3.9: נספח- אלגברה אופרטיבית אקספוננציאלית
נניח שהקומוטטור של שני מפעילים, A B
[A,B]=c,
שם c נוסע עם A ובדרך B כלל זה רק מספר, למשל 1 אוiℏ.
ואז
[A,eλB]=[A,1+λB+(λ22!)B2+(λ33!)B3+…]=λc+(λ22!)2Bc+(λ33!)3B2c+…=λceλB.
כלומר, הקומוטטור של A עם eλB הוא פרופורציונלי לעצמוeλB. זה מזכיר את יחס ההחלפה הפשוט של מתנד הרמוני [H,a†]=ℏωa† שהוביל ישירות לסולם הערכים העצמיים של מופרדים על ידי. H ℏω האם יהיה "סולם" דומה של מצבים עצמיים של A באופן כללי?
בהנחה A (שהוא מפעיל כללי) יש מצב עצמי |a⟩ עם ערך עצמי, a
A|a⟩=a|a⟩.
הגשת בקשה [A,eλB]=λceλB למצב העצמי|a⟩:
AeλB|a⟩=eλBA|a⟩+λceλB|a⟩=(a+λc)|a⟩.
לכן, אלא אם כן הוא אפס זהה, eλB|a⟩ הוא גם מצב עצמי של, עם ערך עצמי. A a+λc אנו מסיקים שבמקום סולם של מצבים עצמיים, אנו יכולים כנראה ליצור רצף שלם של מצבים עצמיים, שכן λ ניתן להגדיר באופן שרירותי!
כדי למצוא זהויות מפעיל נוספות, [A,eλB]=λceλB הכפל מראש e−λB כדי למצוא:
e−λBAeλB=A+λ[A,B]=A+λc.
זהות זו נכונה רק למפעיליםA, B שהקומוטטור שלהם c הוא מספר. (ובכן, c יכול להיות מפעיל, בתנאי שהוא עדיין נוסע עם שניהם A וB).
המשימה הבאה שלנו היא לבסס את הזהות השימושית הבאה, וזה נכון גם רק אם [A,B] נוסעים עם A וB:
eA+B=eAeBe−12[A,B].
ההוכחה היא כדלקמן:
הוכחה
קחf(x)=eAxeBx,
dfdx=AeAxeBx+eAxeBxB=f(x)(e−BxAeBx+B)=f(x)(A+x[A,B]+B).
קל לבדוק שהפתרון למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון זה השווה לאחד ב x=0 הוא
f(x)=ex(A+B)e12x2[A,B]
כך שלקיחה x=1 נותנת את הזהות הנדרשת,
eA+B=eAeBe−12[A,B].
◻
מכאן נובע גם eBeA=eAeBe−[A,B] שסיפק - כמו תמיד - שנוסע עם ו. [A,B] A B