12.3: Usambazaji wa F na Uwiano wa F
- Page ID
- 179296
Usambazaji uliotumiwa kwa mtihani wa hypothesis ni mpya. Inaitwa F-distribution, iliyobuniwa na George Snedecor lakini jina lake kwa heshima ya Sir Ronald Fisher, mwanatakwimu wa Kiingereza. \(F\)Takwimu ni uwiano (sehemu). Kuna seti mbili za digrii za uhuru; moja kwa namba na moja kwa denominator.
Kwa mfano, kama\(F\) ifuatavyo\(F\) usambazaji na idadi ya digrii za uhuru kwa nambari ni nne, na idadi ya digrii za uhuru kwa denominator ni kumi, basi\(F \sim F_{4,10}\).
Ili kuhesabu\(\bf{F}\) uwiano, makadirio mawili ya ugomvi yanafanywa.
- Ubaguzi kati ya sampuli: makadirio ya\(\sigma^2\) kwamba ni ugomvi wa sampuli ina maana kuzidisha kwa\(n\) (wakati ukubwa sampuli ni sawa.). Kama sampuli ni ukubwa tofauti, ugomvi kati ya sampuli ni mizigo kwa akaunti kwa ukubwa tofauti sampuli. Ugomvi pia huitwa tofauti kutokana na matibabu au tofauti iliyoelezwa.
- Tofauti ndani ya sampuli: makadirio ya\(\sigma^2\) kwamba ni wastani wa variances sampuli (pia inajulikana kama ugomvi pamoja). Wakati ukubwa wa sampuli ni tofauti, ugomvi ndani ya sampuli ni mizigo. Ugomvi pia huitwa tofauti kutokana na hitilafu au tofauti isiyoelezewa.
- \(SS_{between}\)ni jumla ya mraba ambayo inawakilisha tofauti kati ya sampuli mbalimbali
- \(SS_{within}\)ni jumla ya mraba ambayo inawakilisha tofauti ndani ya sampuli kwamba ni kutokana na nafasi.
Ili kupata “jumla ya mraba” inamaanisha kuongeza kiasi cha mraba ambacho, wakati mwingine, kinaweza kupimwa. Tulitumia jumla ya mraba kuhesabu sampuli ugomvi na sampuli kiwango kupotoka katika Jedwali 1.19.
MS ina maana "maana ya mraba.” \(MS_{between}\)ni ugomvi kati ya makundi, na\(MS_{within}\) ni ugomvi ndani ya makundi.
Uhesabuji wa Jumla ya Viwanja na Mraba ya
- \(k\)ni idadi ya makundi tofauti
- \(n_j\)ni ukubwa wa\(j^{th}\) kikundi
- \(s_j\)= jumla ya maadili katika\(j^{th}\) kikundi
- \(n\)ni jumla ya idadi ya maadili yote pamoja (jumla ya sampuli ukubwa:\(\Sigma n_{j}\))
- \(x\)ni thamani moja:\[\sum x=\sum s_{j} \nonumber\]
- Jumla ya mraba ya maadili yote kutoka kila kikundi pamoja:\[\sum x^{2} \nonumber\]
- Kati ya tofauti ya kikundi:\[SS_{total} =\sum x^{2}-\frac{\left(\sum x^{2}\right)}{n} \nonumber\]
- Jumla ya mraba:\[\sum x^{2}-\frac{\left(\sum x\right)^{2}}{n} \nonumber \]
- Explained tofauti: Jumla ya mraba anayewakilisha tofauti kati ya sampuli mbalimbali:
\[SS_{between} =\sum\left[\frac{\left(s_{j}\right)^{2}}{n_{j}}\right]-\frac{\left(\sum s_{j}\right)^{2}}{n} \nonumber\] - Tofauti isiyoelezewa: Jumla ya mraba anayewakilisha tofauti ndani ya sampuli kutokana na nafasi:\[S S_{\text { within }}=S S_{\text { total }}-S S_{\text { between }} \nonumber\]
- \(df\)'s kwa makundi tofauti (\(df\)ya nambari):\[df = k – 1 \nonumber\]
- Equation kwa makosa ndani ya sampuli (\(df\)'s kwa denominator):\[df_{within} = n – k \nonumber\]
- Maana mraba (ugomvi makadirio) alielezea na makundi mbalimbali:\[M S_{\text { between }}=\frac{S S_{\text { between }}}{d f_{\text { between }}} \nonumber\]
- Maana mraba (ugomvi makadirio) kwamba ni kutokana na nafasi (unexplained):\[M S_{\mathrm{within}}=\frac{S S_{\mathrm{within}}}{d f_{\mathrm{within}}} \nonumber\]
\(MS_{between}\)na\(MS_{within}\) inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
\[\begin{align*} M S_{\mathrm{between}} & =\frac{S S_{\mathrm{between}}}{d f_{\mathrm{between}}}=\frac{S S_{\mathrm{between}}}{k-1} \\[4pt] M S_{within} &=\frac{SS_{w ithin}}{df_{within}}=\frac{SS_{within}}{n-k}\end{align*} \]
Mtihani wa ANOVA wa njia moja unategemea ukweli ambao\(M S_{between}\) unaweza kuathiriwa na tofauti za idadi ya watu kati ya njia za vikundi kadhaa. Kwa kuwa\(M S_{within}\) inalinganisha maadili ya kila kikundi kwa kundi lake linamaanisha, ukweli kwamba maana ya kikundi huenda ikawa tofauti haiathiri\(M S_{within}\).
