7.7: Kutatua Mifumo na Kuondoa Gaussia
- Page ID
- 180965
- Andika tumbo la kuongezeka kwa mfumo wa equations.
- Andika mfumo wa equations kutoka kwenye tumbo la kuongezeka.
- Fanya shughuli za mstari kwenye tumbo.
- Tatua mfumo wa equations linear kwa kutumia matrices.
Carl Friedrich Gauss aliishi wakati wa\(19^{th}\) karne ya mwisho na karne ya mwanzo, lakini bado anahesabiwa kuwa mmoja wa wanahisabati wengi sana katika historia.\(18^{th}\) Michango yake katika sayansi ya hisabati na fizikia inazunguka nyanja kama vile algebra, nadharia ya namba, uchambuzi, jiometri tofauti, astronomia, na optics, miongoni mwa mengine. Uvumbuzi wake kuhusu nadharia ya matrix ulibadilisha jinsi wanahisabati walivyofanya kazi kwa karne mbili zilizopita.
Sisi kwanza tulikutana na kuondoa Gaussia katika Mifumo ya Equations Linear: Vigezo viwili. Katika sehemu hii, tutaangalia tena mbinu hii ya kutatua mifumo, wakati huu kwa kutumia matrices.
Kuandika Matrix Augmented ya Mfumo wa Equations
Matrix inaweza kutumika kama kifaa cha kuwakilisha na kutatua mfumo wa equations. Ili kuelezea mfumo katika fomu ya matrix, tunaondoa coefficients ya vigezo na mara kwa mara, na hizi zinakuwa maingizo ya tumbo. Tunatumia mstari wa wima ili kutenganisha entries za mgawo kutoka kwa mara kwa mara, kimsingi kuchukua nafasi ya ishara sawa. Wakati mfumo umeandikwa kwa fomu hii, tunaiita tumbo la kuongezeka.
Kwa mfano, fikiria\(2 × 2\) mfumo wafuatayo wa equations.
\[\begin{align*} 3x+4y&= 7\\ 4x-2y&= 5 \end{align*}\]
Tunaweza kuandika mfumo huu kama tumbo la kuongezeka:
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&7\\4&-2&5\end{array} \right]\)
Tunaweza pia kuandika tumbo iliyo na coefficients tu. Hii inaitwa tumbo la mgawo.
\(\begin{bmatrix}3&4\\4&−2\end{bmatrix}\)
Mfumo wa tatu na tatu wa equations kama vile
\[\begin{align*} 3x-y-z&= 0\\ x+y&= 5\\ 2x-3z&= 2 \end{align*}\]
ina tumbo la mgawo
\(\begin{bmatrix}3&−1&−1\\1&1&0\\2&0&−3\end{bmatrix}\)
na inawakilishwa na tumbo la kuongezeka
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}3&−1&−1&0\\1&1&0&5\\2&0&−3&2\end{array} \right]\)
Kumbuka kwamba tumbo imeandikwa ili vigezo vifungue kwenye nguzo zao wenyewe:\(x\) -maneno kwenda kwenye safu ya kwanza,\(y\) -maneno katika safu ya pili, na\(z\) -maneno katika safu ya tatu. Ni muhimu sana kwamba kila equation imeandikwa katika hali ya kiwango\(ax+by+cz=d\) ili vigezo line up. Wakati kuna muda usiofaa wa kutofautiana katika usawa, mgawo ni\(0\).
- Andika coefficients ya\(x\) -maneno kama namba chini ya safu ya kwanza.
- Andika coefficients ya\(y\) -maneno kama namba chini ya safu ya pili.
- Ikiwa kuna\(z\) -maneno, weka coefficients kama namba chini ya safu ya tatu.
- Chora mstari wa wima na uandike vipindi kwa haki ya mstari.
Andika tumbo la kuongezeka kwa mfumo uliopewa wa equations.
\[\begin{align*} x+2y-z&= 3\\ 2x-y+2z&= 6\\ x-3y+3z&= 4 \end{align*}\]
Suluhisho
Matrix iliyoongezwa inaonyesha coefficients ya vigezo, na safu ya ziada kwa mara kwa mara.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&2&−1&3\\2&−1&2&6\\1&−3&3&4\end{array} \right]\)
Andika tumbo la kuongezeka kwa mfumo uliopewa wa equations.
\[\begin{align*} 4x-3y&= 11\\ 3x+2y&= 4 \end{align*}\]
- Jibu
-
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 4&−3&11\\3&2&4\end{array} \right]\)
Kuandika Mfumo wa Equations kutoka Matrix Augmented
Tunaweza kutumia matrices iliyoongezwa ili kutusaidia kutatua mifumo ya equations kwa sababu zinawezesha shughuli wakati mifumo haipatikani na vigezo. Hata hivyo, ni muhimu kuelewa jinsi ya kuhamia na kurudi kati ya muundo ili kufanya ufumbuzi wa kutafuta laini na zaidi ya angavu. Hapa, tutatumia habari katika tumbo la kuongezeka ili kuandika mfumo wa equations katika fomu ya kawaida.
