Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

8.6: Ulinganifu wa parametric

Malengo ya kujifunza
  • Parameterize Curve.
  • Ondoa parameter.
  • Kupata equation mstatili kwa Curve defined parametrically.
  • Kupata milinganyo parametric kwa curves inavyoelezwa na milinganyo mstatili

Fikiria njia ya mwezi ifuatavyo kama inavyozunguka sayari, ambayo wakati huo huo huzunguka jua, kama inavyoonekana kwenye Mchoro8.6.1. Wakati wowote, mwezi iko kwenye doa fulani kuhusiana na sayari. Lakini tunaandikaje na kutatua equation kwa nafasi ya mwezi wakati umbali kutoka sayari, kasi ya obiti ya mwezi karibu na sayari, na kasi ya mzunguko kuzunguka jua yote haijulikani? Tunaweza kutatua tu kwa variable moja kwa wakati mmoja.

Mfano wa obiti ya mviringo ya sayari karibu na jua.
Kielelezo8.6.1

Katika sehemu hii, tutazingatia seti ya equations iliyotolewax(t) nay(t) wapit tofauti ya muda. Tunaweza kutumia equations hizi parametric katika idadi ya maombi wakati sisi ni kuangalia kwa si tu nafasi fulani lakini pia mwelekeo wa harakati. Kama sisi kuwaeleza nje maadili mfululizo wat, mwelekeo wa Curve inakuwa wazi. Hii ni moja ya faida za msingi za kutumia equations parametric: tunaweza kufuatilia harakati ya kitu kando ya njia kulingana na wakati. Tunaanza sehemu hii kwa kuangalia vipengele vya msingi vya equations parametric na nini maana ya parameterize curve. Kisha sisi kujifunza jinsi ya kuondoa parameter, kutafsiri equations ya Curve defined parametrically katika equations mstatili, na kupata equations parametric kwa curves defined na equations mstatili.

Parameterizing Curve

Wakati kitu kinachotembea kando ya njia ya curve-au curvilinear-katika mwelekeo fulani na kwa kiasi fulani cha muda, nafasi ya kitu katika ndege hutolewa nax - kuratibu nay - kuratibu. Hata hivyo, wotex nay kutofautiana baada ya muda na hivyo ni kazi ya muda. Kwa sababu hii, tunaongeza variable nyingine, parameter, ambayo wote wawilix nay ni tegemezi kazi. Katika mfano katika kopo ya sehemu, parameter ni wakati,t. xMsimamo wa mwezi kwa wakatit, unawakilishwa kama kazix(t), nay nafasi ya mwezi kwa wakatit, inawakilishwa kama kaziy(t). Pamoja,x(t) nay(t) huitwa equations parametric, na kuzalisha jozi kuamuru(x(t),y(t)). Ulinganifu wa parametric hasa huelezea mwendo na mwelekeo.

Wakati sisi parameterize Curve, sisi ni kutafsiri equation moja katika vigezo mbiliy, kama vilex na, katika jozi sawa ya milinganyo katika vigezo tatux,y, nat. Moja ya sababu sisi parameterize Curve ni kwa sababu milinganyo parametric mavuno habari zaidi: hasa, mwelekeo wa mwendo wa kitu baada ya muda.

Wakati sisi graph milinganyo parametric, tunaweza kuchunguza tabia ya mtu binafsi yax na yay. Kuna idadi ya maumbo ambayo hayawezi kuwakilishwa katika fomuy=f(x), maana yake ni kwamba si kazi. Kwa mfano, fikiria grafu ya mduara, iliyotolewa kamar2=x2+y2. Kutatua kway anatoay=±r2x2, au milinganyo mbili:y1=r2x2 nay2=r2x2. Ikiwa sisi grafuy1 nay2 pamoja, grafu haitapita mtihani wa mstari wa wima, kama inavyoonekana kwenye Mchoro8.6.2. Hivyo, equation kwa grafu ya mduara sio kazi.

