4.6: حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات
- Page ID
- 201431
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- اكتب المصفوفة المُعزَّزة لنظام المعادلات
- استخدم عمليات الصف على مصفوفة
- حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
اكتب المصفوفة المُعزَّزة لنظام المعادلات
يمكن أن يكون حل نظام المعادلات عملية شاقة حيث يمكن لخطأ بسيط أن يعيث فسادًا في إيجاد الحل. تتوفر طريقة بديلة تستخدم الإجراءات الأساسية للإزالة ولكن مع تدوين أبسط. تتضمن الطريقة استخدام مصفوفة. المصفوفة عبارة عن مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة.
المصفوفة عبارة عن مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة.
تحتوي المصفوفة التي تحتوي على صفوف m وأعمدة n على ترتيب\(m\times n\). تحتوي المصفوفة الموجودة على اليسار أدناه على صفين و 3 أعمدة وبالتالي فهي مرتبة\(2\times 3\). نقول إنها مصفوفة 2 × 3.

كل رقم في المصفوفة يسمى عنصرًا أو إدخالًا في المصفوفة.
سنستخدم مصفوفة لتمثيل نظام المعادلات الخطية. نكتب كل معادلة في الصورة القياسية ومعاملات المتغيرات ويصبح ثابت كل معادلة صفًا في المصفوفة. سيكون كل عمود بعد ذلك معاملات أحد المتغيرات في النظام أو الثوابت. يحل الخط العمودي محل علامات التساوي. نسمي المصفوفة الناتجة المصفوفة المعززة لنظام المعادلات.
لاحظ أن العمود الأول يتكون من جميع معاملات x، والعمود الثاني هو جميع معاملات y، والعمود الثالث هو كل الثوابت.
ⓐ\(\left\{ \begin{array} {l} 5x−3y=−1 \\ y=2x−2 \end{array} \right. \) ⓑ\( \left\{ \begin{array} {l} 6x−5y+2z=3 \\ 2x+y−4z=5 \\ 3x−3y+z=−1 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
ⓐ المعادلة الثانية ليست في الشكل القياسي. نعيد كتابة المعادلة الثانية في الشكل القياسي.
\[\begin{aligned} y=2x−2 \\ −2x+y=−2 \end{aligned} \nonumber\]
نستبدل المعادلة الثانية بشكلها القياسي. في المصفوفة المعززة، تعطينا المعادلة الأولى الصف الأول والمعادلة الثانية تعطينا الصف الثاني. يستبدل الخط العمودي علامات المساواة.
ⓑ جميع المعادلات الثلاث في شكل قياسي. في المصفوفة المعززة، تعطينا المعادلة الأولى الصف الأول، والمعادلة الثانية تعطينا الصف الثاني، والمعادلة الثالثة تعطينا الصف الثالث. يستبدل الخط العمودي علامات المساواة.
اكتب كل نظام من المعادلات الخطية في صورة مصفوفة معززة:
ⓐ\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y=−3 \\ 2x=−5y−3 \end{array} \right. \) ⓑ\(\left\{ \begin{array} {l} 2x−5y+3z=8 \\ 3x−y+4z=7 \\ x+3y+2z=−3 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
ⓐ\(\left[ \begin{matrix} 3 &8 &-3 \\ 2 &5 &−3 \end{matrix} \right] \)
ⓑ\(\left[ \begin{matrix} 2 &3 &1 &−5 \\ −1 &3 &3 &4 \\ 2 &8 &7 &−3 \end{matrix} \right] \)
اكتب كل نظام من المعادلات الخطية في صورة مصفوفة معززة:
ⓐ\(\left\{ \begin{array} {l} 11x=−9y−5 \\ 7x+5y=−1 \end{array} \right. \) ⓑ\(\left\{ \begin{array} {l} 5x−3y+2z=−5 \\ 2x−y−z=4 \\ 3x−2y+2z=−7 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
ⓐ\(\left[ \begin{matrix} 11 &9 &−5 \\ 7 &5 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓑ\(\left[ \begin{matrix} 5 &−3 &2 &−5 \\ 2 &−1 &−1 &4 \\ 3 &−2 &2 &−7 \end{matrix} \right] \)
من المهم أن نحل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات حتى نتمكن من الانتقال ذهابًا وإيابًا بين النظام والمصفوفة. يطلب منا المثال التالي أخذ المعلومات في المصفوفة وكتابة نظام المعادلات.
