2.3: מרחבי פונקציה

אלגברה לינארית בממדים אינסופיים

המוטיבציה לסקירת האלגברה הליניארית שלנו הייתה התצפית שמערכת הפתרונות למשוואת שרדינגר עונה על כמה מהדרישות הבסיסיות של מרחב וקטורי, בכך ששילובי פתרונות ליניאריים נותנים פיתרון נוסף למשוואה. יתר על כן, המשוואה של שרדינגר עצמה, כאופרטור דיפרנציאלי הפועל על פונקציה, מציעה כי ניתן להרחיב את הרעיון של מפעיל מטריצה הפועל על וקטורים במרחב וקטורי ממדי n למפעילים כלליים יותר, כגון אופרטורים דיפרנציאליים, הפועלים על פונקציות במרחב אינסופי -ממדי.

הניתוח שלנו של מרחבים וקטוריים ליניאריים החל בהגדרת מוצר פנימי, ששימש לביסוס בסיס אורתונורמלי לחלל. בניית בסיס מוגדר היטב למרחב של כל הפונקציות על הציר האמיתי נשמע בלתי אפשרי, וכנראה שכן. למרבה המזל, אנחנו לא צריכים להיות כל כך מקיפים. ראשית, איננו מעוניינים בפונקציות עם אי-רציפות, מכיוון שבמכניקת הקוונטים זו תהיה פונקציית גל המתאימה לאנרגיה אינסופית. (אנו יכולים לאפשר אי רציפות בשיפוע, אם כי, כפי שנדון בהרצאת אלקטרון בקופסה, זה מתרחש רק כאשר הפוטנציאל הוא אינסופי. פוטנציאלים אינסופיים הם כמובן לא פיזיים, אך הם קירובים נוחים במקרים מסוימים, לכן נשמור על אפשרות זו פתוחה.) מגבלה חשובה נוספת נובעת מהדרישה שתפקוד הגל יתאר חלקיק בודד - עליו להיות ניתן לנורמליזציה, כלומר הנורמה

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)dx <\infty \label{2.3.1}\]

ולמעשה \(\psi\) יש לשנות את קנה המידה כך שהאינטגרל הזה יהיה שווה לאחדות לחישוב בפועל של הסתברויות. שימו לב שזה \(\psi(x)\) אומר\(\psi(x,t=0)\), אך הנורמה מתגלה כבלתי תלויה בזמן, כפי שהיא חייבת להיות, במקרה של חלקיק בודד.

בהתבסס על האנלוגיה עם מרחבים וקטוריים ממדיים n, הדרישה לנורמה סופית מציעה הגדרה לתוצר הפנימי במרחב הפונקציות: \[ \langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f^*(x)g(x)dx \label{2.3.2}\]

הגדרה זו עונה על דרישתו של דיראק\(\langle f|g\rangle^*=\langle g|f\rangle\), הנותנת נורמה חיובית והיא ליניארית. \(f,\; g\) מרחב הפונקציות עם המוצר הפנימי הזה, ועם הנורמה הסופית\(\sqrt{\langle f|f\rangle}\), כתוב \(L_2(-\infty,\infty)\) או צודק\(L_2\). אומרים שהפונקציות הן "אינטגרליות מרובעות".

שימו לב שהתוצר הפנימי הזה דומה למוצר החרטום האלגברי הליניארי אם אנו מדמיינים כל נקודה בקו כווקטור בסיס עצמאי - חסר משמעות מתמטית, כמובן, אך רמז לאן אנו הולכים.

אלקטרון בקופסה שוב

כמקדים לדיון בפונקציות בקו האינסופי, כדאי לקחת בחשבון את אלה המוגבלים למרווח הסופי \((0, L)\) ולהיעלם בשני הקצוות. אלה בדיוק התנאים שמספקים פונקציות הגל של אלקטרונים בקופסה (ראה ההרצאה הקודמת):

\[ |n\rangle=\psi_n(x,t=0)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L} \label{2.3.3}\]

נזכיר מההרצאה של סדרת פורייה כי כל פונקציה ללא הפסקות יכולה להיות מיוצגת כסכום על רכיבי פורייה. במקרה הנוכחי של פונקציות השוות לאפס בשני הקצוות (כפי שחייבת להיות כל פונקציית גל פיזית בתיבה), מוטות הסינוס \(|n\rangle\) שלמעלה יוצרים סט שלם, כלומר, ב\(t = 0\), ניתן לכתוב כל \(\psi(x)\) המספק את תנאי הגבול:

\[ |\psi(x)\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle \label{2.3.4}\]

