Processing math: 84%
Skip to main content
Library homepage
 
Global

10.1: duaradufu

Malengo ya kujifunza
  • Andika equations ya ellipses katika fomu ya kawaida.
  • Grafu ellipses katikati katika asili.
  • Grafu ellipses si katikati katika asili.
  • Tatua matatizo yaliyotumika yanayohusisha ellipses.

Je, unaweza kufikiria kusimama kwenye mwisho mmoja wa chumba kikubwa na bado una uwezo wa kusikia whisper kutoka kwa mtu amesimama upande mwingine? National Statuary Hall katika Washington, D.C., inavyoonekana katika Kielelezo10.1.1, ni chumba kama. Ni chumba cha umbo la mviringo kinachoitwa chumba cha kunong'unika kwa sababu umbo hufanya iwezekanavyo kwa sauti kusafiri kando ya kuta. Katika sehemu hii, sisi kuchunguza sura ya chumba hiki na maombi yake halisi ya dunia, ikiwa ni pamoja na jinsi mbali mbali watu wawili katika Statuary Hall wanaweza kusimama na bado kusikia kila mmoja whisper.

CNX_Precalc_Figure_10_01_001n.jpg

Kielelezo10.1.1: Hall ya Taifa ya Statuary huko Washington, D.C. (mikopo: Greg Palmer, Flickr)

Kuandika equations ya ellipses katika Fomu ya Standard

Sehemu ya conic, au conic, ni sura inayotokana na kuingiliana koni ya mviringo sahihi na ndege. Pembe ambayo ndege inakabiliana na koni huamua sura, kama inavyoonekana kwenye Mchoro10.1.2.

CNX_Precalc_Figure_10_01_002.jpg

Kielelezo10.1.2

Sehemu za conic pia zinaweza kuelezewa na seti ya pointi katika ndege ya kuratibu. Baadaye katika sura hii, tutaona kwamba grafu ya equation yoyote quadratic katika vigezo mbili ni sehemu conic. Ishara za equations na coefficients ya maneno ya kutofautiana huamua sura. Sehemu hii inalenga katika tofauti nne za fomu ya kawaida ya equation kwa duaradufu. Ellipse ni seti ya pointi zote(x,y) katika ndege kama vile jumla ya umbali wao kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara. Kila hatua iliyowekwa inaitwa lengo (wingi: foci).

Tunaweza kuteka duaradufu kwa kutumia kipande cha kadibodi, thumbtacks mbili, penseli, na kamba. Weka thumbtacks kwenye kadi ili kuunda foci ya ellipse. Kata kipande cha kamba kwa muda mrefu kuliko umbali kati ya thumbtacks mbili (urefu wa kamba inawakilisha mara kwa mara katika ufafanuzi). Tack kila mwisho wa kamba kwa kadi, na kufuatilia Curve na kalamu uliofanyika taut dhidi ya kamba. Matokeo ni ellipse. Angalia Kielelezo10.1.3.

CNX_Precalc_Figure_10_01_003.jpg

Kielelezo10.1.3

Kila duaradufu ina axes mbili za ulinganifu. Mhimili mrefu huitwa mhimili mkuu, na mhimili mfupi huitwa mhimili mdogo. Kila mwisho wa mhimili mkubwa ni vertex ya duaradufu (wingi: vertices), na kila mwisho wa mhimili mdogo ni ushirikiano vertex ya duaradufu. Katikati ya ellipse ni midpoint ya axes kuu na ndogo. Axes ni perpendicular katikati. Foci daima uongo juu ya mhimili mkubwa, na jumla ya umbali kutoka foci kwa hatua yoyote juu ya duaradufu (jumla ya mara kwa mara) ni kubwa kuliko umbali kati ya foci (Kielelezo10.1.4).

CNX_Precalc_Figure_10_01_004.jpg

Kielelezo10.1.4

Katika sehemu hii, tunazuia ellipses kwa wale ambao wamewekwa kwa wima au usawa katika ndege ya kuratibu. Hiyo ni, axes itakuwa ama kulala au kuwa sawa nax - nay -axes. Baadaye katika sura, tutaona ellipses zinazozungushwa katika ndege ya kuratibu.

Kufanya kazi na ellipses ya usawa na wima katika ndege ya kuratibu, tunazingatia matukio mawili: yale ambayo yanazingatia asili na yale yanayotokana na hatua nyingine isipokuwa asili. Kwanza tutajifunza kupata equations ya ellipses, na kisha tutajifunza jinsi ya kuandika equations ya ellipses kwa fomu ya kawaida. Baadaye tutatumia kile tunachojifunza kuteka grafu.

