Skip to main content
Global

7.4: Mifumo ya Equations Nonlinear na Usawa - Vigezo viwili

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    180964

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Tatua mfumo wa equations zisizo za kawaida kwa kutumia mbadala.
    • Tatua mfumo wa equations isiyo ya kawaida kwa kutumia kuondoa.
    • Graph usawa nonlinear.
    • Graph mfumo wa kutofautiana nonlinear.

    Comet ya Halley (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)) huzunguka jua mara moja kila baada ya\(75\) miaka. Njia yake inaweza kuchukuliwa kuwa duaradufu sana. Comets nyingine hufuata njia sawa katika nafasi. Njia hizi za orbital zinaweza kujifunza kwa kutumia mifumo ya equations. Mifumo hii, hata hivyo, ni tofauti na yale tuliyozingatia katika sehemu iliyotangulia kwa sababu equations si linear.

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Comet ya Halley (mikopo: “NASA Blueshift” /Flickr)

    Katika sehemu hii, tutazingatia makutano ya parabola na mstari, mduara na mstari, na mduara na duaradufu. Njia za kutatua mifumo ya equations isiyo ya kawaida ni sawa na yale ya equations linear.

    Kutatua Mfumo wa Equations Nonlinear Kutumia Kubadilisha

    Mfumo wa milinganyo isiyo ya kawaida ni mfumo wa milinganyo miwili au zaidi katika vigezo viwili au zaidi vyenye angalau equation moja ambayo si ya mstari. Kumbuka kwamba equation linear inaweza kuchukua fomu\(Ax+By+C=0\). Equation yoyote ambayo haiwezi kuandikwa katika fomu hii katika nonlinear. Njia ya kubadilisha tuliyotumia kwa mifumo ya mstari ni njia sawa tutakayotumia kwa mifumo isiyo ya kawaida. Sisi kutatua equation moja kwa variable moja na kisha mbadala matokeo katika equation pili kutatua kwa variable mwingine, na kadhalika. Kuna, hata hivyo, tofauti katika matokeo iwezekanavyo.

    Makutano ya Parabola na Line

    Kuna aina tatu zinazowezekana za ufumbuzi kwa mfumo wa milinganyo isiyo ya kawaida inayohusisha parabola na mstari.

    Aina zinazowezekana za Ufumbuzi Kwa Points ya Intersection ya Parabola na Line

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\) unaeleza inawezekana seti ufumbuzi kwa mfumo wa milinganyo kuwashirikisha parabola na mstari.

    • Hakuna suluhisho - Mstari hauwezi kamwe kuingiliana na parabola.
    • Suluhisho moja - Mstari ni tangent kwa parabola na huingilia parabola kwa uhakika mmoja.
    • Ufumbuzi mbili - Mstari unavuka ndani ya parabola na huingilia parabola kwa pointi mbili.

    151131601187915.png

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Jinsi ya: Kutokana na mfumo wa milinganyo iliyo na mstari na parabola, pata suluhisho
    1. Kutatua equation linear kwa moja ya vigezo.
    2. Badilisha usemi uliopatikana katika hatua moja katika equation parabola.
    3. Tatua kwa kutofautiana iliyobaki.
    4. Angalia ufumbuzi wako katika equations zote mbili.
    Mfano\(\PageIndex{1}\): Solving a System of Nonlinear Equations Representing a Parabola and a Line

    Tatua mfumo wa equations.

    \[\begin{align*} x−y &= −1\nonumber \\ y &= x^2+1 \nonumber \end{align*}\]

    Suluhisho

    Kutatua equation kwanza kwa\(x\) na kisha mbadala kujieleza kusababisha katika equation pili.

    \[\begin{align*} x−y &=−1\nonumber \\ x &= y−1 \;\; & \text{Solve for }x.\nonumber \\\nonumber \\ y &=x^2+1\nonumber \\ y & ={(y−1)}^2+1 \;\; & \text{Substitute expression for }x. \nonumber \end{align*}\]

    Panua equation na kuiweka sawa na sifuri.

    \[ \begin{align*} y & ={(y−1)}^2+1\nonumber \\ &=(y^2−2y+1)+1\nonumber \\ &=y^2−2y+2\nonumber \\ 0 &= y^2−3y+2\nonumber \\ &= (y−2)(y−1) \nonumber \end{align*}\]

    Kutatua kwa\(y\) anatoa\(y=2\) na\(y=1\). Next, badala ya kila thamani kwa\(y\) katika equation kwanza kutatua kwa\(x\). Daima badala ya thamani katika equation linear kuangalia ufumbuzi extraneous.

    \[\begin{align*} x−y &=−1\nonumber \\ x−(2) &= −1\nonumber \\ x &= 1\nonumber \\ x−(1) &=−1\nonumber \\ x &= 0 \nonumber \end{align*}\]

    Ufumbuzi ni\((1,2)\) na\((0,1)\), ambayo inaweza kuthibitishwa kwa kubadili\((x,y)\) maadili haya katika equations zote za awali (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)).

    imageedit_2_8582923434.png

    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

    Q & A: Je, tunaweza kuwa na kubadilishwa maadili kwa\(y\) into the second equation to solve for \(x\) in last example?