hypothesis null anasema kwamba makundi yote ni sampuli kutoka kwa watu kuwa sawa usambazaji wa kawaida. hypothesis mbadala inasema kwamba angalau makundi mawili ya sampuli hutoka kwa watu wenye mgawanyo tofauti wa kawaida. Kama hypothesis null ni kweli,\(M S_{between}\) na\(M S_{within}\) lazima wote makisio thamani sawa.
Kumbuka
Nadharia tete ya null inasema kuwa njia zote za idadi ya watu ni sawa. Nadharia tete ya njia sawa ina maana kwamba idadi ya watu wana usambazaji sawa wa kawaida, kwa sababu inadhaniwa kuwa idadi ya watu ni ya kawaida na kwamba wana tofauti sawa.
Ufafanuzi: Uwiano wa F au Takwimu za F
\[F=\frac{M S_{\text { between }}}{M S_{\text { within }}}\]
Ikiwa\(M S_{between}\) na\(M S_{within}\) kukadiria thamani sawa (kufuata imani ambayo\(H_0\) ni kweli), basi\(F\) -uwiano unapaswa kuwa takriban sawa na moja. Zaidi, makosa tu sampuli ingekuwa kuchangia tofauti mbali na moja. Kama ni zamu nje,\(M S_{between}\) lina ugomvi idadi ya watu pamoja ugomvi zinazozalishwa kutoka tofauti kati ya sampuli. \(M S_{within}\)ni makadirio ya ugomvi idadi ya watu. Kwa kuwa tofauti ni daima chanya, ikiwa hypothesis ya null ni ya uongo, kwa ujumla\(M S_{between}\) itakuwa kubwa kuliko\(MS_{within}\) .Kisha\(F\) uwiano utakuwa mkubwa kuliko moja. Hata hivyo, ikiwa athari ya idadi ya watu ni ndogo, haiwezekani kuwa\(M S_{within}\) itakuwa kubwa katika sampuli iliyotolewa.
Mahesabu yaliyotangulia yalifanyika na makundi ya ukubwa tofauti. Ikiwa vikundi ni ukubwa sawa, mahesabu yanapunguza kiasi fulani na uwiano wa F unaweza kuandikwa kama:
Mfumo wa Uwiano wa F wakati vikundi vina ukubwa sawa
Mahesabu yaliyotangulia yalifanyika na makundi ya ukubwa tofauti. Ikiwa vikundi ni ukubwa sawa, mahesabu yanapunguza kiasi fulani na uwiano wa F unaweza kuandikwa kama
\[F=\frac{n \cdot s_{\overline{x}}^{2}}{s^{2}_{ pooled }}\]
wapi
- \(n\)= ukubwa wa sampuli
- \(d f_{\text {numerator}}=k-1\)
- \(d f_{\text {denominator}}=n-k\)
- \(s_{pooled}^2\)= maana ya tofauti za sampuli (ugomvi uliogawanyika)
- \(s_{\overline x}^2\)= tofauti ya njia za sampuli
Data ni kawaida kuweka katika meza kwa ajili ya kuangalia rahisi. Matokeo ya njia moja ya ANOVA mara nyingi huonyeshwa kwa namna hii kwa programu ya kompyuta.
