9.4: Sehemu ndogo

Malengo ya kujifunza

Kuoza$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, wapi

• $Q(x)$ina tu mambo yasiyo ya mara kwa mara linear.
• $Q(x)$ina mambo ya mara kwa mara linear.
• $Q(x)$ina sababu isiyo ya kawaida ya quadratic isiyoweza kupunguzwa.
• $Q(x)$ina sababu ya quadratic isiyoweza kupunguzwa mara kwa mara.

Mapema katika sura hii, sisi alisoma mifumo ya equations mbili katika vigezo mbili, mifumo ya milinganyo tatu katika vigezo tatu, na mifumo nonlinear. Hapa tunaanzisha njia nyingine ambayo mifumo ya equations inaweza kutumika-kuharibika kwa maneno ya busara. Fractions inaweza kuwa ngumu; kuongeza variable katika denominator huwafanya hata zaidi. Njia zilizojifunza katika sehemu hii zitasaidia kurahisisha dhana ya kujieleza kwa busara.

Kuharibika$\frac{P(x)}{Q(x)}$ ambapo$Q(x)$ Ina Mambo Yasiyokuwa ya kawaida ya Linear

Kumbuka algebra kuhusu kuongeza na kuondoa maneno ya busara. Shughuli hizi zinategemea kutafuta denominator ya kawaida ili tuweze kuandika jumla au tofauti kama kujieleza moja, kilichorahisishwa kimantiki. Katika sehemu hii, tutaangalia uharibifu wa sehemu ya sehemu, ambayo ni kufuta utaratibu wa kuongeza au kuondoa maneno ya busara. Kwa maneno mengine, ni kurudi kutoka kwa kujieleza moja rahisi kwa maneno ya awali, inayoitwa sehemu ndogo.

Kwa mfano, tuseme tunaongeza sehemu zifuatazo:

$$\dfrac{2}{x−3}+\dfrac{−1}{x+2} \nonumber$$

Tunataka kwanza haja ya kupata denominator ya kawaida:$(x+2)(x−3)$.

Kisha, tutaandika kila neno na denominator hii ya kawaida na kupata jumla ya maneno.

$$\begin{align*} \dfrac{2}{x-3}\left(\dfrac{x+2}{x+2}\right)+\dfrac{-1}{x+2}\left(\dfrac{x-3}{x-3}\right)&= \dfrac{2x+4-x+3}{(x+2)(x-3)}\\[4pt] &= \dfrac{x+7}{x^2-x-6} \end{align*}$$

Uharibifu wa sehemu ya sehemu ni kinyume cha utaratibu huu. Tutaanza na suluhisho na kuandika upya (kuoza) kama jumla ya vipande viwili.

$$\underbrace{\dfrac{x+7}{x^2-x-6}}_{\text{Simplified sum}} = \underbrace{\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{-1}{x+2}}_{\text{Partial fraction decomposition }} \nonumber$$

Tutachunguza maneno ya busara na mambo ya mstari na mambo ya quadratic katika denominator ambapo kiwango cha nambari ni chini ya kiwango cha denominator. Bila kujali aina ya kujieleza tunayoharibika, jambo la kwanza na muhimu zaidi la kufanya ni sababu ya denominator.

Wakati denominator ya kujieleza kilichorahisishwa ina mambo tofauti ya mstari, inawezekana kwamba kila moja ya maneno ya awali ya busara, ambayo yaliongezwa au yaliyotolewa, yalikuwa na moja ya mambo ya mstari kama denominator. Kwa maneno mengine, kwa kutumia mfano hapo juu, sababu za$x^2−x−6$ ni$(x−3)(x+2)$, denominators ya kujieleza kwa busara. Hivyo sisi kuandika upya fomu kilichorahisishwa kama jumla ya FRACTIONS mtu binafsi na kutumia variable kwa kila numerator. Kisha, tutatatua kwa kila nambari kwa kutumia moja ya mbinu kadhaa zinazopatikana kwa uharibifu wa sehemu ya sehemu.

