9.1: תורת הפרעות בלתי תלויה בזמן

אם אטום (לאו דווקא במצב הקרקע שלו) ממוקם בשדה חשמלי חיצוני, רמות האנרגיה משתנות ותפקודי הגל מעוותים. זה נקרא אפקט סטארק. באופן עקרוני ניתן למצוא את רמות האנרגיה ותפקודי הגל החדשים על ידי רישום המילטוניאן שלם, כולל השדה החיצוני, ומציאת הגלגלים העצמיים. למעשה ניתן לעשות זאת במקרה אחד: אטום המימן, אך גם שם, אם השדה החיצוני קטן בהשוואה לשדה החשמלי שבתוך האטום (שהוא מיליארדי וולט למטר) קל יותר לחשב את השינויים באנרגיה רמות ופונקציות גל עם סכמה של תיקונים רצופים לערכי שדה האפס. שיטה זו, המכונה תורת ההפרעות, היא השיטה החשובה ביותר לפתרון בעיות במכניקת הקוונטים, והיא נמצאת בשימוש נרחב בפיזיקה אטומית, חומר מעובה ופיזיקת חלקיקים.

יש לציין כי ישנן בעיות שלא ניתן לפתור באמצעות תורת ההפרעות, גם כאשר ההפרעה חלשה מאוד, אם כי בעיות כאלה הן היוצא מן הכלל ולא הכלל. מקרה אחד כזה הוא הבעיה החד-ממדית של חלקיקים חופשיים המופרעים מפוטנציאל חוזק מקומי. \(\lambda\) כפי שמצאנו מוקדם יותר במהלך, הפעלת פוטנציאל אטרקטיבי חלש באופן שרירותי גורמת לתפקוד גל החלקיקים \(k=0\) החופשיים לרדת מתחת לרצף אנרגיות גל המישור ולהפוך למצב קשור מקומי עם אנרגיית סדר מחייבת. \(\lambda^2\) עם זאת, שינוי הסימן של \(\lambda\) לתת פוטנציאל דוחה אין מצב כבול, מצב הגל המישורי האנרגטי הנמוך ביותר נשאר באפס אנרגיה. לכן לא ניתן לייצג את שינוי האנרגיה בהפעלת ההפרעה כסדרת כוח ב\(\lambda\), עוצמת ההפרעה. קושי מסוים זה אינו מתרחש באופן כללי בתלת מימד, כאשר פוטנציאלים חלשים באופן שרירותי אינם נותנים מצבים כבולים - למעט בעיות מסוימות בגוף רב (כמו בעיית זוג קופר) שבהן עקרון ההדרה מפחית את הממדיות האפקטיבית של המצבים הזמינים.

סדרת ההפרעות

אנו מתחילים עם המילטוניאן \(H^0\) שיש לו כוחות עצמיים ואנרגיות עצמיות: \[ H^0|n^0\rangle=E^0_n|n^0\rangle. \label{9.1.1}\]

המשימה היא למצוא כיצד משתנים העצמיים והאנרגיות העצמיות הללו אם מוסיפים למילטוניאן מונח קטן \(H^1\) (שדה חיצוני, למשל), כך: \[ (H^0+H^1)|n\rangle=E_n|n\rangle. \label{9.1.2}\]

כלומר, על הפעלת\(H^1\), \[ |n^0\rangle\to |n\rangle,\;  E^0_n\to E_n. \label{9.1.3}\]

ההנחה הבסיסית בתורת ההפרעות היא שהיא קטנה מספיק כדי שהתיקונים המובילים יהיו באותו סדר גודל כמו \(H^1\) עצמה, וניתן לקרב את האנרגיות האמיתיות טוב יותר ויותר על ידי סדרת תיקונים עוקבת, כל אחת בסדר \(H^1/H^0\) בהשוואה לקודמתה. \(H^1\)

האסטרטגיה, אם כן, היא להרחיב את פונקציית הגל האמיתית ואת האנרגיה העצמית המתאימה כסדרה ב. \(H^1/H^0\) לאחר מכן מוזנות סדרות אלה\((H^0+H^1)|n\rangle=E_n|n\rangle\), ותנאים באותו סדר גודל בשני \(H^1/H^0\) הצדדים שווים. המשוואות שנוצרו כך נפתרות אחת אחת כדי לתת תוצאות מדויקות יותר ויותר.