| Chanzo cha tofauti | Jumla ya mraba (\(SS\)) | Degrees ya uhuru (\(df\)) | Maana mraba (\(MS\)) | \(F\) |
|---|---|---|---|---|
| Factor (Kati) |
\ (SS\) ">\(SS\) (Factor) | \ (df\) ">\(k – 1\) | \ (MS\)) ">\(MS(Factor) = \dfrac{SS(Factor)}{k– 1}\) | \ (F\) ">\(F = \dfrac{MS(Factor)}{MS(Error)}\) |
| Hitilafu (Ndani) |
\ (SS\) ">\(SS\) (Hitilafu) | \ (df\) ">\(n – k\) | \ (MS\)) ">\(MS(Error) = \dfrac{SS(Error)}{n – k}\) | \ (F\) "> |
| Jumla | \ (SS\) ">\(SS\) (Jumla) | \ (df\) ">\(n – 1\) | \ (MS\)) "> | \ (F\) "> |
Mfano 12.2
Mipango mitatu tofauti ya chakula inapaswa kupimwa kwa kupoteza uzito wa maana. Maingizo katika meza ni kupoteza uzito kwa mipango tofauti. Matokeo ya njia moja ya ANOVA yanaonyeshwa kwenye Jedwali\(\PageIndex{2}\).
| Mpango wa 1:\(n_1 = 4\) | Mpango wa 2:\(n_2 = 3\) | Mpango wa 3:\(n_3 = 3\) |
|---|---|---|
| \ (n_1 = 4\) "> 5 | \ (n_2 = 3\) "> 3.5 | \ (n_3 = 3\) ">8 |
| \ (n_1 = 4\) "> 4.5 | \ (n_2 = 3\) ">7 | \ (n_3 = 3\) "> 4 |
| \ (n_1 = 4\) "> 4 | \ (n_2 = 3\) "> | \ (n_3 = 3\) "> 3.5 |
| \ (n_1 = 4\) ">3 | \ (n_2 = 3\) "> 4.5 | \ (n_3 = 3\) "> |
\(s_{1}=16.5, s_{2}=15, s_{3}=15.5\)
Kufuatia ni mahesabu yanahitajika kujaza meza ya njia moja ya ANOVA. Jedwali hutumiwa kufanya mtihani wa hypothesis.
\[\begin{align*} S(\text { between }) &=\sum\left[\frac{\left(s_{j}\right)^{2}}{n_{j}}\right]-\frac{\left(\displaystyle \sum s_{j}\right)^{2}}{n} \\[4pt] &=\frac{s_{1}^{2}}{4}+\frac{s_{2}^{2}}{3}+\frac{s_{3}^{2}}{3}-\frac{\left(s_{1}+s_{2}+s_{3}\right)^{2}}{10}\end{align*}\]
wapi\(n_{1}=4, n_{2}=3, n_{3}=3\) na\(n=n_{1}+n_{2}+n_{3}=10\).
\[\begin{align*} S(\text { between }) &= \frac{(16.5)^{2}}{4}+\frac{(15)^{2}}{3}+\frac{(15.5)^{2}}{3}-\frac{(16.5+15+15.5)^{2}}{10} \\[4pt] &=2.2458 \\[4pt] S(\text {total}) &=\sum x^{2}-\frac{\left(\sum x\right)^{2}}{n} \\[4pt] &=\left(5^{2}+4.5^{2}+4^{2}+3^{2}+3.5^{2}+7^{2}+4.5^{2}+8^{2}+4^{2}+3.5^{2}\right) -\frac{(5+4.5+4+3+3.5+7+4.5+8+4+3.5)^{2}}{10}\\[4pt] &=244-\frac{47^{2}}{10} \\[4pt] &=244-220.9 \\[4pt] & =23.1 \\[4pt] S(\text {within}) & = S(\text {total})-S S(\text {between}) \\[4pt] &=23.1-2.2458 \\[4pt] &=20.8542 \end{align*}\]
| Chanzo cha tofauti | Jumla ya mraba (\(SS\)) | Degrees ya uhuru (\(df\)) | Maana mraba (\(MS\)) | \(F\) |
|---|---|---|---|---|
| Factor (Kati) |