SEHEMU YA SEHEMU YA UTENGANO WA$\frac{P(x)}{Q(x)}$: $Q(x)$ HAS NONREPEATED LINEAR FACTORS

Uharibifu wa sehemu ya sehemu ya$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ wakati$Q(x)$ una mambo yasiyo ya mara kwa mara ya mstari na kiwango cha$P(x)$ ni chini ya kiwango cha$Q(x)$ ni

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$$

Jinsi ya: Kutokana na kujieleza kwa busara na mambo tofauti ya mstari katika denominator, kuivunja

1. Tumia variable kwa nambari za awali$A$, kwa kawaida$B$,$C$, au, kulingana na idadi ya mambo, kuweka kila variable juu ya sababu moja. Kwa madhumuni ya ufafanuzi huu, tunatumia$A_n$ kwa kila nambari

   $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$

2. Kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida ili kuondoa sehemu ndogo.
3. Kupanua upande wa kulia wa equation na kukusanya kama maneno.
4. Weka coefficients ya maneno kama kutoka upande wa kushoto wa equation sawa na wale upande wa kulia ili kuunda mfumo wa equations kutatua kwa nambari.

Mfano$\PageIndex{1}$: Decomposing a Rational Function with Distinct Linear Factors

Punguza maneno ya busara yaliyotolewa na mambo tofauti ya mstari.

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}$

Suluhisho

Tutatenganisha mambo ya denominator na kutoa kila nambari studio ya mfano$A$, kama$B$,, au$C$.

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x−1)}$

Kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida ili kuondoa sehemu ndogo:

$(x+2)(x−1)\left[ \dfrac{3x}{(x+2)(x−1)} \right]=(x+2)(x−1)\left[\dfrac{A}{(x+2)} \right]+(x+2)(x−1)\left[\dfrac{B}{(x−1)} \right]$

Equation kusababisha ni

$3x=A(x−1)+B(x+2)$

Kupanua upande wa kulia wa equation na kukusanya kama maneno.

$$\begin{align*} 3x&= Ax-A+Bx+2B\\[4pt] 3x&= (A+B)x-A+2B \end{align*}$$

Weka mfumo wa equations kuhusisha coefficients sambamba.

$$\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] 0&= -A+2B \end{align*}$$

Kuongeza milinganyo mbili na kutatua kwa$B$.

$$\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] \underline{0}&= \underline{-A+2B}\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}$$

Mbadala$B=1$ katika moja ya equations awali katika mfumo.

$$\begin{align*} 3&= A+1\\[4pt] 2&= A \end{align*}$$

Hivyo, sehemu ya utengano sehemu ni

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}$

Njia nyingine ya kutumia kutatua kwa$A$ au$B$ ni kwa kuzingatia equation ambayo ilisababisha kuondoa sehemu ndogo na kubadilisha thamani kwa$x$ kuwa kufanya ama$A-$ au$B-$ mrefu sawa 0. Kama sisi basi$x=1$,

$A-$mrefu inakuwa 0 na tunaweza tu kutatua kwa$B$.

$$\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(1)&= A[(1)-1]+B[(1)+2]\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}$$

Next, ama mbadala$B=1$ katika equation na kutatua kwa$A$, au kufanya$B-$ neno$0$ kwa kubadilisha$x=−2$ katika equation.

$$\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(-2)&= A[(-2)-1]+B[(-2)+2]\\[4pt] -6&= -3A+0\\[4pt] \dfrac{-6}{-3}&= A\\[4pt] 2&=A \end{align*}$$

Tunapata maadili sawa$A$ na$B$ kutumia njia yoyote, hivyo uharibifu ni sawa kwa kutumia njia yoyote.

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}$

Ingawa njia hii haionekani mara nyingi sana katika vitabu vya vitabu, tunaiwasilisha hapa kama mbadala ambayo inaweza kufanya uharibifu wa sehemu ya sehemu rahisi. Inajulikana kama njia ya Heaviside, iliyoitwa baada ya Charles Heaviside, mpainia katika utafiti wa umeme.

Zoezi$\PageIndex{1}$

Pata utengano wa sehemu ya sehemu ya maneno yafuatayo.