כאשר, מהאורתונורמליות של מערך הבסיס, מקדמי פורייה \(|n\rangle\)\(a_n=\langle n|\psi\rangle\), כך (מה שמבהיר שהוא למעשה ket במרחב \(\psi(x)\) הווקטורי הזה)

\[ |\psi\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n|\psi\rangle \label{2.3.5}\]

מתן אופרטור זהות במרחב של פונקציות רציפות שנעלמות ב- 0 ו\(L\):

\[ I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n| \label{2.3.6}\]

מקביל בדיוק לזה במרחבים וקטוריים סופיים ממדיים. התוצר הפנימי של שתי פונקציות

\[ \psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle,\; \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n|n\rangle \label{2.3.7}\]

מוגדר כמו בסעיף הקודם על ידי

\[ \langle \phi|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \phi^*(x)\psi(x)dx \label{2.3.8}\]

הוא באופן שווה, במונחים של מקדמי פורייה, \[ \langle \phi|\psi\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} b_n^*a_n \label{2.3.9}\]

והנורמליזציה \[ \langle \psi|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2=1 \label{2.3.10}\]

אז עבור פונקציות הגל של אלקטרונים בקופסה, הבסיס האורתונורמלי של פונקציות הסינוס נותן מרחב וקטורי אינסופי ממדי מוגדר היטב.

הצהרנו בעבר כי הפרשנות הסטנדרטית של פונקציית הגל \(\psi(x)\) \(|\psi(x)|^2 dx\) היא שההסתברות למצוא את החלקיק במרווח קטן \(dx\) קרוב\(x\), ולהשתלב על כל ההסתברות הכוללת למצוא \(x\) את החלקיק היא אחת. אבל אנחנו יכולים גם לחפש את החלקיק במצב מסוים, ולא במרווח קטן מסוים\(dx\). במקרה זה, \(|a_n|^2\) היא ההסתברות למצוא את החלקיק \(n^{th}\) במדינה. זה עולה בקנה אחד עם הפרשנות הקודמת, והוא מקביל לניתוח הקודם שלנו של ההסתברות שלחלקיק יש מומנטום מסוים. מקדם המדינה \(a_n\) נקרא משרעת, או לפעמים משרעת ההסתברות.

אולי אתה תוהה כיצד נמדוד שחלקיק נמצא במצב מסוים. התשובה היא לחכות שהוא יקפוץ החוצה. אם אטום מתרגש (למשל על ידי פרץ קצר של קרינה) הוא יתרגש למצב שהוא סופרפוזיציה לינארית של מצבי אנרגיה שונים\(\sum a_n|E_n\rangle\), ולא למצב עצמי יחיד. בדרך כלל הוא יחזור למצב הקרקע על ידי פליטת פוטונים אחד או סדרה, ותדירות הפוטון הנפלט חושפת את הפרש האנרגיה בין המצבים האטומיים המעורבים. עבור אוסף אטומים הנרגשים באותו אופן, העוצמות היחסיות של קווי ספקטרום שונים נותנות את ההסתברויות היחסיות למצבים שונים. כמובן, חבילת גל ארוכה כמעט מונוכרומטית של קרינה נכנסת תטה להכניס את כל האטומים הנרגשים לאותו מצב.

תרגיל \(\PageIndex{1}\)

כתוב את אופרטור הזהות של האלקטרון בתיבה \(I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n|\) באמצעות הטופס המפורש\(|n\rangle=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}\). הוכח שזה שווה ערך לפונקציית הדלתא בעת הפעלה על פונקציות אחרות בתוך התיבה. מה ההתנהגות של פונקציה זו מחוץ לקופסה?