    Ndiyo, lakini kwa sababu\(x\) ni mraba katika equation ya pili hii inaweza kutupa ufumbuzi wa nje kwa\(x\).

    Kwa\(y=1\)

    \[\begin{align*} y &= x^2+1\nonumber \\ y &= x^2+1\nonumber \\ x^2 &= 0\nonumber \\ x &= \pm \sqrt{0}=0 \nonumber \end{align*}\]

    Hii inatupa thamani sawa na katika suluhisho.

    Kwa\(y=2\)

    \[\begin{align*} y &= x^2+1\nonumber \\ 2 &= x^2+1\nonumber \\ x^2 &= 1\nonumber \\ x &= \pm \sqrt{1}=\pm 1 \nonumber \end{align*}\]

    Angalia kwamba\(−1\) ni suluhisho la nje.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Tatua mfumo uliotolewa wa equations kwa kubadilisha.

    \[\begin{align*} 3x−y &= −2\nonumber \\ 2x^2−y &= 0 \nonumber \end{align*}\]

    Jibu

    \(\left(−\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)\)na\((2,8)\)

    Makutano ya Mzunguko na Mstari

    Kama ilivyo na parabola na mstari, kuna matokeo matatu iwezekanavyo wakati wa kutatua mfumo wa milinganyo inayowakilisha mduara na mstari.

    AINA ZINAZOWEZEKANA ZA UFUMBUZI KWA POINTI ZA MAKUTANO YA MDUARA NA MSTARI

    Kielelezo\(\PageIndex{4}\) unaeleza inawezekana seti ufumbuzi kwa mfumo wa milinganyo kuwashirikisha mduara na mstari.

    • Hakuna suluhisho - Mstari hauingiliani mduara.
    • Suluhisho moja - Mstari ni tangent kwa mduara na huingilia mduara kwa hatua moja.
    • Ufumbuzi mbili - Mstari unavuka mduara na huiingiza kwa pointi mbili.

    11.4.1.png

    Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

    Jinsi ya: Kutokana na mfumo wa equations iliyo na mstari na mduara, tafuta suluhisho
    1. Kutatua equation linear kwa moja ya vigezo.
    2. Badilisha usemi uliopatikana katika hatua moja katika equation kwa mduara.
    3. Tatua kwa kutofautiana iliyobaki.
    4. Angalia ufumbuzi wako katika equations zote mbili.
    Mfano\(\PageIndex{2}\): Finding the Intersection of a Circle and a Line by Substitution

    Pata makutano ya mduara uliopewa na mstari uliopewa kwa kubadilisha.

    \[\begin{align*} x^2+y^2 &= 5\nonumber \\ y &= 3x−5 \nonumber \end{align*}\]

    Suluhisho

    Moja ya equations tayari kutatuliwa kwa\(y\). Sisi badala\(y=3x−5\) katika equation kwa mduara.

    \[\begin{align*} x^2+{(3x−5)}^2 &= 5\nonumber \\ x^2+9x^2−30x+25 &= 5\nonumber \\ 10x^2−30x+20 &= 0 \end{align*} \]

    Sasa, sisi sababu na kutatua kwa\(x\).

    \[\begin{align*} 10(x2−3x+2) &= 0\nonumber \\ 10(x−2)(x−1) &= 0\nonumber \\ x &= 2\nonumber \\ x &= 1 \nonumber \end{align*}\]

    Badala mbili\(x\) -maadili katika awali linear equation kutatua kwa\(y\).

    \[\begin{align*} y &= 3(2)−5\nonumber \\ &= 1\nonumber \\ y &= 3(1)−5\nonumber \\ &= −2 \nonumber \end{align*}\]

    Mstari unazunguka mduara\((2,1)\) na\((1,−2)\), ambayo inaweza kuthibitishwa kwa kubadili\((x,y)\) maadili haya katika equations zote za awali (Kielelezo\(\PageIndex{5}\)).

