5.2: Többszörös összehasonlítás

Amikor az F-teszt elutasítja a nullhipotézist, úgy gondoljuk, hogy jelentős különbségek vannak a k populáció átlagai között. Így, melyek különböznek egymástól? A többszörös összehasonlítási módszer annak azonosítására szolgál, hogy az eszközök közül melyik különbözik egymástól, miközben ellenőrizzük a kísérletenkénti hibát (az összehasonlítási családhoz kapcsolódó felhalmozott kockázat). Számos összehasonlítási módszer áll rendelkezésre.

A legkevésbé szignifikáns különbség tesztben minden egyes hipotézist a hallgatói t-statisztikával tesztelnek. Ha az I. típusú hiba valószínűségét valamilyen értékre állítjuk be, és az s2 varianciája v szabadságfokkal rendelkezik, a nullhipotézist minden megfigyelt értékre elutasítják úgy, hogy |to|> tα/2, v. Ez az összes lehetséges páronkénti t-teszt rövidített változata. Ennek a módszernek gyenge kísérleti hibaaránya van. A Fisher védett LSD valamivel jobban képes kezelni ezt a problémát.

A Bonferroni egyenlőtlenség konzervatív alternatíva, ha a szoftver nem áll rendelkezésre. Amikor n összehasonlítást végez, αe≤ n αc ezért αc = αe/n Más szavakkal, ossza meg a kísérleti szignifikancia szintjét a többszörös összehasonlítások számával, hogy megkapja az összehasonlítás szerinti szignifikanciaszintet. A Bonferroni eljárás az egyes lehetséges μ párok közötti különbségek konfidenciaintervallumainak kiszámításán alapul.A konfidencia intervallumok kritikus értéke egy táblázatból származik, amelyben (N — k) szabadságfok és k (k — 1) /2 intervallumok száma van. Ha egy adott intervallum nem tartalmaz nullát, a két eszköz jelentősen különbözik egymástól. A nullát tartalmazó intervallum azt jelzi, hogy a két eszköz NEM különbözik jelentősen.

Dunnett eljárását olyan vizsgálatokhoz hozták létre, ahol az egyik kezelés kontrollkezelésként működik a fennmaradó kezelések egy részében vagy mindegyikében. Elsősorban akkor használják, ha a vizsgálat érdeke annak meghatározása, hogy a kezelésekre adott átlagos válaszok eltérnek-e a kontrollétól. A Bonferronihoz hasonlóan konfidencia intervallumokat hoznak létre a két kezelési átlag közötti különbség becslésére a kritikus értékek meghatározott táblázatával, amelyet a kísérleti hibaarány szabályozására használnak. A különbség standard hibája az.

Scheffe tesztje szintén konzervatív módszer az adatok által javasolt összes lehetséges egyidejű összehasonlításra. Ez a teszt egyenlővé teszi az ANOVA F statisztikáját a t-teszt statisztikával. Mivel t2 = F akkor t = √F, helyettesíthetjük √F (αe, v1, v2) t (αe, v2) -t Scheffe statisztikájához.

A Tukey-teszt erősen érzékeli a kísérleti hibaarányt a kezelési eszközök összes páronkénti összehasonlításához. Ezt a tesztet őszintén jelentős különbségnek is nevezik. Ez a teszt megrendeli a kezeléseket a legkisebbtől a legnagyobbig, és a vizsgált tartomány statisztikáját használja

$$q=\dfrac {\bar {y}(largest)-\bar y (smallest)}{\sqrt {MSE/r}}$$

A két átlag abszolút különbségét azért használjuk, mert a két átlag elhelyezkedése a számított különbségben tetszőleges, a különbség előjele attól függően, hogy melyik átlagot használjuk először. Az egyenlőtlen replikációkhoz helyette a Tukey-Kramer közelítést használják.

A Student-Newman-Keuls (SNK) teszt egy többszörös tartományú teszt, amely a vizsgált tartomány statisztikáján alapul, mint például a Tukey-é. A kritikus érték egy adott eszközpáron alapul, amelyet a rendezett eszközök teljes készletén belül tesztelnek. A vizsgálati kritériumokhoz két vagy több tartományt használnak az átlagok között. Bár tesztstatisztikáját tekintve hasonló a Tukey-hoz, gyenge kísérleti hibaarányokkal rendelkezik.

Bonferroni, Dunnett és Scheffe tesztjei a legkonzervatívabbak, ami azt jelenti, hogy a két átlag közötti különbségnek nagyobbnak kell lennie, mielőtt jelentős különbséget állapítana meg. Az LSD és az SNK tesztek a legkevésbé konzervatívak. Tukey tesztje középen van. Robert Kuehl, a Kísérletek tervezése: A kutatás tervezésének és elemzésének statisztikai alapelvei (2000) szerzője kijelenti, hogy a Tukey -módszer biztosítja a legjobb védelmet a döntési hibák ellen, valamint erős következtetést von le a különbségek nagyságáról és irányáról.

