1.5: אלקטרון בקופסה

פתרונות גל מטוס

הדרך הטובה ביותר להבין את משוואת שרדינגר היא לפתור אותה לפוטנציאלים שונים. הפשוטה ביותר היא בעיה חד-ממדית של "חלקיק בקופסה". הפוטנציאל $V(x) = 0$ המתאים הוא $x$ בין 0, $L$ $V(x) = \infty$ ואחרת - כלומר, יש קירות גבוהים לאין שיעור ב $x = 0$ ו$x = L$, והחלקיק נלכד ביניהם. מסתבר שזו קירוב די טוב לאלקטרונים במולקולה ארוכה, והגרסה התלת מימדית היא תמונה סבירה לאלקטרונים במתכות.

בין $x = 0$ ויש $x = L$ לנו$V = 0$, אז משוואת הגלים היא רק

$$i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi (x,t)}{\partial x^2}. \tag{1.5.1}$$

פתרון אפשרי של גל מישור הוא

$$\psi (x,t) =Ae^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}. \tag{1.5.2}$$

על הכנסת זה למשוואת שרדינגר אפס הפוטנציאל לעיל אנו מוצאים, כפי שאנו מצפים. $E=p^2/2m$

חשוב מאוד לשים לב כי המצומד המורכב, פרופורציונלי ל$e^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}$, אינו פיתרון למשוואת שרדינגר! אם נכניס את זה בצורה עיוורת למשוואה נקבל

$$E=\dfrac{-p^2}{2m}$$

עם זאת, זוהי תוצאה לא פיזית.

עם זאת, פונקציית גל פרופורציונלית $e^{-\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}$ לנתינה$E=p^2/2m$, ולכן גל מישור זה הוא פיתרון למשוואה.

לכן, שני הפתרונות המותרים של גל מטוס למשוואת שרדינגר אפס הפוטנציאל הם פרופורציונליים בהתאמה. $e^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}$ $e^{-\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}$

שים לב כי שני פתרונות אלה יש את אותה תלות זמן$e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}}$.

כדי להחליט על הפתרון המתאים לבעיה שלנו של אלקטרון בקופסה, כמובן שעלינו להכניס את הקירות - מה שהם מתכוונים הוא $\psi=0$ שבשביל $x < 0$ ובשביל $x > L$ בגלל שזכור $|\psi|^2$ אומר לנו את ההסתברות למצוא את החלקיק בכל מקום, ומכיוון שהוא בתיבה, הוא לכוד בין הקירות, כך שיש אפס סבירות למצוא אותו בחוץ.

התנאי $\psi=0$ ב $x = 0$ $x = L$ ומזכיר לנו את המיתר הרוטט עם שני קצוות קבועים - הפתרון של משוואת גל המיתר הוא גלים עומדים בצורת סינוס. למעשה, לקיחת ההבדל בין שתי צורות גל המטוס המותרות לעיל נותנת פיתרון מסוג זה:

$$\psi(x,t)=A\sin \dfrac{px}{\hbar}e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.3}$$ .

פונקציית גל זו מספקת את משוואת שרדינגר בין הקירות, היא נעלמת ליד $x = 0$ הקיר, היא גם תיעלם בתנאי שמשתנה המומנטום יספק: $x = L$

$$\dfrac{pL}{\hbar}=\pi, \, 2\pi, \, 3\pi... \tag{1.5.4}$$

לפיכך הערכים המותרים של $p$ הם $hn/2L$$n = 1, 2, 3…$, היכן $E=p^2/2m$ ומתוך רמות האנרגיה המותרות של החלקיק הם:

$$E=\dfrac{p^2}{2m}=\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,\; \dfrac{4}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,\; \dfrac{9}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,... \tag{1.5.5}$$

שימו לב שרמות האנרגיה הללו מתרחקות יותר ויותר באנרגיות גבוהות, בניגוד לפוטנציאל אטום המימן. (כפי שנראה, פוטנציאל המתנד ההרמוני נותן רמות אנרגיה מרווחות באותה מידה, ולכן על ידי לימוד כיצד המרווח בין רמות האנרגיה משתנה עם האנרגיה, נוכל ללמוד משהו על צורת הפוטנציאל.)