פונקציות על הקו האינסופי

מה קורה אם ניקח את הניתוח של החלק הקודם \(L\) ונשחרר לאינסוף? זה מקביל לניתוח (שתי הרצאות אחורה) של מעבר מסדרות פורייה לטרנספורמציה פורייה, הסכום על סדרה של גלי מישור המספקים תנאי גבול והופך לאינטגרל על הרצף של כל גלי המישור. בהרצאה ההיא ראינו שככל \(L\) שהלכו לאינסוף, המשרעת של המצבים העצמיים המנורמלים \(|n\rangle\) עלתה לאפס כמו\(1/\sqrt{L}\), ולכן גם המקדמים הבודדים. \(a_n=\langle n|\psi\rangle\) עם זאת, צפיפות המצבים העצמיים הללו במרחב המומנטום גדלה ככל \(L\) שבסך הכל גורמי \(L\) הביטול והסכום נטו לאינטגרל סופי, במיוחד

\[ \psi(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} a(k)e^{ikx}dk\]

עם

\[a(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-ikx}dx \label{2.3.11}\]

עבור האלקטרון בקופסה (סדרת פורייה) למעלה כתבנו את המשוואה המתאימה בסימון דיראק כ

\[ |\psi(x)\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle\]

עם

\[a_n=\langle n|\psi\rangle, \; so \; I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n| \label{2.3.12}\]

מפתה לרשום את המשוואות האנלוגיות למקרה הקו האינסופי, על ידי תרגום משוואות הטרנספורמציה של פורייה לסימון דיראק, וכתיבה עיוורת: \(e^{ikx}=|k\rangle\)

\[ |\psi(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}a(k)|k\rangle, \; a(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-ikx}dx=\langle k|\psi(x)\rangle,\; I=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} |k\rangle \langle k| \label{2.3.13}\]

זה נראה טוב, אבל יש לו בעיה - בניגוד לפונקציות הבסיס של סדרת פורייה\(|n\rangle\), "מצבי בסיס" אלה של טרנספורמציה פורייה \(|k\rangle\) הם מצבי גל מישוריים ארוכים לאין שיעור \(e^{ikx}\) ולכן אינם ניתנים לנורמליזציה במובן שהשתמשנו במונח זה עד כה. הם אפילו לא בחלל שאנחנו אמורים לעבוד בו!

יתר על כן, \(|\langle k|\psi(x)\rangle|^2\) אין ההסתברות שמדידה של המומנטום של האלקטרון תניב בדיוק את הערך\(p=\hbar k\). הפרשנות ההסתברותית הנכונה לרצף של ערכי k מקבילה בדיוק לרצף של ערכי x במרחב הרגיל: \(|\langle k|\psi(x)\rangle|^2dk\) היא ההסתברות שמדידת מומנטום תמצא את k -ערך להיות במרווח רוחב קטן קרוב. \(dk\) \(k\) ההסתברות הולכת לאפס עם רוחב המרווח, וכך היא קטנה ונעלמת אם אנו דורשים ערך מדויק של. \(k\)

אבל אנחנו אף פעם לא מודדים \(k\) בדיוק אינסופי בכל מקרה - זה ייקח מנגנון גדול לאין שיעור. הכמות המשמעותית מבחינה פיזית היא ההסתברות למצוא \(k\) במרווח קטן \(dk\) - בפועל, עם גלאים אמיתיים, אנו תמיד משתלבים בטווח \(k\) כלשהו (קטן).

המשמעות היא שאולי נהיה בסדר עם בסיס הרצף הזה של מצבים: אנחנו לא רוצים שהם יהיו מנורמלים בצורה המסורתית\(\langle k|k\rangle=1\), כי זה יתאים להסתברות סופית שלחלקיק יש ערך מדויק מתמטית של\(k\), שאין לו שום היגיון פיזי - למעשה זה שטויות. הנורמליזציה שאנו זקוקים לה היא הגיונית בהקשר של אינטגרל על פני מרווח קטן \(k\) - אך עדיין כמובן על אינסוף מתמשך של מצבי בסיס!

מההגדרה הקודמת שלנו לפונקציית הדלתא, אנו יכולים לבטא אורתוגונליות של מצבים אלה\(|k\rangle\): \[ \langle k'|k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k-k')x}dx=2\pi\delta(k-k') \label{2.3.14}\]

ומכיוון \(\delta\) שהפונקציה מנורמלת במובן זה שיש לה משקל כולל אחד באינטגרל, אנו לוקחים את המשוואה הזו כהגדרת הנורמליזציה של הפונקציות\(|k\rangle\). כלומר, אנו לוקחים את המדינה \(|k\rangle\) שתפקוד \(Ae^{ikx}\) איתה גל\(A=1\).

