8.7: Ulinganifu wa parametric - Grafu
- Graph ndege curves ilivyoelezwa na equations parametric na pointi njama.
- Grafu milinganyo ya parametric.
Ni chini ya inning tisa, na mitumbwi miwili na watu wawili juu ya msingi. Timu ya nyumbani inapoteza kwa kukimbia mbili. Batter swings na hits baseball kwa140 miguu kwa pili na kwa pembe ya takriban45° kwa usawa. Je! Mpira utasafiri mbali gani? Je, ni wazi uzio kwa ajili ya mchezo kushinda nyumbani kukimbia? Matokeo yanaweza kutegemea sehemu juu ya mambo mengine (kwa mfano, upepo), lakini wanahisabati wanaweza kuiga njia ya projectile na kutabiri takriban umbali gani utakavyosafiri kwa kutumia milinganyo ya parametric. Katika sehemu hii, tutaweza kujadili milinganyo parametric na baadhi ya maombi ya kawaida, kama vile matatizo projectile mwendo.
Kielelezo8.7.1: Ulinganifu wa parametric unaweza kuiga njia ya projectile. (mikopo: Paul Kreher, Flickr)
Graphing Ulinganifu wa Parametric na Pointi za kupanga
Badala ya calculator ya graphing au programu ya graphing ya kompyuta, pointi za kupanga mipango ya kuwakilisha grafu ya equation ni njia ya kawaida. Muda mrefu kama sisi ni makini katika kuhesabu maadili, njama ya uhakika inategemea sana.
- Jenga meza na nguzo tatu:t,x(t), nay(t).
- Tathminix nay kwa maadili ya tt juu ya muda ambao kazi zinafafanuliwa.
- Panda jozi zinazosababisha(x,y).
Mchoro grafu ya equations parametricx(t)=t2+1,y(t)=2+t.
Suluhisho
Kujenga meza ya maadili kwat,x(t), nay(t), kama katika Jedwali8.7.1, na njama pointi katika ndege.
t | x(t)=t2+1 | y(t)=2+t |
---|---|---|
−5 | 26 | −3 |
−4 | 17 | −2 |
−3 | 10 | −1 |
−2 | 5 | 0 |
−1 | 2 | 1 |
0 | 1 | 2 |
1 | 2 | 3 |
2 | 5 | 4 |
3 | 10 | 5 |
4 | 17 | 6 |
5 | 26 | 7 |
Grafu ni parabola na vertex kwa uhakika(1,2), kufungua kwa haki. Angalia Kielelezo8.7.2.
Kielelezo8.7.2
Uchambuzi
Kama maadili yat maendeleo katika mwelekeo mzuri kutoka0 kwa5, pointi zilizopangwa zinafuatilia nusu ya juu ya parabola. Kama maadili ya laini kuwa hasi, wao hufuatilia nusu ya chini ya parabola. Hakuna vikwazo kwenye kikoa. Mishale zinaonyesha mwelekeo kulingana na kuongezeka kwa maadili yat. Grafu haiwakilishi kazi, kwani itashindwa mtihani wa mstari wa wima. Grafu hutolewa katika sehemu mbili: maadili mazurit, na maadili hasi kwat.
Mchoro grafu ya equations parametricx=√t,y=2t+3,0≤t≤3.
- Jibu
-
Kielelezo8.7.3
Kujenga meza ya maadili kwa equations parametric iliyotolewa na mchoro grafu:
x=2cost
y=4sint
Suluhisho
Kujenga meza kama ile katika Jedwali8.7.2 kwa kutumia angle kipimo katika radians kama pembejeo kwat, na kutathminix nay. Kwa kutumia pembe na inayojulikana sine na cosine maadili kwat hufanya mahesabu rahisi.
