2.1: סדרות פורייה ואינטגרלים, פונקציית דיראק

אנחנו מתחילים עם סקירה קצרה של סדרת פורייה. כל פונקציה תקופתית של עניין בפיזיקה יכולה לבוא לידי ביטוי כסדרה בסינוסים ובחמימות - כבר ראינו שתפקוד הגל הקוונטי של חלקיק בקופסה הוא בדיוק בצורה זו. השאלה החשובה בפועל היא, לגבי פונקציית גל שרירותית, עד כמה ניתנת קירוב אם נפסיק לסכם את הסדרה לאחר $N$ מונחים. אנו קובעים כאן כי הסכום שאחרי $N$ מונחים$f_N(\theta)$,, יכול להיכתב כפיתול של הפונקציה המקורית עם הפונקציה

$$\delta_N(x)=(1/2\pi)(\sin(N+\dfrac{1}{2})x)/\sin\dfrac{1}{2}x \label{2.1.1}$$

כלומר,

$$f_N(\theta)=\int\limits_{-x}^{x} \delta_N(\theta-\theta')f(\theta')d\theta' \label{2.1.2}$$

מבנה הפונקציה $\delta_N(x)$ (מתווה להלן), כאשר הוא מורכב עם הפונקציה$f(\theta)$, נותן מדריך אינטואיטיבי טוב עד כמה קירוב הסכום על פני $N$ מונחים הולך להיות עבור פונקציה נתונה. $f(\theta)$ בפרט, מתברר כי אי רציפות צעדים לעולם אינן מטופלות בצורה מושלמת, לא משנה כמה מונחים כלולים. למרבה המזל, אי רציפות צעדים אמיתיות לעולם אינן מתרחשות בפיזיקה, אך זוהי אזהרה כי כמובן יש צורך לסכם עד כמה $N$ שבהם הסינוסים והקוסינוסים מתנדנדים במהירות רבה יותר מכל שינוי פתאומי בפונקציה המיוצגת.

אנו ממשיכים לטרנספורמציה פורייה, שבה פונקציה בקו האינסופי באה לידי ביטוי כאינטגרל על פני רצף של סינוסים וקוסינוסים (או אקספוננציאלים שווים). $e^{ikx}$ מתברר כי טיעונים מקבילים לאלה שהובילו $\delta_N(x)$ כעת לתת פונקציה $\delta(x)$ כזו

$$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x')f(x')dx' \label{2.1.3}$$

מול זה, אפשר בהחלט לתהות מה הטעם בפונקציה $\delta(x)$ שעל פיתול עם $f(x)$ מחזירה את אותה פונקציה. $f(x)$ הרלוונטיות של $\delta(x)$ תתברר בהמשך הקורס, כאשר מצבים של חלקיק קוונטי מיוצגים על ידי פונקציות גל בקו האינסופי, כמו$f(x)$, והפעולות עליהם כוללות אופרטורים אינטגרליים הדומים לפיתול לעיל. עבודה עם פעולות על פונקציות אלה היא הכללת רצף של מטריצות הפועלות על וקטורים במרחב סופי-ממדי, והיא הייצוג האינסופי ממדי של $\delta(x)$ מטריצת היחידה. בדיוק כמו באלגברה של מטריקס המצבים העצמיים של מטריצת היחידה הם קבוצה של וקטורים המשתרעים על החלל, ורכיבי מטריצת היחידה קובעים את קבוצת תוצרי הנקודות של וקטורי בסיס אלה, פונקציית הדלתא קובעת את התוצר הפנימי הכללי של בסיס רצף של מצבים. זה ממלא תפקיד חיוני בפורמליזם הסטנדרטי למצבי רצף, ואתה צריך להכיר אותו!

