7.1: מטריצת הצפיפות

מדינות טהורות ומדינות מעורבות

בואו נהיה עם שני ניסויים מדומיינים של סטרן-גרלאך. בניסוי זה, זרם של אטומי כסף (לא מיוננים) מתנור מופנה דרך שדה מגנטי אנכי לא הומוגני, והזרם מתפצל לשניים. לאטומי הכסף יש רגעים מגנטיים שאינם אפסיים, ומומנט מגנטי בשדה מגנטי לא הומוגני חווה כוח שאינו אפס, מה שגורם לאטום לסטות מנתיב הקו הישר שלו, גודל הסטייה פרופורציונלי למרכיב הרגע המגנטי של האטום בכיוון האנכי (שדה). התצפית על הקורה המתפצלת לשניים, ולא יותר, פירושה שהרכיב האנכי של הרגע המגנטי, ולכן המומנטום הזוויתי הנלווה, יכול להיות בעל שני ערכים שונים בלבד. מהניתוח הבסיסי של מפעילי סיבוב ותכונות המומנטום הזוויתי שאחריו, תצפית זו מאלצת אותנו למסקנה כי המומנטום הזוויתי הכולל של אטום כסף הוא\(\frac{1}{2}\hbar\). למומנטה זוויתית מסלולית רגילה לא יכולה להיות ערכים שלמים למחצה; ניסוי זה היה אחד האינדיקציות הראשונות לכך שלאלקטרון יש דרגת חופש ספין, תנע זוויתי שלא ניתן לפרש כמומנטום זוויתי מסלולי של חלקים מכוננים. לאטום הכסף 47 אלקטרונים, 46 מהם כוללים ספין כולל ומומנטה מסלולית שמתבטלים בנפרד, ל ^-47 אין תנע זוויתי מסלולי, והסיבוב שלו הוא כל המומנטום הזוויתי של האטום.

כאן נשתמש בזרם שטרן-גרלאך כדוגמה לאוסף גדול של מערכות קוונטיות (האטומים) כדי להבהיר כיצד לתאר אוסף כזה, המכונה לעתים קרובות אנסמבל. כדי למנוע סיבוכים מיותרים, אנחנו רק רואים את דרגות הספין של חופש. אנו מתחילים בבחינת שני זרמים שונים:

נניח שהניסוי \(A\) מכין זרם של אטומי כסף כך שכל אטום נמצא במצב הספין: \(\psi_A\)

\[ |\psi_A\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle). \label{7.1.1}\]

בינתיים, הניסוי \(B\) מכין זרם של אטומי כסף שהוא תערובת: מחצית האטומים במצב \(|\uparrow\rangle\) ומחציתם במצב\(|\downarrow\rangle\): קראו לתערובת זו. \(B\)

דוגמא \(\PageIndex{1}\)

האם נוכל להבדיל בין \(A\) הזרם \(B\) לנחל?

פתרון

ככל הנראה, לא על ידי מדידת הסיבוב בכיוון z! שניהם יוותרו על 50% מהזמן, ירידה של 50%.

אבל: אנו יכולים להבחין ביניהם על ידי מדידת הסיבוב בכיוון x: המצב \(\psi_A\) הקוונטי הוא למעשה רק זה של סיבוב בכיוון x, כך שהוא יוותר "למעלה" בכיוון x בכל פעם - מעכשיו אנו קוראים לזה\(|\uparrow_x\rangle\), ואילו המצב \(|\uparrow\rangle\) ("למעלה" בכיוון z) יניב "למעלה" בכיוון x רק 50% מהזמן, כפי שיהיה. \(|\downarrow\rangle\)

המדינה \(\psi_A=|\uparrow_x\rangle\) נקראת מצב טהור, זה סוג המצב הקוונטי שלמדנו את כל הקורס הזה.