t | x=2cost | y=4sint |
---|---|---|
0 | x=2cos(0)=2 | y=4sin(0)=0 |
π6 | x=2cos(π6)=√3 | y=4 \sin(\dfrac{π}{6})=2 |
\dfrac{\pi}{3} | x=2 \cos(\dfrac{\pi}{3})=1 | y=4 \sin(\dfrac{\pi}{3})=2\sqrt{3} |
\dfrac{\pi}{2} | x=2 \cos(\dfrac{\pi}{2})=0 | y=4 \sin(\dfrac{\pi}{2})=4 |
\dfrac{2\pi}{3} | x=2 \cos(\dfrac{2\pi}{3})=−1 | y=4 \sin(\dfrac{2\pi}{3})=2\sqrt{3} |
\dfrac{5\pi}{6} | x=2 \cos(\dfrac{5\pi}{6})=−\sqrt{3} | y=4 \sin(\dfrac{5\pi}{6})=2 |
\pi | x=2 \cos(\pi)=−2 | y=4 \sin(\pi)=0 |
\dfrac{7\pi}{6} | x=2 \cos(\dfrac{7\pi}{6})=−\sqrt{3} | y=4 \sin(\dfrac{7\pi}{6})=−2 |
\dfrac{4\pi}{3} | x=2 \cos(\dfrac{4\pi}{3})=−1 | y=4 \sin(\dfrac{4\pi}{3})=−2\sqrt{3} |
\dfrac{3\pi}{2} | x=2 \cos(\dfrac{3\pi}{2})=0 | y=4 \sin(\dfrac{3\pi}{2})=−4 |
\dfrac{5\pi}{3} | x=2 \cos(\dfrac{5\pi}{3})=1 | y=4 \sin(\dfrac{5\pi}{3})=−2\sqrt{3} |
\dfrac{11\pi}{6} | x=2 \cos(\dfrac{11\pi}{6})=\sqrt{3} | y=4 \sin(\dfrac{11\pi}{6})=−2 |
2\pi | x=2 \cos(2\pi)=2 | y=4 \sin(2\pi)=0 |
Kielelezo\PageIndex{4} kinaonyesha grafu.
Kielelezo\PageIndex{4}
Kwa ulinganifu ulioonyeshwa katika maadili yax nay, tunaona kwamba equations parametric inawakilisha ellipse. duaradufu ni ramani katika mwelekeo kinyume chake kama inavyoonekana na mishale kuonyeshat maadili kuongezeka.
Uchambuzi
Tumeona kwamba equations parametric inaweza graphed na pointi njama. Hata hivyo, calculator ya graphing itaokoa muda na kufunua nuances katika grafu ambayo inaweza kuwa mbaya sana kugundua kutumia mahesabu ya mkono tu. Hakikisha kubadilisha mode kwenye calculator kwa parametric (PAR). Ili kuthibitisha,Y= dirisha linapaswa kuonyesha
\begin{align*} X_{1T} &= \\ Y_{1T} &= \end{align*}
badala yaY_1=.
Grafu milinganyo ya parametric:x=5 \cos t,y=3 \sin t.
- Jibu
-
Kielelezo\PageIndex{5}
Grafu milinganyo ya parametricx=5 \cos t nay=2 \sin t. Kwanza, jenga grafu kwa kutumia pointi za data zinazozalishwa kutoka kwa fomu ya parametric. Kisha grafu fomu ya mstatili wa equation. Linganisha grafu mbili.
Suluhisho
Kujenga meza ya maadili kama ile katika Jedwali\PageIndex{3}.
t | x=5 \cos t | y=2 \sin t |
---|---|---|
0 | x=5 \cos(0)=5 | y=2 \sin(0)=0 |
1 | x=5 \cos(1)≈2.7 | y=2 \sin(1)≈1.7 |
2 | x=5 \cos(2)≈−2.1 | y=2 \sin(2)≈1.8 |
3 | x=5 \cos(3)≈−4.95 | y=2 \sin(3)≈0.28 |
4 | x=5 \cos(4)≈−3.3 | y=2 \sin(4)≈−1.5 |
5 | x=5 \cos(5)≈1.4 | y=2 \sin(5)≈−1.9 |
−1 | x=5 \cos(−1)≈2.7 | y=2 \sin(−1)≈−1.7 |
−2 | x=5 \cos(−2)≈−2.1 | y=2 \sin(−2)≈−1.8 |
−3 | x=5 \cos(−3)≈−4.95 | y=2 \sin(−3)≈−0.28 |
−4 | x=5 \cos(−4)≈−3.3 | y=2 \sin(−4)≈1.5 |
−5 | x=5 \cos(−5)≈1.4 | y=2 \sin(−5)≈1.9 |
Panda(x,y) maadili kutoka meza (Kielelezo\PageIndex{6}).
Kielelezo\PageIndex{6}
Kisha, tafsiri usawa wa parametric kwa fomu ya mstatili. Ili kufanya hivyo, sisi kutatuat kwa aidhax(t) auy(t), na kisha badala ya kujieleza kwat katika equation nyingine. Matokeo yake itakuwa kaziy(x) kama kutatua kwat kama kazi yax, aux(y) kama kutatua kwat kama kazi yay.
\begin{align*} x &= 5 \cos t \\ \dfrac{x}{5} &= \cos t \end{align*}
Kutatua kwa\cos t.
y=2 \sin t
Kutatua kwa\sin t.
