1.1: פירוט המכניקה הקלאסית
- Page ID
- 207169
מה רע במכניקה קלאסית?
ביסודו של דבר, מכניקה סטטיסטית קלאסית לא הייתה הגיונית...
מקסוול ובולצמן פיתחו את משפט החלוקה: למערכת פיזיקלית יכולים להיות מצבים רבים (גז עם חלקיקים בעלי מהירויות שונות, או קפיצים במצבי דחיסה שונים).
בטמפרטורה שאינה אפס, אנרגיה תזרום במערכת, היא תעבור כל הזמן ממצב אחד למשנהו. אז מה ההסתברות שבכל רגע הוא נמצא במצב מסוים עם אנרגיה\(E\)?
M&B מוכיחה שזה היה פרופורציונלי ל. \(e^{-E/kT}\) גורם מידתיות זה נכון גם לכל תת-מערכת של המערכת: למשל מולקולה אחת.
שימו לב שזה אומר שאם מערכת היא קבוצה של מתנדים, מסות שונות על קפיצי חוזק שונים, למשל, אז בשיווי משקל תרמי לכל מתנד יש בממוצע אותה אנרגיה כמו כל האחרים. עבור מתנדים תלת מימדיים בשיווי משקל תרמי, האנרגיה הממוצעת של כל מתנד היא\( 3kT\), היכן \(k\) הקבוע של בולצמן.
קרינת גוף שחור
עכשיו חבר את זה עם הגילוי של מקסוול שאור הוא גל אלקטרומגנטי: בתוך תנור חם, ניתן לפתור את משוואות מקסוול המניבות פתרונות גל עומדים, ומערך אורכי הגל השונים המאפשרים גלים עומדים מסתכמים בסדרה אינסופית של מתנדים, ללא גבול עליון על התדרים הולכים רחוק לאולטרה סגול. לכן, ממשפט החלוקה הקלאסי, תנור בשיווי משקל תרמי בטמפרטורה מוגדרת צריך להכיל כמות אינסופית של אנרגיה - בסדר \(kT\) בכל אחד ממספר אינסופי של מצבים - ואם אתה נותן לקרינה לצאת דרך חור זעיר בצד, אתה צריך לראות קרינה של כל התדרים.
זה לא, כמובן, מה שנצפה: כמו תנור מחומם, הוא פולט אינפרא אדום, ואז אדום, אז אור צהוב, וכו 'משמעות הדבר היא כי מתנדים בתדירות גבוהה יותר (כחול, וכו') הם למעשה לא מתרגשים בטמפרטורות נמוכות: equipartition אינו נכון.
פלאנק הראה כי עקומת העוצמה/התדר שנצפתה בניסוי שוחזרה בדיוק אם ההנחה הייתה כי הקרינה נמדדת: אור תדר \(f\) יכול להיפלט רק בקוואנטה - כיום פוטונים - בעלת אנרגיה, בהיותה קבועה של פלאנק. \(hf\) \(h\) זו הייתה תחילתה של מכניקת הקוונטים.
האפקט הפוטואלקטרי
איינשטיין הראה את אותה קוונטיזציה של קרינה אלקטרומגנטית הסביר את האפקט הפוטואלקטרי: פוטון של אנרגיה \(hf\) דופק אלקטרון ממתכת, נדרשת עבודה מסוימת \(W\) כדי להוציא אותו, שאר אנרגיית הפוטון עוברת לאנרגיה הקינטית של האלקטרון, עבור האלקטרונים המהירים ביותר שנפלטים (אלה שמגיעים היישר מהשטח, כך שלא נתקלים בהתנגדות נוספת). התוויית האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים כפונקציה של תדר האור הנכנס מאשרת את ההשערה, ונותנת את אותו ערך לזה הדרוש להסברת קרינה מתנור. \(h\) (בעבר הונח שאור עז יותר יגביר את האנרגיה הקינטית - התברר שזה לא המקרה.)