Pata mfumo wa equations kutoka kwenye tumbo la kuongezeka.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−3&−5&-2\\2&−5&−4&5\\−3&5&4&6 \end{array} \right]\)
Suluhisho
Wakati nguzo zinawakilisha vigezo\(x\),\(y\), na\(z\),
\[\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-3&-5&-2\\2&-5&-4&5\\-3&5&4&6 \end{array} \right] \rightarrow \begin{align*} x-3y-5z&= -2\\ 2x-5y-4z&= 5\\ -3x+5y+4z&= 6 \end{align*}\]
Andika mfumo wa equations kutoka kwenye tumbo la kuongezeka.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−1& 1&5\\2&−1&3&1\\0&1&1&-9\end{array}\right]\)
- Jibu
-
\(\begin{align*} x-y+z&= 5\\ 2x-y+3z&= 1\\ y+z&= -9 \end{align*}\)
Kufanya Operesheni za Row kwenye Matrix
Sasa kwa kuwa tunaweza kuandika mifumo ya milinganyo katika fomu ya tumbo iliyoongezwa, tutachunguza shughuli mbalimbali za mstari ambazo zinaweza kufanywa kwenye tumbo, kama vile kuongeza, kuzidisha kwa safu ya mara kwa mara, na kubadilishana.
Kufanya shughuli za mstari kwenye tumbo ni njia tunayotumia kutatua mfumo wa equations. Ili kutatua mfumo wa milinganyo, tunataka kubadilisha tumbo kwa fomu ya mstari-echelon, ambapo kuna chini ya mshazari kuu kutoka kona ya juu kushoto hadi kona ya chini ya kulia, na zero katika kila nafasi chini ya mshazari kuu kama inavyoonekana.
Fomu ya mstari-echelon\(\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&d\\0&0&1\end{bmatrix}\)
Tunatumia shughuli mfululizo sambamba na shughuli equation kupata Matrix mpya yaani mstari sawa katika fomu rahisi. Hapa ni miongozo ya kupata fomu ya mstari-echelon.
- Katika mstari wowote usio na nonzero, nambari ya kwanza ya nonzero ni\(1\). Inaitwa kuongoza\(1\).
- Safu yoyote ya sifuri zote huwekwa chini kwenye tumbo.
- \(1\)Uongozi wowote ni chini na haki ya kuongoza uliopita\(1\).
- Safu yoyote iliyo na\(1\) uongozi ina zero katika nafasi nyingine zote kwenye safu.
Ili kutatua mfumo wa equations tunaweza kufanya shughuli zifuatazo za mstari ili kubadilisha tumbo la mgawo kwa fomu ya mstari-echelon na kufanya mabadiliko ya nyuma ili kupata suluhisho.
- Kubadilishana safu. (Nukuu:\(R_i ↔ R_j\))
- Panua mstari kwa mara kwa mara. (Nukuu:\(cR_i\))
- Ongeza bidhaa ya mstari imeongezeka kwa mara kwa mara hadi mstari mwingine. (Nukuu:\(R_i+cR_j\))
Kila moja ya shughuli za mstari inafanana na shughuli ambazo tayari tumejifunza kutatua mifumo ya equations katika vigezo vitatu. Kwa shughuli hizi, kuna hatua muhimu ambazo zitafikia haraka lengo la kuandika tumbo katika fomu ya mstari-echelon. Ili kupata Matrix katika fomu mstari-echelon kwa ajili ya kutafuta ufumbuzi, tunatumia kuondoa Gaussia, njia ambayo inatumia shughuli mstari kupata\(1\) kama kuingia kwanza ili mstari\(1\) inaweza kutumika kubadili safu iliyobaki.
Njia ya kuondoa Gaussia inahusu mkakati uliotumiwa kupata fomu ya mstari-echelon ya tumbo. Lengo ni kuandika tumbo\(A\) na namba\(1\) kama kuingia chini ya diagonal kuu na kuwa na zero zote chini.