    11.4.5.png

    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Tatua mfumo wa equations isiyo ya kawaida.

    \[\begin{align*} x^2+y^2 &= 10\nonumber \\ x−3y &= −10 \nonumber \end{align*}\]

    Jibu

    \((−1,3)\)

    Kutatua Mfumo wa Equations Nonlinear Kutumia Kuondoa

    Tumeona kwamba badala ni mara nyingi njia preferred wakati mfumo wa equations ni pamoja na equation linear na equation nonlinear. Hata hivyo, wakati equations zote mbili katika mfumo zina kama vigezo vya shahada ya pili, kutatua kwa kutumia kuondoa kwa kuongeza mara nyingi ni rahisi kuliko kubadilisha. Kwa ujumla, kuondoa ni njia rahisi sana wakati mfumo unahusisha equations mbili tu katika vigezo viwili (mfumo mbili-na-mbili), badala ya mfumo wa tatu na tatu, kwa kuwa kuna hatua chache. Kwa mfano, tutachunguza aina zinazowezekana za ufumbuzi wakati wa kutatua mfumo wa equations inayowakilisha mduara na ellipse.

    AINA ZINAZOWEZEKANA ZA UFUMBUZI KWA POINTI ZA MAKUTANO YA MDUARA NA DUARADUFU

    Kielelezo\(\PageIndex{6}\) unaeleza inawezekana seti ufumbuzi kwa mfumo wa milinganyo kuwashirikisha mduara na duaradufu.

    • Hakuna suluhisho - Mduara na ellipse hazipatikani. Umbo moja ni ndani ya nyingine au mduara na duaradufu ni umbali mbali na nyingine.
    • Suluhisho moja - Mduara na ellipse ni tangent kwa kila mmoja, na huingiliana kwa hatua moja.
    • Ufumbuzi mbili - Mduara na ellipse huingiliana kwa pointi mbili.
    • Ufumbuzi wa tatu - Mduara na duaradufu huingiliana kwa pointi tatu.
    • Ufumbuzi wa nne - Mduara na ellipse huingiliana kwa pointi nne.

    11.4.6.png

    Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Solving a System of Nonlinear Equations Representing a Circle and an Ellipse

    Tatua mfumo wa equations isiyo ya kawaida.

    \[\begin{align*} x^2+y^2 &= 26 &(1)\nonumber \\ 3x^2+25y^2 &= 100 & (2) \nonumber \end{align*}\]

    Suluhisho

    Hebu tuanze kwa kuzidisha equation (1) na\(−3\), na kuongeza kwa equation (2).

    \[\begin{align*} (−3)(x^2+y^2) = (−3)(26)&\nonumber \\ −3x^2−3y^2 = −78 &\nonumber \\ \underline{3x^2+25y^2=100}&\nonumber \\ 22y^2=22& \nonumber \end{align*}\]

    Baada ya kuongeza equations mbili pamoja, sisi kutatua kwa\(y\).

    \[\begin{align*} y^2 &= 1\nonumber \\ y &= \pm \sqrt{1}=\pm 1 \nonumber \end{align*}\]

    Mbadala\(y=\pm 1\) katika moja ya equations na kutatua kwa\(x\).

    \[\begin{align*} x^2+{(1)}^2 &= 26\nonumber \\ x^2+1 &= 26\nonumber \\ x^2 &= 25\nonumber \\ x &= \pm \sqrt{25}=\pm 5\nonumber \\ x^2+{(−1)}^2 &= 26\nonumber \\ x^2+1 &= 26\nonumber \\ x^2 &= \pm \sqrt{25}=\pm 5 \nonumber \end{align*}\]

    Kuna ufumbuzi nne:\((5,1)\),\((−5,1)\),\((5,−1)\), na\((−5,−1)\). Angalia Kielelezo\(\PageIndex{7}\).

    22.4.7.png

    Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Pata suluhisho lililowekwa kwa mfumo uliotolewa wa equations isiyo ya kawaida.

    \[\begin{align*} 4x^2+y^2 &= 13\nonumber \\ x^2+y^2 &= 10 \nonumber \end{align*}\]

    Jibu

    \({(1,3),(1,−3),(−1,3),(−1,−3)}\)

    Kuweka usawa wa Nonlinear

    Ulinganifu wote katika mifumo ambayo tumekutana hadi sasa imehusisha usawa, lakini tunaweza pia kukutana na mifumo inayohusisha kutofautiana. Tayari tumejifunza kutofautiana kwa usawa wa mstari kwa kuchora usawa unaofanana, na kisha shading kanda iliyowakilishwa na ishara ya usawa. Sasa, tutafuata hatua sawa na grafu kutofautiana nonlinear ili tuweze kujifunza kutatua mifumo ya kutofautiana nonlinear. Ukosefu wa usawa usio na mstari ni usawa unao na kujieleza usio na nonlinear. Graphing usawa nonlinear ni kiasi kama graphing usawa linear.