Grafu ya mduara katika mfumo wa kuratibu mstatili - mtihani wa mstari wa wima unaonyesha kwamba mduara r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 sio kazi. Mstari wa wima nyekundu unaingiliana na kazi katika maeneo mawili - inapaswa kuingiliana tu mahali pekee kuwa kazi.
Kielelezo8.6.2

Hata hivyo, kama tulikuwa na grafu kila equation peke yake, kila mmoja bila kupita wima line mtihani na kwa hiyo ingekuwa kuwakilisha kazi. Katika baadhi ya matukio, dhana ya kuvunja equation kwa mduara katika kazi mbili ni sawa na dhana ya kujenga equations parametric, kama sisi kutumia kazi mbili kuzalisha yasiyo ya kazi. Hii itakuwa wazi kama sisi kusonga mbele.

MILINGANYO YA PARAMETRI

Tusemet ni idadi ya muda,I. Seti ya jozi zilizoamriwa(x(t),y(t)), wapix=f(t) nay=g(t), huunda safu ya ndege kulingana na parametert. Equationsx=f(t) nay=g(t) ni equations parametric.

Mfano8.6.1: Parameterizing a Curve

Parameterize Curvey=x21 kuruhusux(t)=t. Grafu equations zote mbili.

Suluhisho

Kamax(t)=t, basi kupatay(t) sisi kuchukua nafasi ya variablex na kujieleza iliyotolewa katikax(t). Kwa maneno mengine,y(t)=t21 .Fanya meza ya maadili sawa na Jedwali8.6.1, na mchoro grafu.

Jedwali8.6.1
t x(t) y(t)
\ (t\) ">4 \ (x (t)\) ">4 \ (y (t)\) ">y(4)=(4)21=15
\ (t\) ">3 \ (x (t)\) ">3 \ (y (t)\) ">y(3)=(3)21=8
\ (t\) ">2 \ (x (t)\) ">2 \ (y (t)\) ">y(2)=(2)21=3
\ (t\) ">1 \ (x (t)\) ">1 \ (y (t)\) ">y(1)=(1)21=0
\ (t\) ">0 \ (x (t)\) ">0 \ (y (t)\) ">y(0)=(0)21=1
\ (t\) ">1 \ (x (t)\) ">1 \ (y (t)\) ">y(1)=(1)21=0
\ (t\) ">2 \ (x (t)\) ">2 \ (y (t)\) ">y(2)=(2)21=3
\ (t\) ">3 \ (x (t)\) ">3 \ (y (t)\) ">y(3)=(3)21=8
\ (t\) ">4 \ (x (t)\) ">4 \ (y (t)\) ">y(4)=(4)21=15

Angalia grafu katika Kielelezo8.6.3. Inaweza kuwa na manufaa kwa kutumia TRACE kipengele cha calculator graphing kuona jinsi pointi ni yanayotokana kamat ongezeko.

Grafu ya parabola katika aina mbili: equation parametric na kuratibu mstatili. Ni kazi sawa, njia tofauti za kuandika.
Kielelezo8.6.3: (a) Parametricy(t)=t21 (b) Rectangulary=x21

Uchambuzi

Mishale inaonyesha mwelekeo ambao curve huzalishwa. Taarifa Curve ni sawa na Curve yay=x21.

Zoezi8.6.1

Kujenga meza ya maadili na njama equations parametric:x(t)=t3,y(t)=2t+4;1t2.

Jibu
t x(t) y(t)
\ (t\) ">1 \ (x (t)\) ">4 \ (y (t)\) ">2
\ (t\) ">0 \ (x (t)\) ">3 \ (y (t)\) ">4
\ (t\) ">1 \ (x (t)\) ">2 \ (y (t)\) ">6
\ (t\) ">2 \ (x (t)\) ">1 \ (y (t)\) ">8
imageedit_35_8890172068.png
Kielelezo8.6.4
Mfano8.6.2: Finding a Pair of Parametric Equations

Kupata jozi ya equations parametric kwamba mifano grafu yay=1x2, kwa kutumia parameterx(t)=t. Panda pointi fulani na mchoro grafu.

Suluhisho

Ikiwax(t)=t na sisi badalat yax ndani yay equation, basiy(t)=1t2. Jozi yetu ya equations parametric ni

x(t)=ty(t)=1t2

Kwa grafu equations, kwanza sisi kujenga meza ya maadili kama kwamba katika Jedwali8.6.2. Tunaweza kuchagua maadili karibut=0, kutokat=3 kwat=3. Maadili katikax(t) safu yatakuwa sawa na yale yaliyo kwenyet safu kwa sababux(t)=t. Tumia maadili kwa safuy(t).

