6.1: חלקיק טעון בשדה מגנטי

באופן קלאסי, הכוח על חלקיק טעון בשדות חשמליים ומגנטיים ניתן על ידי חוק כוח לורנץ:

\[ \vec{F}=q\left( \vec{E}+\frac{\vec{v}\times\vec{B}}{c}\right) \label{6.1.1}\]

כוח תלוי מהירות זה שונה בתכלית מהכוחות השמרניים מהפוטנציאלים שעסקנו בהם עד כה, והמתכון למעבר ממכניקה קלאסית לקוונטים-החלפת מומנטה במפעילים הנגזרים המתאימים - צריך להתבצע בזהירות רבה יותר. אנו מתחילים בהדגמת כיצד חוק הכוח של לורנץ מתעורר באופן קלאסי בניסוחים הלגראנגיאנים והמילטוניים.

חוקי המכניקה הקלאסית

נזכיר תחילה כי עקרון הפעולה הפחותה מוביל למשוואות אוילר-לגראנז' עבור הלגראנגיאנים: \(L\)

\[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(q_i,\dot{q}_i)}{\partial \dot{q}_i}\right) -\frac{\partial L(q_i,\dot{q}_i)}{\partial q_i}=0 \label{6.1.2}\]

עם \(q_i\) \( \dot{q}_i\) ולהיות קואורדינטות ומהירויות. המומנטום הקנוני \(p_i\) מוגדר על ידי המשוואה

\[ p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \label{6.1.3}\]

והמילטוניאן מוגדר על ידי ביצוע טרנספורמציה Legendre של הלגראנגיאן:

\[ H(q_i,p_i)=\sum_i \left( p_i\dot{q}_i-L(q_i,\dot{q}_i) \right) \label{6.1.4}\]

פשוט לבדוק שניתן לכתוב את משוואות התנועה:

\[ \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\; \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \label{6.1.5}\]

אלה ידועים בשם משוואות המילטון. שים לב שאם המילטוניאן אינו תלוי בקואורדינטה מסוימת\(q_i\), המומנטום המקביל \(p_i\) נשאר קבוע. (קואורדינטה כזו נקראת מחזורית, מכיוון שהדוגמה הנפוצה ביותר היא קואורדינטה זוויתית במילטוניאן סימטרי כדורית, שם המומנטום הזוויתי נשאר קבוע.)

עבור הכוחות השמרניים ששקלנו עד כה,

\[L = T - V\]

ו

\[H= T + V\]

עם האנרגיה \(T\) הקינטית, \(V\) האנרגיה הפוטנציאלית.

סוגריים פואסון

כל משתנה \(f\) דינמי במערכת הוא פונקציה כלשהי של ה- \(q_i\) \(p_i\)'s ו- (בהנחה שהוא אינו תלוי במפורש בזמן) התפתחותו ניתנת על ידי:

\[ \frac{d}{dt}f(q_i,p_i)=\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i=\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}=\{ f,H\}. \label{6.1.6}\]

הסוגריים המתולתלים נקראים סוגריים של Poisson, ומוגדרים עבור כל משתנים דינמיים כ:

\[ \{ A,B\}=\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}. \label{6.1.7}\]

הראינו מהמשוואות של המילטון כי עבור כל משתנה\(\dot{f}=\{ f,H\}\).

קל לבדוק שעבור הקואורדינטות והמומנטה הקנונית,

\[ {q_i,q_j}=0={p_i,p_j},\; {q_i,p_j}=\delta_{ij}. \label{6.1.8}\]

זה היה המבנה המתמטי הקלאסי שהוביל את דיראק לקשר בין מכניקה קלאסית לקוואנטים: הוא הבין שסוגריים של פואסון הם הגרסה הקלאסית של הקומוטטורים, ולכן מומנטום קנוני קלאסי חייב להתאים לאופרטור הדיפרנציאלי הקוונטי בקואורדינטה המתאימה.