כעת פונקציית הדלתא משמעותית רק בתוך אינטגרל, ולכן כך גם הנורמליזציה שלנו, והפורמליזם, בסיס רצף של מצבי גל מישוריים עם אורתוגונליות של פונקציית דלתא, אם כי אולי משאיר משהו לרצוי מנקודת מבט מתמטית קפדנית, מתגלה כ דרך עקבית ואמינה לגיבוש מכניקת הקוונטים.

תרגיל \(\PageIndex{1}\)

מהביטוי למפעיל הזהות לעיל:

\(|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}|k\rangle\langle k|\psi\rangle\)

תחליף \(|k\rangle=e^{ikx}\) ובדוק שזה הגיוני.

הערה: מחברים מסוימים מעדיפים להגדיר את מצבי גל המישור המנורמלים על ידי\(|k\rangle=\sqrt{1/2\pi}e^{ikx}\), ובמקרה זה\(\langle k'|k\rangle=\delta(k'-k)\), \(dk/2\pi\) וההופעה באינטגרל לעיל עבור אופרטור הזהות הופכת לפשוטה\(dk\). עם המוסכמה שלנו, \(dk\) תמיד מופיע עם \(2\pi\) במכנה.

הערה נוספת: יש המעדיפים ללכת לתיבה ענקית, אך לא אינסופית, ולכן פונקציות הגל של המומנטום העצמי של המומנטום הן הסט הנפרד\(|k\rangle=\sqrt{\frac{1}{L}}e^{ikx}\), או בתלת מימד\(|k\rangle=\sqrt{\frac{1}{V}}e^{i\vec k \cdot \vec x}\), \(V\) בהיותו הנפח. עבור תיבה ענקית זו, בטוח להחליף את הסכום על פני מצבי מומנטום נפרדים באינטגרל, תוך התחשבות בכך שצפיפות המצבים במרחב הפאזה פרופורציונלית \(L\) לנתינה \(\sum_n \equiv\int L\frac{dk}{2\pi}\) או \(\int V\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\) בשלושה ממדים. הגורמים \(L\) או \(V\) הגורמים מתבטלים לבסוף בחישובים, כפי שנגלה בהמשך.

משוואת שרדינגר כמפעיל על מרחב וקטורי

כפי שסיפרנו בתחילת קורס זה, כאשר שרדינגר אתגר למצוא משוואת גל לגל האלקטרונים, הוא בנה מקבילה אחת ל"משוואת גל הפוטון "האלקטרומגנטית, כלומר הוא לקח את משוואת האנרגיה-מומנטום וכתב

\[E=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, \; p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \label{2.3.15}\]

הוא גילה שניתן לפתור את הגרסה התלת מימדית של המשוואה הדיפרנציאלית שנבנתה בדרך זו בשיטות אנליטיות סטנדרטיות לאלקטרון בשדה כוח ריבועי הפוך - אטום המימן. פתרונות הגל העומד הניבו את הרמה הנכונה של רמות אנרגיה - אלה שבוהר מצא קודם לכן עם המודל הפשטני שלו. זה אישר שאכן התגלתה משוואת הגלים המתארת את התפשטות גלי האלקטרונים, והיא

\[ \left( E-\frac{p^2}{2m}-V(x) \right)\psi(x,t)=0 \label{2.3.16}\]

עם המפעילים \(E,\; p\) הדיפרנציאליים שניתנו לעיל. מכיוון שהאופרטור בסוגריים הוא ליניארי, הפתרונות \(\psi(x,t)\) יוצרים מרחב וקטורי ליניארי.

אופרטורים דיפרנציאליים: מפעיל המומנטום ב \(L_2\)

המשימה שלנו כעת היא לעצב מחדש את הגישה הישנה הזו של אופרטורים דיפרנציאליים הפועלים על פונקציות גל בשפת Dirac המקבילה. נתחיל עם הפשוטה ביותר, מפעיל המומנטום. ראשית, עלינו להראות שזה הרמיטי. החוכמה היא להשתלב לפי חלקים:

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=-i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \phi^*(x)\frac{d\psi(x)}{dx}=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx}-[\phi^*(x)\psi(x)]_{-\infty}^{\infty} \label{2.3.17}\]