اكتب نظام المعادلات الذي يتوافق مع المصفوفة المعززة:
\(\left[ \begin{array} {ccc|c} 4 &−3 &3 &−1 \\ 1 &2 &−1 &2 \\ −2 &−1 &3 &−4 \end{array} \right] \).
- إجابة
-
نتذكر أن كل صف يتوافق مع معادلة وأن كل إدخال هو معامل متغير أو ثابت. يحل الخط العمودي محل علامة المساواة. نظرًا لأن هذه المصفوفة هي a\(4\times 3\)، فإننا نعلم أنها ستترجم إلى نظام من ثلاث معادلات بثلاثة متغيرات.
اكتب نظام المعادلات الذي يتوافق مع المصفوفة المعززة:\(\left[ \begin{matrix} 1 &−1 &2 &3 \\ 2 &1 &−2 &1 \\ 4 &−1 &2 &0 \end{matrix} \right] \).
- إجابة
-
\(\left\{ \begin{array} {l} x−y+2z=3 \\ 2x+y−2z=1 \\ 4x−y+2z=0 \end{array} \right.\)
اكتب نظام المعادلات الذي يتوافق مع المصفوفة المعززة:\(\left[ \begin{matrix} 1 &1 &1 &4 \\ 2 &3 &−1 &8 \\ 1 &1 &−1 &3 \end{matrix} \right] \).
- إجابة
-
\(\left\{ \begin{array} {l} x+y+z=4 \\ 2x+3y−z=8 \\ x+y−z=3 \end{array} \right.\)
استخدم عمليات الصف على مصفوفة
بمجرد أن يصبح نظام المعادلات في شكل مصفوفة معززة، سنقوم بإجراء عمليات على الصفوف التي ستقودنا إلى الحل.
لحل المعادلات بالحذف، لا يهم الترتيب الذي نضع به المعادلات في النظام. وبالمثل، في المصفوفة يمكننا تبادل الصفوف.
عندما نحلّ عن طريق الحذف، غالبًا ما نضرب إحدى المعادلات في ثابت. نظرًا لأن كل صف يمثل معادلة، ويمكننا ضرب كل طرف من المعادلة بثابت، وبالمثل يمكننا ضرب كل إدخال في صف بأي رقم حقيقي باستثناء 0.
في الحذف، غالبًا ما نضيف مضاعفًا لصف واحد إلى صف آخر. في المصفوفة، يمكننا استبدال صف بمجموعه بمضاعفات صف آخر.
تسمى هذه الإجراءات عمليات الصف وستساعدنا في استخدام المصفوفة لحل نظام المعادلات.
في المصفوفة، يمكن تنفيذ العمليات التالية على أي صف وستكون المصفوفة الناتجة مكافئة للمصفوفة الأصلية.
- قم بتبادل أي صفين.
- اضرب صفًا بأي رقم حقيقي باستثناء 0.
- أضف مضاعفًا غير صفري لصف واحد إلى صف آخر.
من السهل القيام بهذه العمليات ولكن كل العمليات الحسابية يمكن أن تؤدي إلى خطأ. إذا استخدمنا نظامًا لتسجيل عملية الصف في كل خطوة، فمن الأسهل بكثير العودة والتحقق من عملنا.
نحن نستخدم الأحرف الكبيرة مع المقتطفات لتمثيل كل صف. ثم نعرض العملية على يسار المصفوفة الجديدة. لإظهار تبادل صف:
لضرب الصف 2 من خلال\(−3\):
لضرب الصف 2\(−3\) وإضافته إلى الصف 1:
قم بإجراء العمليات المشار إليها على المصفوفة المعززة:
ⓐ تبادل الصفوف 2 و 3.
ⓑ اضرب الصف 2 في 5.
ⓒ اضرب الصف 3 في −2−2 وأضف إلى الصف 1.
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 6 &−5 &2 &3 \\ 2 &1 &−4 &5 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{array} \right] \)
- إجابة
-
ⓐ نقوم بتبادل الصفوف 2 و 3.
ⓑ نضرب الصف 2 في 5.