$\dfrac{x}{(x−3)(x−2)}$

Jibu

$\dfrac{3}{x−3}−\dfrac{2}{x−2}$

Kuharibika$\frac{P(x)}{Q(x)}$ ambapo$Q(x)$ Ina Mambo ya Mstari yaliyopita

Baadhi ya sehemu ambazo tunaweza kuzipata ni matukio maalum ambayo tunaweza kuharibika katika sehemu ndogo na mambo ya mara kwa mara ya mstari. Lazima tukumbuke kwamba tunahesabu kwa sababu za mara kwa mara kwa kuandika kila sababu katika nguvu zinazoongezeka.

SEHEMU YA SEHEMU YA UTENGANO WA$\frac{P(x)}{Q(x)}$: $Q(x)$ HAS REPEATED LINEAR FACTORS

sehemu sehemu utengano wa$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, wakati$Q(x)$ ina mara kwa mara linear sababu zinazotokea n nyakati na shahada ya$P(x)$ ni chini ya shahada ya$Q(x)$, ni

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$$

Andika nguvu za denominator kwa utaratibu unaoongezeka.

Jinsi ya: kuharibu maneno ya busara na mambo ya mara kwa mara

1. Tumia variable kama$A$$B$,, au$C$ kwa nambari na akaunti kwa ajili ya kuongeza nguvu ya denominators. $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$$
2. Kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida ili kuondoa sehemu ndogo.
3. Kupanua upande wa kulia wa equation na kukusanya kama maneno.
4. Weka coefficients ya maneno kama kutoka upande wa kushoto wa equation sawa na wale upande wa kulia ili kuunda mfumo wa equations kutatua kwa nambari.

Mfano$\PageIndex{2}$: Decomposing with Repeated Linear Factors

Punguza kujieleza kwa busara na mambo ya mara kwa mara ya mstari.

$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}$

Suluhisho

Sababu za denominator ni$x{(x−2)}^2$. Ili kuruhusu kwa sababu ya mara kwa mara ya$(x−2)$, utengano ni pamoja na denominators tatu:$x$$(x−2)$,, na${(x−2)}^2$. Hivyo,

$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x−2)}+\dfrac{C}{{(x−2)}^2}$

Kisha, tunazidisha pande zote mbili na denominator ya kawaida.

$$\begin{align*} x{(x-2)}^2\left[ \dfrac{-x^2+2x+4x}{{(x-2)}^2} \right]&= \left[ \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-2)}+\dfrac{C}{{(x-2)}^2} \right]x{(x-2)}^2\\[4pt] -x^2+2x+4&= A{(x-2)}^2+Bx(x-2)+Cx \end{align*}$$

Kwenye upande wa kulia wa equation, tunapanua na kukusanya kama maneno.

$$\begin{align*} -x^2+2x+4&= A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx\\[4pt] &= Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx\\[4pt] &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \end{align*}$$

Kisha, tunalinganisha coefficients ya pande zote mbili. Hii itatoa mfumo wa equations katika vigezo vitatu:

$$\begin{align} -x^2+2x+4 &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \\[4pt] A+B &= -1 \label{2.1} \\[4pt] -4A-2B+C &= 2 \label{2.2} \\[4pt] 4A&= 4 \label{2.3} \end{align}$$

Kutatua$A$ kwa equation\ ref {2.3}, tuna

$$\begin{align*} 4A&= 4\\[4pt] A&= 1 \end{align*}$$

Mbadala$A=1$ katika Equation\ ref {2.1}.

$$\begin{align*} A+B&= -1\\[4pt] (1)+B&= -1\\[4pt] B&= -2 \end{align*}$$

Kisha, ili kutatua$C$, badala ya maadili$A$ na$B$ ndani ya Equation\ ref {2.2}.

$$\begin{align*} -4A-2B+C&= 2\\[4pt] -4(1)-2(-2)+C&= 2\\[4pt] -4+4+C&= 2\\[4pt] C&= 2 \end{align*}$$

Hivyo,

$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{1}{x}−\dfrac{2}{(x−2)}+\dfrac{2}{{(x−2)}^2}$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Pata uharibifu wa sehemu ya sehemu ya maneno na mambo ya mara kwa mara ya mstari.

