4.2: Kazi ya Usambazaji wa Uwezekano (PDF) kwa kutofautiana kwa Random

Kazi ya usambazaji wa uwezekano wa discrete ina sifa mbili:

1. Kila uwezekano ni kati ya sifuri na moja, umoja.
2. Jumla ya probabilities ni moja.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Mwanasaikolojia wa mtoto anavutiwa na idadi ya mara kilio cha mtoto wachanga kinachomfufua mama yake baada ya usiku wa manane. Kwa sampuli ya random ya mama 50, habari zifuatazo zilipatikana. Hebu idadi\(X =\) ya mara kwa wiki kilio cha mtoto wachanga kinamsha mama yake baada ya usiku wa manane. Kwa mfano huu,\(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

\(P(x) =\)uwezekano kwamba\(X\) inachukua thamani\(x\).

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\) "> 0	\ (P (x)\) ">\(P(x = 0) = \dfrac{2}{50}\)
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) ">\(P(x = 1) = \dfrac{11}{50}\)
\ (x\) "> 2	\ (P (x)\) ">\(P(x = 2) = \dfrac{23}{50}\)
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) ">\(P(x = 3) = \dfrac{9}{50}\)
\ (x\) ">4	\ (P (x)\) ">\(P(x = 4) = \dfrac{4}{50}\)
\ (x\) "> 5	\ (P (x)\) ">\(P(x = 5) = \dfrac{1}{50}\)

\(X\)inachukua maadili 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hii ni PDF ya kipekee kwa sababu:

1. Kila\(P(x)\) ni kati ya sifuri na moja, umoja.
2. Jumla ya probabilities ni moja, yaani,

\[\dfrac{2}{50} + \dfrac{11}{50} + \dfrac{23}{50} + \dfrac{9}{50} + \dfrac{4}{50} + \dfrac{1}{50} = 1\]

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Mtafiti wa hospitali anavutiwa na idadi ya mara mgonjwa wa wastani baada ya op atapiga muuguzi wakati wa mabadiliko ya saa 12. Kwa sampuli ya random ya wagonjwa 50, habari zifuatazo zilipatikana. Hebu idadi\(X =\) ya mara mgonjwa hupiga muuguzi wakati wa mabadiliko ya saa 12. Kwa zoezi hili,\(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5\). \(P(x) =\)uwezekano kwamba\(X\) inachukua thamani\(x\). Kwa nini hii ni kazi ya usambazaji wa uwezekano wa kutosha (sababu mbili)?

\(X\)	\(P(x)\)
\ (X\) "> 0	\ (P (x)\) ">\(P(x = 0) = \dfrac{4}{50}\)
\ (X\) ">1	\ (P (x)\) ">\(P(x = 1) = \dfrac{8}{50}\)
\ (X\) "> 2	\ (P (x)\) ">\(P(x = 2) = \dfrac{16}{50}\)
\ (X\) ">3	\ (P (x)\) ">\(P(x = 3) = \dfrac{14}{50}\)
\ (X\) ">4	\ (P (x)\) ">\(P(x = 4) = \dfrac{6}{50}\)
\ (X\) "> 5	\ (P (x)\) ">\(P(x = 5) = \dfrac{2}{50}\)

Jibu

Kila\(P(x)\) ni kati ya 0 na 1, umoja, na jumla ya probabilities ni 1, yaani:

\[\dfrac{4}{50} + \dfrac{8}{50} +\dfrac{16}{50} +\dfrac{14}{50} +\dfrac{6}{50} + \dfrac{2}{50} = 1\]

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Tuseme Nancy ana madarasa siku tatu kwa wiki. Anahudhuria madarasa siku tatu kwa wiki 80% ya muda, siku mbili 15% ya muda, siku moja 4% ya muda, na hakuna siku 1% ya wakati. Tuseme wiki moja ni nasibu kuchaguliwa.

1. Hebu\(X\) = idadi ya siku Nancy ____________________.
2. \(X\)inachukua nini maadili?
3. Tuseme wiki moja imechaguliwa kwa nasibu. Kujenga uwezekano usambazaji meza (inayoitwa meza PDF) kama moja katika Mfano. Jedwali linapaswa kuwa na nguzo mbili zilizoandikwa\(x\) na\(P(x)\). Je,\(P(x)\) safu ya jumla ni nini?

Solutions

a. hebu\(X\) = idadi ya siku Nancy anahudhuria darasa kwa wiki.

b. 0, 1, 2, na 3

c

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\) "> 0	\ (P (x)\) "> 0.01
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) "> 0.04
\ (x\) "> 2	\ (P (x)\) "> 0.15
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) "> 0.80

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Yeremia ana mazoezi ya mpira wa kikapu siku mbili kwa wiki. Asilimia tisini ya muda, anahudhuria mazoea yote mawili. Asilimia nane ya muda, anahudhuria mazoezi moja. Asilimia mbili ya muda, yeye hahudhuria mazoezi yoyote. Je, ni X na ni maadili gani yanachukua?

Jibu

\(X\)ni idadi ya siku Yeremia anahudhuria mazoezi ya mpira wa kikapu kwa wiki. X inachukua maadili 0, 1, na 2.

Mapitio

tabia ya uwezekano usambazaji kazi (PDF) kwa discrete random variable ni kama ifuatavyo:

1. Kila uwezekano ni kati ya sifuri na moja, umoja (umoja ina maana ya kuingiza sifuri na moja).
2. Jumla ya probabilities ni moja.