ⓒ نضرب الصف 3\(−2\) ونضيفه إلى الصف 1.
قم بإجراء العمليات المشار إليها على المصفوفة المعززة:
ⓐ تبادل الصفوف 1 و 3.
ⓑ اضرب الصف 3 في 3.
ⓒ اضرب الصف 3 في 2 وأضف إلى الصف 2.
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 5 &−2 &-2 &-2 \\ 4 &-1 &−4 &4 \\ -2 &3 &0 &−1 \end{array} \right] \)
- إجابة
-
ⓐ\( \left[ \begin{matrix} −2 &3 &0 &−2 \\ 4 &−1 &−4 &4 \\ 5 &−2 &−2 &−2 \end{matrix} \right] \)
ⓑ\( \left[ \begin{matrix} −2 &3 &0 &−2 \\ 4 &−1 &−4 &4 \\ 15 &−6 &−6 &−6 \end{matrix} \right] \)
ⓒ\( \left[ \begin{matrix} -2 &3 &0 &2 & \\ 3 &4 &-13 &-16 &-8 \\ 15 &-6 &-6 &-6 & \end{matrix} \right] \)
قم بإجراء العمليات المشار إليها على المصفوفة المعززة:
ⓐ تبادل الصفوف 1 و 2،
ⓑ اضرب الصف 1 في 2،
ⓒ اضرب الصف 2 في 3 وأضف إلى الصف 1.
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 2 &−3 &−2 &−4 \\ 4 &1 &−3 &2 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{array} \right] \)
- إجابة
-
ⓐ\( \left[ \begin{matrix} 4 &1 &−3 &2 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓑ\( \left[ \begin{matrix} 8 &2 &−6 &4 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓒ\( \left[ \begin{matrix} 14 &−7 &−12 &−8 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
الآن بعد أن مارسنا عمليات الصف، سننظر إلى المصفوفة المعززة ونكتشف العملية التي سنستخدمها للوصول إلى الهدف. هذا هو بالضبط ما فعلناه عندما قمنا بالإزالة. لقد قررنا الرقم الذي يجب ضرب الصف به حتى يتم التخلص من المتغير عندما نضيف الصفوف معًا.
بالنظر إلى هذا النظام، ماذا ستفعل للقضاء على x؟
هذا المثال التالي يفعل نفس الشيء بشكل أساسي، ولكن للمصفوفة.
قم بإجراء عملية الصف المطلوبة التي ستجعل الإدخال الأول في الصف 2 صفرًا في المصفوفة المعززة:\( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &2 \\ 4 &−8 &0 \end{array} \right] \)
- إجابة
-
لجعل 4 a 0، يمكننا ضرب الصف 1 في\(−4\) ثم إضافته إلى الصف 2.
قم بإجراء عملية الصف المطلوبة التي ستجعل الإدخال الأول في الصف 2 صفرًا في المصفوفة المعززة:\( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &2 \\ 3 &−6 &2 \end{array} \right] \)
- إجابة
-
\( \left[ \begin{matrix} 1 &−1 &2 \\ 0 &−3 &−4 \end{matrix} \right] \)
قم بإجراء عملية الصف المطلوبة التي ستجعل الإدخال الأول في الصف 2 صفرًا في المصفوفة المعززة:\( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &3 \\ -2 &−3 &2 \end{array} \right] \)
- إجابة
-
\( \left[ \begin{matrix} 1 &−1 &3 \\ 0 &−5 &8 \end{matrix} \right] \)
حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات
لحل نظام المعادلات باستخدام المصفوفات، نقوم بتحويل المصفوفة المُعزَّزة إلى مصفوفة في شكل درجات صفية باستخدام العمليات الصفية. بالنسبة لنظام المعادلات المتسق والمستقل، تكون المصفوفة المعززة في شكل درجات صفية عندما يكون كل إدخال على القطر على يسار الخط العمودي هو 1 وجميع الإدخالات الموجودة أسفل القطر هي الأصفار.
بالنسبة لنظام المعادلات المتسق والمستقل، تكون المصفوفة المعززة في شكل درجات صفية عندما يكون كل إدخال على القطر على يسار الخط العمودي هو 1 وجميع الإدخالات الموجودة أسفل القطر هي الأصفار.