סוגריים של פואסון הם הגרסה הקלאסית של הקומוטטורים

חלקיק בשדה מגנטי

כוח לורנץ תלוי במהירות, ולכן לא יכול להיות רק שיפוע של פוטנציאל כלשהו. אף על פי כן, נתיב החלקיקים הקלאסי עדיין ניתן על ידי עקרון הפעולה הקטנה ביותר. ניתן לכתוב את השדות החשמליים והמגנטיים במונחים של סקלר ופוטנציאל וקטורי:

\[ \vec{B}=\vec{\nabla}\times \vec{A}\label{6.1.9A}\]

\[\vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}. \label{6.1.9B}\]

לגראנגיאן הימני מתברר להיות:

\[ L=\frac{1}{2}m\vec{v}^2-q\varphi+\frac{q}{c}\vec{v}\cdot\vec{A}. \label{6.1.10}\]

השפעות יחסיות

אם אתה מכיר את היחסות, מונח האינטראקציה כאן נראה פחות שרירותי: בגרסה הרלטיביסטית \((q/c)\int A^{\mu} dx_{\mu}\) יתווסף המשתנה היחסי לאינטגרל הפעולה, שם ארבעת הפוטנציאל ו. \(A_{\mu} =(\vec{A},\varphi)\) \(dx_{\mu} =(dx_1,dx_2,dx_3,cdt)\) זוהי האינטראקציה הפשוטה ביותר האפשרית בין השדה האלקטרומגנטי לארבע המהירות של החלקיק. ואז בגבול הלא רלטיביסטי, פשוט הופך להיות. \((q/c)\int A^{\mu} dx_{\mu}\) \(\int q(\vec{v}\cdot\vec{A}/c-\varphi) dt\)

הגזירה של כוח לורנץ ממשוואות המילטון היא פשוטה.

שים לב כי עבור אפס פוטנציאל וקטור, לגראנגיאן יש את הצורה הרגילה\(T-V\).

לבעיה זו של חלקיק אחד, הקואורדינטות הכלליות \(q_i\) הן רק הקואורדינטות הקרטזיות\(x_i=(x_1,x_2,x_3)\), מיקום החלקיק, ושלושת המרכיבים \(\dot{x}_i=v_i\) של מהירות החלקיק. \(\dot{q}_i\)

הנקודה החדשה והחשובה היא שהמומנטום הקנוני \[ p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=mv_i+\frac{q}{c}A_i \label{6.1.11}\]

כבר לא \(\times\) מהירות המונית - יש מונח נוסף!

המילטוניאן הוא

\[ \begin{matrix} H(q_i,p_i)=\sum p_i\dot{q}_i-L(q_i,\dot{q}_i)\\ =\sum (mv_i+\frac{q}{c}A_i)v_i-\frac{1}{2}m\vec{v}^2+q\varphi-\frac{q}{c}\vec{v}\cdot\vec{A}\\ =\frac{1}{2}m\vec{v}^2+q\varphi \end{matrix} \label{6.1.12}\]

באופן מרגיע, למילטוניאן יש רק את הצורה המוכרת של אנרגיה קינטית בתוספת אנרגיה פוטנציאלית. עם זאת, כדי לקבל את משוואות התנועה של המילטון, המילטוניאן צריך לבוא לידי ביטוי אך ורק במונחים של הקואורדינטות והמומנטה הקנונית. כלומר,

\[ H=\frac{(\vec{p}-q\vec{A}(\vec{x},t)/c)^2}{2m}+q\varphi (\vec{x},t) \label{6.1.13}\]

שם ציינו במפורש שהפוטנציאלים מתכוונים לאלה שנמצאים במיקום \(\vec{x}\) החלקיק בזמן\(t\).

הבה נבחן כעת את המשוואות של המילטון

\[ \dot{x}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\; \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i} \label{6.1.14}\]

קל לראות כיצד המשוואה הראשונה יוצאת, תוך התחשבות בכך

\[ p_i=mv_i+\frac{q}{c}A_i=m\dot{x}_i+\frac{q}{c}A_i. \label{6.1.15}\]

המשוואה השנייה מניבה את חוק הכוח של לורנץ, אך היא קצת יותר מסובכת. הנקודה הראשונה שיש \(dp/dt\) לזכור היא זו לא התאוצה, \(A\) המונח משתנה גם בזמן, ובאופן די מסובך, מכיוון שהוא השדה בנקודה הנעה עם החלקיק. כלומר,

\[ \dot{p}_i=m\ddot{x}_i+\frac{q}{c}\dot{A}_ i=m\ddot{x}_i+\frac{q}{c}\left( \frac{\partial A_ i}{\partial t}+v_j\nabla_j A_i\right). \label{6.1.16}\]