כדי להקל \(H^1/H^0\) על זיהוי מונחים מאותו סדר בשני צידי המשוואה, נוח להציג פרמטר \(\lambda\) חסר ממדים שתמיד הולך איתו\(H^1\), ואז להרחיב \(|n\rangle,\; E_n\) כסדרת כוח ב \(\lambda\)\(|n\rangle=|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots\), וכו 'הקט \(|n^m\rangle\) כפול \(\lambda^m\) הוא לכן של סדר. \((H^1/H^0)^m\)

\(\lambda\)זהו מכשיר הנהלת חשבונות בלבד: נקבע אותו שווה ל -1 כשנסיים! זה פשוט שם כדי לעקוב אחר סדרי הגודל של המונחים השונים.

מכניסים את הרחבות הסדרה \(|n\rangle,\; E_n\) \[ (H^0+\lambda H^1)|n\rangle=E_n|n\rangle \label{9.1.4}\]

יש לנו

\[ \begin{matrix} (H^0+\lambda H^1)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots) \\ =(E^0_n+\lambda E^1_n+\lambda^2E^2_n+\dots)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots). \end{matrix} \label{9.1.5}\]

אנחנו מוכנים כעת להתאים את שני הצדדים קדנציה אחר קדנציה בסמכויות של\(\lambda\).

מסדר האנרגיה האפס

המונח מסדר אפס (\(\lambda =0\)), כמובן, רק מחזיר

\[H^0|n^0\rangle=E^0_n|n^0\rangle\]

מסדר אפס של מדינות עצמיות

\[|n^0\rangle=|n^0\rangle\]

מסדר ראשון של אנרגיה

התאמת המונחים ליניאריים \(\lambda\) בשני הצדדים: \[ H^0|n^1\rangle+H^1|n^0\rangle=E^0_n|n^1\rangle+E^1_n|n^0\rangle. \label{9.1.6}\]

משוואה זו היא המפתח למציאת השינוי מסדר ראשון באנרגיה\(E^1_n\). לוקח את המוצר הפנימי של שני הצדדים עם\(\langle n^0|\): \[ \langle n^0|H^0|n^1\rangle+\langle n^0|H^1|n^0\rangle=\langle n^0|E^0_n|n^1\rangle+\langle n^0|E^1_n|n^0\rangle, \label{9.1.7}\]

לאחר מכן באמצעות\(\langle n^0|H^0=\langle n^0|E^0_n\), ו\(\langle n^0|n^0\rangle=1\), אנו מוצאים \[ E^1_n=\langle n^0|H^1|n^0\rangle. \label{9.1.8}\]

אם ניקח כעת \(\lambda=1\) , קבענו כי השינוי מסדר ראשון באנרגיה של מדינה הנובע מהוספת מונח \(H^1\) מטריד למילטוניאן הוא רק ערך הציפייה של במצב זה. \(H^1\)

לדוגמה, אנו יכולים להעריך את אנרגיית מצב הקרקע של אטום הליום על ידי התייחסות לדחייה האלקטרוסטטית בין האלקטרונים כהפרעה. במצב הקרקע מסדר אפס יש את שני האלקטרונים (ספין הפוך) בתפקוד גל מימן-אטום במצב הקרקע (בקנה מידה להכפלת המטען הגרעיני). תיקון \(E^1_0\) האנרגיה מסדר ראשון ניתן לאחר מכן על ידי חישוב ערך הציפייה \(\langle e^2/r_{12}\rangle\) לתפקוד גל זה של מצב הקרקע.