Deriving Equation ya Ellipse unaozingatia katika Mwanzo

Ili kupata equation ya ellipse iliyozingatia asili, tunaanza na foci(c,0) na(c,0). Dellipse ni seti ya pointi zote(x,y) kama vile jumla ya umbali kutoka(x,y) kwa foci ni mara kwa mara, kama inavyoonekana katika Kielelezo10.1.5.

CNX_Precalc_Figure_10_01_014.jpg

Kielelezo10.1.5

Ikiwa(a,0) ni vertex ya ellipse, umbali kutoka(c,0) kwa(a,0) nia(c)=a+c. Umbali kutoka(c,0) kwa(a,0) niac. Jumla ya umbali kutoka foci hadi vertex ni

(a+c)+(ac)=2a

Ikiwa(x,y) ni hatua juu ya duaradufu, basi tunaweza kufafanua vigezo vifuatavyo:

  • d1=umbali kutoka(c,0) kwa(x,y)
  • d2=umbali kutoka(c,0) kwa(x,y)

Kwa ufafanuzi wa duaradufu,d1+d2 ni mara kwa mara kwa hatua yoyote(x,y) juu ya duaradufu. Tunajua kwamba jumla ya umbali huu ni2a kwa vertex(a,0). Inafuata kwambad1+d2=2a kwa hatua yoyote juu ya ellipse. Tutaanza derivation kwa kutumia formula ya umbali. Wengine wa derivation ni algebraic.

d1+d2=2a(x(c))2+(y0)2+(xc)2+(y0)2=2aDistance formula(x+c)2+y2+(xc)2+y2=2aSimplify expressions.(x+c)2+y2=2a(xc)2+y2Move radical to opposite side.(x+c)2+y2=[2a(xc)2+y2]2Square both sides.x2+2cx+c2+y2=4a24a(xc)2+y2+(xc)2+y2Expand the squares.x2+2cx+c2+y2=4a24a(xc)2+y2+x22cx+c2+y2Expand remaining squares.2cx=4a24a(xc)2+y22cxCombine like terms.4cx4a2=4a(xc)2+y2Isolate the radical.cxa2=a(xc)2+y2Divide by 4.[cxa2]2=a2[(xc)2+y2]2Square both sides.c2x22a2cx+a4=a2(x22cx+c2+y2)Expand the squares.c2x22a2cx+a4=a2x22a2cx+a2c2+a2y2Distribute a2a2x2c2x2+a2y2=a4a2c2Rewrite.x2(a2c2)+a2y2=a2(a2c2)Factor common terms.x2b2+a2y2=a2b2Set b2=a2c2x2b2a2b2+a2y2a2b2=a2b2a2b2Divide both sides by a2b2x2a2+y2b2=1Simplify

Hivyo, equation ya kiwango cha duaradufux2a2+y2b2=1 ni.Equation hii inafafanua duaradufu unaozingatia asili. Ikiwaa>b, ellipse imetambulishwa zaidi katika mwelekeo usio na usawa, na ikiwab>a, ellipse imetambulishwa zaidi katika mwelekeo wa wima.

Kuandika Ulinganisho wa ellipses unaozingatia Mwanzo katika Fomu ya Standard

Aina za equations za kawaida zinatuambia kuhusu vipengele muhimu vya grafu. Kuchukua muda kukumbuka baadhi ya aina ya kiwango cha equations tumekuwa kazi na katika siku za nyuma: linear, quadratic, ujazo, kielelezo, logarithmic, na kadhalika. Kwa kujifunza kutafsiri aina ya kiwango cha usawa, tunaunganisha uhusiano kati ya uwakilishi wa algebraic na kijiometri wa matukio ya hisabati.

Makala muhimu ya ellipse ni kituo chake, vertices, co-vertices, foci, na urefu na nafasi za axes kuu na ndogo. Kama vile kwa equations nyingine, tunaweza kutambua yote ya makala haya tu kwa kuangalia fomu ya kiwango cha equation. Kuna tofauti nne za fomu ya kawaida ya ellipse. Tofauti hizi zinajumuishwa kwanza na eneo la kituo (asili au si asili), na kisha kwa nafasi (usawa au wima). Kila huwasilishwa pamoja na maelezo ya jinsi sehemu za equation zinahusiana na grafu. Kufafanua sehemu hizi inatuwezesha kuunda picha ya akili ya ellipse.