\ (SS\) ">\(SS(Factor) = SS(Between) \\= 2.2458\) | \ (df\) ">\(k – 1 = 3 groups – 1 \\= 2\) | \ (MS\)) ">\(MS(Factor) = \dfrac{SS(Factor)}{k – 1} \\= 2.2458/2 \\= 1.1229\) | \ (F\) ">\(F = \dfrac{MS(Factor)}{MS(Error)} \\ = \dfrac{1.1229}{2.9792} \\= 0.3769\) |
| Hitilafu (Ndani) |
\ (SS\) ">\(SS(Error) = SS(Within) \\ = 20.8542\) | \ (df\) ">\(n – k = 10 total data – 3 groups \\= 7\) | \ (MS\)) ">\(MS(Error) = \dfrac{SS(Error)}{n – k} \\= \dfrac{20.8542}{7} \\= 2.9792\) | \ (F\) "> |
| Jumla | \ (SS\) ">\(SS(Total) = 2.2458 + 20.8542 \\= 23.1\) | \ (df\) ">\(n – 1 = 10 total data – 1 \\= 9\) | \ (MS\)) "> | \ (F\) "> |
Zoezi 12.2
Kama sehemu ya majaribio ya kuona jinsi aina tofauti za kifuniko cha udongo ingeathiri uzalishaji wa nyanya, wanafunzi wa Chuo cha Marist walikua mimea ya nyanya chini ya hali tofauti za udongo. Vikundi vya mimea mitatu kila mmoja alikuwa na moja ya matibabu yafuatayo
- udongo tupu
- cover ya ardhi ya kibiashara
- plastiki nyeusi
- mrija
- mbolea
Mimea yote ilikua chini ya hali hiyo na ilikuwa aina moja. Wanafunzi waliandika uzito (kwa gramu) ya nyanya zinazozalishwa na kila mimea n = 15:
| Bare:\(n_1 = 3\) | Jalada la ardhi:\(n_2 = 3\) | Plastiki:\(n_3 = 3\) | Majani:\(n_4 = 3\) | Mbolea:\(n_5 = 3\) |
|---|---|---|---|---|
| \ (n_1 = 3\) "> 2,625 | \ (n_2 = 3\) "> 5,348 | \ (n_3 = 3\) "> 6,583 | \ (n_4 = 3\) ">7,285 | \ (n_5 = 3\) "> 6,277 |
| \ (n_1 = 3\) "> 2,997 | \ (n_2 = 3\) "> 5,682 | \ (n_3 = 3\) "> 8,560 | \ (n_4 = 3\) "> 6,897 | \ (n_5 = 3\) ">7,818 |
| \ (n_1 = 3\) "> 4,915 | \ (n_2 = 3\) "> 5,482 | \ (n_3 = 3\) "> 3,830 | \ (n_4 = 3\) "> 9,230 | \ (n_5 = 3\) "> 8,677 |
Unda meza ya njia moja ya ANOVA.
Njia moja ya ANOVA hypothesis mtihani daima ni haki-tailed kwa sababu kubwa\(F\) -maadili ni njia ya nje katika mkia wa kulia wa Curve F -usambazaji na huwa na kufanya sisi kukataa\(H_0\).
Mfano 12.3
Hebu kurudi kwenye zoezi la nyanya ya slicing katika Jaribu. Njia za mazao ya nyanya chini ya hali tano za kuunganisha zinawakilishwa na\(\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}, \mu_{4}, \mu_{5}\). Tutafanya mtihani wa hypothesis kuamua kama njia zote ni sawa au angalau moja ni tofauti. Kutumia kiwango cha umuhimu wa 5%, mtihani hypothesis ya null kwamba hakuna tofauti katika mavuno ya maana kati ya makundi matano dhidi ya nadharia mbadala kwamba angalau maana moja ni tofauti na wengine.