סדרת פורייה

$-\pi<\theta\le\pi$ניתן להרחיב כל פונקציה אמיתית חלקה למדי $f(\theta)$ המוגדרת במרווח בסדרת פורייה,

$$f(\theta)=\dfrac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (A_n\cos n\theta +B_n\sin n\theta) \label{2.1.4}$$

שם ניתן למצוא את המקדמים באמצעות מצב האורתוגונליות,

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos m\theta \cos n\theta d\theta=\pi\delta_{m,n} \label{2.1.5}$$

ואותו תנאי לתת $\sin n\theta$ של:

$$A_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\cos n\theta d\theta \label{2.1.6}$$

$$B_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta d\theta \label{2.1.7}$$

שים לב כי עבור פונקציה זוגית, רק $A_n$ הם nonzero, עבור פונקציה מוזרה רק $B_n$ הם nonzero.

כמה חלק הוא "חלק באופן סביר"?

מספר המונחים של הסדרה הדרושים בכדי לתת קירוב טוב לפונקציה תלוי במהירות שבה הפונקציה משתנה. כדי לקבל מושג מה משתבש כאשר פונקציה אינה "חלקה", מאלף למצוא את סדרת הסינוס פורייה עבור פונקציית הצעד $$f(\theta)=-1 \;\; for \;\; -\pi<\theta\le0, \;\; f(\theta)=1 \;\; for \;\; 0<\theta\le\pi \label{2.1.8}$$

באמצעות הביטוי $B_n$ לעיל קל למצוא:

$$f(\theta)=\dfrac{4}{\pi} \left( \sin\theta +\dfrac{\sin 3\theta}{3}+\dfrac{\sin 5\theta}{5}+... \right) \label{2.1.9}$$

לקיחת חצי תריסר הקדנציות הראשונות בסדרה נותנת:

התופעה של גיבס

ככל שאנו כוללים יותר ויותר מונחים, הפונקציה הופכת חלקה יותר, אך באופן מפתיע, החריפה הראשונית בשלב נשארת בשבריר סופי מגובה המדרגה. עם זאת, הפונקציה מתאוששת מהר יותר ויותר, כלומר החריגה וה"צלצול "בשלב תופסים פחות ופחות מקום. חריגה זו נקראת תופעת גיבס, ומתרחשת רק בפונקציות עם אי-רציפות.

כיצד הסכום על פני N תנאים קשור לפונקציה השלמה

כדי לקבל מושג ברור יותר כיצד סדרת פורייה מתכנסת לפונקציה שהיא מייצגת, כדאי לעצור את הסדרה במונחי N ולבחון כיצד הסכום הזה, אותו אנו מציינים$f_N(\theta)$, נוטה לכיוון. $f(\theta)$

אז החלפת ערכי המקדמים (משוואה\ ref {2.1.6} ו-\ ref {2.1.7})

$$A_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\cos n\theta d\theta \nonumber$$

$$B_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta d\theta \nonumber$$

בסדרה (משוואה\ ref {2.1.4})

$$f_N(\theta)=\dfrac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{N} (A_n\cos n\theta +B_n\sin n\theta) \nonumber$$

נותן

$$f_N(\theta)=\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta') d\theta' +\dfrac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{N} \int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos n\theta\cos n\theta' +\sin n\theta\sin n\theta')f(\theta')d\theta'$$

$$=\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta') d\theta' +\dfrac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{N} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos n(\theta-\theta')f(\theta')d\theta' \label{2.1.10}$$

כעת אנו יכולים להשתמש בזהות הטריגונומטרית

$$\sum_{n=1}^{N} \cos nx= \dfrac{\sin (N+\dfrac{1}{2})x}{2\sin\dfrac{1}{2}x} -\dfrac{1}{2} \label{2.1.11}$$

כדי למצוא

$$f_N(\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \dfrac{\sin (N+\dfrac{1}{2})(\theta-\theta')}{\sin\dfrac{1}{2}(\theta-\theta')} f(\theta') d\theta'= \int\limits_{-\pi}^{\pi} \delta_N(\theta-\theta') f(\theta')d\theta' \label{2.1.12}$$

היכן

$$\delta_N(x)= \dfrac{1}{2\pi} \dfrac{\sin (N+\dfrac{1}{2})x}{\sin\dfrac{1}{2}x} \label{2.1.13}$$

(שים לב שהוכחת הזהות הטריגונומטרית היא פשוטה: כתוב $z=e^{ix}$$\cos nx=\dfrac{1}{2}(z^n+z^{-n})$, כך וסכם את ההתקדמות הגיאומטרית.)