AINA YA KAWAIDA YA EQUATION YA DUARADUFU NA KATIKATI(0,0)

Aina ya kawaida ya equation ya ellipse na katikati(0,0) na mhimili kuu kwenyex -axis ni

x2a2+y2b2=1

wapi

  • a>b
  • urefu wa mhimili mkubwa ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(±a,0)
  • urefu wa mhimili mdogo ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(0,±b)
  • kuratibu ya foci ni(±c,0), wapic2=a2b2. Angalia Kielelezo10.1.6a.

Aina ya kawaida ya equation ya ellipse na katikati(0,0) na mhimili kuu kwenyey -axis ni

x2b2+y2a2=1

wapi

  • a>b
  • urefu wa mhimili mkubwa ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(0,±a)
  • urefu wa mhimili mdogo ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(±b,0)
  • kuratibu ya foci ni(0,±c), wapic2=a2b2. Angalia Kielelezo10.1.6b.

Kumbuka kwamba vertices, co-vertices, na foci ni kuhusiana na equationc2=a2b2. Tunapopewa kuratibu za foci na vipeo vya duaradufu, tunaweza kutumia uhusiano huu ili kupata equation ya duaradufu katika fomu ya kawaida.

150621824376404.png

Kielelezo10.1.6: (a) ellipse ya usawa na kituo(0,0) (b) duaradufu ya wima na kituo(0,0)

Jinsi ya: Kutokana na vertices na foci ya ellipse iliyozingatia asili, andika equation yake kwa fomu ya kawaida
  1. Kuamua kama mhimili mkubwa uongo juu ya x - au y -axis.
    • Ikiwa kuratibu zilizopewa za vertices na foci zina fomu(±a,0) na(±c,0) kwa mtiririko huo, basi mhimili mkubwa ni x -axis. Tumia fomu ya kawaidax2a2+y2b2=1
    • Ikiwa kuratibu zilizopewa za vertices na foci zina fomu(0,±a) na(±c,0), kwa mtiririko huo, basi mhimili mkubwa ni y -axis. Tumia fomu ya kawaidax2b2+y2a2=1
  2. Tumia equationc2=a2b2, pamoja na kuratibu zilizotolewa za vertices na foci, kutatuab2.
  3. Badilisha maadili kwaa2 nab2 ndani ya fomu ya kiwango cha equation iliyowekwa katika Hatua ya 1.
Mfano10.1.1: Writing the Equation of an Ellipse Centered at the Origin in Standard Form

Je, ni fomu ya kawaida ya equation ya ellipse ambayo ina vertices(±8,0) na foci(±5,0)?

Suluhisho

Foci ni juu yax -axis, hivyo mhimili mkubwa nix -axis. Hivyo, equation itakuwa na fomux2a2+y2b2=1

Vipeo ni(±8,0), hivyoa=8 naa2=64.

Foci ni(±5,0), hivyoc=5 nac2=25.

Tunajua kwamba vipeo na foci vinahusiana na equationc2=a2b2. Kutatua kwab2, tuna:

c2=a2b225=64b2Substitute for c2 and a2b2=39Solve for b2

Sasa tunahitaji tu mbadalaa2=64 nab2=39 katika fomu ya kawaida ya equation. Equation ya duaradufu nix264+y239=1.

Zoezi10.1.1

Je, ni fomu ya kawaida ya equation ya ellipse ambayo ina vertices(0,±4) na foci(0,±15)?

Jibu

x2+y216=1

Q & A

Je, tunaweza kuandika equation ya duaradufu unaozingatia katika asili kutokana kuratibu ya lengo moja tu na kipeo?

Ndiyo. Ellipses ni ya kawaida, hivyo kuratibu za vipeo vya duaradufu unaozunguka asili zitakuwa na fomu(±a,0) au(0,±a). Vile vile, kuratibu za foci zitakuwa na fomu(±c,0) au(0,±c). Kujua hili, tunaweza kutumiaa nac kutoka kwa pointi zilizopewa, pamoja na equationc2=a2b2, kupatab2.

Kuandika equations ya ellipses Si Centered katika Mwanzo

Kama grafu ya equations nyingine, grafu ya ellipse inaweza kutafsiriwa. Ikiwa duaradufu hutafsiriwahk vitengo kwa usawa na vitengo kwa wima, katikati ya ellipse itakuwa(h,k). Matokeo tafsiri hii katika hali ya kawaida ya equation tuliona hapo awali, nax kubadilishwa(xh) na y kubadilishwa na(yk).