$\dfrac{6x−11}{{(x−1)}^2}$

Jibu

$$\dfrac{6}{x−1}−\dfrac{5}{{(x−1)}^2} \nonumber$$

Kuoza$\frac{P(x)}{Q(x)}$, ambapo$Q(x)$ Ina sababu isiyo ya kawaida ya Quadratic isiyoweza kurudiwa

Hadi sasa, tumefanya sehemu ya sehemu kuoza na maneno ambayo yamekuwa na sababu linear katika denominator, na sisi kutumika numerators$A$$B$, au$C$ anayewakilisha constants. Sasa tutaangalia mfano ambapo moja ya mambo katika denominator ni kujieleza quadratic ambayo haina sababu. Hii inajulikana kama sababu ya quadratic isiyoweza kupunguzwa. Katika hali kama hii, tunatumia nambari ya mstari kama vile$Ax+B$$Bx+C$, nk.

UTENGANO WA$\frac{P(x)}{Q(x)}$: $Q(x)$ HAS A NONREPEATED IRREDUCIBLE QUADRATIC FACTOR

Sehemu ya sehemu ya uharibifu wa$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ vile ambayo$Q(x)$ ina sababu isiyo ya kawaida ya quadratic na kiwango cha$P(x)$ ni chini ya kiwango cha$Q(x)$ imeandikwa kama

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}$$

Uharibifu unaweza kuwa na maneno zaidi ya busara ikiwa kuna mambo ya mstari. Kila sababu ya mstari itakuwa na nambari tofauti ya mara kwa mara:$A$,$B$,$C$, na kadhalika.

Jinsi ya: kuharibu kujieleza kwa busara ambapo mambo ya denominator ni tofauti, mambo yasiyoweza kupunguzwa ya quadratic

1. Tumia vigezo kama vile$A$,$B$, au$C$ kwa nambari za mara kwa mara juu ya mambo ya mstari, na maneno ya mstari kama vile$A_1x+B_1$$A_2x+B_2$, nk, kwa nambari za kila quadratic katika denominator.

   $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}$

2. Kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida ili kuondoa sehemu ndogo.
3. Kupanua upande wa kulia wa equation na kukusanya kama maneno.
4. Weka coefficients ya maneno kama kutoka upande wa kushoto wa equation sawa na wale upande wa kulia ili kuunda mfumo wa equations kutatua kwa nambari.

Mfano$\PageIndex{3}$: Decomposing $\frac{P(x)}{Q(x)}$ When $Q(x)$ Contains a Nonrepeated Irreducible Quadratic Factor

Pata sehemu ya sehemu ya utengano wa kujieleza.

$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}$

Suluhisho

Tuna sababu moja ya mstari na sababu moja ya quadratic isiyoweza kupunguzwa katika denominator, hivyo namba moja itakuwa mara kwa mara na namba nyingine itakuwa kujieleza kwa mstari. Hivyo,

$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}$

Tunafuata hatua sawa na katika matatizo ya awali. Kwanza, wazi sehemu ndogo kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida.

$$\begin{align*} (x+3)(x^2+x+2)\left[\dfrac{8x^2+12x-20}{(x+3)(x^2+x+2)}\right]&= \left[\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\right](x+3)(x^2+x+2)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3) \end{align*}$$

Taarifa tunaweza kutatua$A$ kwa urahisi kwa kwa kuchagua thamani kwa$x$ kuwa kufanya$Bx+C$ neno sawa$0$. Hebu$x=−3$ na badala yake katika equation.

$$\begin{align*} 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8{(-3)}^2+12(-3)-20&= A({(-3)}^2+(-3)+2)+(B(-3)+C)((-3)+3)\\[4pt] 16&= 8A\\[4pt] A&= 2 \end{align*}$$

Sasa kwa kuwa tunajua thamani ya$A$, badala yake nyuma katika equation. Kisha kupanua upande wa kulia na kukusanya maneno kama.

$$\begin{align*} 8x^2+12x-20&= 2(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= 2x^2+2x+4+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (2+B)x^2+(2+3B+C)x+(4+3C) \end{align*}$$

Kuweka coefficients ya maneno upande wa kulia sawa na coefficients ya maneno upande wa kushoto hutoa mfumo wa equations.