הזרם\(B\), לעומת זאת, נמצא במצב מעורב: מהסוג שמתרחש בפועל במידה רבה יותר או פחות בזרם חיים אמיתי של אטומים, מצבים קוונטיים טהורים שונים המתרחשים עם הסתברויות שונות, אך ללא קוהרנטיות פאזה ביניהם. במילים אחרות, ההסתברויות היחסיות הללו במצבים קוונטיים שונים אינן נובעות ממשרעת הסתברות, כפי שהן עושות במציאת ההסתברות לסיבוב בזרם\(A\): ההסתברויות של המצבים הקוונטיים השונים במצב המעורב \(B\) הן בדיוק כמו הסתברויות קלאסיות. \(B\)

עם זאת, כדי למצוא את ההסתברות למדידת ספין למעלה במצב מעורב כזה, משתמשים תחילה בהסתברות מהסוג הקלאסי עבור כל מצב רכיב, ואז עבור כל מצב קוונטי בתמהיל, מוצאים את ההסתברות לסיבוב ב מצב זה על ידי הטכניקה הקוונטית הסטנדרטית.

לכן, עבור מצב מעורב בו המערכת במצב \(|\psi_i\rangle\) עם הסתברות\(w_i,\; \sum w_i=1\), ערך הציפייה של מפעיל \(\hat{A}\) הוא \[ \langle \hat{A}\rangle=\sum w_i\langle \psi_i|\hat{A}|\psi_i\rangle \label{7.1.2}\]

ועלינו להדגיש כי אלה \(|\psi_i\rangle\) אינם צריכים להיות אורתוגונליים (אך הם כמובן מנורמלים): למשל אחד יכול להיות\(|\uparrow_x\rangle\), אחר. \(|\uparrow_z\rangle\) (שמנו את ה- z שהושמט בדרך כלל להדגשה.) הסיבה שאנחנו שמים כובע \(\hat{A}\) כאן היא להדגיש שמדובר במפעיל, אבל \(w_i\) הם רק מספרים.

מטריצת הצפיפות

\(\langle \hat{A}\rangle\)ניתן לכתוב את המשוואה לערך הציפייה:

\[ \langle \hat{A}\rangle=Trace(\hat{\rho}\hat{A}) \label{7.1.3A}\]

היכן

\[\hat{\rho}=\sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i| . \label{7.1.3B}\]

כדי לראות בדיוק איך זה קורה, זכור כי עבור אופרטור \(\hat{B}\) במרחב וקטורי סופי ממדי עם מערך בסיס אורתונורמלי, \(|j\rangle\)\(Tr\hat{B}=\sum_{j=1}^{n}\langle j|\hat{B}|j\rangle=B_{jj}\), כאשר הסיומת החוזרת מרמזת על סיכום מרכיבי המטריצה האלכסונית של המפעיל.

לכן,

\[ \begin{align} Tr(\hat{\rho}\hat{A}) &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}w_i\langle j|\psi_i\rangle\langle \psi_i|\hat{A}|j\rangle \label{7.1.4A} \\[5pt] &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}w_i\langle \psi_i|\hat{A}|j\rangle\langle j|\psi_i\rangle \label{7.1.4B} \\[5pt] &=\sum_{i=1}^{n}w_i\langle \psi_i|\hat{A}|\psi_i\rangle \label{7.1.4C} \end{align}\]

מאז\(\sum|j\rangle\langle j|=I\), הזהות.