بمجرد أن نحصل على المصفوفة المعززة في شكل درجات الصف، يمكننا كتابة نظام المعادلات المكافئ وقراءة قيمة متغير واحد على الأقل. ثم نستبدل هذه القيمة في معادلة أخرى لمواصلة حل المتغيرات الأخرى. يتم توضيح هذه العملية في المثال التالي.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=5 \\ x+2y=1 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
الحل هو\((4,−1)\).
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−4 \\ x−y=−2 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
الحل هو\((−2,0)\).
يتم تلخيص الخطوات هنا.
- اكتب المصفوفة المعزَّزة لنظام المعادلات.
- باستخدام عمليات الصف، يصبح الإدخال في الصف 1، العمود 1 هو 1.
- باستخدام عمليات الصف، احصل على الأصفار في العمود 1 أسفل الرقم 1.
- باستخدام عمليات الصف، اجعل الإدخال في الصف 2، العمود 2 هو 1.
- استمر في العملية حتى تصبح المصفوفة في شكل درجات الصف.
- اكتب نظام المعادلات المقابل.
- استخدم الاستبدال للعثور على المتغيرات المتبقية.
- اكتب الحل كزوج مرتب أو ثلاثي.
- تحقق من أن الحل يجعل المعادلات الأصلية صحيحة.
في ما يلي صورة مرئية لإظهار ترتيب الحصول على 1 و 0 في الموضع المناسب لنموذج الصفوف.
نستخدم نفس الإجراء عندما يحتوي نظام المعادلات على ثلاث معادلات.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y+2z=−5 \\ 2x+5y−3z=0 \\ x+2y−2z=−1 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
اكتب المصفوفة المعزَّزة للمعادلات. قم بتبادل الصفين 1 و 3 للحصول على الإدخال في
الصف 1، العمود 1 ليكون 1.باستخدام عمليات الصف، احصل على الأصفار في العمود 1 أسفل الرقم 1. الإدخال في الصف 2، العمود 2 هو الآن 1. استمر في العملية حتى تصبح
المصفوفة في شكل درجات الصف.المصفوفة الآن في شكل درجات صفية. اكتب نظام المعادلات المقابل. استخدم الاستبدال للعثور على المتغيرات المتبقية.
اكتب الحل كزوج مرتب أو ثلاثي. تحقق من أن الحل يجعل المعادلات الأصلية صحيحة. نترك الشيك لك.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} 2x−5y+3z=8 \\ 3x−y+4z=7 \\ x+3y+2z=−3 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
\((6,−1,−3)\)
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} −3x+y+z=−4 \\ −x+2y−2z=1 \\ 2x−y−z=−1 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
\((5,7,4)\)
حتى الآن كان عملنا مع المصفوفات مع الأنظمة المتسقة والمستقلة فقط، مما يعني أن لديهم حلًا واحدًا تمامًا. دعونا الآن نلقي نظرة على ما يحدث عندما نستخدم مصفوفة لنظام تابع أو غير متناسق.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} x+y+3z=0 \\ x+3y+5z=0 \\ 2x+4z=1 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
اكتب المصفوفة المعزَّزة للمعادلات. الإدخال في الصف 1، العمود 1 هو 1. باستخدام عمليات الصف، احصل على الأصفار في العمود 1 أسفل الرقم 1. استمر في العملية حتى تصبح المصفوفة في شكل درجات الصف. اضرب الصف 2 في 2 وأضفه إلى الصف 3. في هذه المرحلة، لدينا جميع الأصفار على يسار الصف 3. اكتب نظام المعادلات المقابل. بما أن\(0 \neq 1 \) لدينا بيانًا كاذبًا. تمامًا كما هو الحال عندما قمنا بحل نظام باستخدام طرق أخرى، فإن هذا يخبرنا أن لدينا نظامًا غير متناسق. لا يوجد حل.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} x−2y+2z=1 \\ −2x+y−z=2 \\ x−y+z=5 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
لا يوجد حل
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y−3z=−2 \\ −2x+3y−z=−1 \\ 2x+y−2z=6 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