$$\begin{align} 2+B&= 8 \label{3.1} \\[4pt] 2+3B+C&= 12 \label{3.2} \\[4pt] 4+3C&= -20 \label{3.3} \end{align}$$

Tatua kwa$B$ kutumia Equation\ ref {3.1}

\ [kuanza {align*} 2+B&= 8\ studio {1}\\ [4pt] B&= 6\ mwisho {align*}

na kutatua kwa$C$ kutumia Equation\ ref {3.3}.

$$\begin{align*} 4+3C &= -20 \label{3} \\[4pt] 3C&= -24\\[4pt] C&= -8 \end{align*}$$

Hivyo, sehemu ya sehemu utengano wa kujieleza ni

$$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{2}{(x+3)}+\dfrac{6x−8}{(x^2+x+2)} \nonumber$$

Q & A: Je, tunaweza tu kuanzisha mfumo wa equations kutatua mfano hapo juu?

Ndiyo, tunaweza kutatuliwa kwa kuanzisha mfumo wa equations bila kutatua kwa$A$ kwanza. Upanuzi juu ya haki itakuwa:

$$\begin{align*} 8x^2+12x-20&= Ax^2+Ax+2A+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (A+B)x^2+(A+3B+C)x+(2A+3C) \end{align*}$$

Hivyo mfumo wa equations itakuwa:

$$\begin{align*} A+B&= 8\\[4pt] A+3B+C&= 12\\[4pt] 2A+3C&= -20 \end{align*}$$

Zoezi$\PageIndex{3}$

Pata utengano wa sehemu ya sehemu ya maneno na sababu isiyo ya kurudia isiyo ya kawaida ya quadratic.

$$\dfrac{5x^2−6x+7}{(x−1)(x^2+1)} \nonumber$$

Jibu

$\dfrac{3}{x−1}+\dfrac{2x−4}{x^2+1}$

Kuharibika$\frac{P(x)}{Q(x)}$ Wakati$Q(x)$ Ina kipengele cha Quadratic kisichoweza kurudiwa

Sasa kwa kuwa tunaweza kuoza rahisi kujieleza busara na sababu irreducible quadratic, tutajifunza jinsi ya kufanya sehemu ya sehemu utengano wakati rahisi kujieleza busara ina mara kwa mara irreducible sababu quadratic. Uharibifu utakuwa na sehemu ndogo na nambari za mstari juu ya kila sababu ya quadratic isiyoweza kupunguzwa iliyowakilishwa katika nguvu zinazoongezeka.

UTENGANO WA$\frac{P(x)}{Q(x)}$ WHEN $Q(X)$ HAS A REPEATED IRREDUCIBLE QUADRATIC FACTOR

Sehemu ya sehemu ya utengano wa$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, wakati$Q(x)$ ina sababu ya quadratic isiyoweza kupunguzwa na kiwango cha$P(x)$ chini ya kiwango cha$Q(x)$, ni

$$\dfrac{P(x)}{{(ax^2+bx+c)}^n}=\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+\dfrac{A_3x+B_3}{{(ax^2+bx+c)}^3}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}$$

Andika madhehebu katika nguvu zinazoongezeka.

Jinsi ya: kuharibu maneno ya busara ambayo ina sababu isiyoweza kupunguzwa mara kwa mara

1. Tumia vigezo kama$A$,$B$, au$C$ kwa nambari za mara kwa mara juu ya mambo ya mstari, na maneno ya mstari kama vile$A_1x+B_1$$A_2x+B_2$, nk, kwa nambari za kila quadratic sababu katika denominator iliyoandikwa katika nguvu za kuongezeka, kama vile

   $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}$

2. Kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida ili kuondoa sehemu ndogo.
3. Kupanua upande wa kulia wa equation na kukusanya kama maneno.
4. Weka coefficients ya maneno kama kutoka upande wa kushoto wa equation sawa na wale upande wa kulia ili kuunda mfumo wa equations kutatua kwa nambari.

Mfano$\PageIndex{4}$: Decomposing a Rational Function with a Repeated Irreducible Quadratic Factor in the Denominator

Punguza maneno yaliyotolewa ambayo ina sababu isiyoweza kupunguzwa mara kwa mara katika denominator.