Térjünk vissza az alaszkai, floridai és texasi esősavassággal kapcsolatos kérdésünkhöz. A null- és alternatív hipotézisek a következők voltak:

H 0: μA = μF = μT

H 1: legalább az egyik eszköz különbözik

A p-az F-teszt értéke 0,000229 volt, ami kevesebb, mint az 5% -os szignifikancia szintünk. Elutasítottuk a nullhipotézist, és elegendő bizonyítékkal rendelkeztünk ahhoz, hogy alátámasszuk azt az állítást, hogy legalább az egyik eszköz jelentősen eltér a másiktól. Bonferroni és Tukey módszereit fogjuk használni többszörös összehasonlításhoz annak meghatározására, hogy melyik átlag (ok) különbözik.

Bonferroni többszörös összehasonlítási módszer

Minden páronkénti összehasonlításhoz kiszámítják a Bonferroni konfidencia intervallumot. Mert k populációk, lesz k (k -1) /2 többszörös összehasonlítás. A konfidencia intervallum a következő formában jelenik meg:

$For \ \mu_1 - \mu_2 : (\bar {x_1}-\bar {x_2}) \pm (Bonferronit \ critical \ value) \sqrt{\dfrac {MSE}{n_1} +\dfrac {MSE}{n_2}}$

$For \ \mu_{k-1} - \mu_k: (\bar {x_{k-1}} - \bar {x_k}) \pm (Bonferronit \ critical \ value) \sqrt {\dfrac {MSE}{n_{k-1}}+\dfrac{MSE}{n_k}}$

Ahol az MSE a varianciatáblázatból származik, és a Bonferroni t kritikus érték az alábbi Bonferroni táblázatból származik. A Bonferroni t kritikus értéket a hallgató t kritikus érték helyett az MSE használatával kombinálva legalább 95% -os egyidejű megbízhatósági szint elérésére használják az összes kiszámított intervallumra. A két eszközt jelentősen eltérőnek ítélik meg, ha a megfelelő intervallum nem tartalmaz nullát.

5. táblázat. Bonferroni t-kritikus értékek.

df	2	3	4	5	6	10
2	6.21	7.65	8.86	9.92	10.89	14.09
3	4.18	4.86	5.39	5.84	6.23	7.45
4	3.50	3.96	4.31	4.60	4.85	5.60
5	3.16	3.53	3.81	4.03	4.22	4.77
6	2.97	3.29	3.52	3.71	3.86	4.32
7	2.84	3.13	3.34	3.50	3.64	4.03
8	2.75	3.02	3.21	3.36	3.48	3.83
9	2.69	2.93	3.11	3.25	3.36	3.69
10	2.63	2.87	3.04	3.17	3.28	3.58
11	2.59	2.82	2.98	3.11	3.21	3.50
12	2.56	2.78	2.93	3.05	3.15	3.43
13	2.53	2.75	2.90	3.01	3.11	3.37
14	2.51	2.72	2.86	2.98	3.07	3.33
15	2.49	2.69	2.84	2.95	3.04	3.29
16	2.47	2.67	2.81	2.92	3.01	3.25
17	2.46	2.66	2.79	2.90	2.98	3.22
18	2.45	2.64	2.77	2.88	2.96	3.20
19	2.43	2.63	2.76	2.86	2.94	3.17
20	2.42	2.61	2.74	2.85	2.93	3.15
21	2.41	2.60	2.73	2.83	2.91	3.14
22	2.41	2.59	2.72	2.82	2.90	3.12
23	2.40	2.58	2.71	2.81	2.89	3.10
24	2.39	2.57	2.70	2.80	2.88	3.09
25	2.38	2.57	2.69	2.79	2.86	3.08
26	2.38	2.56	2.68	2.78	2.86	3.07
27	2.37	2.55	2.68	2.77	2.85	3.06
28	2.37	2.55	2.67	2.76	2.84	3.05
29	2.36	2.54	2.66	2.76	2.83	3.04
30	2.36	2.54	2.66	2.75	2.82	3.03
40	2.33	2.50	2.62	2.70	2.78	2.97
60	2.30	2.46	2.58	2.66	2.73	2.91
120	2.27	2.43	2.54	2.62	2.68	2.86

 

Ehhez a problémához k = 3 tehát k (k — 1) /2= 3 (3 — 1) /2 = 3 többszörös összehasonlítás. A szabadságfokok megegyeznek N — k = 18 — 3 = 15 értékkel. A Bonferroni kritikus értéke 2,69.

$For \mu_A -\mu_F : (5.033-4.517) \pm (2.69) \sqrt {\dfrac {0.1011}{6} +\dfrac {0.1011}{6}} = (0.0222, 1.0098)$

$For \mu_A - \mu_T : (5.033-5.537) \pm (2.69)\sqrt {\dfrac {0.1011}{6} +\dfrac {0.1011}{6}} = (-0.9978, -0.0102)$

$For \mu_F - \mu_T : (4.517-5.537) \pm (2.69)\sqrt {\dfrac {0.1011}{6} +\dfrac {0.1011}{6}} = (-1.5138, 0.5262)$

Az első konfidencia intervallum tartalmazza az összes pozitív értéket. Ez azt mondja, hogy szignifikáns különbség van a két eszköz között, és hogy Alaszka átlagos eső pH-ja lényegesen nagyobb, mint Florida átlagos eső pH-ja.