המונח האחרון, התרומה מנקודות הקצה האינסופיות של האינטגרציה, חייב להיות אפס מכיוון שפונקציות אינטגרליות בריבוע חייבות להגיע לאפס באינסוף, כך

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx} \label{2.3.18}\]

עכשיו\(p_x|\phi\rangle=-i\hbar d\phi/dx=|p_x\phi\rangle\), כך\(\langle p_x\phi|=i\hbar d\phi^*/dx=\langle \phi|p_x^{\dagger}\), ו

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx}=\langle \phi|p_x^{\dagger}|\psi\rangle \label{2.3.19}\]

קבענו כי \(p_x=p_x^{\dagger}\) בין כל שתי מדינות במרחב: אז זו זהות מפעיל, \(p_x=-i\hbar d/dx\) והיא הרמיטית. (\(i\)חשוב: המפעיל הדיפרנציאלי \(d/dx\) לבדו אינו הרמיטי, הוא אנטי הרמיטי! \(L_2\)

כך \(p_x\) גם מפעיל הרמיטי, ולכן יש לו ערכים עצמיים אמיתיים, שחייבים להיות לו מכיוון שמומנטום הוא כמות פיזית. אבל מה הם הווקטורים העצמיים שלה? אנחנו כבר יודעים, כמובן, שהם מצבי גל המישור - זו כל הסיבה שהמפעיל המסוים הזה נבחר בבניית משוואת הגלים מלכתחילה. עם זאת, באופן קפדני, כפי שכבר דנו, מצבי גל מישוריים אלה אינם נמצאים\(L_2\). עם זאת, כל פונקציה חלקה \(L_2\) יכולה לבוא לידי ביטוי כאינטגרל על פני מצבים אלה, ולכן הם מהווים בסיס מלא לפונקציות הרלוונטיות לפיזיקה.

(נכון שמאוחר יותר, בתורת הפיזור ובמקומות אחרים, אנו עשויים לדבר על גלי מישור מבלי לעשות תמיד אינטגרל: יש להבין דיבורים רופפים כאלה כמתייחסים לחבילת גלים ארוכה מאוד אך סופית, המקורבת היטב על ידי גל מישור במהלך אירוע הפיזור.)

מפעיל המשרה והמצבים העצמיים שלו

"העמדה" היא רק המתואמת, בעליל תמיד אמיתית\(x\), ומפעילה הרמיטית.

הוכחה:

\[ \langle \varphi|x|\psi\rangle=\int \varphi^*(x)x\psi(x)dx=(\int \psi^*(x)x\varphi(x)dx)^*=\langle \psi|x|\varphi\rangle^*\]

נבהיר כי בהקשר זה אנו רואים \(x\) כמפעיל על ידי כתיבתו בכובע קטן,\(\hat{x}\). ברור באותה מידה שהמצבים העצמיים של\(\hat{x}\), מצבים שבהם לחלקיק יש הסתברות השווה לאחד להיות במיקום מסוים, חייבים להיות פונקציות דלתא המתאימות למיקום זה: זו הפונקציה היחידה עם אפס הסתברות למצוא את החלקיק בכל מקום אחר. אז אם \(|a\rangle\) הוא מצב עצמי של \(x\) עם ערך עצמי, \(a\) \[ |a\rangle=C\delta(x-a) \label{2.3.20}\]

איפה \(C\) זה קבוע. אבל, לא משנה מה הערך שנבחר\(C\), פונקציית הגל הזו, כמו המצב העצמי של המומנטום, אינה ניתנת לנורמליזציה - כך שלמעשה, \(|a\rangle\) עצמה לעולם לא תוכל להיות פונקציית הגל של חלקיק!

דוגמא \(\PageIndex{1}\)

קח את ההגדרה המועדפת עליך לפונקציית הדלתא, והוכיח שהיא אינה ניתנת לנורמליזציה, כהגדרתה ב\(L_2\).

פתרון

(ממילא זה לא יהיה סביר מבחינה פיזית - למקם חלקיק לנקודה יידרש אנרגיה אינסופית.) אבל הסט של כל \(|a\rangle\) זה הוא בהחלט שלם, ובתוכו טמון הערך שלה: זה הבסיס למרחב. המוסכמה היא "לנרמל" את החבטים הללו, או ליתר דיוק לבנות "סט אורתונורמלי", באנלוגיה עם אמנת האורתונורמליזציה של מצבי המומנטום של גל המטוס, כלומר לקחת

\[ \langle a|b\rangle=\delta(a-b)\]

מהתוצאה הקודמת

\[ \int \delta(a-x)\delta(x-b)dx=\delta(a-b) \]

זה נובע מיד מכך\(C=1\).