הולכים אחורה לרגע וכותבים

$$\delta_N(x)= \dfrac{1}{\pi} \left(\sum_{n=1}^{N} \cos nx +\dfrac{1}{2} \right) \label{2.1.14}$$

קל לבדוק את זה $$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \delta_N(x)dx=1 \label{2.1.15}$$

כדי לעזור לדמיין$\delta_N(\theta)$, הנה$N = 20$:

זה עתה קבענו כי השטח הכולל מתחת לעקומה = 1, וברור מהתרשים שכמעט כל השטח הזה נמצא מתחת לפסגה המרכזית, מכיוון שהאזורים המרוחקים מהמרכז חיוביים ושליליים כמעט באותה מידה. רוחב הפסגה המרכזית הוא$\pi/(N+\dfrac{1}{2})$, גובהו$(N+\dfrac{1}{2})/\pi$.

תרגיל: בגדול$N$, בערך כמה רחוק למטה הוא טובל בתנודה הראשונה? ($N/\pi^2$)

עבור פונקציות המשתנות באיטיות בהשוואה לתנודות, אינטגרל הפיתול

$$f_N(\theta)= \int\limits_{-\pi}^{\pi} \delta_N(\theta-\theta')f(\theta')d\theta' \label{2.1.16}$$

ייתן $f_N(\theta)$ קרוב$f(\theta)$, ועבור פונקציות $f_N(\theta)$ אלה נוטים $f(\theta)$ ככל ש - N יגדל.

ברור גם מדוע פיתול עקומה זו עם פונקציית צעד נותן חריגה ותנודות. נניח שהפונקציה $f(\theta)$ היא צעד, קופץ מ -0 ל -1 ב $\theta=0$ מהצורה המתפתלת של האינטגרל, אתה אמור להיות מסוגל לשכנע את עצמך שהערך של $f_N(\theta)$ בנקודה $\theta$ הוא השטח הכולל מתחת $\delta_N(\theta)$ לעקומה משמאל לנקודה זו (אזור מתחת לאפס - כלומר מתחת לציר x - כמובן ספירה שלילית). בשביל $\theta=0$ זה חייב להיות בדיוק 0.5 (שכן כל השטח תחת $\delta_N(\theta)$ מוסיף 1). אבל אם אנחנו רוצים את הערך של $f_N(\theta)$ at $\theta=\pi/(2N+1)$ (כלומר, הנקודה הראשונה מימין למקור שבו העקומה חותכת את ציר x), עלינו להוסיף את כל השטח משמאל ל$\theta=\pi/(2N+1)$, אשר למעשה מסתכם בסך הכל שטח גדול מאחד, שכן שטח השאריות מימין לנקודה זו הוא שלילי בסך הכל. זה נותן את ההשתלטות.

סדרת פורייה במכניקת הקוונטים: אלקטרון בקופסה

פונקציות גל שרדינגר שאינן תלויות בזמן עבור אלקטרון בקופסה (כאן באר מרובעת חד ממדית עם קירות אינסופיים) הן רק סדרת הסינוס והקוסינוס הנקבעת על ידי תנאי הגבול. לכן, כל פונקציית גל ראשונית חלקה למדי המתארת את האלקטרון יכולה להיות מיוצגת כסדרת פורייה. לאחר מכן ניתן למצוא את התפתחות הזמן מכפילה כל מונח בסדרה בגורם הפאזה המתאים תלוי הזמן.