מסדר ראשון של מדינות עצמיות

הביטוי הכללי לשינוי מסדר ראשון בתפקוד הגל נמצא על ידי לקיחת התוצר הפנימי של משוואת הסדר הראשון עם החזייה, \(\langle m^0|,\;  m\neq n\) \[ \langle m^0|H^0|n^1\rangle+\langle m^0|H^1|n^0\rangle=\langle m^0|E^0_n|n^1\rangle+\langle m^0|E^1_n|n^0\rangle. \label{9.1.9}\]

המונח האחרון הוא אפס, שכן\(\langle m^0|n^0\rangle=0\), ובטווח הראשון\(\langle m^0|H^0=\langle m^0|E^0_m\), כך \[ \langle m^0|n^1\rangle=\frac{\langle m^0|H^1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m} \label{9.1.10}\]

ולכן פונקציית הגל הנכונה לסדר ראשון היא:

\[ \begin{align} |n\rangle &= |n^0\rangle+|n^1\rangle \\[5pt] &=|n^0\rangle+\sum_{m\neq n} \frac{|m^0\rangle\langle m^0|H^1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m}. \end{align} \label{9.1.11}\]

סדר שני של אנרגיה

כדי למצוא את התיקון מסדר שני לאנרגיה, יש צורך להתאים את מונחי הסדר השני ב

\[ \begin{matrix} (H^0+\lambda H^1)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots) \\ =(E^0_n+\lambda E^1_n+\lambda^2E^2_n+\dots)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots) \end{matrix} \label{9.1.12}\]

נותן:

\[ H^0|n^2\rangle+H^1|n^1\rangle=E^0_n|n^2\rangle+E^1_n|n^1\rangle+E^2_n|n^0\rangle. \label{9.1.13A}\]

לוקח את המוצר הפנימי עם \(\langle n^0|\) תשואות:

\[ \langle n^0|H^0|n^2\rangle+\langle n^0|H^1|n^1\rangle=E^0_n\langle n^0|n^2\rangle+E^1_n\langle n^0|n^1\rangle+E^2_n\langle n^0|n^0\rangle. \label{9.1.13B}\]

התנאים המובילים בשני הצדדים מבטלים כבעבר. מה לגבי המונח\(E^1_n\langle n^0|n^1\rangle\)? מכיוון\(|n\rangle=|n^0\rangle+|n^1\rangle\), ושניהם\(|n\rangle\), \(|n^0\rangle\) מנורמלים, \(\langle n^0|n^1\rangle+\langle n^1|n^0\rangle=0\) בסדר מוביל - כלומר, \(\langle n^0|n^1\rangle\) הוא דמיוני טהור. זה רק אומר שאם לסדר הזה \(|n\rangle\) יש רכיב מקביל ל\(|n^0\rangle\), לרכיב הזה יש משרעת דמיונית טהורה קטנה, \(|n\rangle\) וניתן לכתוב אותו (לפי הסדר הזה) כמו\(|n\rangle=e^{i\alpha} |n^0\rangle+ kets \perp |n^0\rangle\), עם \(\alpha\) קטן. אך ניתן לבטל את גורם הפאזה על ידי הגדרה מחדש של השלב של\(|n\rangle\), ועם הגדרה מחודשת זו \(|n^1\rangle\) אין מרכיב \(|n^0\rangle\) בכיוון, לכן אנו יכולים להוריד את המונח. \(E^1_n\langle n^0|n^1\rangle\)

אז התיקון מסדר שני לאנרגיה הוא:

\[ \begin{align} E^2_n &=\langle n^0|H^1|n^1\rangle \\[5pt] &= \langle n^0|H^1\sum_{m\neq n} \dfrac{|m^0\rangle\langle m^0|H^1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m} \\[5pt] &=\sum_{m\neq n} \dfrac{|\langle m^0|H^1|n^0\rangle|^2}{E^0_n-E^0_m}. \end{align} \label{9.1.14}\]

כללי בחירה

תורת ההפרעות כוללת הערכת מרכיבי מטריצה של אופרטורים. לעתים קרובות מאוד, רבים ממרכיבי המטריצה בסכום הם אפס-מבחנים ברורים הם זוגיות ומשפט ויגנר-אקרט. אלה דוגמאות לכללי בחירה: בדיקות כדי למצוא אם אלמנט מטריצה עשוי להיות לא אפס.