לכן,

\[ \langle x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx'\delta(x-x')\psi(x')=\psi(x) \label{2.3.22}\]

לקחת את המוצר הפנימי של \(|\psi\rangle\) עם החזייה \(\langle x|\) רק נותן את הערך של \(\psi\) בנקודה\(x\). כתוצאה מכך \(L_2\) ניתן לכתוב כל פונקציה \(\psi(x)\) ב:

\[ |\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle \label{2.3.23}\]

תרגיל \(\PageIndex{1}\)

בדוק שהמשוואה\ ref {2.3.23} נכונה על ידי מציאה. \(\langle x'|\psi\rangle\)

מכאן נובע מהמשוואה\ ref {2.3.23} \(L_2\) שניתן לכתוב את אופרטור הזהות במונחים של המצבים העצמיים של: \(\hat{x}\) \[I=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle \langle x| \label{2.3.24}\]

מכאן, \(|k\rangle\) ניתן לכתוב \[ |k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dxe^{ikx}|x\rangle \label{2.3.25}\]

ו \[ |x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}|k\rangle\langle k|x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}e^{-ikx}|k\rangle \label{2.3.26}\]

אלה אולי המשוואות הפחות קפדניות בסעיף זה - אנו מבטאים קבוצה אחת של מצבים מחוץ למונחים של קבוצה אחרת כזו, תוך שימוש בשתי הקבוצות כבסיסים \(L_2\) ב! \(L_2\) ברור שזה משמעותי רק עם \(|x\rangle\) מצב המוגדר כגבול רוחב אפס של צמצום גאוסים (נניח) \(|k\rangle\) ומצב כמגבלה של מנות גל ארוכות וארוכות יותר, הנוטות לערך k יחיד. עם זאת, למרות חוסר הקפדנות במצגת לעיל, מצבים אלה, המשמשים בזהירות, הם למעשה כלים אמינים ויעילים לניתוח בעיות מכניות קוונטיות. נשתמש בהם לעתים קרובות.

תרגיל: הראה שמשוואות אלה עקביות על ידי החלפה \(|k\rangle\) מהראשון לצד הימני של השני, לתת. \(|x\rangle=|x\rangle\)

מפעיל המילטוניאן

המפעיל המילטוניאני נותן את זמן הפיתוח של פונקציית הגל. זה תואם את האנרגיה הכוללת. אם פונקציית הגל תואמת אנרגיה מוגדרת, ניתן לחשב את תלות הזמן, ופונקציית הגל המרחבי היא פתרון למשוואה בלתי תלויה בזמן של שרדינגר: \[ H\psi(x)=\left( \frac{p^2}{2m}+V(x) \right)\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) \label{2.3.27}\]

_{מכיוון שאנו רואים רק את מרחב \(L_2\) פונקציות הגל שעליו שניהם \(p\) הרמיטיים, \(H\) חייב להיות הרמיטי, ולכן יש לו ערכים עצמיים אמיתיים. \(x\)}

הכללים הבסיסיים של מכניקת הקוונטים

כל פונקציית גל מכני קוונטי חייבת להיות ניתנת לנורמליזציה, מכיוון שהנורמה מייצגת את ההסתברות הכוללת למצוא את החלקיק (או, באופן כללי יותר, את המערכת) אי שם בחלל הפאזה שלו, כך

כלל בסיסי ראשון: כל מצב של החלקיק הוא ket \(|\psi\rangle\), המסמל פונקציה \(\psi(x)\) ב\(L_2\).