הצד הימני של משוואת \(\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i}\) המילטון השנייה הוא \[ \begin{matrix} -\frac{\partial H}{\partial x_i}=\frac{(\vec{p}-q\vec{A}(\vec{x},t)/c)}{m}\cdot\frac{q}{c}\cdot\frac{\partial \vec{A}}{\partial x_i}-q\frac{\partial \varphi(\vec{x},t)}{\partial x_i}\\ =\frac{q}{c}v_j\nabla_iAj-q\nabla_i\varphi. \end{matrix} \label{6.1.17}\]

אם מחברים את שני הצדדים זה לזה, משוואת המילטון קוראת:

\[ m\ddot{x}_i=-\frac{q}{c}\left( \frac{\partial A_i}{\partial t}+v_j\nabla_jA_i\right) +\frac{q}{c}v_j\nabla_iA_j-q\nabla_i\varphi . \label{6.1.18}\]

באמצעות \(\vec{v}\times (\vec{\nabla}\times \vec{A})=\vec{\nabla}(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\)\(\vec{B}=\vec{\nabla}\times \vec{A}\),, והביטויים לשדות החשמליים והמגנטיים מבחינת הפוטנציאלים, עולה חוק כוח לורנץ: \[ m\ddot{\vec{x}}=q\left( \vec{E}+\frac{\vec{v}\times\vec{B}}{c}\right) \label{6.1.19}\]

מכניקת הקוונטים של חלקיק בשדה מגנטי

אנו מבצעים את ההחלפה הסטנדרטית:

\[ \vec{p}=-i\hbar \vec{\nabla},\; so\; that\; [x_i,p_j]=i\hbar \delta_{ij}\; as\; usual:\; but\; now\; p_i\neq mv_i. \label{6.1.20}\]

זה מוביל למצב הרומן שהמהירויות בכיוונים שונים אינן נוסעות. מ \[ mv_i=-i\hbar \nabla_i-qA_i/c \label{6.1.21}\]

קל לבדוק את זה \[ [v_x,v_y]=\frac{iq\hbar}{m^2c}B \label{6.1.22}\]

כדי לפתור בפועל את משוואת שרדינגר לאלקטרון המוגבל למישור בשדה מגנטי מאונך אחיד, נוח להשתמש במד לנדאו, \[ \vec{A}(x,y,z)=(-By,0,0) \label{6.1.23}\]

נותן שדה קבוע \(B\) בכיוון z. המשוואה היא \[ H\psi(x,y)=\left[ \frac{1}{2m}(p_x+qBy/c)^2+\frac{p^2_y}{2m}\right] \psi(x,y)=E\psi(x,y). \label{6.1.24}\]

שים לב ש - x אינו מופיע בהמילטוניאן זה, ולכן זהו קואורדינטה מחזורית ונשמר\(p_x\). במילים אחרות, זה \(H\) נוסע עם\(p_x\), כך \(H\) ויש \(p_x\) להם קבוצה משותפת של מצבים עצמיים. אנו יודעים שהמצבים העצמיים של \(p_x\) הם רק גלי המישור\(e^{ip_xx/\hbar}\), ולכן המצבים העצמיים הנפוצים חייבים להיות בעלי הצורה: \[ \psi(x,y)=e^{ip_xx/\hbar}\chi (y). \label{6.1.25}\]

הפועל על פונקציית גל זו עם המילטוניאן, המפעיל \(p_x\) המופיע ב \(H\) פשוט נותן את הערך העצמי שלו. כלומר, ה \(p_x\) - in \(H\) פשוט הופך למספר! לכן, כתיבה\(p_y=-i\hbar d/dy\), רכיב ה- y \(\chi (y)\) של פונקציית הגל מספק: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dy^2}\chi (y)+\frac{1}{2}m\left( \frac{qB}{mc}\right)^2(y-y_0)^2\chi (y)=E\chi (y) \label{6.1.26}\]

איפה \[ y_0=-cp_x/qB. \label{6.1.27}\]

כעת אנו רואים כי המומנטום \(p_x\) הקנוני השמור בכיוון x הוא למעשה הקואורדינטה של מרכז פוטנציאל מתנד הרמוני פשוט בכיוון y! למתנד הרמוני פשוט זה יש תדר\(\omega =|q|B/mc\), ולכן ערכי האנרגיה המותרים לחלקיק במישור בשדה מגנטי מאונך הם: \[ E=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega =(n+\frac{1}{2})\hbar |q|B/mc. \label{6.1.28}\]