    Kumbuka kwamba wakati usawa ni mkubwa kuliko\(y>a\),, au chini ya\(y<a\), grafu hutolewa na mstari uliopigwa. Wakati usawa ni mkubwa kuliko au sawa,\(y≥a\), au chini ya au sawa na\(y≤a\),, grafu hutolewa kwa mstari imara. Grafu zitaunda mikoa katika ndege, na tutajaribu kila mkoa kwa suluhisho. Ikiwa hatua moja katika kanda inafanya kazi, kanda nzima inafanya kazi. Hiyo ni kanda sisi kivuli (Kielelezo\(\PageIndex{8}\)).

    Kielelezo\(\PageIndex{8}\): (a) mfano wa\(y>a\); (b) mfano wa\(y≥a\); (c) mfano wa\(y<a\); (d) mfano wa\(y≤a\)

    Jinsi ya: Kutokana na kukosekana kwa usawa umepakana na parabola, mchoro grafu
    1. Grafu parabola kama ni equation. Huu ndio mipaka ya kanda ambayo ni kuweka suluhisho.
    2. Ikiwa mipaka imejumuishwa katika kanda (operator ni\(≤\) au\(≥\)), parabola imewekwa kama mstari imara.
    3. Ikiwa mipaka haijaingizwa katika kanda (operator ni\(<\) au\(>\)), parabola imewekwa kama mstari uliopigwa.
    4. Jaribu hatua katika moja ya mikoa ili uone ikiwa inatimiza taarifa ya usawa. Ikiwa taarifa ni kweli, kuweka suluhisho ni kanda ikiwa ni pamoja na uhakika. Ikiwa taarifa hiyo ni ya uongo, kuweka suluhisho ni kanda upande wa pili wa mstari wa mipaka.
    5. Kivuli kanda inayowakilisha kuweka suluhisho.
    Mfano\(\PageIndex{4}\): Graphing an Inequality for a Parabola

    Graph usawa\(y>x^2+1\).

    Suluhisho

    Kwanza, graph equation sambamba\(y=x^2+1\). Kwa kuwa\(y>x^2+1\) ina ishara kubwa zaidi, tunapata grafu kwa mstari uliopigwa. Kisha sisi kuchagua pointi kupima wote ndani na nje ya parabola. Hebu tuchunguze pointi

    \((0,2)\)na\((2,0)\). Hatua moja ni wazi ndani ya parabola na hatua nyingine ni wazi nje.

    \[\begin{align*} y &> x^2+1\nonumber \\ 2 &> (0)^2+1\nonumber \\ 2 &>1 & \text{True}\nonumber \\\nonumber \\\nonumber \\ 0 &> (2)^2+1\nonumber \\ 0 &> 5 & \text{False} \nonumber \end{align*}\]

    Grafu inavyoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{9}\). Tunaweza kuona kwamba kuweka suluhisho lina pointi zote ndani ya parabola, lakini si kwenye grafu yenyewe.

    imageedit_6_4849582791.png

    Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

    Kuweka Mfumo wa kutofautiana kwa Nonlinear

    Sasa kwa kuwa tumejifunza kutenganisha kutofautiana kwa nonlinear, tunaweza kujifunza jinsi ya kuchora mifumo ya kutofautiana kwa nonlinear. Mfumo wa kutofautiana kwa nonlinear ni mfumo wa kutofautiana mbili au zaidi katika vigezo viwili au zaidi vyenye usawa angalau moja ambayo sio mstari. Graphing mfumo wa kutofautiana nonlinear ni sawa na graphing mfumo wa kutofautiana linear. Tofauti ni kwamba grafu yetu inaweza kusababisha mikoa zaidi ya kivuli ambayo inawakilisha suluhisho kuliko tunavyopata katika mfumo wa kutofautiana kwa mstari. Suluhisho la mfumo usio na mstari wa kutofautiana ni kanda ya grafu ambapo mikoa ya kivuli ya grafu ya kila usawa inaingiliana, au ambapo mikoa inakabiliana, inayoitwa kanda inayowezekana.

