العامل المشترك في كل مجموعة. من خلال احتساب GCF من أول فصلين دراسيين، نحصل على الأقواس المفتوحة y x بالإضافة إلى 3 أقواس قريبة بالإضافة إلى 2x زائد 6. بخصم GCF من الفصلين الثاني، نحصل على y بين الأقواس المفتوحة x بالإضافة إلى 3 أقواس مغلقة بالإضافة إلى 2 أقواس مفتوحة x بالإضافة إلى 3 أقواس مغلقة.الخطوة 3 هي تحليل العامل المشترك من التعبير. لاحظ أن كل مصطلح له عامل مشترك هو x plus 3. من خلال حساب ذلك، نحصل على أقواس مفتوحة x بالإضافة إلى 3 أقواس مغلقة أقواس مفتوحة y بالإضافة إلى 2 أقواس مغلقةالخطوة 4 هي التحقق بضرب التعبيرات للحصول على النتيجة xy plus 3y plus 2x plus 6.

مثال6.2.20

عامل حسب التجميع:xy+8y+3x+24.

إجابة

(x+8)(y+3)

مثال6.2.21

عامل حسب التجميع:ab+7b+8a+56.

إجابة

(a+7)(b+8)

عامل حسب التجميع.
  1. مصطلحات المجموعة مع العوامل المشتركة.
  2. حدد العامل المشترك في كل مجموعة.
  3. ضع في اعتبارك العامل المشترك من التعبير.
  4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
مثال6.2.22

عامل حسب التجميع: ⓐx2+3x2x66x23x4x+2.

إجابة


There is no GCF in all four terms.x2+3x2x6Separate into two parts.x2+3x2x6Factor the GCF from both parts. Be carefulwith the signs when factoring the GCF fromthe last two terms.x(x+3)2(x+3)Factor out the common factor.(x+3)(x2)Check on your own by multiplying.


There is no GCF in all four terms.6x23x4x+2Separate into two parts.6x23x4x+2Factor the GCF from both parts.3x(2x1)2(2x1)Factor out the common factor.(2x1)(3x2)Check on your own by multiplying.

مثال6.2.23

عامل حسب التجميع: ⓐx2+2x5x1020x216x15x+12.

إجابة

(x5)(x+2)
(5x4)(4x3)

مثال6.2.24

عامل حسب التجميع: ⓐy2+4y7y2842m218m35m+15.

إجابة

(y+4)(y7)
(7m3)(6m5)

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية إيجاد العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيرين.
    1. ضع كل معامل في الأعداد الأولية. اكتب جميع المتغيرات ذات الأسس في صورة موسعة.
    2. ضع قائمة بجميع العوامل - مطابقة العوامل الشائعة في عمود. في كل عمود، ضع دائرة حول العوامل المشتركة.
    3. قلل العوامل المشتركة التي تشترك فيها جميع التعبيرات.
    4. اضرب العوامل.
  • خاصية التوزيع: إذا كانتab ولاc تزال أرقامًا حقيقية، إذن

    a(b+c)=ab+acandab+ac=a(b+c)


    يتم استخدام النموذج الموجود على اليسار للتكاثر. يتم استخدام النموذج الموجود على اليمين كعامل.
  • كيفية حساب العامل المشترك الأكبر من متعدد الحدود.
    1. ابحث عن GCF لجميع مصطلحات كثيرة الحدود.
    2. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام GCF.
    3. استخدم خاصية التوزيع «العكسية» لتحليل التعبير.
    4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
  • عامل كاسم وفعل: نحن نستخدم «عامل» كاسم وفعل.

    Noun:7 is a factor of 14Verb:factor 3 from 3a+3

  • كيفية التعامل عن طريق التجميع.
    1. مصطلحات المجموعة مع العوامل المشتركة.
    2. حدد العامل المشترك في كل مجموعة.
    3. ضع في اعتبارك العامل المشترك من التعبير.
    4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

مسرد المصطلحات

العوم
يُطلق على تقسيم المنتج إلى عوامل اسم التخصيم.
العامل المشترك الأكبر
العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيرين أو أكثر هو أكبر تعبير يمثل عاملًا لجميع التعبيرات.