אטום בוהר
בוהר הרכיב את הקוונטיזציה הזו של אנרגיית האור עם גילויו של רתרפורד כי לאטום יש גרעין, כאשר אלקטרונים איכשהו מקיפים אותו: עבור אטום המימן, לאור הנפלט כאשר האטום מתרגש תרמית יש דפוס מסוים, אורכי הגל הנפלטים שנצפו ניתנים על ידי
\[\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n^2}\right) \tag{1.1.1}\]
עם \(n = 3, 4, 5...\) \(R_H\) נקרא כיום קבוע רידברג.) בוהר הבין שמדובר בפוטונים בעלי אנרגיה השווה להפרש האנרגיה בין שני מסלולים מותרים של האלקטרון המקיף את הגרעין (הפרוטון)\(E_n -E_m =hf\), מה שהוביל למסקנה שהרמות המותרות חייבות להיות:
\[E_n =-\dfrac{hcR_H}{n^2} \tag{1.1.2}\]
כיצד יכולה \(hf\) הגבלת הקוונטים לאפשר אנרגיות קרינה להגביל גם את מסלולי האלקטרונים המותרים? בוהר הבין שחייב להיות קשר - כי יש \(h\) לו ממדים של תנע זוויתי! מה אם האלקטרון היה מורשה להיות רק במסלולים מעגליים של תנע זוויתי\(nKh\), עם מספר \(n\) שלם? בוהר עשה את המתמטיקה למסלולים על פי חוק ריבועי הפוך, ומצא כי הספקטרום שנצפה למעשה נלקח בחשבון נכון על ידי לקיחה. \(K = 1/2\pi \)
אבל אז הוא הבין שהוא אפילו לא צריך את תוצאות הניסוי כדי למצוא\(K\): מכניקת הקוונטים חייבת להסכים עם המכניקה הקלאסית במשטר שבו אנו יודעים בניסוי שהמכניקה הקלאסית (כולל משוואות מקסוול) נכונה, כלומר למערכות בגודל מקרוסקופי. שקול מטען שלילי המקיף מטען חיובי קבוע ברדיוס של 10 ס"מ. המטענים הם כאלה שהמהירות היא בסדר גודל לשנייה (אנחנו לא רוצים שהשפעות רלטיביסטיות יהפכו את הדברים למסובכים יותר). ואז מ- E&M הקלאסי, המטען יקרין בתדר המסלול. עכשיו דמיינו שזהו למעשה אטום מימן, בוואקום מושלם, במצב עירור גבוה. זה חייב להיות מקרין באותו תדר. אבל התיאוריה של בוהר לא יכולה להתאים רק למסלולים קטנים, ולכן הקרינה חייבת לספק\(E_n -E_m =hf\). המרווח בין רמות סמוכות ישתנה לאט במסלולים גדולים אלה, ולכן \(h\) פעמים תדירות המסלול חייבת להיות הפרש האנרגיה בין רמות סמוכות. כעת, הפרש האנרגיה הזה תלוי בשלב המומנטום הזוויתי המותר בין הרמות הסמוכות: כלומר, ב\(K\). התאמת שני הביטויים הללו לתדר הקרינה נותנת\( K = 1/2\pi \).
טיעון הגבול הקלאסי הזה, אם כן, מנבא את קבוע רידברג במונחים של כמויות ידועות כבר:
\[R_H= \left(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot\dfrac{2\pi^2 me^4}{ch^3} \tag{1.1.3}\].
מה נכון באטום בוהר?
- זה נותן את ספקטרום סדרת Balmer.
- גודל המסלול הראשון קרוב לגודל האטום הנצפה: וזכרו שאין פרמטרים מתכווננים, טיעון הגבול הקלאסי קובע את הספקטרום ואת הגודל.
מה לא בסדר עם האטום של בוהר?
- אין הסבר מדוע יש לכמת את המומנטום הזוויתי. (זה נפתר על ידי דה ברוגלי מעט מאוחר יותר.)
- מדוע האלקטרונים המעגלים אינם מקרינים, כפי שנחזה באופן קלאסי? ובכן, העובדה שהקרינה מכמתת פירושה שהתמונה הקלאסית של מטען מואץ הפולט קרינה בצורה חלקה לא יכולה לעבוד אם האנרגיות המעורבות הן בסדר \(h\) כפול התדרים המעורבים.
- למצב הנמוך ביותר יש תנע זוויתי שאינו אפס. זהו פגם במודל, המתוקן במודל הקוונטי האמיתי (משוואת שרדינגר).
- בשדה מרובע הפוך, מסלולים הם אליפטיים באופן כללי.
זה היה בהתחלה חידה: מדוע צריך לאפשר רק מסלולים מעגליים? למעשה, המודל אכן מאפשר מסלולים אליפטיים, והם אינם מופיעים בסדרת באלמר מכיוון שכפי שהוכיח זומרפלד, אם למסלולים האליפטיים המותרים יש אותה מומנטה זוויתית מותרת כמו מסלוליו של בוהר, יש להם אותה מערכת אנרגיות. זהו מאפיין מיוחד של הכוח המרובע ההפוך.
גלי דה ברולי
ההסבר הראשון מדוע מותר רק מומנטה זוויתית מסוימת לאלקטרון המסתובב ניתן על ידי דה ברוגלי: כשם שפוטונים פועלים כמו חלקיקים (אנרגיה ומומנטום מוגדרים), אך ללא ספק הם כמו גל, בהיותם אור, כך שלחלקיקים כמו אלקטרונים יש אולי גל כמו תכונות. עבור פוטונים, הקשר בין אורך הגל למומנטום הוא\(p = h/\lambda\). בהנחה שזה נכון גם לגבי אלקטרונים, וכי המסלולים המעגליים המותרים הם גלים עומדים, להלן כימות המומנטום הזוויתי של בוהר.