AINA YA KAWAIDA YA EQUATION YA DUARADUFU NA KATIKATI(H,K)

Aina ya kawaida ya equation ya ellipse na katikati(h,k) na mhimili kuu sambamba nax -axis ni

(xh)2a2+(yk)2b2=1

wapi

  • a>b
  • urefu wa mhimili mkubwa ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(h±a,k)
  • urefu wa mhimili mdogo ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h,k±b)
  • kuratibu ya foci ni(h±c,k), wapic2=a2b2. Angalia Kielelezo10.1.7a.

Aina ya kawaida ya equation ya ellipse na katikati(h,k) na mhimili kuu sambamba nay -axis ni

(xh)2b2+(yk)2a2=1

wapi

  • a>b
  • urefu wa mhimili mkubwa ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(h,k±a)
  • urefu wa mhimili mdogo ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h±b,k)
  • kuratibu ya foci ni(h,k±c), wapic2=a2b2. Angalia Kielelezo10.1.7b.

Kama ilivyo na ellipses unaozingatia asili, ellipses ambazo zinakabiliwa na hatua(h,k) zina vipeo, vyeo, na foci zinazohusiana na equationc2=a2b2. Tunaweza kutumia uhusiano huu pamoja na kanuni za midpoint na umbali ili kupata equation ya duaradufu katika fomu ya kawaida wakati vipeo na foci vinapewa.

12.2.7.png

Kielelezo10.1.7: (a) ellipse ya usawa na kituo(h,k) (b) duaradufu ya wima na kituo(h,k)

Jinsi ya: Kutokana na vertices na foci ya ellipse si katikati ya asili, kuandika equation yake katika fomu ya kawaida
  1. Kuamua kama mhimili mkubwa ni sawa nax - auy -axis.
    • Ikiwa y -kuratibu ya vertices iliyotolewa na foci ni sawa, basi mhimili mkubwa ni sawa nax -axis. Tumia fomu ya kawaida(xh)2a2+(yk)2b2=1
    • Ikiwa x -kuratibu ya vipeo vilivyopewa na foci ni sawa, basi mhimili mkubwa ni sawa na y -axis. Tumia fomu ya kawaida(xh)2b2+(yk)2a2=1
  2. Tambua katikati ya ellipse(h,k) kwa kutumia formula ya midpoint na kuratibu zilizopewa kwa vipeo.
  3. Pataa2 kwa kutatua urefu wa mhimili mkubwa2a, ambayo ni umbali kati ya vipeo vilivyopewa.
  4. Patac2 kutumiah nak, kupatikana katika Hatua ya 2, pamoja na kuratibu zilizopewa kwa foci.
  5. Tatua kwab2 kutumia equationc2=a2b2.
  6. Badilisha maadili kwah,ka2, nab2 katika fomu ya kawaida ya equation iliyowekwa katika Hatua ya 1.
Mfano10.1.2: Writing the Equation of an Ellipse Centered at a Point Other Than the Origin

Je, ni fomu ya kawaida ya equation ya ellipse ambayo ina vertices(2,8)(2,2) na foci(2,7) na(2,1)?

Suluhisho

xKuratibu -ya vertices na foci ni sawa, hivyo mhimili mkubwa ni sawa nay -axis. Hivyo, equation ya ellipse itakuwa na fomu

(xh)2b2+(yk)2a2=1

Kwanza, tunatambua kituo,(h,k). Kituo hicho ni nusu kati ya vipeo,(2,8) na(2,2). Kutumia formula ya midpoint, tuna:

(h,k)=(2+(2)2,8+22)=(2,3)

Kisha, tunapataa2. Urefu wa mhimili mkubwa2a, umefungwa na vertices. Sisi kutatuaa kwa kutafuta umbali kati ya y -kuratibu ya vertices.

2a=2(8)2a=10a=5

Hivyoa2=25.

Sasa tunapatac2. Foci hutolewa na(h,k±c). Hivyo,(h,kc)=(2,7) na(h,k+c)=(2,1). Sisi badala yak=3 kutumia mojawapo ya pointi hizi kutatua kwac.

k+c=13+c=1c=4

Hivyoc2=16.

Kisha, tunatatua kwab2 kutumia equationc2=a2b2.

c2=a2b216=25b2b2=9

Hatimaye, sisi badala ya maadili kupatikana kwah,ka2, nab2 katika kiwango fomu equation kwa duaradufu:

(x+2)29+(y+3)225=1

Zoezi10.1.2

Je, ni fomu ya kawaida ya equation ya ellipse ambayo ina vertices(3,3)(5,3) na foci(123,3) na(1+23,3)?