התדר הוא כמובן תדר הציקלוטרון - זה של האלקטרון הקלאסי במסלול מעגלי בשדה (ניתן על ידי). \(mv^2/r=qvB/c,\; \omega =v/r=qB/mc\)

הבה נגביל את תשומת ליבנו למצבים המתאימים למצב המתנד הנמוך ביותר,. \(E=\frac{1}{2}\hbar \omega\) כמה מדינות כאלה יש? שקול ריבוע של מוליך, שטח\(A=L_x\times L_y\), ולמען הפשטות, קח תנאי גבול תקופתיים. מרכז פונקציית גל המתנד \(y_0\) חייב להיות בין 0 ל\(L_y\). אבל זכור את זה\(y_0=-cp_x/qB\), ועם תנאי גבול תקופתיים\(e^{ip_xL_x/\hbar} =1\), כך\(p_x=2n\pi\hbar /L_x=nh/L_x\). משמעות הדבר היא \(y_0\) שלוקחת סדרה של ערכים נפרדים מרווחים באופן שווה, המופרדים על ידי \[ \Delta y_0=ch/qBL_x. \label{6.1.29}\]

אז המספר הכולל של מדינות\(N=L_y/\Delta y_0\), \[ N=\frac{L_xL_y}{\left( \frac{hc}{qB}\right)}=A\cdot \frac{B}{\Phi_0}, \label{6.1.30}\]

איפה \(\Phi_0\) נקרא "קוונטי השטף". כך שמספר המצבים הכולל ברמת האנרגיה הנמוכה ביותר \(E=\frac{1}{2}\hbar \omega\) (המכונה בדרך כלל רמת לנדאו הנמוכה ביותר, או LLL) שווה בדיוק למספר הכולל של קוונטות השטף המרכיבות את השדה \(B\) החודר לאזור. \(A\)

זה מאלף למצוא \(y_0\) מתוך ניתוח קלאסי גרידא.

כתיבה \(m\dot{\vec{v}}=\frac{q}{c}\vec{v}\times \vec{B}\) ברכיבים,

\[ \begin{matrix} m\ddot{x}=\frac{qB}{c}\dot{y},\\ m\ddot{y}=-\frac{qB}{c}\dot{x}. \end{matrix} \label{6.1.31}\]

משוואות אלה משתלבות באופן טריוויאלי כדי לתת:

\[ \begin{matrix} m\dot{x}=\frac{qB}{c}(y-y_0),\\ m\dot{y}=-\frac{qB}{c}(x-x_0) \end{matrix}. \label{6.1.32}\]

\((x_0, y_0)\)להלן הקואורדינטות של מרכז התנועה המעגלית הקלאסית (וקטור המהירות \(\dot{\vec{r}}=(\dot{x},\dot{y})\) תמיד בניצב\((\vec{r}-\vec{r}_0)\)), וניתן \(\vec{r}_0\) על ידי

\[ \begin{matrix} y_0=y-cmv_x/qB=-cp_x/qB\\ x_0=x+cmv_y/qB=x+cp_y/qB. \end{matrix} \label{6.1.33}\]

(נזכיר כי אנו משתמשים במד\(\vec{A}(x,y,z)=(-By,0,0)\), ו\(p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=mv_x+\frac{q}{c}A_x\), וכו ')

בדיוק כמו כמות \(y_0\) שמורה, כך גם\(x_0\): היא נוסעת עם המילטוניאן מאז

\[ [x+cp_y/qB,p_x+qBy/c]=0. \label{6.1.34}\]

עם זאת, \(x_0\) \(y_0\) ואל תיסעו זה עם זה: \[ [x_0,y_0]=-i\hbar c/qB. \label{6.1.35}\]

זו הסיבה, כאשר בחרנו מד שבו \(y_0\) הוגדר בחדות, \(x_0\) התפשט על המדגם. אם ננסה למקם את הנקודה \((x_0, y_0)\) הכי טוב שאפשר, היא מעורפלת על פני שטח שבעצם תפוס על ידי קוונטי שטף אחד. סולם האורך הטבעי של הבעיה הוא אפוא האורך המגנטי המוגדר על ידי \[ l=\sqrt{\frac{\hbar c}{qB}}. \label{6.1.36}\]

הפניות: המכניקה הקלאסית בהתחלה דומה למצגת של שנקר, מכניקת הקוונטים קרובה יותר לזו שבלנדאו.