משוואת הגלים של שרדינגר
הרעיון של דה ברולי היה בבירור בדרך הנכונה - אך גלים בחלל הם תלת מימדיים, חשיבה על המסלול המעגלי כחוט במתח אינה יכולה להיות נכונה, גם אם התשובה היא.
גלי פוטון (גלים אלקטרומגנטיים) מצייתים למשוואה
\[ \nabla^2 \vec E -\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=0 \tag{1.1.4}\]
פיתרון של מומנטום מוגדר הוא גל המישור
\[ \left(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} -\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} = \left(k^2 -\dfrac{\omega^2}{c^2} \right)\vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =0 \tag{1.1.5}\]
שימו לב שהשוויון האחרון הוא בעצם צודק\(\omega =ck\), כאשר עבור פתרון גל מישורי האנרגיה והמומנטום של הפוטון מתורגמים לאופרטורים דיפרנציאליים ביחס לזמן ולמרחב בהתאמה, כדי לתת משוואה דיפרנציאלית לגל.
משוואת הגלים של שרדינגר לוקחת באופן שווה את יחס האנרגיה-מומנטום (הלא רלטיביסטי) \(E = p^2/2m\) ומשתמשת באותו מתכון כדי לתרגם אותו למשוואה דיפרנציאלית:
\[ i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \tag{1.1.6}\]
הפיכת ההרחבה הטבעית לשלושה ממדים, ובהנחה שנוכל להוסיף מונח פוטנציאלי בצורה הנאיבית ביותר האפשרית, כלומר, מעבר מ- \(E = p^2/2m\) אל\(E = p^2/2m + V(x,y,z)\), אנו מקבלים
\[ i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,y,z,t)}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,y,z,t) +V(x,y,z) \psi(x,y,z,t) \tag{1.1.7}\]
זו המשוואה שרדינגר רשם ופתר, הפתרונות נתנו את אותה מערכת אנרגיות כמו מודל בוהר, אך כעת למצב הקרקע היה אפס תנע זוויתי, ורבים מפרטי הפתרונות התבררו בניסוי, כפי שנדון בהמשך.
זרם שמור
שרדינגר הראה גם שניתן להגדיר זרם שמור במונחים של פונקציית הגל: \(\psi \)
\[ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} +div \vec j =0 \tag{1.1.8}\]
היכן
- \(\rho =\psi^\ast \psi =|\psi |^2 \)ו
- \(\vec j =\dfrac{\hbar}{2mi} (\psi^\ast \vec \nabla \psi -\psi \vec \nabla \psi^\ast ). \)
הפרשנות של שרדינגר למשוואה שלו הייתה שהאלקטרון הוא פשוט גל, לא חלקיק, וזו הייתה עוצמת הגל. אבל המחשבה על גלים אלקטרומגנטיים בדרך זו לא נתנה שום מושג להתנהגות הפוטונים הקוונטיים - זה לא יכול להיות כל הסיפור.
פירוש פונקציית הגל
הפרשנות הנכונה של פונקציית הגל (עקב Born) נובעת מהאנלוגיה למקרה האלקטרומגנטי. בואו נסקור את זה בקצרה. הדוגמה הבסיסית היא דפוס העקיפה של שני חריצים, כפי שנבנה על ידי שליחה דרך פוטון אחד בכל פעם, לבנק של גלאי פוטונים. התבנית עולה בהדרגה: פתרו את משוואת הגלים, ואז צפיפות האנרגיה המקומית החזויה (פרופורציונלית ל\(|E(x,y,z,t)|^2 dxdydz\)) נותנת את ההסתברות לפוטון אחד שיעבור את המערכת לנחות בנקודה זו.
בורן הציע כי באופן דומה \( |\psi |^2 \) בכל נקודה פרופורציונלית להסתברות לזהות את האלקטרון באותה נקודה. זה התברר כנכון.
לוקליזציה של האלקטרון
למרות תכונותיו הגליות, אנו יודעים שאלקטרון יכול להתנהג כמו חלקיק: באופן ספציפי, הוא יכול לנוע כישות מקומית למדי ממקום למקום. מה ייצוג הגל של זה? זה נקרא חבילת גל: עירור גל מקומי. כדי לראות כיצד זה יכול להתרחש, זכור תחילה שמשוואת שרדינגר היא משוואה לינארית, הסכום של שני פתרונות או יותר הוא בעצמו פיתרון. אם נוסיף יחד שני גלי מישור הקרובים באורך הגל, נקבל פעימות, אשר יכולות להיחשב כמחרוזת של מנות גל. כדי לקבל חבילת גל אחת, עלינו להוסיף טווח רציף של אורכי גל.