אפקט סטארק הריבועי

כאשר אטום מימן במצבו הקרקעי ממוקם בשדה חשמלי, ענן האלקטרונים והפרוטון נמשכים בדרכים שונות, נוצר דיפול חשמלי והאנרגיה הכוללת יורדת. המילטוניאן המטריד מהשדה החשמלי הוא

\[H^1=e​ \mathscr{E}​z=e\mathscr{E}​r\cos\theta\]

\(\mathscr{E}\)איפה חוזק השדה החשמלי, השדה בכיוון z, מטען \(e\) האלקטרונים שלילי.

נציין את האנרגיות העצמיות הבלתי מופרעות של אטום המימן על ידי\(E_n=E_{nlm}=-1/n^2\), ולכן במיוחד נציין את אנרגיית מצב הקרקע על ידי. \(E_1\)

התיקון מסדר ראשון לאנרגיית מצב הקרקע\(E^1_1=\langle 100|e\mathscr{E}z|100\rangle\), היכן

\[ |100\rangle≡\psi_{100}(r)=\left( \frac{1}{\pi a^3_0}\right)^{1/2}e^{-r/a_0}. \label{9.1.15}\]

מונח מסדר ראשון זה הוא אפס מכיוון שיש תרומות שוות מ- z חיובי ושלילי.

המונח מסדר שני הוא \[ E^2_1 =\sum_{n\neq 1;l,m} \frac{|\langle nlm|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2}{E_1-E_n} \label{9.1.16}\]

שם אנו משתמשים \(|nlm\rangle\) כעת לציון פונקציות הגל של אטום המימן הבלתי מופרעות, וכאן \(E_n=-1/n^2\) (ברידברג) הן האנרגיות הבלתי מופרעות.

רוב המונחים בסדרה אינסופית זו הם אפסים-כללי הבחירה עוזרים להיפטר מהם באופן הבא: מכיוון \(e\mathscr{E}z\) שהוא \(m=0\) המרכיב של וקטור כדורי והוא מצב תנע זוויתי אפס, \(|100\rangle\) הוא נובע ממשפט ויגנר-אקרט שיכול להיות רק. \(\langle nlm|\) \(\langle n10|\) זה מקטין את הסכום מסדר שני על מדינות ל: \[ E^2_1 =\sum_{n\neq 1} \frac{|\langle n^10|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2}{E_1-E_n}. \label{9.1.17}\]

זה עדיין לא קל להעריך, אך ניתן למצוא גבול עליון על ידי התבוננות בכך\(|E_1-E_n|\ge |E_1-E_2|\), כך \[ \begin{matrix} |E^2_0|<\frac{1}{E_2-E_1}\sum_{n\neq 1} |\langle n10|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2 \\ =\frac{1}{E_2-E_1}\sum_{n\neq 1;l,m} \langle 100|e\mathscr{E}z|nlm\rangle\langle nlm|e\mathscr{E}z|100\rangle \end{matrix} \label{9.1.18}\]

כאשר החזרנו באופן זמני את מלוא הסכום על פני \(n,l,m\) זה, החזרנו את כל תנאי האפס. הסיבה לצעד לאחור לכאורה זה, לאחר שלקחנו את מכנה הפרש האנרגיה מחוץ לסכום, נוכל אפילו לכלול \(|100\rangle\) בסכום (זהו עוד מונח אפס) ולמעשה נוכל אפילו לכלול את מצבי גל המטוס (המיונן) כמו גם את המצבים הקשורים, מכיוון שלגלי המישור יש אנרגיה גדולה מאפס. \(|nlm\rangle\) בשלב זה, \(\sum_{n,l,m}\) הסכום הופך לסכום על כל המצבים, ולכן פשוט הופך למפעיל היחידה, \[ \sum_{n,l,m} |nlm\rangle\langle nlm|=I, \label{9.1.19}\]