זה \(\hat{\rho}\) נקרא מטריצת הצפיפות: צורת המטריצה שלה מפורשת על ידי התחשבות במצבים \(|\psi_i\rangle\) במרחב וקטורי סופי N-ממדי (כגון ספינים או מומנטה זוויתית)

\[ |\psi_i\rangle=\sum_j(V_i)_j|j\rangle \label{7.1.5}\]

כאשר \(|j\rangle\) הם מערך בסיס אורתונורמלי, והוא \(j^{th}\) המרכיב של וקטור \((V_i)_j\) מנורמל. \(V_i\) זה נוח לבטא \(\hat{\rho}\) במונחים של kets וחזיות השייכות לבסיס אורתונורמלי זה,

\[ \hat{\rho}=\sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i|=\sum_{i,j,k}w_i(V_i)_j(V^{\dagger}i)_k|j\rangle\langle k|=\sum_{j,k}\rho_{jk}|j\rangle\langle k| \label{7.1.6}\]

וככל הנראה

\[ \langle \hat{A}\rangle=Trace(\hat{\rho}\hat{A})=\sum_{n,j,k}\langle n|\rho_{jk}|j\rangle\langle k|\hat{A}|n\rangle=\sum_{j,k}\rho_{jk}\langle k|\hat{A}|j\rangle=\sum_{j,k}\rho_{jk}A_{kj}. \label{7.1.7}\]

(מאז \(\rho_{jk}\) הוא רק מספר,\(\langle n|\rho_{jk}|j\rangle=\rho_{jk}\langle n|j\rangle=\rho_{jk}\delta_{nj}\).)

\(Trace(\hat{\rho}\hat{A})\)הוא בלתי תלוי בבסיס, העקבות של מטריצה ללא שינוי על ידי טרנספורמציה יחידה, מכיוון שהיא נובעת מכך \(Tr(ABC)=Tr(BCA)\) \[ TrU^{\dagger}\, AU=TrAU\, U^{\dagger}=TrA\; for\; UU^{\dagger}=1. \label{7.1.8}\]

שים לב שמכיוון שהווקטורים מנורמלים\(\sum_j(V_i)_j(V^{\dagger}_i)_j=1\),, כאשר \(V_i\) הם \(i\) לא מסוכמים\(\sum w_i=1\), ומכאן נובע מכך \[ Tr\hat{\rho}=1 \label{7.1.9}\]

(ניכר גם על ידי הכנסת \(A=1\) המשוואה עבור\(\langle A\rangle\)).

עבור מערכת במצב קוונטי טהור\(|\psi\rangle\),\(\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle \psi|\), רק מפעיל ההקרנה למצב זה, ו

\[ \hat{\rho}^2=\hat{\rho}, \label{7.1.10}\]

באשר לכל מפעילי ההקרנה.

כדאי לתאר כיצד זה שונה מהמצב המעורב על ידי התבוננות בצורת מטריצת הצפיפות.

עבור המצב הטהור\(|\psi\rangle\), אם נבחר בסיס כך \(|\psi\rangle\) שהוא חבר בבסיס (זה תמיד יכול להיעשות), \(\hat{\rho}\) היא מטריצה עם כל אלמנט אפס למעט האלמנט האלכסוני האחד המתאים\(|\psi\rangle\langle \psi|\), שיהיה אחדות. ברור,\(\hat{\rho}^2=\hat{\rho}\). זה פחות ברור באופן כללי, שבו \(\hat{\rho}\) לא בהכרח יהיה באלכסון. אבל ההצהרה \(\hat{\rho}^2=\hat{\rho}\) נשארת נכונה תחת טרנספורמציה לבסיס חדש.

עבור מצב מעורב, נניח למשל תערובת של מצבים אורתוגונליים\(|\psi_1\rangle,\; |\psi_2\rangle\), אם נבחר בסיס הכולל את שני המצבים, מטריצת הצפיפות תהיה אלכסונית עם שני ערכים בלבד. \(w_1,\; w_2\) שני המספרים האלה חייבים להיות פחות מאחדות, כך\(\hat{\rho}^2\neq \hat{\rho}\). שילוב של מצבים לא אורתוגונליים נותר כתרגיל לקורא.

דוגמא \(\PageIndex{1}\): Pure State (case \(A\))

ראשית, המקרה שלנו A לעיל (מצב טהור): כל הספינים במצב\(|\uparrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle)\).