Jibu

(x1)216+(y3)24=1

Graphing ellipses Kuzingatia katika Mwanzo

Tu kama tunaweza kuandika equation kwa duaradufu kutokana grafu yake, tunaweza graph duaradufu kutokana equation yake. Ili grafu ya ellipses iliyozingatia asili, tunatumia fomu ya kawaida

x2a2+y2b2=1,a>bkwa ellipses ya usawa

na

x2b2+y2a2=1,a>bkwa ellipses wima

Jinsi ya: Kutokana na fomu ya kiwango cha equation kwa duaradufu unaozingatia(0,0), sketch the graph.
  1. Tumia aina za kawaida za equations ya ellipse ili kuamua mhimili mkubwa, vertices, co-vertices, na foci.
    • Ikiwa equation iko katika fomux2a2+y2b2=1, wapia>b, basi
      • mhimili kuu nix -axis
      • kuratibu za vipeo ni(±a,0)
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(0,±b)
      • kuratibu ya foci ni(±c,0)
    • Ikiwa equation iko katika fomux2b2+y2a2=1, wapia>b, basi
      • mhimili kuu niy -axis
      • kuratibu za vipeo ni(0,±a)
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(±b,0)
      • kuratibu ya foci ni(0,±c)
  2. Tatua kwac kutumia equationc2=a2b2.
  3. Panda katikati, vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci katika ndege ya kuratibu, na kuteka safu ya laini ili kuunda duaradufu.
Mfano10.1.3: Graphing an Ellipse Centered at the Origin

Grafu duaradufu iliyotolewa na equation,x29+y225=1. Tambua na uandike kituo hicho, vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci.

Suluhisho

Kwanza, tunaamua nafasi ya mhimili mkubwa. Kwa sababu25>9, mhimili mkubwa ni juu yay -axis. Kwa hiyo, equation iko katika fomux2b2+y2a2=1, wapib2=9 naa2=25. Inafuata kwamba:

  • katikati ya ellipse ni(0,0)
  • kuratibu za vipeo ni(0,±a)=(0,±25)=(0,±5)
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(±b,0)=(±9,0)=(±3,0)
  • kuratibu ya foci ni(0,±c), ambapoc2=a2b2 Kutatua kwac, tuna:

c=±a2b2=±259=±16=±4

Kwa hiyo, kuratibu za foci ni(0,±4).

Ifuatayo, tunapanga njama na kuandika kituo, vertices, co-vertices, na foci, na kuteka curve laini ili kuunda ellipse. Angalia Kielelezo10.1.8.

12.2.8.png

Kielelezo10.1.8

Zoezi10.1.3

Grafu duaradufu iliyotolewa na equationx236+y24=1. Tambua na uandike kituo hicho, vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci.

Jibu

kituo:(0,0); vertices:(±6,0); ushirikiano vertices:(0,±2); foci:(±42,0)

Ex4fig1.png

Kielelezo10.1.9

Mfano10.1.4: Graphing an Ellipse Centered at the Origin from an Equation Not in Standard Form

Grafu duaradufu iliyotolewa na equation4x2+25y2=100. Andika upya equation katika fomu ya kawaida. Kisha kutambua na uweke alama katikati, vertices, co-vertices, na foci.

Suluhisho

Kwanza, tumia algebra kuandika upya equation katika fomu ya kawaida.

4x2+25y2=1004x2100+25y2100=100100x225+y24=1

Kisha, tunaamua nafasi ya mhimili mkubwa. Kwa sababu25>4, mhimili mkubwa ni juu yax -axis. Kwa hiyo, equation iko katika fomux2a2+y2b2=1, wapia2=25 nab2=4. Inafuata kwamba:

  • katikati ya ellipse ni(0,0)
  • kuratibu za vipeo ni(±a,0)=(±25,0)=(±5,0)
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(0,±b)=(0,±4)=(0,±2)
  • kuratibu ya foci ni(±c,0), wapic2=a2b2. Kutatua kwac, tuna:

c=±a2b2=±254=±21

Kwa hiyo, kuratibu za foci ni(±21,0).

Ifuatayo, tunapanga njama na kuandika kituo, vertices, co-vertices, na foci, na kuteka curve laini ili kuunda ellipse.

12.2.9.png

Kielelezo10.1.10

Zoezi10.1.4

Grafu duaradufu iliyotolewa na equation49x2+16y2=784. Andika upya equation katika fomu ya kawaida. Kisha kutambua na uweke alama katikati, vertices, co-vertices, na foci.