\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\xrightarrow{After\space Gaussian\space elimination} A=\begin{bmatrix}1&b_{12}& b_{13}\\0&1&b_{23}\\0&0&1\end{bmatrix}\)
Hatua ya kwanza ya mkakati Gaussia ni pamoja na kupata\(1\) kama kuingia kwanza, ili mstari\(1\) inaweza kutumika kubadilisha safu chini.
- Equation ya kwanza inapaswa kuwa na mgawo wa kuongoza wa\(1\). Kubadilishana safu au kuzidisha kwa mara kwa mara, ikiwa ni lazima.
- Matumizi shughuli mstari kupata zeros chini safu ya kwanza chini ya kuingia kwanza ya\(1\).
- Matumizi shughuli mfululizo kupata\(1\) katika mstari 2, safu 2.
- Tumia shughuli za mstari ili kupata zeros chini safu ya 2, chini ya kuingia kwa 1.
- Matumizi shughuli mfululizo kupata\(1\) katika mstari 3, safu 3.
- Endelea mchakato huu kwa safu zote mpaka kuna\ (1) katika kila kuingia chini ya diagonal kuu na kuna zero tu chini.
- Ikiwa safu yoyote ina zero zote, ziweke chini.
Tatua mfumo uliotolewa na kuondoa Gaussia.
\[\begin{align*} 2x+3y&= 6\\ x-y&= \dfrac{1}{2} \end{align*}\]
Suluhisho
Kwanza, tunaandika hii kama tumbo la kuongezeka.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 2&3&6\\1&−1&12\end{array} \right]\)
Tunataka\(1\) mfululizo 1, safu 1. Hii inaweza kukamilika kwa kubadilishana mstari 1 na mstari wa 2.
\(R_1\leftrightarrow R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\2&3&6\end{array} \right]\)
Sasa tuna\(1\) kama kuingia kwanza katika mstari 1, safu 1. Sasa hebu kupata\(0\) katika mstari 2, safu 1. Hii inaweza kukamilika kwa kuzidisha mstari wa 1 na\(−2\), na kisha kuongeza matokeo kwa mstari wa 2.
\(-2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&5&5\end{array} \right]\)
Tuna hatua moja tu, kuzidisha mstari wa 2 na\(\dfrac{1}{5}\).
\(\dfrac{1}{5}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&1&1\end{array} \right]\)
Tumia mbadala ya nyuma. Mstari wa pili wa matrix inawakilisha\(y=1\). Back-mbadala\(y=1\) katika equation kwanza.
\[\begin{align*} x-(1)&= \dfrac{1}{2}\\ x&= \dfrac{3}{2} \end{align*}\]
Suluhisho ni hatua\(\left(\dfrac{3}{2},1\right)\).
Tatua mfumo uliotolewa na kuondoa Gaussia.
\[\begin{align*} 4x+3y&= 11\\ x-3y&= -1 \end{align*}\]
- Jibu
-
\((2, 1)\)
Tumia uondoaji wa Gaussia kutatua\(2 × 2\) mfumo uliopewa wa equations.
\[\begin{align*} 2x+y&= 1\\ 4x+2y&= 6 \end{align*}\]
Suluhisho
Andika mfumo kama tumbo la kuongezeka.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 2&1&1\\4&2&6\end{array} \right]\)
Kupata\(1\) katika mstari 1, safu ya 1. Hii inaweza kukamilika kwa kuzidisha mstari wa kwanza na\(\dfrac{1}{2}\).
\(\dfrac{1}{2} R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\4&2&6\end{array} \right]\)
Next, tunataka\(0\) katika mstari 2, safu 1. Kuzidisha mstari 1\(−4\) na na kuongeza mstari 1 kwa mstari 2.
\(-4R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\0&0&4\end{array} \right]\)
Mstari wa pili unawakilisha equation\(0=4\). Kwa hiyo, mfumo haukubaliani na hauna suluhisho.
Tatua mfumo wa equations.
\[\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 6x+8y&= 24 \end{align*}\]
Suluhisho
Fanya shughuli za mstari kwenye tumbo la kuongezeka ili kujaribu na kufikia fomu ya mstari-echelon.