כך \[ |E^2_1 |<\frac{1}{E_2-E_1}\langle 100|(e\mathscr{E}z)^2|100\rangle. \label{9.1.20}\]

לתפקוד גל מימן של מצב הקרקע,\(\langle 100|z^2|100\rangle=a^2_0,\; E_1=-e^2/2a_0,\;   E_2=E_1/4\), כך \[ |E^2_1 |<\frac{1}{(\frac{3}{4}e^2/2a_0)}(e\mathscr{E})^2a^2_0=\frac{8}{3}\mathscr{E}^2a^3_0. \label{9.1.21}\]

יתר על כן, מכיוון שכל המונחים בסדרה \(E^2_1\) הם שליליים, המונח הראשון קובע גבול תחתון ל\(|E^2_1 |\):

\[ |E^2_1 |> \frac{|\langle 210|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2}{E_1-E_2}. \label{9.1.22}\]

ניתן להעריך זאת בצורה פשוטה למצוא\( |E^2_1 |>0.55\times \frac{8}{3}\mathscr{E}^2a^3_0\).

לכן, למרות שלא ממש הערכנו את התיקון מסדר שני לאנרגיה במפורש, יש לנו אותו בסוגריים בין שני ערכים, כאשר התחתון הוא יותר ממחצית העליון. שיטות גאוניות אחרות פותחו (ראה שנקר או סקוראי) כדי לגלות שהתשובה האמיתית היא\(|E^2_1 |=\frac{9}{4}\mathscr{E}^2a^3_0\), אך למעשה ניתן לפתור את כל הבעיה בדיוק באמצעות קואורדינטות פרבוליות.

תורת הפרעות מנוונות: מתנד הרמוני דו-ממדי מעוות

הניתוח לעיל עובד מצוין כל עוד המונחים העוקבים בתורת ההפרעות יוצרים סדרה מתכנסת. תנאי הכרחי הוא שמרכיבי המטריצה של המילטוניאן המטריד חייבים להיות קטנים יותר מההבדלים המתאימים ברמת האנרגיה של המילטוניאן המקורי. אם \(H^0\) יש מצבים שונים עם אותה אנרגיה, במילים אחרות רמות אנרגיה מנוונות, ולהפרעה יש אלמנטים מטריקס שאינם אפסיים בין הרמות המנוונות הללו, אז ברור שהתיאוריה מתפרקת. כדי לראות כיצד הוא מתקלקל וכיצד לתקן אותו, אנו רואים את המתנד ההרמוני הפשוט הדו-ממדי:

\[H^0=\frac{p^2_x+p^2_y}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2). \label{9.1.23}\]

נזכיר כי עבור המתנד ההרמוני הפשוט החד-ממדי פונקציית הגל של מצב הקרקע היא

\[ |0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}e^{-m\omega x^2/2\hbar}=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}e^{-\xi^2/2} \;\; with\;\; \xi =\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x, \;\; and\;\; |1\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}\sqrt{2}\xi e^{-\xi^2/2}. \label{9.1.24}\]

המתנד הדו-ממדי הוא פשוט תוצר של שני מתנדים חד מימדיים, ולכן, כתיבה\(\eta =\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}y\), מצב הקרקע הוא\(|0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2}e^{-(\xi^2+\eta^2)/2}\), ושני המצבים הבאים (המנוונים) הבאים, אנרגיה \(\hbar\omega\) מעל מצב הקרקע, הם

\[ |1,0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2}\sqrt{2}\xi e^{-(\xi^2+\eta^2)/2}, \;\; |0,1\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2}\sqrt{2}\eta e^{-(\xi^2+\eta^2)/2}. \label{9.1.25}\]

נניח שעכשיו נוסיף הפרעה קטנה

\[ H^1=\alpha m\omega^2xy, \label{9.1.26}\]

\(\alpha\)עם פרמטר קטן.