لا يوجد حل
كان النظام الأخير غير متسق وبالتالي لم يكن لديه حلول. المثال التالي يعتمد ولديه العديد من الحلول بلا حدود.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} x−2y+3z=1 \\ x+y−3z=7 \\ 3x−4y+5z=7 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
اكتب المصفوفة المعزَّزة للمعادلات. الإدخال في الصف 1، العمود 1 هو 1. باستخدام عمليات الصف، احصل على الأصفار في العمود 1 أسفل الرقم 1. استمر في العملية حتى تصبح المصفوفة في شكل درجات الصف. اضرب الصف 2\(−2\) وأضفه إلى الصف 3. في هذه المرحلة، لدينا جميع الأصفار في الصف السفلي. اكتب نظام المعادلات المقابل. بما أن\(0=0\) لدينا بيانًا حقيقيًا. تمامًا كما هو الحال عندما قمنا بالحل عن طريق الاستبدال، يخبرنا هذا أن لدينا نظامًا تابعًا. هناك العديد من الحلول بلا حدود. حل لـ y بدلالة z في المعادلة الثانية. حل المعادلة الأولى لـ x بدلالة z. بديل\(y=2z+2\). قم بالتبسيط. قم بالتبسيط. قم بالتبسيط. يحتوي النظام على العديد من الحلول\((x,y,z)\)، حيث\(x=z+5;\space y=2z+2;\space z\) يوجد أي رقم حقيقي.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} x+y−z=0 \\ 2x+4y−2z=6 \\ 3x+6y−3z=9 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
العديد من الحلول بلا حدود\((x,y,z)\)، أين\(x=z−3;\space y=3;\space z\) يوجد أي رقم حقيقي.
حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة:\(\left\{ \begin{array} {l} x−y−z=1 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x−2y−7z=0 \end{array} \right. \)
- إجابة
-
العديد من الحلول بلا حدود\((x,y,z)\)، أين\(x=5z−2;\space y=4z−3;\space z\) يوجد أي رقم حقيقي.
قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع Gaussian Elimation
- إقصاء غاوسي
المفاهيم الرئيسية
- المصفوفة: المصفوفة عبارة عن مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة. تحتوي المصفوفة التي تحتوي على صفوف m وأعمدة n على ترتيب\(m\times n\). تحتوي المصفوفة الموجودة على اليسار أدناه على صفين و 3 أعمدة وبالتالي فهي مرتبة\(2\times 3\). نقول إنها مصفوفة 2 × 3.
كل رقم في المصفوفة يسمى عنصرًا أو إدخالًا في المصفوفة. - عمليات الصف: في المصفوفة، يمكن تنفيذ العمليات التالية على أي صف وستكون المصفوفة الناتجة معادلة للمصفوفة الأصلية.
- قم بتبادل أي صفين
- اضرب صفًا بأي رقم حقيقي باستثناء 0
- أضف مضاعفًا غير صفري لصف واحد إلى صف آخر
- نموذج Row-Echelon: بالنسبة لنظام معادلات متسق ومستقل، تكون المصفوفة المعززة في صورة صفية درجية عندما يكون كل إدخال على القطر على يسار الخط العمودي هو 1 وجميع الإدخالات الموجودة أسفل القطر هي الأصفار.
- كيفية حل نظام المعادلات باستخدام المصفوفات.
- اكتب المصفوفة المعزَّزة لنظام المعادلات.
- باستخدام عمليات الصف، يصبح الإدخال في الصف 1، العمود 1 هو 1.
- باستخدام عمليات الصف، احصل على الأصفار في العمود 1 أسفل الرقم 1.
- باستخدام عمليات الصف، اجعل الإدخال في الصف 2، العمود 2 هو 1.
- استمر في العملية حتى تصبح المصفوفة في شكل درجات الصف.
- اكتب نظام المعادلات المقابل.
- استخدم الاستبدال للعثور على المتغيرات المتبقية.
- اكتب الحل كزوج مرتب أو ثلاثي.
- تحقق من أن الحل يجعل المعادلات الأصلية صحيحة.
مسرد المصطلحات
- مصفوفة
- المصفوفة عبارة عن مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة.
- شكل الصف
- تكون المصفوفة في شكل صفي درالي عندما تكون على يسار الخط العمودي، ويكون كل إدخال على القطر 1 وجميع الإدخالات الموجودة أسفل القطر تساوي أصفرًا.