\(A=\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&12\\6&8&24\end{array} \right]\)
\(-\dfrac{1}{2}R_2+R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 0&0&0\\6&8&24\end{array} \right]\)
\(R_1\leftrightarrow R_2=\left[ \begin{array}{cc|c} 6&8&24\\0&0&0\end{array} \right]\)
Matrix inaishia na zero zote katika mstari wa mwisho:\(0y=0\). Kwa hiyo, kuna idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi na mfumo umewekwa kama tegemezi. Ili kupata suluhisho la generic, kurudi kwenye moja ya equations ya awali na kutatua\(y\).
\[\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 4y&= 12-3x\\ y&= 3-\dfrac{3}{4}x \end{align*}\]
Hivyo suluhisho la mfumo huu ni\(\left(x,3−\dfrac{3}{4}x\right)\).
Fanya shughuli za mstari kwenye tumbo iliyotolewa ili kupata fomu ya mstari-echelon.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\2&-5&6&6\\-3&3&4&6\end{array} \right]\)
Suluhisho
Mstari wa kwanza tayari una\(1\) mstari wa 1, safu ya 1. Hatua inayofuata ni kuzidisha mstari wa 1 na\(−2\) na uongeze kwenye mstari wa 2. Kisha badala ya mstari wa 2 na matokeo.
\(-2R_1+R_2=R_2 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\-3&3&4&6\end{array} \right]\)
Kisha, pata sifuri mfululizo wa 3, safu ya 1.
\(3R_1+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&-6&16&15\end{array} \right]\)
Kisha, pata sifuri mfululizo wa 3, safu ya 2.
\(6R_2+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&4&15\end{array} \right]\)
Hatua ya mwisho ni kupata 1 mfululizo 3, safu 3.
\(\dfrac{1}{3}R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&1&\dfrac{21}{2}\end{array} \right]\)
Andika mfumo wa equations katika fomu ya mstari-echelon.
\[\begin{align*} x−2y+3z &= 9 \\ −x+3y &= −4 \\ 2x−5y+5z &= 17 \end{align*}\]
- Jibu
-
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-\dfrac{5}{2}&\dfrac{5}{2}&\dfrac{17}{2}\\0&1&5&9\\0&0&1&2\end{array} \right]\)
Kutatua Mfumo wa Equations Linear Kutumia Matrices
Tumeona jinsi ya kuandika mfumo wa equations na Matrix augmented, na kisha jinsi ya kutumia shughuli mstari na nyuma-badala ya kupata mstari-echelon fomu. Sasa, tutachukua mstari-echelon fomu hatua mbali zaidi ya kutatua\(3\) na\(3\) mfumo wa equations linear. Wazo la jumla ni kuondokana na variable wote lakini moja kwa kutumia shughuli mstari na kisha nyuma-mbadala ya kutatua kwa vigezo vingine.
Tatua mfumo wa equations linear kwa kutumia matrices.
\[\begin{align*} x-y+z&= 8\\ 2x+3y-z&= -2\\ 3x-2y-9z&= 9 \end{align*}\]
Suluhisho
Kwanza, tunaandika tumbo la kuongezeka.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\2&3&-1&-2\\3&-2&-9&9\end{array} \right]\)
Kisha, tunafanya shughuli za mstari ili kupata fomu ya mstari-echelon.
\(−2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\3&-2&-9&9\end{array} \right]\)
\(−3R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\0&1&-12&-15\end{array} \right]\)
Njia rahisi zaidi ya kupata mstari\(1\) wa 2 wa safu ya 1 ni kubadilishana\(R_2\) na\(R_3\).
\(Interchange\space R_2\space and\space R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&5&-3&-18\end{array} \right]\)
Kisha
\(−5R_2+R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&57&57\end{array} \right]\)
\(−\dfrac{1}{57}R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&1&1\end{array} \right]\)
Matrix ya mwisho inawakilisha mfumo sawa.
\[\begin{align*} x−y+z &= 8 \\ y−12z &= −15 \\ z &= 1 \end{align*}\]
Kwa kutumia nyuma-badala, sisi kupata ufumbuzi kama\((4,−3,1)\).
Tatua mfumo wafuatayo wa equations linear kwa kutumia matrices.
\[\begin{align*} −x−2y+z &= −1 \\ 2x+3y &= 2 \\ y−2z &= 0 \end{align*}\]
Suluhisho
Andika tumbo la kuongezeka.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} -1&-2&1&-1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]\)
Kwanza, kuzidisha mstari wa 1 na\(−1\)\(1\) kupata mstari wa 1, safu ya 1. Kisha, fanya shughuli za mstari ili kupata fomu ya mstari-echelon.