- Jibu
-
Nadharia null na mbadala ni:
\(H_{0} : \mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=\mu_{4}=\mu_{5}\)
\(H_{a} : \mu_{i} \neq \mu_{j}\)baadhi\(i \neq j\)
Matokeo ya njia moja ya ANOVA yanaonyeshwa katika Jedwali\(\PageIndex{5}\)
Jedwali\(\PageIndex{5}\) Chanzo cha tofauti Jumla ya mraba (\(SS\)) Degrees ya uhuru (\(df\)) Maana mraba (\(MS\)) F Factor (Kati) \ (SS\)” > 36,648,561 \ (df\) ">\(5 – 1 = 4\) \ (MS\)) ">\(\frac{36,648,561}{4}=9,162,140\) \(\frac{9,162,140}{2,044,672.6}=4.4810\) Hitilafu (Ndani) \ (SS\)) "> 20,446,726 \ (df\) ">\(15 – 5 = 10\) \ (MS\))” class="mt-align-center">\(\frac{20,446,726}{10}=2,044,672.6\) Jumla \ (SS\)” > 57,095,287 \ (df\) ">\(15 – 1 = 14\) \ (MS\)) "> Usambazaji kwa mtihani:\(F_{4,10}\)
\(df(num) = 5 – 1 = 4\)
\(df(denom) = 15 – 5 = 10\)
Takwimu za mtihani:\(F = 4.4810\)
Kielelezo\(\PageIndex{1}\) Taarifa ya Uwezekano:\(p\text{-value }= P(F > 4.481) = 0.0248.\)
Linganisha\(\bf{\alpha}\) na\(\bf p\) -thamani:\(\alpha = 0.05\),\(p\text{-value }= 0.0248\)
Kufanya uamuzi: Tangu\(\alpha > p\) -value, hatuwezi kukubali\(H_0\).
Hitimisho: Katika kiwango cha umuhimu wa 5%, tuna ushahidi wenye nguvu kwamba tofauti katika mazao ya wastani ya kukata mimea ya nyanya iliyopandwa chini ya hali tofauti za kuunganisha haziwezekani kuwa kutokana na nafasi pekee. Tunaweza kuhitimisha kwamba angalau baadhi ya mulches imesababisha mavuno tofauti maana.
Zoezi 12.3
MRSA, au Staphylococcus aureus, inaweza kusababisha maambukizi makubwa ya bakteria katika wagonjwa wa hospitali. Jedwali\(\PageIndex{6}\) linaonyesha makosa mbalimbali ya koloni kutoka kwa wagonjwa mbalimbali ambao wanaweza au hawana MRSA. Data kutoka meza imepangwa katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\).
| Conc = 0.6 | Conc = 0.8 | Conc = 1.0 | Conc = 1.2 | Conc = 1.4 |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 16 | 22 | 30 | 27 |
| 66 | 93 | 147 | 199 | 168 |
| 98 | 82 | 120 | 148 | 132 |
Plot ya data kwa viwango tofauti:
Kielelezo\(\PageIndex{2}\)
Jaribu kama idadi ya wastani ya makoloni ni sawa au ni tofauti. Jenga meza ya ANOVA, pata thamani ya p, na ueleze hitimisho lako. Tumia kiwango cha umuhimu wa 5%.
Mfano 12.4
Nne sororities alichukua sampuli random ya dada kuhusu daraja yao ina maana kwa muda uliopita. Matokeo yanaonyeshwa katika Jedwali\(\PageIndex{7}\).
| Chama cha ndama 1 | Chama cha ndama 2 | Chama cha ndama 3 | Chama cha ndama 4 |
|---|---|---|---|
| 2.17 | 2.63 | 2.63 | 3.79 |
| 1.85 | 1.77 | 3.78 | 3.45 |
| 2.83 | 3.25 | 4.00 | 3.08 |
| 1.69 | 1.86 | 2.55 | 2.26 |
| 3.33 | 2.21 | 2.45 | 3.18 |
Kutumia kiwango cha umuhimu wa 1%, kuna tofauti katika darasa la maana kati ya vyama vya wanawake?
- Jibu
-
Hebu\(\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}, \mu_{4}\) kuwa idadi ya watu ina maana ya sorororities. Kumbuka kwamba hypothesis ya null inadai kwamba makundi ya sorority yanatoka kwa usambazaji huo wa kawaida. Hypothesis mbadala inasema kwamba angalau makundi mawili ya sorority hutoka kwa watu wenye mgawanyo tofauti wa kawaida. Kumbuka kwamba ukubwa wa sampuli nne ni kila tano.
Kumbuka: Hii ni mfano wa kubuni uwiano, kwa sababu kila sababu (yaani, sorority) ina idadi sawa ya uchunguzi.
\(H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=\mu_{4}\)
\(H_a\): Si njia zote\(\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}, \mu_{4}\) ni sawa.