תרגיל $\PageIndex{1}$

להוכיח כי עבור פונקציה$f(\theta)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{in\theta}$, עם מורכבות כללית, $a_n$

$$\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} |f(\theta)|^2 d\theta= \sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n|^2 \label{2.1.17}$$

הרלוונטיות הפיזית של תוצאה זו היא כדלקמן: עבור אלקטרון מוגבל להיקף של טבעת של רדיוס יחידה, $\theta$ הוא המיקום של האלקטרון. בסיס אורתונורמלי של מצבי האלקטרון בטבעת זו הוא מכלול הפונקציות $(1/\sqrt{2\pi})e^{in\theta}$ עם מספר $n$ שלם, סופרפוזיציה מנורמלת נכונה של מצבים אלה חייבת להיות$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n|^2=1$, כך שההסתברות הכוללת למצוא את האלקטרון במצב כלשהו היא אחדות. אבל זה חייב גם אומר שההסתברות הכוללת למצוא את האלקטרון בכל מקום על הטבעת היא אחדות - וזה הצד השמאלי של המשוואה $2\pi$ הנ"ל - ביטול.

סדרת פורייה אקספוננציאלית

בהרצאה הקודמת דנו בקצרה כיצד ניתן לייצג חבילת גל גאוסית במרחב x כסופרפוזיציה ליניארית רציפה של גלי מישור שהתבררה כחבילת גל גאוסית נוספת, הפעם במרחב k. התוכנית כאן היא להדגים כיצד אנו יכולים להגיע לייצוג זה על ידי לקיחת בזהירות את הגבול של סדרת פורייה המוגדרת היטב, מעבר מהמרווח $(-\pi,\pi)$ הסופי לכל הקו, ולתאר כמה מהבעיות המתמטיות המתעוררות וכיצד לטפל אוֹתָם.

הצעד הראשון הוא טריוויאלי: עלינו להכליל מפונקציות אמיתיות לפונקציות מורכבות, כדי לכלול פונקציות גל בעלות זרם שאינו נעלם. ניתן לכתוב פונקציה מורכבת חלקה בסדרת פורייה פשוט על ידי מתן אפשרות $A_n$ $B_n$ להיות מורכבת, אך במקרה זה הרחבה טבעית יותר תהיה בסמכויות של $e^{i\theta},e^{-i\theta}$

אנו כותבים:

$$f(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{in\theta}\;\; with\;\; a_n=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{-in\theta'} f(\theta')d\theta' \label{2.1.18}$$

וחזרה על השלבים לעיל $$f_N(\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=-N}^{N}e^{in(\theta-\theta')}f(\theta')d\theta'=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta')d\theta' +\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{N}\cos n(\theta-\theta')f(\theta')d\theta' \label{2.1.19}$$

בדיוק אותו ביטוי כמו קודם, ולכן נותן את אותו הדבר$\delta_N(\theta)$. זה לא מפתיע, כי השימוש $N$ במונחים $\cos n\theta=\dfrac{1}{2}(e^{in\theta}+e^{-in\theta}),\:\sin n\theta=\dfrac{1}{2i}(e^{in\theta}-e^{-in\theta})$ הראשונים $A_n,\; B_n$ ניתן פשוט לארגן מחדש לסכום על פני $e^{in\theta}$ תנאים עבור$-N\le n\le N$.

אלקטרון מחוץ לקופסה: טרנספורמציית פורייה

כדי לפרק חבילת גל לרכיבי גל המישור שלה, עלינו להרחיב את טווח האינטגרציה $(-\pi,\pi)$ מהמשמש לעיל ל$(-\infty,\infty)$. אנו עושים זאת על ידי שינוי גודל תחילה מ- $(-\pi,\pi)$ עד $(-L/2,L/2)$ ואז לקיחת הגבול. $L\rightarrow\infty$

קנה המידה של המרווח מ- $2\pi$ עד $L$ (בייצוג המורכב) נותן:

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2\pi inx/L}\;\; where\;\; a_n=\dfrac{1}{L}\int\limits_{-L/2}^{L/2}f(x)e^{-2\pi inx/L}dx \label{2.1.20}$$

הסכום $n$ בלהיות מעל כל המספרים השלמים. זהו ביטוי עבור $f (x)$ במונחים של גלי מישור $e^{ikx}$ שבהם המותרים $k$ נמצאים$2\pi n/L$, עם $n = 0, \pm 1, \pm 2, …$