Jedwali8.6.2
\ (t) x(t)=t y(t)=1t2
\ (t) ">\ (-3\) \ (x (t) =t\) ">3 \ (y (t) =1,1t^2\) ">y(3)=1(3)2=8
\ (t) ">\ (-2\) \ (x (t) =t\) ">2 \ (y (t) =1,1t^2\) ">y(2)=1(2)2=3
\ (t) ">\ (-1\) \ (x (t) =t\) ">1 \ (y (t) =1,1t^2\) ">y(1)=1(1)2=0
\ (t) ">\ (0\) \ (x (t) =t\) ">0 \ (y (t) =1,1t^2\) ">y(0)=10=1
\ (t) ">\ (1\) \ (x (t) =t\) ">1 \ (y (t) =1,1t^2\) ">y(1)=1(1)2=0
\ (t) ">\ (2\) \ (x (t) =t\) ">2 \ (y (t) =1,1t^2\) ">y(2)=1(2)2=3
\ (t) ">\ (3\) \ (x (t) =t\) ">3 \ (y (t) =1,1t^2\) ">y(3)=1(3)2=8

Grafu yay=1t2 ni parabola inakabiliwa chini, kama inavyoonekana katika Kielelezo8.6.5. Sisi mapped Curve juu ya muda[3,3], umeonyesha kama mstari imara na mishale kuonyesha mwelekeo wa Curve kulingana nat. Mwelekeo inahusu njia kufuatiliwa pamoja Curve katika suala la kuongeza maadili yat. Kama parabola hii inalinganishwa na heshima na mstarix=0, maadili yax yanajitokeza kwenye y -axis.

Grafu ya kupewa chini inakabiliwa parabola.
Kielelezo8.6.5
Zoezi8.6.2

Parameterize Curve iliyotolewa nax=y32y.

Jibu

x(t)=t32t

y(t)=t

Mfano8.6.3: Finding Parametric Equations That Model Given Criteria

Kitu kinasafiri kwa kiwango cha kutosha kwenye njia moja kwa moja(5,3)(3,1) kwenda kwenye ndege moja kwa sekunde nne. Kuratibu hupimwa kwa mita. Pata usawa wa parametric kwa nafasi ya kitu.

Suluhisho

Ulinganisho wa parametric ni maneno rahisi ya mstari, lakini tunahitaji kuona tatizo hili kwa mtindo wa hatua kwa hatua. Thamani ya x ya kitu huanza saa5 mita na inakwenda3 mita. Hii ina maana umbalix umebadilika kwa8 mita katika4 sekunde, ambayo ni kiwango cha8 m4 s, au2 m/s. Tunaweza kuandika x -kuratibu kama kazi linear kwa heshima na wakati kamax(t)=2t5. Katika template linear kaziy=mx+b,2t=mx na5=b.

Vile vile,y thamani ya kitu huanza3 na inakwenda1, ambayo ni mabadiliko katika umbaliy wa4 mita kwa4 sekunde, ambayo ni kiwango cha4 m4 s, au1 m/s. Tunaweza pia kuandika y -kuratibu kama kazi lineary(t)=t+3. Pamoja, haya ni equations parametric kwa nafasi ya kitu, wapix nay ni walionyesha katika mita nat inawakilisha wakati:

x(t)=2t5y(t)=t+3

Kutumia equations hizi, tunaweza kujenga meza ya maadili kwat,x, nay (tazama Jedwali8.6.3). Katika mfano huu, sisi mdogo maadili yat idadi zisizo hasi. Kwa ujumla, thamani yoyote yat inaweza kutumika.

Jedwali8.6.3
t x(t)=2t5 y(t)=t+3
\ (t\) ">0 \ (x (t) =2t-5\) ">x=2(0)5=5 \ (y (t) =-t+3\) ">y=(0)+3=3
\ (t\) ">1 \ (x (t) =2t-5\) ">x=2(1)5=3 \ (y (t) =-t+3\) ">y=(1)+3=2
\ (t\) ">2 \ (x (t) =2t-5\) ">x=2(2)5=1 \ (y (t) =-t+3\) ">y=(2)+3=1
\ (t\) ">3 \ (x (t) =2t-5\) ">x=2(3)5=1 \ (y (t) =-t+3\) ">y=(3)+3=0
\ (t\) ">4 \ (x (t) =2t-5\) ">x=2(4)5=3 \ (y (t) =-t+3\) ">y=(4)+3=1

Kutoka meza hii, tunaweza kuunda grafu tatu, kama inavyoonekana kwenye Kielelezo8.6.6.