Jibu

Fomu ya kawaida:x216+y249=1; kituo cha:(0,0); vertices:(0,±7); ushirikiano vertices:(±4,0); foci:(0,±33)

12.2.9b.png

Kielelezo10.1.11

Graphing ellipses Si Centered katika Mwanzo

Wakati duaradufu haijawekwa katikati ya asili, bado tunaweza kutumia fomu za kawaida ili kupata vipengele muhimu vya grafu. Wakati duaradufu inazingatia wakati fulani(h,k), tunatumia fomu za kawaida(xh)2a2+(yk)2b2=1,a>b kwa ellipses ya usawa na(xh)2b2+(yk)2a2=1,a>b kwa ellipses ya wima. Kutoka kwa equations hizi za kawaida, tunaweza kuamua kwa urahisi kituo, vertices, co-vertices, foci, na nafasi za axes kuu na ndogo.

Jinsi ya: Kutokana na fomu ya kiwango cha equation kwa duaradufu unaozingatia(h,k), sketch the graph.
  1. Tumia aina za kawaida za equations ya ellipse ili kuamua kituo, nafasi ya mhimili mkubwa, vertices, co-vertices, na foci.
    • Ikiwa equation iko katika fomu(xh)2a2+(yk)2b2=1, wapia>b, basi
      • kituo hicho ni(h,k)
      • mhimili mkubwa ni sawa nax -axis
      • kuratibu za vipeo ni(h±a,k)
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h,k±b)
      • kuratibu ya foci ni(h±c,k)
    • Ikiwa equation iko katika fomu(xh)2b2+(yk)2a2=1, wapia>b, basi
      • kituo hicho ni(h,k)
      • mhimili mkubwa ni sawa nay -axis
      • kuratibu za vipeo ni(h,k±a)
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h±b,k)
      • kuratibu ya foci ni(h,k±c)
  2. Tatua kwac kutumia equationc2=a2b2.
  3. Panda katikati, vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci katika ndege ya kuratibu, na kuteka safu ya laini ili kuunda duaradufu.
Mfano10.1.5: Graphing an Ellipse Centered at (h,k)

Grafu duaradufu iliyotolewa na equation,(x+2)24+(y5)29=1. Tambua na uandike kituo hicho, vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci.

Suluhisho

Kwanza, tunaamua nafasi ya mhimili mkubwa. Kwa sababu9>4, mhimili mkubwa ni sawa nay -axis. Kwa hiyo, equation iko katika fomu(xh)2b2+(yk)2a2=1, wapib2=4 naa2=9. Inafuata kwamba:

  • katikati ya ellipse ni(h,k)=(2,5)
  • kuratibu ya vipeo ni(h,k±a)=(2,5±9)=(2,5±3), au(2,2)(2,8)
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h±b,k)=(2±4,5)=(2±2,5), au(4,5)(0,5)
  • kuratibu ya foci ni(h,k±c), wapic2=a2b2. Kutatua kwac, tuna:

c=±a2b2=±94=±5

Kwa hiyo, kuratibu za foci ni(2,55) na(2,5+5).

Ifuatayo, tunapanga njama na kuandika kituo, vertices, co-vertices, na foci, na kuteka curve laini ili kuunda ellipse.

12.2.10.png

Kielelezo10.1.12

Zoezi10.1.5

Grafu duaradufu iliyotolewa na equation(x4)236+(y2)220=1. Tambua na uandike kituo hicho, vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci.

Jibu

Kituo:(4,2); vertices:(2,2) na(10,2); ushirikiano vertices:(4,225) na(4,2+25); foci:(0,2) na(8,2)

12.2.11.png

Kielelezo10.1.13

Jinsi ya: Kutokana na fomu ya jumla ya equation kwa duaradufu unaozingatia(h,k), express the equation in standard form.
  1. Tambua kwamba duaradufu iliyoelezwa na equation katika fomuax2+by2+cx+dy+e=0 ni kwa fomu ya jumla.
  2. Panga upya equation kwa maneno ya makundi ambayo yana variable sawa. Hoja muda wa mara kwa mara kwa upande wa pili wa equation.
  3. Fanya nje ya coefficients yax2 nay2 masharti katika maandalizi ya kukamilisha mraba.
  4. Kukamilisha mraba kwa kila variable kuandika upya equation katika mfumo wa jumla ya mafungu ya binomials mbili squared kuweka sawa na mara kwa maram1(xh)2+m2(yk)2=m3, ambapom1,m2, nam3 ni constants.
  5. Gawanya pande zote mbili za equation kwa muda wa mara kwa mara ili kuelezea equation katika fomu ya kawaida.
Mfano10.1.6: Graphing an Ellipse Centered at (h,k) by First Writing It in Standard Form

Grafu duaradufu iliyotolewa na equation4x2+9y240x+36y+100=0. Tambua na uandike kituo hicho, vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci.