    Jinsi ya: Kutokana na mfumo wa kutofautiana kwa nonlinear, mchoro grafu
    1. Pata pointi za makutano kwa kutatua mfumo unaofanana wa equations isiyo ya kawaida.
    2. Graph equations nonlinear.
    3. Pata mikoa ya kivuli ya kila usawa.
    4. Tambua kanda inayowezekana kama makutano ya mikoa ya kivuli ya kila usawa au seti ya pointi za kawaida kwa kila usawa.
    Mfano\(\PageIndex{5}\): Graphing a System of Inequalities

    Grafu mfumo uliotolewa wa kutofautiana.

    \[\begin{align*} x^2−y &≤ 0\nonumber \\ 2x^2+y &≤ 12 \nonumber \end{align*}\]

    Suluhisho

    Equations hizi mbili ni wazi parabolas. Tunaweza kupata pointi za makutano na mchakato wa kuondoa: Ongeza equations zote mbili na kutofautiana\(y\) zitaondolewa. Kisha sisi kutatua kwa\(x\).

    \[\begin{align*} x^2−y = 0&\nonumber \\ \underline{2x^2+y=12}&\nonumber \\ 3x^2=12&\nonumber \\ x^2=4 &\nonumber \\ x=\pm 2 & \nonumber \end{align*}\]

    Badilisha\(x\) -maadili katika moja ya milinganyo na kutatua kwa\(y\).

    \[\begin{align*} x^2−y &= 0\nonumber \\ {(2)}^2−y &= 0\nonumber \\ 4−y &= 0\nonumber \\ y &= 4\nonumber \\\nonumber \\ {(−2)}^2−y &= 0\nonumber \\ 4−y &= 0\nonumber \\ y &= 4 \nonumber \end{align*}\]

    Vipengele viwili vya makutano ni\((2,4)\) na\((−2,4)\). Kumbuka kwamba equations inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo.

    \[\begin{align*} x^2-y & ≤ 0\nonumber \\ x^2 &≤ y\nonumber \\ y &≥ x^2\nonumber \\\nonumber \\\nonumber \\ 2x^2+y &≤ 12\nonumber \\ y &≤ −2x^2+12 \nonumber \end{align*}\]

    Grafu kila usawa. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{10}\). Eneo linalowezekana ni kanda kati ya milinganyo miwili\(2x^2+y≤12\) iliyofungwa na\(x^2−y≤0\) juu na chini.

    imageedit_10_9451914448.png

    Kielelezo\(\PageIndex{10}\)

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Grafu mfumo uliotolewa wa kutofautiana.

    \[\begin{align*} y &≥ x^2−1\nonumber \\ x−y &≥ −1 \nonumber \end{align*}\]

    Jibu

    Weka eneo lililofungwa na curves mbili, juu ya quadratic na chini ya mstari.

    imageedit_14_4168208882.png

    Kielelezo\(\PageIndex{11}\)

    vyombo vya habari

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na ufanyie mazoezi na usawa usio wa kawaida.

    Dhana muhimu

    • Kuna aina tatu zinazowezekana za ufumbuzi wa mfumo wa equations inayowakilisha mstari na parabola: (1) hakuna suluhisho, mstari hauingiliani parabola; (2) suluhisho moja, mstari ni tangent kwa parabola; na (3) ufumbuzi mbili, mstari unaingiliana na parabola katika pointi mbili. Angalia Mfano\(\PageIndex{1}\).
    • Kuna aina tatu zinazowezekana za ufumbuzi wa mfumo wa equations unaowakilisha mduara na mstari: (1) hakuna suluhisho, mstari hauingiliani mduara; (2) suluhisho moja, mstari ni tangent kwa parabola; (3) ufumbuzi mbili, mstari unazunguka mduara katika pointi mbili. Angalia Mfano\(\PageIndex{2}\).
    • Kuna aina tano zinazowezekana za ufumbuzi wa mfumo wa milinganyo isiyo ya kawaida inayowakilisha duaradufu na mduara:
      (1) hakuna suluhisho, mduara na duaradufu hazipatikani; (2) suluhisho moja, mduara na duaradufu ni tangent kwa kila mmoja; (3) ufumbuzi mbili, mduara na ellipse intersect katika pointi mbili; (4) ufumbuzi tatu, mduara na ellipse intersect katika maeneo matatu; (5) ufumbuzi nne, mduara na ellipse intersect katika pointi nne. Angalia Mfano\(\PageIndex{3}\).
    • Ukosefu wa usawa umewekwa kwa njia sawa na equation, isipokuwa kwa> au <, tunapata mstari uliopigwa na kivuli kanda iliyo na seti ya suluhisho. Angalia Mfano\(\PageIndex{4}\).
    • Ukosefu wa usawa hutatuliwa kwa njia sawa na usawa, lakini ufumbuzi wa mifumo ya kutofautiana lazima kukidhi usawa wote. Angalia Mfano\(\PageIndex{5}\).

    Wachangiaji na Majina