Grafu tatu kwa upande. (A) ina nafasi ya usawa baada ya muda, (B) ina nafasi ya wima baada ya muda, na (C) ina nafasi ya kitu katika ndege kwa wakati t. kuona maelezo kwa taarifa zaidi.
Kielelezo8.6.6: (a) Grafu yax vs.t, inayowakilisha nafasi ya usawa kwa muda. (b) Grafu yay vs.t, inayowakilisha nafasi ya wima kwa muda. (c) Grafu yay vs.x, inayowakilisha nafasi ya kitu katika ndege kwa wakatit.

Uchambuzi

Tena, tunaona kwamba, katika Kielelezo8.6.6 (c), wakati parameter inawakilisha wakati, tunaweza kuonyesha harakati ya kitu kando ya njia na mishale.

Kuondoa Parameter

Mara nyingi, tunaweza kuwa na jozi ya milinganyo parametric lakini kupata kwamba ni rahisi kuteka Curve kama equation inahusisha vigezo mbili tu, kama vilex nay. Kuondoa parameter ni njia ambayo inaweza kufanya graphing baadhi curves rahisi. Hata hivyo, ikiwa tuna wasiwasi na ramani ya equation kulingana na wakati, basi itakuwa muhimu kuonyesha mwelekeo wa curve pia. Kuna mbinu mbalimbali za kuondoa parametert kutoka kwa seti ya equations parametric; si kila njia inafanya kazi kwa kila aina ya equation. Hapa tutaangalia njia za aina za kawaida za equations.

Kuondoa Parameter kutoka kwa Ulinganisho wa Polynomial, Kielelezo, na Logarithmic

Kwa milinganyo ya polynomial, kielelezo, au logarithmic iliyoelezwa kama milinganyo miwili ya parametric, tunachagua equation ambayo ni rahisi zaidi manipulated na kutatua kwat. Sisi badala ya kujieleza kusababisha kwat katika equation pili. Hii inatoa equation moja katikax nay.

Mfano8.6.4: Eliminating the Parameter in Polynomials

Kutokanax(t)=t2+1 nay(t)=2+t, kuondoa parameter, na kuandika equations parametric kama equation Cartesian.

Suluhisho

Tutaanza na equation kway sababu equation linear ni rahisi kutatua kwat.

y=2+ty2=t

Next, mbadalay2 kwa ajili yat katikax(t).

x=t2+1x=(y2)2+1Substitute the expression for t into x.x=y24y+4+1x=y24y+5x=y24y+5

Fomu ya Cartesian nix=y24y+5.

Uchambuzi

Hii ni equation kwa parabola ambayo, kwa maneno ya mstatili,x inategemeay. Kutoka vertex ya Curve saa(1,2), graph sweeps nje ya haki. Angalia Kielelezo8.6.7. Katika sehemu hii, tunazingatia seti ya equations iliyotolewax(t) na kazi nay(t), wapit tofauti tofauti ya muda. Taarifa, wotex nay ni kazi ya muda; hivyoy kwa ujumla si kazi yax.

Grafu ya upande uliopewa (kupanua kwa haki) parabola.
Kielelezo8.6.7
Zoezi8.6.3

Kutokana milinganyo chini, kuondoa parameter na kuandika kama equation mstatili kway kama kazi yax.

x(t)=2t2+6y(t)=5t

Jibu

y=512x3

Mfano8.6.5: Eliminating the Parameter in Exponential Equations

Ondoa parameter na uandike kama equation ya Cartesian:x(t)=et nay(t)=3et,t>0.

Suluhisho

Kutengaet.

x=etet=1x

Badilisha maneno katikay(t).

y=3ety=3(1x)y=3x

Fomu ya Cartesian niy=3x.

