Phụ lục B: Toán học thiết yếu
- Page ID
- 217738
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Số học hàm mũ
Ký hiệu hàm mũ được sử dụng để biểu thị các số rất lớn và rất nhỏ dưới dạng tích của hai số. Số đầu tiên của sản phẩm, thuật ngữ chữ số, thường là một số không nhỏ hơn 1 và không lớn hơn 10. Số thứ hai của tích, số hạng mũ, được viết là 10 với số mũ. Một số ví dụ về ký hiệu hàm mũ là:
\ [\ begin {align*}
1000&=1×10^3\\
100&=1×10^2\\ 10&=1×10^1\\ 1&=1×10^
0\\ 0.1&=1×10^ {−1}\\ 0.001&=1×10^ {−3}\\ 2386
&=2.386×1000=2.386×10^3\ 0.123&=1.23×0.1=1.23×10^ {−1}\ end {align*}\nsố\]
Lũy thừa (số mũ) của 10 bằng số vị trí số thập phân được dịch chuyển để cho số chữ số. Phương pháp hàm mũ là ký hiệu đặc biệt hữu ích cho mọi số lớn và rất nhỏ. Ví dụ: 1.230.000.000 = 1,23 × 10 9 và 0,000000036 = 3,6 × 10 −10.
Bổ sung các cấp số nhân
Chuyển đổi tất cả các số thành cùng một lũy thừa của 10, thêm các số hạng chữ số của các số và nếu thích hợp, chuyển đổi thuật ngữ chữ số trở lại một số từ 1 đến 10 bằng cách điều chỉnh số hạng mũ.
Thêm 5,00 × 10 −5 và 3,00 × 10 −3.
Giải pháp n
\ [\ begin {align*}
3,00×10^ {−3} &=300×10^ {−5}\\
(5.00×10^ {−5}) + (300×10^ {−5}) &=305×10^ {−5} =3.05×10^ {−3}\ end {align*}\nsố\]
Phép trừ các cấp số nhân
Chuyển đổi tất cả các số thành cùng một lũy thừa của 10, lấy sự khác biệt của các số hạng chữ số và nếu thích hợp, chuyển đổi thuật ngữ chữ số trở lại một số từ 1 đến 10 bằng cách điều chỉnh số hạng mũ.
Trừ 4,0 × 10 −7 từ 5,0 × 10 −6.
Giải pháp n
\ [4,0×10^ {−7} =0.40×10^ {−6}\\
(5.0×10^ {−6}) − (0.40×10^ {−6}) =4,6×10^ {−6}\nsố\]
Phép nhân của cấp số nhân
Nhân các số hạng chữ số theo cách thông thường và thêm số mũ của các số hạng mũ.
Nhân 4,2 × 10 −8 với 2,0 × 10 3.
Giải pháp n
\[(4.2×10^{−8})×(2.0×10^3)=(4.2×2.0)×10^{(−8)+(+3)}=8.4×10^{−5} \nonumber \]
Phân chia các cấp số nhân
Chia số hạng chữ số của tử số cho số hạng chữ số của mẫu số và trừ các số mũ của các số hạng mũ.
Chia 3,6 × 10 5 cho 6,0 × 10 −4.
Giải pháp n
\[\dfrac{3.6×10^{−5}}{6.0×10^{−4}}=\left(\dfrac{3.6}{6.0}\right)×10^{(−5)−(−4)}=0.60×10^{−1}=6.0×10^{−2} \nonumber \]
Bình phương của lũy thừa
Bình phương số hạng chữ số theo cách thông thường và nhân số mũ của số hạng mũ với 2.
Bình phương số 4,0 × 10 −6.
Giải pháp n
\[(4.0×10^{−6})^2=4×4×10^{2×(−6)}=16×10^{−12}=1.6×10^{−11} \nonumber \]
Cubing of Exponentials
Lập phương số hạng chữ số theo cách thông thường và nhân số mũ của số hạng mũ với 3.
Lập phương số 2 × 10 4.
Giải pháp n
\[(2×10^4)^3=2×2×2×10^{3×4}=8×10^{12} \nonumber \]
Lấy căn bậc hai của lũy thừa
Nếu cần, hãy giảm hoặc tăng số hạng mũ sao cho lũy thừa của 10 chia hết cho 2. Trích xuất căn bậc hai của số hạng chữ số và chia số hạng mũ cho 2.