$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}$

Suluhisho

Sababu za denominator ni$x$,$(x^2+1)$, na${(x^2+1)}^2$. Kumbuka kwamba, wakati sababu katika denominator ni quadratic ambayo inajumuisha angalau maneno mawili, namba lazima iwe ya fomu ya mstari$Ax+B$. Kwa hiyo, hebu tuanze kuharibika.

$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{{(x^2+1)}^2}$

Sisi kuondokana na denominators kwa kuzidisha kila neno kwa$x{(x^2+1)}^2$. Hivyo,

$$\begin{align*} x^4+x^3+x^2-x+1&= A{(x^2+1)}^2+(Bx+C)(x)(x^2+1)+(Dx+E)(x)\\[4pt] x^4+x^3+x^2-x+1&= A(x^4+2x^2+1)+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex\qquad \text{Expand the right side.}\\[4pt] &= Ax^4+2Ax^2+A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex \end{align*}$$

Sasa tutakusanya maneno kama hayo.

$x^4+x^3+x^2−x+1=(A+B)x^4+(C)x^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A$

Weka mfumo wa equations vinavyolingana coefficients sambamba kila upande wa ishara sawa.

$$\begin{align*} A+B&= 1\\[4pt] C&= 1\\[4pt] 2A+B+D&= 1\\[4pt] C+E&= -1\\[4pt] A&= 1 \end{align*}$$

Tunaweza kutumia badala kutoka hatua hii. Mbadala$A=1$ katika equation kwanza.

$$\begin{align*} 1+B&= 1\\[4pt] B&= 0 \end{align*}$$

Mbadala$A=1$ na$B=0$ katika equation ya tatu.

$$\begin{align*} 2(1)+0+D&= 1\\[4pt] D&= -1 \end{align*}$$

Mbadala$C=1$ katika equation ya nne.

$$\begin{align*} 1+E&= -1\\[4pt] E&= -2 \end{align*}$$

Sasa tumetatua kwa wote wasiojulikana upande wa kulia wa ishara sawa. Tuna$A=1$,$B=0$,$C=1$,$D=−1$, na$E=−2$. Tunaweza kuandika utengano kama ifuatavyo:

$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x^2+1)}−\dfrac{x+2}{{(x^2+1)}^2}$

Zoezi$\PageIndex{4}$

Pata uharibifu wa sehemu ya sehemu ya maneno na sababu ya quadratic isiyoweza kupunguzwa mara kwa mara.

$$\dfrac{x^3−4x^2+9x−5}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber$$

Jibu

$$\dfrac{x−2}{x^2−2x+3}+\dfrac{2x+1}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber$$

Media

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na sehemu ndogo.

• Sehemu ya sehemu kuharibika
• Uharibifu wa sehemu ya sehemu na Mambo ya Mara kwa mara
• Uharibifu wa sehemu ya sehemu na Mambo ya Mstari na Quadratic

Dhana muhimu

• Kuharibika$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ kwa kuandika sehemu za sehemu kama $$\dfrac{A}{a_1x+b_1}+\dfrac{B}{a_2x+b_2}. \nonumber$$ Kutatua kwa kufuta sehemu ndogo, kupanua upande wa kulia, kukusanya kama maneno, na kuweka coefficients sambamba sawa na kila mmoja, kisha kuanzisha na kutatua mfumo wa equations (angalia Mfano$\PageIndex{1}$).
• Uharibifu wa mambo ya mara$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ kwa mara yanapaswa kuzingatia sababu za denominator katika nguvu za kuongezeka (tazama Mfano$\PageIndex{2}$).
• Uharibifu wa$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ kwa sababu isiyo ya kawaida ya quadratic isiyoweza kupunguzwa inahitaji nambari ya mstari juu ya sababu ya quadratic, kama ilivyo$\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)}$ (tazama Mfano$\PageIndex{3}$).
• Katika utengano wa$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, ambapo$Q(x)$ ina mara kwa mara irreducible quadratic sababu, wakati sababu irreducible quadratic ni mara kwa mara, nguvu ya mambo denominator lazima kuwakilishwa katika kuongeza nguvu kama $$\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n} \nonumber$$ Angalia Mfano$\PageIndex{4}$.