\dfrac{y}{2}=\sin t
Kisha, tumia Theorem ya Pythagorean.
\begin{align*} {\cos}^2 t+{\sin}^2 t &=1 \\ {\left(\dfrac{x}{5}\right)}^2+{\left(\dfrac{y}{2}\right)}^2 &= 1 \\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{4} &=1 \end{align*}
Uchambuzi
Katika Kielelezo\PageIndex{7}, data kutoka kwa usawa wa parametric na equation ya mstatili hupangwa pamoja. Equations parametric ni njama katika bluu; grafu kwa equation mstatili ni inayotolewa juu ya parametric katika style dashed rangi nyekundu. Kwa wazi, fomu zote mbili zinazalisha grafu sawa.
Kielelezo\PageIndex{7}
Graph equations parametricx=t+1 nay=\sqrt{t}t≥0,, na sawa mstatiliy=\sqrt{x−1} kwenye mfumo huo kuratibu.
Suluhisho
Kujenga meza ya maadili kwa equations parametric, kama tulivyofanya katika mfano uliopita, na grafuy=\sqrt{t},t≥0 kwenye gridi hiyo, kama katika Kielelezo\PageIndex{8}.
Kielelezo\PageIndex{8}
Uchambuzi
Pamoja na uwanja juu yat vikwazo, sisi tu njama maadili chanya yat. Data ya parametric imewekwa katika bluu na grafu ya equation ya mstatili imepigwa nyekundu. Mara nyingine tena, tunaona kwamba aina mbili zinaingiliana.
Mchoro grafu ya equations parametricx=2 \cos \theta nay=4 \sin \theta, pamoja na equation mstatili kwenye gridi hiyo.
- Jibu
-
Grafu ya equations parametric ni nyekundu na grafu ya equation mstatili hutolewa katika dots bluu juu ya equations parametric.
Kielelezo\PageIndex{9}
Matumizi ya Equations Parametric
Faida nyingi za equations parametric kuwa dhahiri wakati kutumika kutatua matatizo halisi ya dunia. Ingawa milinganyo ya mstatili ndanix nay kutoa picha ya jumla ya njia ya kitu, hazifunua nafasi ya kitu kwa wakati fulani. Equations parametric, hata hivyo, kuonyesha jinsi maadili yax nay mabadiliko kulingana nat, kama eneo la kitu kusonga kwa wakati fulani.
Matumizi ya kawaida ya equations parametric ni kutatua matatizo yanayohusisha mwendo wa projectile. Katika aina hii ya mwendo, kitu kinachukuliwa mbele katika mwelekeo wa juu na kutengeneza angle ya\theta usawa, na kasi ya awali yav_0, na kwa urefuh juu ya usawa.
Njia ya kitu kilichotembea kwa mwelekeo wa\theta usawa, na kasi ya awaliv_0, na kwa urefuh juu ya usawa, hutolewa na
\begin{align*} x &= (v_0 \cos \theta)t \\ y &= −\dfrac{1}{2}gt^2+(v_0 \sin \theta)t+h \end{align*}
ambapog akaunti kwa ajili ya madhara ya mvuto nah ni urefu wa awali wa kitu. Kulingana na vitengo kushiriki katika tatizo, kutumiag=32 ft / s^2 aug=9.8 m / s^2. equation kwax anatoa umbali usawa, na equation kway anatoa umbali wima.
- Umbali wa usawa hutolewa nax=(v_0 \cos \theta)t. Badilisha kasi ya awali ya kitu kwav_0.
- Maneno\cos \theta yanaonyesha angle ambayo kitu kinaendeshwa. Mbadala kwamba angle katika digrii kwa\cos \theta.
- Umbali wa wima hutolewa na formulay=−\dfrac{1}{2}gt^2+(v_0 \sin \theta)t+h. Neno−\dfrac{1}{2}gt^2 linawakilisha athari za mvuto. Kulingana na vitengo kushiriki, kutumiag=32 ft/s^2 aug=9.8 m/s^2. Tena, badala ya kasi ya awali kwav_0, na urefu ambao kitu kilichotolewah.
- Endelea kwa kuhesabu kila neno ili kutatuat.
Tatua tatizo lililowasilishwa mwanzoni mwa sehemu hii. Je, kugonga hit mchezo kushinda nyumbani kukimbia? Kudhani kwamba mpira ni hit na kasi ya awali ya140 miguu kwa sekunde45° kwa pembeni ya kwa usawa, kufanya mawasiliano3 miguu juu ya ardhi.