\(-R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]\)
\(R_2\leftrightarrow R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\2&3&0&2\end{array} \right]\)
\(−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&-1&2&0\end{array} \right]\)
\(R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&0&0&0\end{array} \right]\)
Matrix ya mwisho inawakilisha mfumo wafuatayo.
\[\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y−2z &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align*}\]
Tunaona kwa utambulisho\(0=0\) kwamba hii ni mfumo tegemezi na idadi isiyo na mwisho ya ufumbuzi. Sisi kisha kupata ufumbuzi generic. Kwa kutatua equation pili kwa\(y\) na badala yake katika equation kwanza tunaweza kutatua kwa\(z\) katika suala la\(x\).
\[\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y &= 2z \\ x+2(2z)−z &= 1 \\ x+3z &= 1 \\ z &=\dfrac{1−x}{3} \end{align*}\]
Sasa sisi badala ya kujieleza kwa\(z\) katika equation pili kutatua kwa\(y\) katika suala la\(x\).
\[\begin{align*} y−2z &= 0 \\ z &= \dfrac{1−x}{3} \\ y−2\left(\dfrac{1−x}{3}\right) &= 0 \\ y &= \dfrac{2−2x}{3} \end{align*}\]
Suluhisho la generic ni\(\left(x,\dfrac{2−2x}{3},\dfrac{1−x}{3}\right)\).
Tatua mfumo kwa kutumia matrices.
\[\begin{align*} x+4y-z&= 4\\ 2x+5y+8z&= 1\\ 5x+3y-3z&= 1 \end{align*}\]
- Jibu
-
\((1,1,1)\)
Ndiyo, mfumo wa usawa wa mstari wa ukubwa wowote unaweza kutatuliwa na kuondoa Gaussia.
- Hifadhi tumbo la kuongezeka kama variable ya tumbo\([A], [B], [C], ….\)
- Matumizi ref (kazi katika calculator, wito up kila variable Matrix kama inahitajika.
Tatua mfumo wa equations.
\[\begin{align*} 5x+3y+9z&= -1\\ -2x+3y-z&= -2\\ -x-4y+5z&= 1 \end{align*}\]
Suluhisho
Andika tumbo la kuongezeka kwa mfumo wa equations.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]\)
Kwenye ukurasa wa matrix wa calculator, ingiza tumbo la juu juu kama kutofautiana kwa tumbo\([A]\).
\([A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]\)
Tumia ref (kazi katika calculator, wito up Matrix variable\([A]\).
ref ([A])
Tathmini
\[\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&\dfrac{3}{5}&\dfrac{9}{5}&\dfrac{1}{5}\\0&1&\dfrac{13}{21}&-\dfrac{4}{7}\\0&0&1&-\dfrac{24}{187}\end{array} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+\dfrac{3}{5}y+\dfrac{9}{5}z &= -\dfrac{1}{5} \\ y+\dfrac{13}{21}z &= -\dfrac{4}{7} \\ z &= -\dfrac{24}{187} \end{align*}} \end{array}\]
Kutumia kubadili nyuma, suluhisho ni\(\left(\dfrac{61}{187},−\dfrac{92}{187},−\dfrac{24}{187}\right)\).
Carolyn inawekeza jumla ya\($12,000\) vifungo mbili manispaa, moja kulipa\(10.5%\) riba na nyingine kulipa\(12%\) riba. maslahi ya kila mwaka chuma juu ya uwekezaji mbili mwaka jana ilikuwa\($1,335\). Kiasi gani ilikuwa imewekeza katika kila kiwango?
Suluhisho
Tuna mfumo wa milinganyo miwili katika vigezo viwili. Hebu\(x=\) kiasi imewekeza kwa\(10.5%\) riba, na\(y=\) kiasi imewekeza kwa\(12%\) riba.
\[\begin{align*} x+y&= 12,000\\ 0.105x+0.12y&= 1,335 \end{align*}\]
Kama tumbo, tuna
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0.105&0.12&1,335\end{array} \right]\)
Panua mstari wa 1\(−0.105\) na uongeze matokeo kwa mstari wa 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0&0.015&75\end{array} \right]\)
Kisha,
\[\begin{align*} 0.015y &= 75 \\ y &= 5,000 \end{align*}\]
Hivyo\(12,000−5,000=7,000\).
Hivyo,\($5,000\) ilikuwa imewekeza kwa\(12%\) maslahi na\($7,000\) kwa\(10.5%\) maslahi.