שימו לב כי

\[\langle 0|H^1|0\rangle=\langle 1,0|H^1|1,0\rangle=\langle 0,1|H^1|0,1\rangle=0\]

כך שעל פי תיאוריית ההפרעות הנאיביות, אין תיקון מסדר ראשון לאנרגיות של מצבים אלה.

עם זאת, בהמשך לסדר שני בתיקון האנרגיה, התיאוריה מתפרקת. אלמנט המטריצה \(\langle 1,0|H^1|0,1\rangle\) אינו אפס, אך לשני המצבים \(|0,1\rangle,  |1,0\rangle\) יש אותה אנרגיה! זה נותן מונח אינסופי בסדרה עבור\(E^2_n\).

עם זאת אנו יודעים שמונח קטן מסוג זה לא יהרוס מתנד הרמוני פשוט דו מימדי, אז מה לא בסדר בגישה שלנו? כדאי לשרטט את פוטנציאל המתנד ההרמוני המקורי \(\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\) יחד עם הפוטנציאל המטריד. \(\alpha m\omega^2xy\) לראשון יש כמובן סימטריה מעגלית, לשני יש צירים בכיוונים\(x=\pm y\), מטפסים בצורה התלולה ביותר מהמקור לאורך\(x=y\), נופלים הכי מהר לכיוונים. \(x=-y\) אם נשלב את שני הפוטנציאלים לצורה ריבועית אחת, המעגלים המקוריים של פוטנציאל קבוע הופכים לאליפסות, כאשר הצירים שלהם מיושרים לאורך. \(x=\pm y\)

הבעיה מתעוררת אפילו במתנד הדו-ממדי הקלאסי: דמיינו כדור מתגלגל אחורה וקדימה בצלוחית חלקה, קערה עגולה. עכשיו דמיין שהצלוחית עשויה מעט אליפטית. הכדור עדיין יתגלגל אחורה וקדימה דרך המרכז אם הוא ישוחרר לאורך אחד מצירי האליפסה, אם כי עם תקופות שונות, שכן הצירים נבדלים זה מזה בתלילות. עם זאת, אם הוא משתחרר בנקודה מחוץ לצירים, הוא יתאר נתיב מורכב הניתן לפתרון לרכיבים בשני כיווני הציר בעלי תקופות שונות.

עבור המתנד הקוונטי כמו זה הקלאסי, ברגע שההפרעה מוצגת, העצמיות נמצאות בכיוון הצירים האליפטיים החדשים. זהו שינוי גדול מצירי ה- x וה- y המקוריים, ובהחלט לא פרופורציונאלי לפרמטר הקטן\(\alpha\). אך לבעיה המקורית ללא הפרעה הייתה סימטריה מעגלית, ולא הייתה סיבה מיוחדת לבחור בצירי x ו- y כפי שעשינו. אם במקום זאת היינו בוחרים כצירים המקוריים שלנו את הקווים\(x=\pm y\), הקטים לא היו עוברים שינויים גדולים בהפעלת ההפרעה.

פתרון הבעיה ברור כעת: לפני הפעלת ההפרעה, בחר קבוצה של מפתחות בסיס בתת-חלל מנוון כך שההפרעה תהיה אלכסונית באותו תת-מרחב.