- Find equations parametric kwa mfano njia ya baseball.
- Wapi mpira baada ya2 sekunde?
- Je! Mpira ni muda gani?
- Je, ni kukimbia nyumbani?
Suluhisho
1. Tumia formula ili kuanzisha equations. Msimamo wa usawa unapatikana kwa kutumia equation ya parametric kwax. Hivyo,
\begin{align*} x &= (v_0 \cos \theta)t \\ x &= (140 \cos(45°))t \end{align*}
Msimamo wa wima unapatikana kwa kutumia equation ya parametric kway. Hivyo,
\begin{align*} y &=−16t^2+(v_0 \sin \theta)t+h \\ y &= −16t^2+(140 \sin(45°))t+3 \end{align*}
2. 2Kuingiza katika equations kupata nafasi usawa na wima ya mpira.
\begin{align*} x &= (140 \cos(45°))(2) \\ x &= 198\space feet \\ y &= −16{(2)}^2+(140 \sin(45°))(2)+3 \\ y &=137\space feet \end{align*}
Baada ya2 sekunde, mpira ni198 miguu mbali na sanduku la batter na137 miguu juu ya ardhi.
3. Kuhesabu muda gani mpira ni katika hewa, tuna kujua wakati itakuwa hit chini, au wakatiy=0. Hivyo,
\begin{align*} y &= −16t^2+(140\sin(45∘))t+3 \\ y &=0 \text{ Set }y(t)=0 \text{ and solve the quadratic.} \\ t &= 6.2173 \end{align*}
Wakatit=6.2173 sekunde, mpira umepiga ardhi. (Equation quadratic inaweza kutatuliwa kwa njia mbalimbali, lakini tatizo hili lilitatuliwa kwa kutumia programu ya hesabu ya kompyuta.)
4. Hatuwezi kuthibitisha kwamba hit ilikuwa kukimbia nyumbani bila kuzingatia ukubwa wa outfield, ambayo inatofautiana kutoka shamba hadi shamba. Hata hivyo, kwa ajili ya unyenyekevu, hebu tufikiri kwamba ukuta wa nje ni400 miguu kutoka sahani ya nyumbani katika sehemu ya kina kabisa ya hifadhi. Hebu pia tufikiri kwamba ukuta ni10 miguu ya juu. Ili kuamua kama mpira unafuta ukuta, tunahitaji kuhesabu jinsi mpira ulivyo juu wakati\(x = 400\) miguu. Hivyo sisi kuweka\(x = 400\), kutatua kwat, na pembejeo tt katikay.
\begin{align*} x &= (140 \cos(45°))t \\ 400 &= (140 \cos(45°))t \\ t &= 4.04 \\ y &= −16{(4.04)}^2+(140 \sin(45°))(4.04)+3 \\ y &= 141.8 \end{align*}
Mpira ni141.8 miguu katika hewa wakati inapoongezeka nje ya ballpark. Ilikuwa kweli kukimbia nyumbani. Angalia Kielelezo\PageIndex{10}.
Kielelezo\PageIndex{10}
Fikia rasilimali zifuatazo za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na grafu za usawa wa parametric.
Dhana muhimu
- Wakati kuna variable ya tatu, parameter ya tatu ambayox nay inategemea, equations parametric inaweza kutumika.
- Ili grafu ya usawa wa parametric kwa pointi za kupanga, fanya meza na nguzo tatu zilizoandikwatx(t),, nay(t). Chagua maadili fort t ili kuongeza. Plot nguzo mbili za mwisho kwax nay. Angalia Mfano\PageIndex{1} na Mfano\PageIndex{2}.
- Wakati wa kuchora safu ya parametric kwa pointi za kupanga njama, angalia maadili ya t yanayohusiana na kuonyesha mishale kwenye grafu inayoonyesha mwelekeo wa curve. Angalia Mfano\PageIndex{3} na Mfano\PageIndex{4}.
- Ulinganisho wa parametric kuruhusu mwelekeo au mwelekeo wa curve kuonyeshwa kwenye grafu. Equations ambayo si kazi inaweza graphed na kutumika katika maombi mengi kuwashirikisha mwendo. Angalia Mfano\PageIndex{5}.
- Mwendo wa projectile unategemea equations mbili parametric:x=(v_0 \cos \theta)t nay=−16t^2+(v_0 \sin \theta)t+h. Kasi ya awali inaashiria kamav_0. \thetainawakilisha angle ya awali ya kitu wakati wa kutupwa, nah inawakilisha urefu ambao kitu kinaendeshwa.