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi tano yafuatayo: Kampuni inataka kutathmini kiwango cha upungufu wake, kwa maneno mengine, kwa muda gani wafanyakazi wapya hukaa na kampuni. Kwa miaka mingi, wameanzisha usambazaji wa uwezekano wafuatayo.

Hebu idadi\(X =\) ya miaka kukodisha mpya itabaki na kampuni.

Hebu\(P(x) =\) uwezekano kwamba kukodisha mpya kukaa na kampuni x miaka.

Zoezi 4.2.3

Jedwali kamili kwa kutumia data iliyotolewa.

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\) "> 0	\ (P (x)\) "> 0.12
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) "> 0.18
\ (x\) "> 2	\ (P (x)\) "> 0.30
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) "> 0.15
\ (x\) ">4	\ (P (x)\) ">
\ (x\) "> 5	\ (P (x)\) "> 0.10
\ (x\) ">6	\ (P (x)\) "> 0.05

Jibu

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\) "> 0	\ (P (x)\) "> 0.12
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) "> 0.18
\ (x\) "> 2	\ (P (x)\) "> 0.30
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) "> 0.15
\ (x\) ">4	\ (P (x)\) "> 0.10
\ (x\) "> 5	\ (P (x)\) "> 0.10
\ (x\) ">6	\ (P (x)\) "> 0.05

Zoezi 4.2.4

\(P(x = 4) =\)_______

Zoezi 4.2.5

\(P(x \geq 5) =\)_______

Jibu

0.10 + 0.05 = 0.15

Zoezi 4.2.6

Kwa wastani, unatarajia muda gani kukodisha mpya kukaa na kampuni?

Zoezi 4.2.7

Je, safu “P (x)” inajumuisha nini?

Jibu

1

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi sita yafuatayo: Mwokaji anaamua ngapi makundi ya muffins kufanya kuuza katika mkate wake. Anataka kufanya kutosha kuuza kila mmoja na si wachache. Kupitia uchunguzi, mwokaji ameanzisha usambazaji wa uwezekano.

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) "> 0.15
\ (x\) "> 2	\ (P (x)\) "> 0.35
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) "> 0.40
\ (x\) ">4	\ (P (x)\) "> 0.10

Zoezi 4.2.8

Eleza kutofautiana kwa random\(X\).

Zoezi 4.2.9

Je! Ni uwezekano gani mwokaji atauza kundi zaidi ya moja? \(P(x > 1) =\)_______

Jibu

0.35 + 0.40 + 0.10 = 0.85

Zoezi 4.2.10

Je! Ni uwezekano gani mwokaji atauza kundi moja hasa? \(P(x = 1) =\)_______

Zoezi 4.2.11

Kwa wastani, ni makundi ngapi ambayo mwokaji anapaswa kufanya?

Jibu

1 (0.15) + 2 (0.35) + 3 (0.40) + 4 (0.10) = 0.15 + 0.70 + 1.20 + 0.40 = 2.45

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi manne yafuatayo: Ellen ana mazoezi ya muziki siku tatu kwa wiki. Yeye hufanya kwa siku zote tatu 85% ya muda, siku mbili 8% ya muda, siku moja 4% ya muda, na hakuna siku 3% ya muda. Wiki moja huchaguliwa kwa random.

Zoezi 4.2.12

Eleza kutofautiana kwa random\(X\).

Zoezi 4.2.13

Kujenga uwezekano usambazaji meza kwa data.

Jibu

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\) "> 0	\ (P (x)\) "> 0.03
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) "> 0.04
\ (x\) "> 2	\ (P (x)\) "> 0.08
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) "> 0.85

Zoezi 4.2.14

Tunajua kwamba kwa uwezekano usambazaji kazi kuwa discrete, ni lazima kuwa na sifa mbili. Moja ni kwamba jumla ya probabilities ni moja. Tabia nyingine ni nini?

Tumia habari zifuatazo kujibu mazoezi tano zifuatazo: Javier kujitolea katika matukio ya jamii kila mwezi. Hafanyi matukio zaidi ya tano kwa mwezi. Yeye huhudhuria hasa matukio tano 35% ya muda, matukio manne 25% ya muda, matukio matatu 20% ya muda, matukio mawili 10% ya muda, tukio moja 5% ya muda, na hakuna matukio 5% ya muda.

Zoezi 4.2.15

Eleza kutofautiana kwa random\(X\).

Jibu

Hebu idadi\(X =\) ya matukio ya Javier kujitolea kwa kila mwezi.

Zoezi 4.2.16

Je! Maadili gani\(x\) huchukua?

Zoezi 4.2.17

Kujenga meza PDF.

Jibu

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\) "> 0	\ (P (x)\) "> 0.05
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) "> 0.05
\ (x\) "> 2	\ (P (x)\) "> 0.10
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) "> 0.20
\ (x\) ">4	\ (P (x)\) "> 0.25
\ (x\) "> 5	\ (P (x)\) "> 0.35

Zoezi 4.2.18

Pata uwezekano kwamba Javier kujitolea kwa matukio chini ya tatu kila mwezi. \(P(x < 3) =\)_______

Zoezi 4.2.19

Pata uwezekano kwamba Javier kujitolea kwa angalau tukio moja kila mwezi. \(P(x > 0) =\)_______

Jibu

1 — 0.05 = 0.95

faharasa

Kazi ya Usambazaji wa Uwezekano (PDF)

maelezo ya hisabati ya kipekee random variable (RV), kutokana ama katika mfumo wa equation (formula) au katika mfumo wa meza orodha matokeo yote ya uwezekano wa majaribio na uwezekano kuhusishwa na kila matokeo.