Suluhisho

Lazima tuanze kwa kuandika upya equation katika fomu ya kawaida.

4x2+9y240x+36y+100=0

Masharti ya kikundi ambayo yana variable sawa, na hoja ya mara kwa mara kwa upande wa pili wa equation.

(4x240x)+(9y2+36y)=100

Fanya nje ya coefficients ya maneno ya mraba.

4(x210x)+9(y2+4y)=100

Jaza mraba mara mbili. Kumbuka kusawazisha equation kwa kuongeza constants sawa kwa kila upande.

4(x210x+25)+9(y2+4y+4)=100+100+36

Andika upya kama mraba kamilifu.

4(x5)2+9(y+2)2=36

Gawanya pande zote mbili kwa muda wa mara kwa mara ili kuweka equation katika fomu ya kawaida.

(x5)29+(y+2)24=1

Sasa kwa kuwa equation iko katika hali ya kawaida, tunaweza kuamua nafasi ya mhimili mkubwa. Kwa sababu9>4, mhimili mkubwa ni sawa nax -axis. Kwa hiyo, equation iko katika fomu(xh)2a2+(yk)2b2=1, wapia2=9 nab2=4. Inafuata kwamba:

  • katikati ya ellipse ni(h,k)=(5,2)
  • kuratibu ya vipeo ni(h±a,k)=(5±9,2)=(5±3,2), au(2,2)(8,2)
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h,k±b)=(5,2±4)=(5,2±2), au(5,4)(5,0)
  • kuratibu ya foci ni(h\pm c,k), wapic^2=a^2−b^2. Kutatua kwac, tuna:

\begin{align*} c&=\pm \sqrt{a^2-b^2}\\ &=\pm \sqrt{9-4}\\ &=\pm \sqrt{5} \end{align*}

Kwa hiyo, kuratibu za foci ni(5−\sqrt{5},−2) na(5+\sqrt{5},−2).

Kisha sisi njama na studio katikati, vertices, co-vertices, na foci, na kuteka curve laini ili kuunda duaradufu kama inavyoonekana katika Kielelezo\PageIndex{14}.

150621824376404.png

Kielelezo\PageIndex{14}

Zoezi\PageIndex{6}

Eleza equation ya duaradufu iliyotolewa katika fomu ya kawaida. Tambua kituo, vertices, vyeo vya ushirikiano, na foci ya ellipse.

4x^2+y^2−24x+2y+21=0

Jibu

\dfrac{{(x−3)}^2}{4}+\dfrac{{(y+1)}^2}{16}=1; katikati:(3,−1); vertices:(3,−5) na(3,3); ushirikiano vertices:(1,−1) na(5,−1); foci:(3,−1−2\sqrt{3}) na(3,−1+2\sqrt{3})

Kutatua Matatizo yaliyotumika Kuhusisha Ellipses

Hali nyingi za ulimwengu halisi zinaweza kuwakilishwa na ellipses, ikiwa ni pamoja na njia za sayari, satelaiti, miezi na comets, na maumbo ya keels mashua, usukani, na baadhi ya mbawa za ndege. Kifaa cha kimatibabu kinachoitwa lithotripta kinatumia vielekezi vya duaradufu kuvunja mawe ya figo kwa kuzalisha mawimbi ya sauti. Baadhi ya majengo, aitwaye whispering vyumba, ni iliyoundwa na domes elliptical ili mtu whispering katika lengo moja kwa urahisi kusikilizwa na mtu amesimama katika lengo nyingine. Hii hutokea kwa sababu ya mali ya acoustic ya ellipse. Wakati wimbi la sauti linatoka kwenye lengo moja la chumba cha whispering, wimbi la sauti litaonekana mbali na dome ya elliptical na kurudi kwenye lengo lingine (Kielelezo\PageIndex{15}). Katika chumba cha whisper katika Makumbusho ya Sayansi na Viwanda huko Chicago, watu wawili wamesimama kwenye foci-kuhusu43 miguu mbali-wanaweza kusikia whisper kila mmoja.

CNX_Precalc_Figure_10_01_013.jpg

Kielelezo\PageIndex{15}: Mawimbi ya sauti yanajitokeza kati ya foci katika chumba cha elliptical, kinachoitwa chumba cha whispering.

Mfano\PageIndex{7}: Locating the Foci of a Whispering Chamber

Hall Statuary katika Capitol Building katika Washington, D.C. ni chumba whispering. Vipimo vyake ni46 miguu pana kwa96 miguu kwa muda mrefu kama inavyoonekana katika Kielelezo\PageIndex{16}.