Uchambuzi

Grafu ya equation ya parametric inavyoonekana kwenye Kielelezo8.6.8a. Uwanja huo umezuiwat>0. Equation Cartesian,y=3x inavyoonekana katika Kielelezo8.6.8b na ina kizuizi kimoja tu kwenye uwanja,x0.

Grafu ya equation ya parametric na kikoa kilichozuiwa kwa t 0, na grafu ya equation hiyo ya parametric katika kuratibu polar na uwanja tu vikwazo kwa x si sawa na 0. Toleo la kuratibu la Cartesian lina tafakari ya ziada ya kazi katika asili katika Q 3 (awali ilikuwa tu katika Q 1)." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...3487926125.png">
Kielelezo8.6.8
Mfano8.6.6: Eliminating the Parameter in Logarithmic Equations

Ondoa parameter na uandike kama equation ya Cartesian:x(t)=t+2 nay(t)=log(t).

Suluhisho

Kutatua equation kwanza kwat.

x=t+2x2=t(x2)2=tSquare both sides.

Kisha, badala ya kujieleza kwat katikay equation.

y=log(t)y=log(x2)2

Fomu ya Cartesian niy=log(x2)2.

Uchambuzi

Ili kuhakikisha kwamba equations parametric ni sawa na equation Cartesian, angalia domains. equations parametric kuzuia uwanja juux=t+2 yat>0; sisi kuzuia uwanja juux yax>2. Domain kwa equation parametricy=log(t) ni vikwazo kwat>0; sisi kikomo kikoa juuy=log(x2)2 yax>2.

Zoezi8.6.4

Ondoa parameter na uandike kama equation ya mstatili.

x(t)=t2y(t)=lntt>0

Jibu

y=lnx

Kuondoa Parameter kutoka kwa Ulinganisho wa Trigonometric

Kuondoa parameter kutoka equations trigonometric ni badala ya moja kwa moja. Tunaweza kutumia chache cha utambulisho wa trigonometric na Theorem ya Pythagorean.

Kwanza, tunatumia utambulisho:

x(t)=acosty(t)=bsint

Kutatua kwacost nasint, tuna

xa=costyb=sint

Kisha, tumia Theorem ya Pythagorean:

cos2t+sin2t=1

Kubadilisha anatoa

cos2t+sin2t=(xa)2+(yb)2=1

Mfano8.6.7: Eliminating the Parameter from a Pair of Trigonometric Parametric Equations

Ondoa parameter kutoka kwa jozi iliyotolewa ya equations trigonometric ambapo0t2π na mchoro grafu.

x(t)=4costy(t)=3sint

Suluhisho

Kutatua kwacost nasint, tuna

x=4costx4=costy=3sinty3=sint

Kisha, tumia utambulisho wa Pythagorean na ufanye mbadala.

cos2t+sin2t=1(x4)2+(y3)2=1x216+y29=1

Grafu ya equation inavyoonekana kwenye Kielelezo8.6.9.

Grafu ya duaradufu kutokana unaozingatia katika (0,0).
Kielelezo8.6.9

Uchambuzi

Kutumia equations jumla kwa ajili ya sehemu conic (kuletwa katika Analytic Jiometri, tunaweza kutambuax216+y29=1 kama duaradufu unaozingatia katika(0,0). Kumbuka kwamba wakatit=0 kuratibu ni(4,0), na wakatit=π2 kuratibu ni(0,3). Hii inaonyesha mwelekeo wa Curve na kuongeza maadili yat.

Zoezi8.6.5

Ondoa parameter kutoka kwa jozi iliyotolewa ya equations parametric na kuandika kama equation Cartesian:x(t)=2cost nay(t)=3sint.

Jibu

x24+y29=1

Kupata Equations Cartesian kutoka Curves Defined Parametrically

Wakati sisi ni kupewa seti ya equations parametric na haja ya kupata sawa Cartesian equation, sisi ni kimsingi “kuondoa parameter.” Hata hivyo, kuna mbinu mbalimbali tunaweza kutumia kuandika upya seti ya milinganyo parametric kama equation Cartesian. Njia rahisi ni kuweka equation moja sawa na parameter, kama vilex(t)=t. Katika kesi hii,y(t) inaweza kuwa maneno yoyote. Kwa mfano, fikiria jozi zifuatazo za equations.

x(t)=ty(t)=t23

Kuandika upya seti hii ya equations parametric ni suala la kubadilixt. Hivyo, equation Cartesian niy=x23.