מתמטיקאים משתמשים במונח מרחב הילברט כדי להתייחס למרחבי תוצר פנימי של פונקציות ניתנות לנורמליזציה כך שלכל רצף מתכנס במרחב יש גבול במרחב (תכונה שלדוגמא אין למספרים הרציונליים, אך למספרים האמיתיים יש). הפונקציות שלנו לעיל עבור האלקטרון בתיבה אכן יוצרות מרחב כזה, כאשר גלי הסינוס הם בסיס אורתונורמלי. עם זאת, בהמשך לקו האינסופי, למרות שעדיין יש לנו פונקציות גל ניתנות לנורמליזציה, שני הבסיסים עליהם דנו לעיל, גלי המישור (בסיס המומנטום) ופונקציות הדלתא (בסיס מיקום) אינם עצמם במרחב - באמצעותם אנו מתכוונים שהם אינם מנורמלים כהגדרתם ב. \(L_2\)

אך בסיסים אלה שניהם שלמים, כלומר כל פונקציית גל יכולה לבוא לידי ביטוי במונחים של סכום (רציף) על האלמנטים של כל אחד מהם.

בניית בסיסים שלמים אך לא מנורמלים באופן קונבנציונאלי הייתה מעשה ידיו של דיראק, והיא נוחה ביותר בתיאור מכניקת הקוונטים. אבל זה הרגיז את המתמטיקאים. למרבה המזל, מאוחר יותר הם הצדיקו זאת על ידי המצאת תורת ההפצות, שהן פונקציות כלליות, וכוללות פונקציות דלתא.

בשורה התחתונה: נעקוב אחר הפיזיקאים האחרים בשימוש במונח "מרחב הילברט" באופן רופף יותר ממה שמתמטיקאים עושים, להתייחס אליו\(L_2\), המורחבים כך שיכללו את הבסיסים הלא ניתנים לנורמליזציה.

הכלל הבסיסי הבא: משתנה פיזי, או ניתן לצפייה, מתאים למפעיל הרמיטי \(A\) הפועל על. \(L_2\)

נניח כי החלקים העצמיים של כל משתנה כזה משתרעים על המרחב: זה תמיד נכון לגבי מרחב ממדי סופי, כפי שנדון בעבר, אך לא עבור מפעיל הרמיטי כללי במרחב הילברט, כך שזו הנחה לא טריוויאלית.

עבור אופרטור עם קבוצה נפרדת של ערכים עצמיים\(A|n\rangle=\lambda_n|n\rangle\), ניתן לכתוב כל פונקציית גל \[ |\psi\rangle=\sum c_n|n\rangle,\; with \; c_n=\langle n|\psi\rangle \label{2.3.28}\]

כלל להתייחסות מפעילים לניסויים: כל מדידה של ערך המשתנה הפיזי \(A\) תניב את אחד הערכים העצמיים \(\lambda_n\) של המפעיל \(A\), וההסתברות למצוא את הערך המסוים \(\lambda_n\) שווה ל. \(|c_n|^2=|\langle n|\psi\rangle|^2\)

ערך הציפייה של נצפה \(A\) הוא הערך הממוצע של סדרת מדידות במערכות קוונטיות זהות, \[ \langle A\rangle=\langle \psi|A|\psi\rangle=\sum |c_n|^2\lambda_n \label{2.3.29}\]

חשוב לציין ששתי מדידות של אותה ניתן לצפייה \(A\) באותה מערכת, מדידה אחת המתבצעת מיד לאחר השנייה, חייבות להניב את אותה תוצאה. כלומר, אם המדידה הראשונה קוראת\(\lambda_n\), השנייה חייבת להיות \(\lambda_n\) עם הסתברות של 100%. אבל זה יכול לקרות רק אם פונקציית הגל לאחר המדידה הראשונה היא\(|n\rangle\), שבאופן כללי זה לא היה לפני המדידה הראשונה. תיאור הז'רגון של זה הוא שפעולת המדידה "קורסת את פונקציית הגל" לאחד המצבים העצמיים של המשתנה הנמדד.

מדידת משתנה רצף: עבור משתנים כמו מיקום ומומנטום בעלי קבוצות רצף של וקטורים עצמיים, הפרשנות הסטטיסטית היא במונחים של מציאת החלקיק בטווח קטן כלשהו - ההסתברות למצוא אותו בין לבין - היא \(x\) \(x+dx\) \[ \langle\psi|\int_{x}^{x+dx} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int_{x}^{x+dx} |\psi(x)|^2dx \label{2.3.30}\]

וערך הציפייה של \(x\) הוא \[ \langle \psi|x|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{x}\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x|\psi(x)|^2dx \label{2.3.31}\]

שם חבשנו כובע קטן על \(x\) מנת להזכיר לנו שמדובר במפעיל, עם כרטיסים עצמיים\(|x\rangle\).