למעשה, לדוגמא המתנד ההרמוני הפשוט לעיל, ניתן לפתור את הבעיה בדיוק: \[ \begin{matrix} \frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)+\alpha m\omega^2xy \\ =\frac{1}{2}m\omega^2 \left[ (1+\alpha)(\frac{x+y}{\sqrt{2}})^2+(1-\alpha)(\frac{x-y}{\sqrt{2}})^2\right] \end{matrix} \label{9.1.27}\]

וברור שלמרות התוצאות של תיאוריה מסדר ראשון נאיבי, אכן יש שינוי מסדר ראשון ברמות האנרגיה, \[ \hbar\omega \to \hbar\omega \sqrt{1\pm \alpha}\approx \hbar\omega (1\pm \alpha /2). \label{9.1.28}\]

אפקט סטארק לינארי

לאטום המימן, כמו המתנד ההרמוני הדו-ממדי שנדון לעיל, יש מצב קרקע לא מנוון אך ניוון במצבים הנרגשים הנמוכים ביותר שלו. באופן ספציפי, ישנם ארבעה \(n=2\) מצבים, לכולם יש אנרגיה -1/4 Ryd: \[ \begin{matrix} \psi_{200}(r)=\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right)^{1/2}\left( 2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/2a_0}, \\ \psi_{210}(r,\theta ,\phi)=\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right)^{1/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/2a_0}cos\theta , \\ \psi_{21\pm 1}(r,\theta ,\phi)=\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right)^{1/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/2a_0}sin\theta e^{\pm i\phi}. \end{matrix} \label{9.1.29}\]

הפרעה למערכת זו עם שדה חשמלי בכיוון z,\(H^1=e\mathscr{E}z=e\mathscr{E}​rcos\theta\), שים לב תחילה שתורת ההפרעות הנאיביות לא מנבאת שום שינוי מסדר ראשון באף אחת מרמות האנרגיה הללו. עם זאת, לסדר שני, קיים אלמנט מטריצה שאינו אפס בין שתי רמות מנוונות. \(\langle 200|H^1|210\rangle\) כל שאר מרכיבי המטריצה בין מחבטי הבסיס הללו בתת-המרחב המנוון הארבע-ממדי הם אפס, כך שהאלכסון היחיד הדרוש הוא בתוך תת-המרחב המנוון הדו-ממדי המשתרע על ידי,, היכן \(|200\rangle\) \(|210\rangle\) \[ H^1=\begin{pmatrix} 0&\Delta \\ \Delta&0 \end{pmatrix} \label{9.1.30}\]

עם

\[ \begin{align} \Delta &=\langle 200|H^1|210\rangle \\[4pt] =e\mathscr{E}\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right) \int_{0}^{\infty}\left(2-\frac{r}{a_0}\right) \left(\frac{rcos\theta}{a_0}\right)^2 e^{-r/a_0}r^2dr \sin\theta d\theta d\phi \\[4pt] &=-3e\mathscr{E}a_0.\end{align} \label{9.1.31}\]

באלכסונים \(H^1\) בתוך תת-חלל זה, אם כן, מצבי הבסיס החדשים הם \((|200\rangle\pm |210\rangle)/\sqrt{2}\) עם שינויי אנרגיה\(\pm \Delta\), ליניאריים בשדה החשמלי המטריד.

המצבים \(|21\pm 1\rangle\) אינם משתנים על ידי נוכחות השדה לקירוב זה, ולכן למפת האנרגיה המלאה של המצבים בשדה החשמלי יש שני \(n=2\) מצבים באנרגיה המקורית של -1/4Ryd, מצב אחד עלה מהאנרגיה הזו על ידי, ואחד למטה על ידי\(\Delta\). \(\Delta\)

שימו לב שהמצבים העצמיים החדשים \((|200\rangle\pm |210\rangle)/\sqrt{2}\) אינם מצבים עצמיים של מפעיל הזוגיות - סקיצה של פונקציות הגל שלהם מגלה שלמעשה יש להם רגע דיפול חשמלי שאינו נעלם\(\vec{\mu}\), אכן זו הסיבה לשינוי האנרגיה. \( \pm \Delta =\mp 3e\mathscr{E}a_0=\mp \vec{\mu}\cdot \vec{\mathscr{E}}\)