Skip to main content
Library homepage
 
Global

3.9: נספח- אלגברה אופרטיבית אקספוננציאלית

נניח שהקומוטטור של שני מפעילים, A B

[A,B]=c,

שם c נוסע עם A ובדרך B כלל זה רק מספר, למשל 1 אוi.

ואז

[A,eλB]=[A,1+λB+(λ22!)B2+(λ33!)B3+]=λc+(λ22!)2Bc+(λ33!)3B2c+=λceλB.

כלומר, הקומוטטור של A עם eλB הוא פרופורציונלי לעצמוeλB. זה מזכיר את יחס ההחלפה הפשוט של מתנד הרמוני [H,a]=ωa שהוביל ישירות לסולם הערכים העצמיים של מופרדים על ידי. H ω האם יהיה "סולם" דומה של מצבים עצמיים של A באופן כללי?

בהנחה A (שהוא מפעיל כללי) יש מצב עצמי |a עם ערך עצמי, a

A|a=a|a.

הגשת בקשה [A,eλB]=λceλB למצב העצמי|a:

AeλB|a=eλBA|a+λceλB|a=(a+λc)|a.

לכן, אלא אם כן הוא אפס זהה, eλB|a הוא גם מצב עצמי של, עם ערך עצמי. A a+λc אנו מסיקים שבמקום סולם של מצבים עצמיים, אנו יכולים כנראה ליצור רצף שלם של מצבים עצמיים, שכן λ ניתן להגדיר באופן שרירותי!

כדי למצוא זהויות מפעיל נוספות, [A,eλB]=λceλB הכפל מראש eλB כדי למצוא:

eλBAeλB=A+λ[A,B]=A+λc.

זהות זו נכונה רק למפעיליםA, B שהקומוטטור שלהם c הוא מספר. (ובכן, c יכול להיות מפעיל, בתנאי שהוא עדיין נוסע עם שניהם A וB).

המשימה הבאה שלנו היא לבסס את הזהות השימושית הבאה, וזה נכון גם רק אם [A,B] נוסעים עם A וB:

eA+B=eAeBe12[A,B].

ההוכחה היא כדלקמן:

הוכחה

קחf(x)=eAxeBx,

dfdx=AeAxeBx+eAxeBxB=f(x)(eBxAeBx+B)=f(x)(A+x[A,B]+B).

קל לבדוק שהפתרון למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון זה השווה לאחד ב x=0 הוא

f(x)=ex(A+B)e12x2[A,B]

כך שלקיחה x=1 נותנת את הזהות הנדרשת,

eA+B=eAeBe12[A,B].

מכאן נובע גם eBeA=eAeBe[A,B] שסיפק - כמו תמיד - שנוסע עם ו. [A,B] A B