בתקן\(|\uparrow\rangle\), \(|\downarrow\rangle\) בסיס,

\[ \hat{\rho}=|\uparrow_x\rangle\langle \uparrow_x|=\dbinom{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix} \label{7.1.11}\]

ו

\[ \begin{matrix} \langle s_x\rangle=Tr(\hat{\rho}s_x)=\dfrac{\hbar}{2}Tr\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}=\dfrac{\hbar}{2} \\ \langle s_z\rangle=Tr(\hat{\rho}s_z)=\dfrac{\hbar}{2}Tr\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}=0. \end{matrix} \label{7.1.12}\]

שים לב לזה\(\hat{\rho}^2=\hat{\rho}\).

דוגמא \(\PageIndex{1}\): 50-50 mixed up and down (case \(B\))

50% במדינה\(|\uparrow\rangle\), 50%\(|\downarrow\rangle\).

מטריצת הצפיפות היא

\[ \begin{matrix} \hat{\rho}=\dfrac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle \uparrow|+\dfrac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle \downarrow| \\ =\dfrac{1}{2}\dbinom{1}{0}\begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\dbinom{0}{1}\begin{pmatrix}0& 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \end{matrix} \label{7.1.13}\]

זה פרופורציונלי למטריצת היחידה, כך

\[ Tr\hat{\rho}s_x=\dfrac{1}{2}\dfrac{\hbar}{2}Tr\sigma_x=0, \label{7.1.14}\]

ובאופן דומה עבור \(s_y\) ו\(s_z\), מכיוון \(\sigma\) שמטריצות פאולי כולן חסרות עקבות. שים לב גם לכך\(\hat{\rho}^2=\dfrac{1}{2}\hat{\rho}\neq \hat{\rho}\), כפי שנכון לכל המדינות המעורבות.

דוגמא \(\PageIndex{3}\): Finally, a 50-50 mixed state relative to the x-axis (case \(C\))

כלומר, 50% מהסיבובים במדינה\(|\uparrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle)\), "למעלה" לאורך ציר ה- x ו- 50% פנימה\(|\downarrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle-|\downarrow\rangle)\), "למטה" בכיוון x.

קל לבדוק זאת

\[ \hat{\rho}=\dfrac{1}{2}|\uparrow_x\rangle\langle \uparrow_x|+\dfrac{1}{2}|\downarrow_x\rangle\langle \downarrow_x|=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1/2&-1/2\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \label{7.1.15}\]

זו בדיוק אותה מטריצת צפיפות שמצאנו עבור 50% במדינה\(|\uparrow\rangle\), 50%\(|\downarrow\rangle\)!

הסיבה היא ששני הניסוחים מתארים מצב שאיננו יודעים עליו דבר - אנו נמצאים במצב של בורות מוחלטת, הספינים אקראיים לחלוטין, כל הכיוונים סבירים באותה מידה. מטריצת הצפיפות המתארת מצב כזה אינה יכולה להיות תלויה בכיוון שאנו בוחרים לצירים שלנו.

מערכת קוונטית נוספת של שתי מדינות הניתנת לניתוח באותו אופן היא מצב הקיטוב של קרן אור, כאשר מצבי הבסיס הם קיטוב בכיוון x וקיטוב בכיוון y, עבור קרן הנעה במקביל ל- z- ציר. אור לא מקוטב רגיל מתאים למצב המעורב האקראי, עם אותה מטריצת צפיפות כמו בדוגמה האחרונה לעיל.

התפתחות הזמן של מטריצת הצפיפות

במצב המעורב, מצבי הקוונטים מתפתחים באופן עצמאי על פי משוואת שרדינגר, כך

\[ i\hbar \dfrac{d\hat{\rho}}{dt}=\sum w_i H|\psi_i\rangle\langle \psi_i| - \sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i|H=[H,\hat{\rho}]. \label{7.1.16}\]

שימו לב שיש לזה סימן הפוך מהתפתחותו של מפעיל הייזנברג, לא מפתיע מכיוון שמפעיל הצפיפות מורכב מחזיות וחזיות שרדינגר.