מה לגבי קבוע הכפל הכולל $A$ בפונקציית הגל? זה יכול להיות אמיתי או מורכב. כדי למצוא את ערכו, שימו לב שבזמן קבוע, נניח$t = 0$, ההסתברות שהאלקטרון יהיה בין $x$ לבין $x + dx$ הוא $|\psi|^2dx$ או

$$|A|^2\sin^2 \dfrac{px}{\hbar}dx \tag{1.5.6}$$

ההסתברות הכוללת שהחלקיק יהיה איפשהו בין 0, $L$ חייבת להיות אחדות:

$$|\psi|^2dx$$

או

$$\int\limits_{x=0}^{x=L} |A|^2\sin^2 \dfrac{px}{\hbar}dx=1, \: so\: \dfrac{1}{2}L|A|^2=1 \tag{1.5.7}$$

מכאן

$$\psi(x,t)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \dfrac{px}{\hbar}e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.8}$$

כאשר $A$ הוא קבוע בדרך זו, על ידי דרישה שההסתברות הכוללת למצוא את החלקיק איפשהו תהיה אחדות, זה נקרא קבוע הנורמליזציה.

מדינות נייחות

שימו לב שבזמן מאוחר יותר התפלגות ההסתברות לפונקציית הגל

$$\psi(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{px}{\hbar}e^{-\frac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.9}$$

זהה, מכיוון שהזמן מופיע רק כגורם פאזה בפונקציה תלוית זמן זו, ולכן אינו משפיע$|\psi|^2$.

מצב עם התפלגות הסתברות בלתי תלויה בזמן נקרא מצב נייח.

מדינות עם התפלגויות הסתברות נעות

נזכיר כי משוואת שרדינגר היא משוואה לינארית, והסכום של כל שני פתרונות הוא גם פיתרון למשוואה. זה אומר שאנחנו יכולים להוסיף שני פתרונות בעלי אנרגיות שונות, ועדיין יש לנו פונקציית גל משפטי. נקבע כי במקרה זה, התפלגות ההסתברות משתנה בזמן.

הדרך הפשוטה ביותר לראות איך זה חייב להיות היא להסתכל על דוגמה. בואו נוסיף את מצב הקרקע למצב הנרגש הראשון, ונרמל את הסכום:

$$\psi(x,t)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( \sin\frac{\pi x}{L}e^{-\frac{i\pi ht}{4mL^2}}+\sin\frac{2\pi x}{L}e^{-\frac{i\pi ht}{mL^2}} \right) \tag{1.5.10}$$

$$note: \; h, \; not \; \hbar.$$

(אתה יכול לבדוק את קבוע הנורמליזציה ב$t=0$). באופן כללי$x$, שני המונחים בסוגר מסתובבים במישור המורכב בקצב שונה, כך שלסכום שלהם יש גודל משתנה בזמן. כלומר, $|\psi(x,t)|^2$ משתנה בזמן, ולכן החלקיק חייב לנוע סביב - זה לא מצב נייח.

תרגיל: כדי לראות זאת, שים לב $t=0$ שבפונקציית הגל היא:

$$\psi(x,0)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( \sin\frac{\pi x}{L}+\sin\frac{2\pi x}{L} \right) \tag{1.5.11}$$

ושרטט פונקציה זו: סביר יותר שהחלקיק יימצא במחצית השמאלית של התיבה.

עכשיו, נניח שהזמן הוא$t=4mL^2/h$, כך$e^{-\frac{i\pi ht}{4mL^2}}=-1$. בשלב זה,

$$\psi(x,2L^2/h)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( -\sin\frac{\pi x}{L}+\sin\frac{2\pi x}{L} \right) \tag{1.5.11}$$

וקל לראות שהחלקיק נמצא יותר בחצי הימני.