Tìm căn bậc hai của 1,6 × 10 −7.
Giải pháp n
\ [\ begin {align*}
1.6×10^ {−7} &=16×10^ {−8}\\ sqrt {16×10^ {−8}} =
\ sqrt {16} ×\ sqrt {10^ {−8}} &=\ sqrt {16} ×10^ {−\ large {\ frac {8} {2}}} =4.0×10^ {−10^ {4}\ end {align*}\nsố\]
Số liệu quan trọng
Một người nuôi ong báo cáo rằng anh ta có 525.341 con ong. Ba con số cuối cùng của con số rõ ràng là không chính xác, vì trong thời gian người nuôi đang đếm những con ong, một số trong số chúng đã chết và một số khác nở ra; điều này làm cho nó khá khó khăn để xác định số lượng ong chính xác. Sẽ chính xác hơn nếu người nuôi ong báo cáo con số 525.000. Nói cách khác, ba số liệu cuối cùng không đáng kể, ngoại trừ việc đặt vị trí của dấu thập phân. Giá trị chính xác của họ không có ý nghĩa hữu ích trong tình huống này. Khi báo cáo bất kỳ thông tin nào dưới dạng con số, chỉ sử dụng nhiều số liệu quan trọng như độ chính xác của phép đo đảm bảo.
Tầm quan trọng của các số liệu quan trọng nằm ở việc áp dụng chúng vào tính toán cơ bản. Ngoài phép trừ, tổng hoặc chênh lệch phải chứa càng nhiều chữ số ở bên phải của số thập phân như số ít nhất trong số các số được sử dụng trong tính toán (được biểu thị bằng cách gạch chân trong ví dụ sau).
Thêm 4,383 g và 0,0023 g.
Giải pháp n
\ [\ begin {align*}
&\ mathrm {4.38\ underline {3}\ :g}\\
&\ mathrm {\ underline {0.002\ underline {3}\ :g}}\\
&\ mathrm {4.38\ underline {5}\ :g}\ end {align*}\nonumber\]
Trong phép nhân và chia, tích hoặc thương số không được chứa nhiều chữ số hơn số trong hệ số chứa số liệu quan trọng ít nhất.
Nhân 0,6238 với 6,6.
Giải pháp n
\[0.623\underline{8}×6.\underline{6}=4.\underline{1} \nonumber \]
Khi làm tròn số, tăng chữ số được giữ lại thêm 1 nếu nó được theo sau bởi một số lớn hơn 5 (“làm tròn lên”). Không thay đổi chữ số được giữ lại nếu các chữ số theo sau nhỏ hơn 5 (“làm tròn xuống”). Nếu chữ số được giữ lại được theo sau bởi 5, làm tròn lên nếu chữ số được giữ lại là số lẻ hoặc làm tròn xuống nếu nó là chẵn (sau khi làm tròn, chữ số được giữ lại sẽ luôn là số chẵn).
Việc sử dụng logarit và số mũ
Logarit chung của một số (log) là lũy thừa mà 10 phải được nâng lên bằng số đó. Ví dụ, logarit chung của 100 là 2, vì 10 phải được nâng lên lũy thừa thứ hai bằng 100. Các ví dụ bổ sung theo sau.
| Số | Số được biểu thị theo cấp số nhân | Logarit chung |
|---|---|---|
| 1000 | 10 3 | 3 |
| 10 | 10 1 | 1 |
| 1 | 10 0 | 0 |
| 0.1 | 10 −1 | −1 |
| 0.001 | 10 −3 | −3 |
Logarit chung của 60 là gì? Bởi vì 60 nằm trong khoảng từ 10 đến 100, có logarit lần lượt là 1 và 2, logarit của 60 là 1,7782; nghĩa là,
\[60=10^{1.7782} \nonumber \]
Logarit chung của một số nhỏ hơn 1 có giá trị âm. Logarit của 0,03918 là −1,4069, hoặc
\[0.03918=10^{-1.4069}=\dfrac{1}{10^{1.4069}} \nonumber \]
Để có được logarit chung của một số, hãy sử dụng nút nhật ký trên máy tính của bạn. Để tính một số từ logarit của nó, hãy lấy nhật ký nghịch đảo của logarit hoặc tính 10 x (trong đó x là logarit của số).