Ava inawekeza jumla ya\($10,000\) katika akaunti tatu, moja kulipa\(5%\) riba, mwingine kulipa\(8%\) riba, na ya tatu kulipa\(9%\) riba. maslahi ya kila mwaka chuma juu ya uwekezaji tatu mwaka jana ilikuwa\($770\). kiasi imewekeza katika\(9%\) mara mbili kiasi imewekeza katika\(5%\). Kiasi gani ilikuwa imewekeza katika kila kiwango?
Suluhisho
Tuna mfumo wa milinganyo tatu katika vigezo tatu. Hebu\(x\) kuwa kiasi kilichowekeza kwa\(5%\) riba, basi\(y\) iwe kiasi kilichowekeza kwa\(8%\) riba, na basi\(z\) iwe kiasi kilichowekeza kwa\(9%\) riba. Hivyo,
\[\begin{align*} x+y+z &= 10,000 \\ 0.05x+0.08y+0.09z &= 770 \\ 2x−z &= 0 \end{align*}\]
Kama tumbo, tuna
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0.05&0.08&0.09&770\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)
Sasa, tunafanya uondoaji wa Gaussia ili kufikia fomu ya mstari-echelon.
\(−0.05R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)
\(−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]\)
\(\dfrac{1}{0.03}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]\)
\(2R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&0&-\dfrac{1}{3}&-2,000\end{array} \right]\)
Mstari wa tatu unatuambia\(−\dfrac{1}{3}z=−2,000\); hivyo\(z=6,000\).
Mstari wa pili unatuambia\(y+\dfrac{4}{3}z=9,000\). Kubadilisha\(z=6,000\), tunapata
\[\begin{align*} y+\dfrac{4}{3}(6,000) &= 9,000 \\ y+8,000 &= 9,000 \\ y &= 1,000 \end{align*}\]
Mstari wa kwanza unatuambia\(x+y+z=10,000\). Kubadilisha\(y=1,000\) na\(z=6,000\), tunapata
\[\begin{align*} x+1,000+6,000 &= 10,000 \\ x &= 3,000 \end{align*}\]
Jibu\($3,000\) imewekeza kwa\(5%\) riba,\($1,000\) imewekeza katika\(8%\), na\($6,000\) imewekeza kwa\(9%\) riba.
Kampuni ndogo ya kiatu ilichukua mkopo wa\($1,500,000\) kupanua hesabu yao. Sehemu ya fedha zilizokopwa katika\(7%\), sehemu ilikuwa zilizokopwa katika\(8%\), na sehemu ilikuwa zilizokopwa katika\(10%\). Kiasi kilichokopwa\(10%\) kilikuwa mara nne kiasi kilichokopwa\(7%\), na riba ya kila mwaka juu ya mikopo yote mitatu ilikuwa\($130,500\). Tumia matrices ili kupata kiasi kilichokopwa kwa kila kiwango.
- Jibu
-
\($150,000\)katika\(7%\),\($750,000\) katika\(8%\),\($600,000\) katika\(10%\)
Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia kuondoa Gaussia.
Dhana muhimu
- Matrix iliyoongezeka ni moja ambayo ina coefficients na constants ya mfumo wa equations. Angalia Mfano\(\PageIndex{1}\).
- Matrix iliyoongezwa na safu ya mara kwa mara inaweza kuwakilishwa kama mfumo wa awali wa equations. Angalia Mfano\(\PageIndex{2}\).
- Shughuli za mstari zinajumuisha kuzidisha mstari kwa mara kwa mara, na kuongeza mstari mmoja kwenye mstari mwingine, na safu zinazobadilishana.
- Tunaweza kutumia kuondoa Gaussia kutatua mfumo wa equations. Angalia Mfano\(\PageIndex{3}\), Mfano\(\PageIndex{4}\), na Mfano\(\PageIndex{5}\).
- Shughuli za mstari zinafanywa kwenye matrices ili kupata fomu ya mstari-echelon. Angalia Mfano\(\PageIndex{6}\).
- Ili kutatua mfumo wa equations, uandike katika fomu ya tumbo iliyoongezeka. Fanya shughuli za mstari ili kupata fomu ya mstari-echelon. Back-mbadala ya kupata ufumbuzi. Angalia Mfano\(\PageIndex{7}\) na Mfano\(\PageIndex{8}\).
- Calculator inaweza kutumika kutatua mifumo ya equations kutumia matrices. Angalia Mfano\(\PageIndex{9}\).
- Matatizo mengi ya ulimwengu halisi yanaweza kutatuliwa kwa kutumia matrices yaliyoongezwa. Angalia Mfano\(\PageIndex{10}\) na Mfano\(\PageIndex{11}\).