אם נחזור על השלבים לעיל בגזירת הפונקציה$\delta_N(x)$, אנו מוצאים את הפונקציה המקבילה $$\delta_N^L(x)=\dfrac{1}{L} \left(1+2\sum_{n=1}^N \cos\dfrac{2\pi nx}{L} \right)=\dfrac{\sin((2N+1)\pi x/L)}{L\sin(\pi x/L)} \label{2.1.21}$$

בחקר הביטוי מימין, ניכר כי בתנאי $N$ שהוא גדול בהרבה מ-$L$, יש לזה אותה התנהגות מכובסת במוצא כמו ששקלנו קודם. $\delta_N(x)$ אבל אנחנו מעוניינים בגבול$L\rightarrow\infty$, ושם - עבור קבוע $N$ - פונקציה $\delta_N^L(x)$ זו נמוכה ושטוחה.

לכן עלינו לקחת את הגבול N שהולך לאינסוף לפני שלוקחים את L לאינסוף.

זה מה שאנחנו עושים בשאר החלק הזה.

בתנאי $L$ שהוא סופי, עדיין יש לנו סדרת פורייה, המייצגת פונקציה של תקופה$L$. העניין העיקרי שלנו לקחת $L$ אינסוף הוא שנרצה לייצג פונקציה לא תקופתית, למשל חבילת גל מקומית, מבחינת רכיבי גל מישוריים.

נניח שיש לנו חבילת גל כזו, נניח על אורך$L_1$, לפיה אנו מתכוונים שהגל הוא בדיוק אפס מחוץ למתיחה של ציר האורך$L_1$. מדוע לא פשוט לבטא זאת במונחים של סדרת $N$ פורייה אינסופית המבוססת על מרווח גדול כלשהו $(-L/2,L/2)$ בתנאי שאורך חבילת הגל $L_1$ נמצא לגמרי בתוך המרווח הזה? העניין הוא שניתוח כזה אכן ישחזר במדויק את חבילת הגלים בתוך המרווח, אך אותו סכום של גלי מישור שהוערך על פני כל ציר ה- x יגלה מחרוזת אינסופית של מנות גל זהות $L$ זו מזו! זה לא מה שאנחנו רוצים.

כמקדים לנטילה $L$ לאינסוף, הבה נכתוב את מונחי גל המישור האקספוננציאלי בסימון הסטנדרטי$k$,

$$e^{2\pi inx/L}=e^{ik_nx} \label{2.1.22}$$

אז אנו מסכמים קבוצה (אינסופית$N$) של גלי מישור בעלי ערכי מספר גלים

$$k_n=2\pi n/L \; ,\; n = 0, \pm 1, \pm 2, … \label{2.1.23}$$ ,

קבוצה של מרווחים שווים עם $k$ הפרדה. $\Delta k=2\pi/L$

שקול עכשיו מה קורה אם נכפיל את המרווח הבסיסי מ- $(-L/2,L/2)$ עד$(-L,L)$.

$k$הערכים החדשים המותרים הם$k_n=\pi n/L \; ,\; n = 0, \pm 1, \pm 2, …$, כך שההפרדה היא עכשיו$\Delta k=\pi/L$, חצי ממה שהיה קודם. ניכר שככל שאנו גדלים$L$, המרווח בין $k_n$ ערכים עוקבים הולך ופחות.

חוזרים למרווח האורך$L$, כותבים שיש $La_n=a(k_n), \; k_n=2\pi n/L$ לנו

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_ne^{2\pi in x/L}=\dfrac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} a(k_n)e^{ik_nx} \label{2.1.24}$$

נזכיר כי ניתן להגדיר את אינטגרל רימן על ידי

$$\int f(k)dk=\lim_{\Delta k\rightarrow 0}\sum f(k_n)\Delta k \label{2.1.25}$$

עם$k_n=n\Delta k \; ,\; n = 0, \pm 1, \pm 2, …$.