Logarit tự nhiên của một số (ln) là lũy thừa mà e phải được nâng lên bằng số; e là hằng số 2.71828 18. Ví dụ, logarit tự nhiên của 10 là 2,303; nghĩa là
\[10=e^{2.303}=2.7182818^{2.303} \nonumber \]
Để có được logarit tự nhiên của một số, hãy sử dụng nút ln trên máy tính của bạn. Để tính một số từ logarit tự nhiên của nó, hãy nhập logarit tự nhiên và lấy ln nghịch đảo của logarit tự nhiên, hoặc tính e x (trong đó x là logarit tự nhiên của số).
Logarit là số mũ; do đó, các phép toán liên quan đến logarit tuân theo các quy tắc tương tự như các phép toán liên quan đến số mũ.
- Logarit của một tích của hai số là tổng logarit của hai số. \[\log xy= \log x + \log y, \textrm{ and }\ln xy=\ln x + \ln y \nonumber \]
- Logarit của số kết quả từ việc chia hai số là hiệu số giữa logarit của hai số. \[\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y,\textrm{ and } \ln\dfrac{x}{y}=\ln x-\ln y \nonumber \]
- Logarit của một số được nâng lên một số mũ là tích của số mũ và logarit của số. \[\log x^n=n\log x \textrm{ and }\ln x^n=n\ln x \nonumber \]
Giải pháp của phương trình bậc hai
Các hàm toán học của dạng này được gọi là đa thức bậc hai hoặc, phổ biến hơn, các hàm bậc hai.
\[ax^2+bx+c=0 \nonumber \]
Giải pháp hoặc gốc cho bất kỳ phương trình bậc hai nào có thể được tính theo công thức sau:
\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a} \nonumber \]
Giải phương trình bậc hai Giải phương trình bậc hai 3 x 2 + 13 x − 10 = 0.
Giải pháp Thay các giá trị a = 3, b = 13, c = −10 trong công thức, ta thu được
\[x=\dfrac{−13±\sqrt{(13)^2−4×3×(−10)}}{2×3} \nonumber \]
\[x=\dfrac{−13±\sqrt{169+120}}{6}=\dfrac{−13±\sqrt{289}}{6}=\dfrac{−13±17}{6} \nonumber \]
Do đó, hai gốc là
\[x=\dfrac{−13+17}{6}=\dfrac{2}{3}\textrm{ and }x=\dfrac{−13−17}{6}=−5 \nonumber \]
Phương trình bậc hai được xây dựng trên dữ liệu vật lý luôn có gốc thực và trong số các gốc thực này, thường chỉ những phương trình có giá trị dương mới có ý nghĩa bất kỳ.
Vẽ đồ thị hai chiều (x - y)
Mối quan hệ giữa hai thuộc tính bất kỳ của một hệ thống có thể được biểu diễn bằng đồ thị bằng biểu đồ dữ liệu hai chiều. Một đồ thị như vậy có hai trục: một trục ngang tương ứng với biến độc lập hoặc biến có giá trị đang được kiểm soát (x) và trục tung tương ứng với biến phụ thuộc hoặc biến có giá trị đang được quan sát hoặc đo lường (y).
Khi giá trị của y thay đổi dưới dạng hàm của x (nghĩa là các giá trị khác nhau của x tương ứng với các giá trị khác nhau của y), một đồ thị của sự thay đổi này có thể được vẽ hoặc phác thảo. Biểu đồ có thể được tạo ra bằng cách sử dụng các giá trị cụ thể cho các cặp dữ liệu (x, y).
Vẽ đồ thị sự phụ thuộc của y vào x
| x | y |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 10 |
| 3 | 7 |
| 4 | 14 |
Bảng này chứa các điểm sau: (1,5), (2,10), (3,7) và (4,14). Mỗi điểm này có thể được vẽ trên đồ thị và được kết nối để tạo ra một biểu diễn đồ họa về sự phụ thuộc của y vào x.
Nếu biết hàm mô tả sự phụ thuộc của y vào x, nó có thể được sử dụng để tính toán các cặp dữ liệu x, y mà sau đó có thể được vẽ biểu đồ.
Vẽ đồ thị các cặp dữ liệu Nếu chúng ta biết rằng y = x 2 + 2, chúng ta có thể tạo ra một bảng gồm một vài giá trị (x, y) và sau đó vẽ đường dựa trên dữ liệu được hiển thị ở đây.
| x | y = x 2 + 2 |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 11 |
| 4 | 18 |