  1. Nini fomu ya kawaida ya equation ya ellipse inayowakilisha muhtasari wa chumba? Kidokezo: kudhani ellipse ya usawa, na basi katikati ya chumba iwe hatua(0,0).
  2. Ikiwa maseneta wawili wamesimama kwenye foci ya chumba hiki wanaweza kusikia whisper kila mmoja, ni mbali gani maseneta? Pande zote kwa mguu wa karibu.

12.2.13.png

Kielelezo\PageIndex{16}

Suluhisho

  1. Sisi ni kuchukua duaradufu usawa na kituo(0,0), hivyo tunahitaji kupata equation ya fomu\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1, ambapoa>b. Tunajua kwamba urefu wa mhimili kuu,2a, ni mrefu kuliko urefu wa mhimili mdogo,2b. Hivyo urefu wa chumba, 96, unawakilishwa na mhimili mkubwa, na upana wa chumba, 46, unawakilishwa na mhimili mdogo.

    Kwa hiyo, equation ya duaradufu ni\ [(dfrac {x^2} {2304} +\ dfrac {y ^ 2} {529} =1\)

    • Kutatua kwaa, tuna2a=96, hivyoa=48, naa^2=2304.
    • Kutatua kwab, tuna2b=46, hivyob=23, nab^2=529.
  2. Ili kupata umbali kati ya maseneta, tunapaswa kupata umbali kati ya foci(\pm c,0), wapic^2=a^2−b^2. Kutatua kwac, tuna:

\begin{align*} c^2&=a^2-b^2\\ c^2&=2304-529\qquad \text{Substitute using the values found in part } (a)\\ c&=\pm \sqrt{2304-529}\qquad \text{Take the square root of both sides.}\\ c&=\pm \sqrt{1775}\qquad \text{Subtract.}\\ c&\approx \pm 42\qquad \text{Round to the nearest foot.} \end{align*}

Pointi(\pm 42,0) zinawakilisha foci. Hivyo, umbali kati ya maseneta ni2(42)=84 miguu.

Zoezi\PageIndex{7}

Tuseme chumba cha whispering ni480 miguu ndefu na320 miguu pana.

  1. Fomu ya kawaida ya equation ya ellipse inayowakilisha chumba ni nini? Kidokezo: kudhani ellipse ya usawa, na basi katikati ya chumba iwe hatua(0,0).
  2. Ikiwa watu wawili wamesimama kwenye foci ya chumba hiki na wanaweza kusikia whisper, ni mbali gani watu? Pande zote kwa mguu wa karibu.
Jibu

\dfrac{x^2}{57,600}+\dfrac{y^2}{25,600}=1

Jibu b

Watu wamesimama358 miguu mbali.

Media

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na ellipses.

Mlinganyo muhimu

ellipse ya usawa, katikati ya asili \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b
ellipse ya wima, katikati ya asili \dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1,a>b
ellipse ya usawa, katikati(h,k) \dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}+\dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1,a>b
ellipse ya wima, katikati(h,k) \dfrac{{(x−h)}^2}{b^2}+\dfrac{{(y−k)}^2}{a^2}=1,a>b

Dhana muhimu

  • Ellipse ni seti ya pointi zote(x,y) katika ndege kama vile jumla ya umbali wao kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara. Kila hatua iliyowekwa inaitwa lengo (wingi: foci).
  • Tunapopewa kuratibu za foci na vipeo vya ellipse, tunaweza kuandika equation ya ellipse kwa fomu ya kawaida. Angalia Mfano\PageIndex{1} na Mfano\PageIndex{2}.
  • Wakati kupewa equation kwa duaradufu unaozingatia katika asili katika hali ya kawaida, tunaweza kutambua vipeo yake, ushirikiano vertices, foci, na urefu na nafasi ya shoka kuu na ndogo ili grafu duaradufu. Angalia Mfano\PageIndex{3} na Mfano\PageIndex{4}.
  • Wakati kupewa equation kwa duaradufu unaozingatia wakati fulani isipokuwa asili, tunaweza kutambua sifa zake muhimu na grafu duaradufu. Angalia Mfano\PageIndex{5} na Mfano\PageIndex{6}.
  • Hali halisi ya ulimwengu inaweza kutajwa kwa kutumia milinganyo ya kiwango cha ellipses na kisha tathmini ili kupata vipengele muhimu, kama vile urefu wa shoka na umbali kati ya foci. Angalia Mfano\PageIndex{7}.

Wachangiaji na Majina