הביטוי בצד ימין של המשוואה עבור הוא $f(x)$ בעל אותה צורה כמו הצד הימני של ההגדרה האינטגרלית של רימן, וכאן. $\Delta k=2\pi/L$

זאת אומרת, $$2\pi f(x)=\dfrac{2\pi}{L}\sum_{n=-\infty}^{\infty} a(k_n) e^{ik_nx}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a(k_n) e^{ik_nx}\Delta k=\int\limits_{-\infty}^{\infty} a(k)e^{ikx}dk \label{2.1.26}$$

בגבול$\Delta k\rightarrow 0$, או באופן שווה$L\rightarrow\infty$. אנו כמובן מניחים כאן שהפונקציה$a(k_n)$, שהגדרנו רק (עבור נתון$L$) על קבוצת הנקודות$k_n$, נוטה לפונקציה $a(k)$ רציפה בגבול$L\rightarrow\infty$.

מכאן נובע $L$ שבגבול האינסופי, יש לנו את משוואות הטרנספורמציה של פורייה:

$$f(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} a(k)e^{ikx}dk \;\; and \;\; a(k)=\lim_{L\rightarrow \infty} La_n=\lim_{L\rightarrow \infty}\int\limits_{-L/2}^{L/2} f(x)e^{-2\pi inx/L}dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx \label{2.1.27}$$

פונקציית הדלתא של דיראק

עכשיו לקחנו את שניהם $N$ $L$ ולאינסוף, מה קרה לתפקוד שלנו$\delta_N^L(x)$? זכור כי הנוהל שלנו למציאת $f_N(\theta)$ במונחים של $f(\theta)$ נתן את המשוואה

$$f_N(\theta)=\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(\theta') d\theta' +\dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{N} \cos n(\theta-\theta')f(\theta')d\theta' \label{2.1.10}$$

ומתוך זה מצאנו$\delta_N(\theta)$.

בעקבות אותו הליך פורמלי עם $(L=\infty)$ טרנספורמציות פורייה, אנו נאלצים לקחת $N$ אינסוף (לזכור שההליך $N$ היה הגיוני רק אם נלקח לאינסוף לפני כן$L$), כך שבמקום משוואה עבור $f_N(\theta)$ במונחים של$f(\theta)$, אנו מקבלים משוואה עבור $f (x)$ במונחים של עצמו! בואו נכתוב את זה קודם ונחשוב אחר כך:

$$f(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x')e^{-ikx'}dx' \right) e^{ikx}dk=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dk}{2\pi}e^{ik(x-x')} \right) f(x')dx' \label{2.1.28}$$

במילים אחרות, $$f(x)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x')f(x')dx' \label{2.1.29}$$

איפה $$\delta(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{dk}{2\pi}e^{ikx} \label{2.1.30}$$

זוהי פונקציית הדלתא של דיראק. גישה מנופפת ביד זו נתנה תוצאה שאינה מוגדרת בבירור. אינטגרל זה מעל x שונה באופן ליניארי במקור, ויש לו התנהגות תנודה סופית בכל מקום אחר. כדי להתקדם, עלינו לספק צורה כלשהי של ניתוק במרחב k, ואז אולי נוכל למצוא גבול משמעותי על ידי הצבת הניתוק רחוק יותר ויותר.

מהטיעונים שלנו לעיל, עלינו להיות מסוגלים להתאושש $\delta(x)$ כגבול של $\delta_N^L(x)$ על ידי לקיחת תחילה $N$ לאינסוף, לאחר מכן$L$. זאת אומרת,

$$\delta(x)=\lim_{L\rightarrow\infty}\left(\lim_{N\rightarrow\infty}\delta_N^L(x)\right) =\lim_{L\rightarrow\infty}\left( \lim_{N\rightarrow\infty}\dfrac{\sin((2N+1)\pi x/L)}{L\sin(\pi x/L)} \right) \label{2.1.31}$$

דרך להבין את הגבול הזה היא לכתוב $M=(2N+1)\pi/L$ $M$ ולשחרר לאינסוף לפני כן$L$. (פירוש הדבר שכאשר אנו לוקחים $L$ בגדול בדרך לאינסוף, אנו לוקחים $N$ הרבה יותר גדול!)