Mfano8.6.8: Finding a Cartesian Equation Using Alternate Methods

Tumia mbinu mbili tofauti ili kupata equation ya Cartesian sawa na seti iliyotolewa ya milinganyo ya parametric.

x(t)=3t2y(t)=t+1

Suluhisho

Njia ya 1. Kwanza, hebu kutatuax equation kwat. Kisha tunaweza kubadilisha matokeo katikay equation.

x=3t2x+2=3tx+23=t

Sasa badala ya kujieleza kwat ndani yay equation.

y=t+1y=(x+23)+1y=x3+23+1y=13x+53

Njia ya 2. Kutatuay equation kwat na mbadala maneno haya katikax equation.

y=t+1y1=t

Fanya badala na kisha utatuey.

x=3(y1)2x=3y32x=3y5x+5=3yx+53=yy=13x+53

Zoezi8.6.6

Andika equations parametric iliyotolewa kama equation Cartesian:x(t)=t3 nay(t)=t6.

Jibu

y=x2

Kutafuta equations Parametric kwa Curves Inafafanuliwa na Equations

Ingawa tumeonyesha tu kwamba kuna njia moja tu ya kutafsiri seti ya milinganyo ya parametric kama equation mstatili, kuna njia nyingi za kutafsiri equation mstatili kama seti ya milinganyo parametric. Mkakati wowote tunaweza kutumia ili kupata milinganyo parametric ni halali kama inazalisha equivalency. Kwa maneno mengine, kama sisi kuchagua kujieleza kuwakilishax, na kisha badala yake katikay equation, na inazalisha grafu sawa juu ya uwanja huo kama equation mstatili, basi seti ya milinganyo parametric ni halali. Ikiwa uwanja unazuia katika seti ya usawa wa parametric, na kazi hairuhusu maadili sawax kama uwanja wa equation mstatili, basi grafu zitakuwa tofauti.

Mfano8.6.9: Finding a Set of Parametric Equations for Curves Defined by Rectangular Equations

Kupata seti ya sawa parametric milinganyo kway=(x+3)2+1.

Suluhisho

Uchaguzi dhahiri itakuwa kuruhusux(t)=t. Kishay(t)=(t+3)2+1. Lakini hebu jaribu kitu cha kuvutia zaidi. Nini kama sisi basix=t+3? Kisha tuna

y=(x+3)2+1y=((t+3)+3)2+1y=(t+6)2+1

Seti ya equations parametric ni

x(t)=t+3y(t)=(t+6)2+1

Angalia Kielelezo8.6.10.

Grafu ya matoleo ya kuratibu parametric na mstatili ya parabola sawa - ni sawa!
Kielelezo8.6.10
Media

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na usawa wa parametric.

  • Utangulizi wa Equations Parametric
  • Kubadilisha Ulinganisho wa Parametric kwa Fomu ya

Dhana muhimu

  • Parameterizing Curve inahusisha kutafsiri equation mstatili katika vigezo mbiliy,x na, katika equations mbili katika vigezo tatux,y,, nat. Mara nyingi, habari zaidi hupatikana kutoka kwa seti ya equations parametric. Angalia Mfano8.6.1, Mfano8.6.2, na Mfano8.6.3.
  • Wakati mwingine equations ni rahisi kwa grafu wakati imeandikwa katika fomu ya mstatili. Kwa kuondoat, equation katikax nay ni matokeo.
  • Kuondoat, kutatua moja ya equations kwat, na badala ya kujieleza katika equation ya pili. Angalia Mfano8.6.4, Mfano8.6.5, Mfano8.6.6, na Mfano8.6.7.
  • Kupata equation mstatili kwa Curve defined parametrically kimsingi ni sawa na kuondoa parameter. Kutatua kwat katika moja ya equations, na badala ya kujieleza katika equation pili. Angalia Mfano8.6.8.
  • Kuna idadi isiyo na kipimo ya njia za kuchagua seti ya milinganyo ya parametric kwa safu inayofafanuliwa kama equation ya mstatili.
  • Pata maelezo kwax vile uwanja wa seti ya equations parametric bado sawa na equation ya awali ya mstatili. Angalia Mfano8.6.9.