כלומר, לפונקציית הגל הזו, סכום ליניארי של פונקציות גל המתאימות לאנרגיות שונות, יש התפלגות הסתברות המשתפלת קדימה ואחורה בתיבה: וכל ניסיון לתאר תנועת חלקיקים מסוג קלאסי, המקפצת קדימה ואחורה, כרוכה בהכרח בהוספת פונקציות גל קוונטיות של אנרגיות שונות. שימו לב שתדירות תנועת הגלישה תלויה בהבדל בין שתי האנרגיות: עד כמה שני המרכיבים מתערבים באופן קונסטרוקטיבי תלוי בהבדל השלבים באנרגיות באותה תקופה. לפונקציית גל אנרגיה אחת יש תמיד התפלגות הסתברות סטטית.

כמובן שההסתברות הכוללת למצוא את החלקיק אי שם בתיבה נותרה אחדות: קבוע הנורמליזציה אינו תלוי בזמן.

משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן: מצבים עצמיים וערכים עצמיים

הדרך היחידה למנוע $|\psi(x,t)|^2$ שינוי בזמן היא שכל חלקיו ישתנו שלב בזמן באותו קצב. המשמעות היא שכולם תואמים לאותה אנרגיה. אם אנו מגבילים את השיקולים שלנו למצבים נייחים כאלה, ניתן לבצע פקטוריזציה של פונקציית הגל

$$\psi(x,t)=\psi(x)e^{-\frac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.12}$$

ומכניסים את פונקציית הגל הזו למשוואת שרדינגר שאנו מוצאים

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x)=E\psi(x) \tag{1.5.13}$$

זוהי משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן, והפתרונות שלה הם פונקציות הגל המרחבי עבור מצבים נייחים, מצבים של אנרגיה מוגדרת. אלה נקראים לעתים קרובות מצבים עצמיים של המשוואה.

ערכי האנרגיה המתאימים למצבים עצמיים אלה נקראים הערכים העצמיים.

נקודה חשובה: מה בדיוק קורה בקיר?

שקול שוב את פונקציית הגל למצב האנרגיה הנמוך ביותר של חלקיק המוגבל בין קירות ב $x=0$ ו$x=L$. הקורא צריך לשרטט את פונקציית הגל מנקודה כלשהי משמאל $x=0$ למעלה מימין. $x=L$ משמאל ל$x=0$, פונקציית הגל היא בדיוק אפס, ואז $x=0$ היא ממריאה ימינה (בתוך הקופסה) כעקומת סינוס. במילים אחרות, במקור השיפוע של פונקציית הגל $\psi$ הוא אפס שמאלה, לא אפס ימינה. יש חוסר רציפות במדרון במקור: פירוש הדבר שהנגזרת השנייה של\ (\ psi\) היא אינסופית במקור. בבחינת משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן לעיל, אנו רואים שניתן לספק את המשוואה רק במקור מכיוון שהפוטנציאל הופך שם לאינסופי - הקיר הוא פוטנציאל אינסופי. (ולמעשה, מכיוון $\psi$ שהופך לאפס בהתקרבות למקור מתוך הקופסה, יש לטפל במגבלה בזהירות.)

כעת מתברר שאם לתיבה אין קירות אינסופיים, אלא רק גבוהים, $\psi$ המתאר חלקיק מוגבל לא יכול פתאום להגיע לאפס בקירות: הנגזרת השנייה חייבת להישאר סופית. עבור קירות שאינם אינסופיים, $\psi$ ונגזרתו חייבת להיות רציפה בכניסה לקיר. יש לכך את התוצאה הפיזית החשובה $\psi$ שתהיה ללא אפס לפחות למרחק מה לתוך הקיר, גם אם באופן קלאסי לחלקיק הסגור אין מספיק אנרגיה כדי "לטפס על הקיר". (וזה לא, אם זה מוגבל.) לפיכך, במכניקת הקוונטים, קיימת הסתברות שאינה נעלמת למצוא את החלקיק באזור שהוא "אסור קלאסית" במובן זה שאין לו מספיק אנרגיה להגיע לשם.

תורם

• Template:ContribFowler