אז המונה הוא פשוט$\sin Mx$. בגבול האינסופי$L$, לכל סופי $x$ המכנה צודק$\pi x$, שכן $\sin\theta =\theta$ בגבול הקטן. $\theta$

מתוך זה,

$$\delta(x)=\lim_{M\rightarrow\infty} \dfrac{\sin Mx}{\pi x} \label{2.1.32}$$

זו עדיין פונקציה פתולוגית למדי, בכך שהיא מתנדנדת יותר ויותר מהר ככל שנלקח הגבול האינסופי. זה נובע מהניתוק הפתאומי בסכום בתדירות. $N$

כדי לראות איך זה קשור ל (גם לא מוגדר)$\delta(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(dk/2\pi)e^{ikx}$, הזיכרון $\delta_N^L(x)$ הגיע מהסדרה

$$\delta_N^L(x)=\dfrac{\sin(2N+1)\pi x/L}{L\sin\pi x/L}=\dfrac{1}{L}\left( 1+2\sum_{n=1}^N \cos\dfrac{2\pi nx}{L} \right) \label{2.1.33}$$

ביטוי הקוסינוס במונחים של אקספוננציאלים, ואז החלפת הסכום באינטגרל $N$ בגבול הגדול, באותו אופן שעשינו קודם לכן, כתיבה$k_n=2\pi n/L$, כך שהמרווח בין עוקבים $k_n$ הוא$\Delta k=2\pi/L$, כך: $\int f(k)dk\ \cong (2\pi/L)\sum f(k_n)$

$$\delta_N^L(x)=\dfrac{1}{L}\sum_{n=-N}^N e^{2\pi in/L} \cong \int\limits_{-2\pi N/L}^{2\pi N/L}\dfrac{dk}{2\pi}e^{ikx} =\dfrac{\sin (2\pi Nx/L)}{\pi x} \label{2.1.34}$$

אז ברור שאנחנו מגדירים את $\delta(x)$ כגבול של האינטגרל$\int\limits_{-2\pi N/L}^{2\pi N/L}(dk/2\pi)e^{ikx}$, שמנותק בפתאומיות בערכים הגדולים$\pm (2\pi N/L)$. למעשה, זה לא מאוד פיזי: תרחיש הרבה יותר מציאותי עבור חבילת גל אמיתית יהיה הפחתה הדרגתית בתרומות ממצבי תדר גבוה (או אורך גל קצר) - כלומר ניתוק עדין באינטגרל מעל $k$ זה שימש להחלפת הסכום. $n$ לדוגמה, הליך ניתוק סביר יהיה להכפיל את האינטגרנד ב-$exp(-\Delta^2k^2)$, ואז לקחת את הגבול של קטן. $\Delta$

לכן הגדרה סבירה יותר של פונקציית הדלתא, מנקודת מבטו של פיזיקאי, תהיה

$$\delta(x)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dk}{2\pi}e^{ikx}e^{-\Delta^2 k^2}=\lim_{\Delta\rightarrow 0} \dfrac{1}{(4\pi\Delta^2)^{1/2}}e^{-x^2/4\Delta^2}=\lim_{\Delta\rightarrow 0} \delta_{\Delta}(x) \label{2.1.35}$$

כלומר, ניתן להגדיר את פונקציית הדלתא כ"גבול הצר "של חבילת גל גאוסית בשטח כולל 1. בניגוד לפונקציה$\delta_N(\theta)$, אין $\delta_{\Delta}(x)$ לה קווי צד מתנדנדים, הודות להחלקה שלנו מחוץ לניתוק הרווח העליון של k, כך שהפסקות צעד אינן יוצרות את תופעת הצילום של גיבס - במקום זאת, צעד יוחלק על פני מרחק של סדר. $\Delta$