A második konfidencia intervallum tartalmazza az összes negatív értéket. Ez azt mondja, hogy szignifikáns különbség van a két eszköz között, és hogy Alaszka átlagos eső pH-ja lényegesen alacsonyabb, mint Texas átlagos eső pH-ja.

A harmadik konfidencia intervallum az összes negatív értéket is tartalmazza. Ez azt mondja, hogy jelentős különbség van a két eszköz között, és hogy Florida átlagos eső pH-ja lényegesen alacsonyabb, mint Texas átlagos eső pH-ja.

Mindhárom államban jelentősen eltérő az eső pH-szintje. Texasban a legmagasabb az eső pH-ja, majd Alaszka követi Floridát, ahol a legalacsonyabb az eső pH-értéke. A konfidencia intervallumok segítségével megbecsülheti az állapotok közötti átlagos különbséget. Például Texasban az eső átlagos pH-ja 0,5262 és 1,5138 között mozog, mint Floridában az átlagos eső pH-ja.

Most használjuk a Tukey módszert több összehasonlításhoz. Hagyjuk, hogy a szoftver kiszámítsa számunkra az értékeket. Az Excel nem végez több összehasonlítást, így a Minitab kimenetre támaszkodunk.

Egyirányú ANOVA: pH vs. állapot

Forrás	DF	SS	MS	F	P
állam	2	3.121	1.561	15.4	0.000
Hiba	15	1.517	0.101
Összesen	17	4.638
S = 0,3180		R-Sq = 67,29%		R-Sq (adj) = 62,93%

A kimenetnek ezt a részét már láttuk. Most a Tukey módszerrel történő csoportosítási információkra szeretnénk összpontosítani. Mindhárom állapot különböző betűkkel rendelkezik, jelezve, hogy az egyes állapotok átlagos eső pH-ja jelentősen eltér. A legmagasabbtól a legalacsonyabbig is fel vannak sorolva. Könnyen belátható, hogy Texasban a legmagasabb az eső pH-ja, míg Floridában a legalacsonyabb.

Információk csoportosítása Tukey módszerrel

állam	N	Átlag	Csoportosítás
Texas	6	5.5367	A
Alaszka	6	5.0333	B
Florida	6	4.516	C
Azok az eszközök, amelyek nem osztják meg a levelet, jelentősen különböznek egymástól.

Ez a következő konfidencia intervallumkészlet hasonló a Bonferroni konfidencia intervallumokhoz. Becsülik az egyes átlagpárok különbségét. Az egyéni konfidencia intervallum szintjét 95% helyett 97,97% -ra állítják be, így szabályozzák a kísérleti hibaarányt.

Tukey 95% egyidejű konfidencia intervallumok

Minden páronkénti összehasonlítás az állapotszintek között

Egyéni megbízhatósági szint = 97,97%

állam = Alaszka kivonva:
állam	Alsó	Központ	Felső	————+————————+
Florida	-0,9931	-0,5167	-0,0402		(——*—-)
Texas	0.0269	0.5033	0.9798			(——*——)
				————+————————+
				-0,80	0.00	0,80	1.60

állam = Florida kivonva:
állam	Alsó	Központ	Felső	————+————————+
Texas	0.5435	1.0200	1.4965			(——*——)
				————+————————+
				-0,80	0.00	0,80	1.60

Az első párosítás Florida — Alaszka, ami (-0,9931, -0,0402) intervallumot eredményez. Az intervallumnak minden negatív értéke van, ami azt jelzi, hogy Florida lényegesen alacsonyabb, mint Alaszka. A második párosítás Texas - Alaszka, ami (0,0269, 0,9798) intervallumot eredményez. Az intervallumnak minden pozitív értéke van, ami azt jelzi, hogy Texas nagyobb, mint Alaszka. A harmadik párosítás Texas - Florida, amely (0,5435, 1,4965) intervallumot eredményez. Minden pozitív érték azt jelzi, hogy Texas nagyobb, mint Florida.

Az intervallumok hasonlóak a Bonferroni intervallumokhoz, szélességbeli különbségekkel az alkalmazott módszerek miatt. Mindkét esetben ugyanazok a következtetések vonhatók le.

Ha egyirányú ANOVA-t használunk, és arra a következtetésre jutunk, hogy az eszközök közötti különbségek jelentősek, nem lehetünk teljesen biztosak abban, hogy az adott tényező felelős a különbségekért. Lehetséges, hogy más ismeretlen tényező variációja felelős. Az idegen tényezők hatásának csökkentésének egyik módja egy kísérlet megtervezése, hogy teljesen véletlenszerű kialakítású legyen. Ez azt jelenti, hogy minden elemnek egyenlő a valószínűsége annak, hogy bármilyen kezelést kap, vagy bármely más csoporthoz tartozik. Általában a jó eredmények megkövetelik, hogy a kísérletet gondosan megtervezzék és végrehajtsák.

További példa:

https://youtu.be/BMyYXc8cWHs