המשוואה היא האנלוגיה הקוונטית של משפט ליוביל במכניקה סטטיסטית. משפט ליוביל מתאר את האבולוציה בזמן של אנסמבל של מערכות קלאסיות זהות, כגון תיבות רבות שכל אחת מהן מלאה באותה כמות של אותו גז באותה טמפרטורה, אך המיקומים והמומנטה של האטומים הבודדים שונים באופן אקראי בכל אחד מהם. ניתן לתאר כל תיבה קלאסית על ידי נקודה אחת במרחב ממדי עצום, חלל בעל שישה ממדים לכל אטום (מיקום ומומנטום, אנו מתעלמים מדרגות חופש פנימיות אפשריות). ההרכב כולו, אם כן, הוא גז של הנקודות הללו במרחב העצום הזה, וקצב השינוי בצפיפות המקומית של הגז הזה, מהמשוואות של המילטון, הוא שהתושבת היא \(\partial \rho/\partial t=-\{\rho,H\}\) כעת סוגר פואסון (ראה הערות המכניקה הקלאסית שלי). בכל מקרה, זהו המבשר הקלאסי של מטריצת הצפיפות והסיבה לשם מטריצת הצפיפות.

שיווי משקל תרמי

מערכת בשיווי משקל תרמי מיוצגת במכניקה סטטיסטית על ידי אנסמבל קנוני. אם למצב העצמי \(|i\rangle\) של המילטוניאן יש אנרגיה\(E_i\), ההסתברות היחסית שהמערכת תהיה במצב זה היא \(e^{-E_i/kT}=e^{-\beta E_i}\) בסימון הסטנדרטי. לכן מטריצת הצפיפות היא: \[ \hat{\rho}=\dfrac{1}{Z}\sum_i e^{-\beta E_i}|i\rangle\langle i|=\dfrac{e^{-\beta H}}{Z}, \label{7.1.17}\]

היכן

\[ Z=\sum_i e^{-\beta E_i}=Tre^{-\beta H}. \label{7.1.18}\]

שימו לב שבניסוח זה, מלבד קבוע הנורמליזציה\(Z\), מפעיל הצפיפות מקביל למפיץ \(U(t)=e^{-iHt/\hbar}\) לזמן דמיוני. \(t=-i\hbar \beta\) אגב, עבור שדות קוונטיים המקיימים אינטראקציה, ניתן לבנות את המפיץ כקבוצה של דיאגרמות פיינמן המתאימות לכל הרצפים האפשריים של פיזור חלקיקים על ידי אינטראקציה. כדי למצוא את התכונות התרמודינמיות של תורת שדות בטמפרטורה סופית, בעצם אותה קבוצת דיאגרמות משמשת למציאת האנרגיה החופשית: הדיאגרמות מתארות כעת את המערכת המתפשטת לזמן דמיוני סופי, ניתן להשתמש באותם כלים מתמטיים.

בטמפרטורת אפס (\(\beta =\infty\)) מקדמי ההסתברות \(w_i=e^{-\beta E_i}/Z\) כולם אפס למעט מצב הקרקע: המערכת במצב טהור, ולמטריצת הצפיפות יש כל יסוד אפס למעט אלמנט בודד באלכסון. בטמפרטורה אינסופית, כולם \(w_i\) שווים: מטריצת הצפיפות היא רק \(1/N\) פי מטריצת היחידה, היכן \(N\) המספר הכולל של המצבים העומדים לרשות המערכת. למעשה, האנטרופיה של המערכת יכולה לבוא לידי ביטוי במונחים של מטריצת הצפיפות:\(S=-kTr(\hat{\rho}\ln \hat{\rho})\). זה לא רע כמו שזה נראה: שני המפעילים אלכסוניים בתת-חלל האנרגיה.