מאפייני פונקציית הדלתא

פשוט לאמת את המאפיינים הבאים מההגדרה כמגבלה של חבילת גל גאוסית:

$$\int \delta(x)dx=1, \; \delta(x)=0 \; for \; x\neq 0 \label{2.1.36}$$

$$\delta(x)=\delta(-x), \; \delta(ax)=\dfrac{1}{|a|}\delta(x) \label{2.1.37}$$

$$\int \delta(a-x)\delta(x-b)dx=\delta(a-b) \label{2.1.38}$$

הגדרה נוספת, וקשר עם אינטגרל הערך העיקרי

אין דרך ייחודית להגדיר את פונקציית הדלתא, ונהלי ניתוק אחרים יכולים לתת תובנות שימושיות. לדוגמה, ניתן לפצל את אינטגרל ה- k -space לשניים ולחתוך אקספוננציאלי פשוט על שני החצאים, כלומר נוכל לקחת את ההגדרה $$\delta(x)= \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left( \int\limits_{-\infty}^{0}\dfrac{dk}{2\pi}e^{ikx}e^{\varepsilon k}+\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{dk}{2\pi}e^{ikx}e^{-\varepsilon k} \right) \label{2.1.39}$$

הערכת האינטגרלים,

$$\delta(x)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\dfrac{1}{2\pi} \left(\dfrac{1}{ix+\varepsilon}-\dfrac{1}{ix-\varepsilon}\right)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\dfrac{1}{\pi}\left(\dfrac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}\right) \label{2.1.40}$$

קל לבדוק שפונקציה זו מנורמלת כראוי על ידי ביצוע שינוי המשתנה $x=\varepsilon\tan\theta$ ושילוב מ- $-\pi/2$ to$\pi/2$. ייצוג זה של פונקציית הדלתא יתגלה כשימושי בהמשך. שים לב שנחשב כפונקציה של משתנה מורכב, לפונקציית הדלתא יש שני קטבים על הציר הדמיוני הטהור ב$z=\pm i\varepsilon$.

ההגדרה הסטנדרטית של אינטגרל הערך העיקרי היא:

$$\int\limits_{-D}^{D}f(x)\dfrac{P}{x}dx=\lim_{z\rightarrow 0}\left(\int\limits_{-D}^{-z}\dfrac{f(x)}{x}dx+\int\limits_{z}^{D}\dfrac{f(x)}{x}dx\right) \label{2.1.41}$$

לא קשה לראות שעבור פונקציה ניתנת להבחנה רציפה $f(x)$ זה שווה ערך ל

$$\int\limits_{-D}^{D}f(x)\dfrac{P}{x}dx=\lim_{z\rightarrow 0}\int\limits_{-D}^{D}f(x)\dfrac{x}{x^2+\varepsilon^2}dx \label{2.1.42}$$

לכן ניתן לכתוב את מפעיל הערך העיקרי באופן סמלי:

$$\dfrac{P}{x}=\lim_{z\rightarrow 0}\dfrac{x}{x^2+\varepsilon^2}=\lim_{z\rightarrow 0}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+i\varepsilon}+\dfrac{1}{x-i\varepsilon}\right) \label{2.1.43}$$

אם מחברים את זה יחד עם הייצוג הדומה של פונקציית הדלתא לעיל, ולוקחים את הגבול להבנה, יש לנו את התוצאה השימושית: $\varepsilon\rightarrow 0$

$$\dfrac{1}{x\pm i\varepsilon}=\dfrac{P}{x}\mp i\pi\delta(x) \label{2.1.44}$$

תרגילים

1. להוכיח את משפט פרסבל: $$If \;\; f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dk}{2\pi}a(k)e^{ikx}, \;\; then\;\; \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dk}{2\pi}|a(k)|^2. \label{2.1.45}$$

2. הוכיח את הכלל עבור טרנספורמציית פורייה של פיתול של שתי פונקציות:

$$If \;\; f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dk}{2\pi}a(k)e^{ikx},\;\; g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dk'}{2\pi}b(k')e^{ik'x},\;\; then\;\; \int_{-\infty}^{\infty} f(x-x')g(x')dx'=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dk}{2\pi}a(k)b(k)e^{ikx} \label{2.1.46}$$

תורם

• Template:ContribFowler