הדוגמה הסטנדרטית היא חבילת הגלים הגאוסית, שם \( \psi (x, t=0) =A e^{ik_0 x} e^{-x^2 /2 \Delta^2} \) \( p_0 = \hbar k_0 \)
שימוש בתוצאה הסטנדרטית \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2}\,dx = \sqrt{ \frac{ \pi}{a}} \tag{1.1.9} \]
אנו מוצאים \( |A|^2 =(\pi \Delta^2)^{-1/2} \) כך \[ \psi (x,t=0) =\frac{1}{(\pi \Delta^2)^{1/4}} e^{ik_0 x} e^{-x^2 /2 \Delta^2} . \tag{1.1.10}\]
אך כיצד אנו בונים את חבילת הגל הספציפית הזו על ידי הצבת גלי מישור? כלומר, אנחנו צריכים ייצוג של הטופס: \[ \psi(x) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \phi (k) \tag{1.1.11} \]
הפונקציה \( \phi(k) \) מייצגת את שקלול גלי המישור בשכונת מספר הגל\(k\). זוהי דוגמה מסוימת לשינוי פורייה - נדון בפירוט במקרה הכללי מעט מאוחר יותר במהלך הקורס. שים לב שאם \( \phi(k) \) היא פונקציה מוגבלת, כל \(k\) ערך מסוים נותן תרומה קטנה ונעלמת, תרומת גל המישור לטווח היא. \(\psi(x)\) \(dk\) \( \phi(k) dk/2\pi \) למעשה, \(\phi(k)\) ניתן במונחים של \(\psi(x)\) על ידי \[ \phi(k) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dxe^{-ikx} \psi(x) . \tag{1.1.12} \]
אולי ראוי להזכיר בשלב זה שניתן להבין זאת באופן איכותי על ידי התבוננות כי מקדם גל המישור \(e^{-ikx}\) יפריע באופן הרסני לכל מרכיבי גל המישור \( \psi(x) \) למעט זה של מספר הגל\(k\), שם עשוי להיראות בהתחלה כי התרומה היא אינסופית, אך נזכיר כי כאמור לעיל, לכל \(k\) רכיב מסוים יש משקל קטן ונעלם - ולמעשה זו התשובה הנכונה, כפי שנראה בצורה משכנעת יותר בהמשך.
במקרה הנוכחי, הטיעון המנופף לעיל אינו נחוץ, מכיוון שניתן לבצע את שני האינטגרלים בדיוק, תוך שימוש בתוצאה הסטנדרטית: \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2 +bx}\, dx =e^{b^2 /4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{1.1.13} \]
נתינה\[ \phi(k) =(4\pi \Delta^2)^{\frac{1}{4}} e^{-\Delta^2 (k-k_0)^2 /2} . \tag{1.1.14} \].
עקרון אי הוודאות
שים לב שהמרווחים ב- x -space ו - p -space קשורים הפוך: \(\Delta x\) הוא בסדר,. \(\Delta\) \( \Delta p=\hbar \Delta k\sim \hbar/\Delta \) זהו כמובן עקרון אי הוודאות, לוקליזציה במרחב x דורשת התפשטות גדולה במצבי מומנטום תורמים.
כדאי לבדוק את התרגילים לתואר ראשון על יישומים של עקרון אי הוודאות. העזרה מחדדת את הערכתו של האדם לאופי הגל/החלקיקים של עצמים קוונטיים.
יש גבול עד כמה ניתן לקבוע את מיקומו של אלקטרון: הוא מתגלה על ידי הקפצת פוטון ממנו, ואורך הגל של הפוטון קובע את הגבול. \(\Delta x\) אבל אם לפוטון יש מספיק אנרגיה כדי ליצור זוג אלקטרונים-פוזיטרונים מתוך הוואקום, אינך יכול להיות בטוח איזה אלקטרון אתה רואה. זה מגביל \(\Delta x \sim \hbar/mc\) במקרה הטוב. (זה נקרא אורך הגל של קומפטון, כתוב \(\lambda_c\) & # 8211 הוא מופיע בפיזור קומפטון.) כמה קטנה יותר שפונקציית גל מצב קרקע של אטום מימן היא זו? \(\lambda_c /a_0 =e^2/\hbar c (CGS)=e^2/4\pi \varepsilon_0 \hbar c (SI)=1/137\), המכונה קבוע המבנה העדין. זהו גם היחס בין מהירות האלקטרונים במסלול בוהר הראשון למהירות האור, וכך גם אינדיקציה לחשיבותם של תיקונים רלטיביסטיים לאנרגיות של מצבי אלקטרונים; הבדלים אלה באנרגיות מסלול האלקטרונים עבור מצבים מעגליים ואליפטיים בעלי אותה אנרגיה כאשר הם מחושבים באופן לא רלטיביסטי מובילים למבנה עדין בספקטרום האטומי.