Usambazaji kwa mtihani:\(F_{3,16}\)
ambapo\(k = 4\) makundi na\(n = 20\) sampuli kwa jumla
\(df(num)= k – 1 = 4 – 1 = 3\)
\(df(denom) = n – k = 20 – 4 = 16\)
Tumia takwimu za mtihani:\(F = 2.23\)
Grafu:
Kielelezo\(\PageIndex{3}\)
Taarifa ya uwezekano:\(p\text{-value }= P(F > 2.23) = 0.1241\)
Linganisha\(\bf{\alpha}\) na\(\bf p\) -thamani:\(\alpha = 0.01\)
\(p\text{-value }= 0.1241\)
\(\alpha < p\) -thamaniKufanya uamuzi: Tangu\(\alpha < p\) -value, huwezi kukataa\(H_0\).
Hitimisho: Hakuna ushahidi wa kutosha wa kuhitimisha kuwa kuna tofauti kati ya darasa la maana kwa sorororities.
Zoezi 12.4
Timu nne za michezo zilichukua sampuli ya random ya wachezaji kuhusu GPAs yao kwa mwaka jana. Matokeo yanaonyeshwa katika Jedwali\(\PageIndex{8}\).
| Mpira wa kikapu | besiboli | Mpira wa magongo | Lacrosse |
|---|---|---|---|
| 3.6 | 2.1 | 4.0 | 2.0 |
| 2.9 | 2.6 | 2.0 | 3.6 |
| 2.5 | 3.9 | 2.6 | 3.9 |
| 3.3 | 3.1 | 3.2 | 2.7 |
| 3.8 | 3.4 | 3.2 | 2.5 |
Tumia kiwango cha umuhimu wa 5%, na uamua ikiwa kuna tofauti katika GPA kati ya timu.
Mfano 12.5
Darasa la daraja la nne linajifunza mazingira. Moja ya kazi ni kukua mimea ya maharagwe katika udongo tofauti. Tommy alichagua kukua mimea yake maharagwe katika udongo kupatikana nje ya darasani yake kuchanganywa na dryer lint. Tara alichagua kukua mimea yake ya maharagwe katika udongo wa potting kununuliwa katika kitalu cha ndani. Nick alichagua kukua mimea yake ya maharagwe katika udongo kutoka bustani ya mama yake. Hakuna kemikali zilizotumiwa kwenye mimea, maji tu. Walikua ndani ya darasani karibu na dirisha kubwa. Kila mtoto alikua mimea mitano. Mwishoni mwa kipindi cha kukua, kila mmea ulipimwa, huzalisha data (kwa inchi) katika Jedwali\(\PageIndex{9}\).
| Mimea ya Tommy | Mimea ya Tara | Mimea ya Nick |
|---|---|---|
| 24 | 25 | 23 |
| 21 | 31 | 27 |
| 23 | 23 | 22 |
| 30 | 20 | 30 |
| 23 | 28 | 20 |
Je! Inaonekana kwamba vyombo vya habari vitatu ambavyo mimea ya maharagwe ilipandwa huzalisha urefu sawa wa maana? Mtihani kwa kiwango cha 3% cha umuhimu.
- Jibu
-
Wakati huu, tutafanya mahesabu ambayo yanasababisha takwimu za F '. Angalia kwamba kila kikundi kina idadi sawa ya mimea, kwa hiyo tutatumia formula\(F^{\prime}=\frac{n \cdot s_{\overline{x}}^{2}}{s^{2}_{pooled}}\).
Kwanza, mahesabu ya sampuli maana na sampuli ugomvi wa kila kikundi.
Mimea ya Tommy Mimea ya Tara Mimea ya Nick Mfano maana 24.2 25.4 24.4 Mfano wa ugomvi 11.7 18.3 16.3 Jedwali\(\PageIndex{10}\) Kisha, hesabu ugomvi wa njia tatu za kikundi (Tumia tofauti ya 24.2, 25.4, na 24.4). Tofauti ya kikundi inamaanisha = 0.413 =\(s_{\overline{x}}^{2}\)
Kisha ukubwa wa sampuli\(n = 5\) ni\(M S_{b e t w e e n}=n s_{\overline{x}}^{2}=(5)(0.413)\) wapi (idadi ya mimea kila mtoto ilikua).
Tumia maana ya tofauti za sampuli tatu (Tumia maana ya 11.7, 18.3, na 16.3). Maana ya tofauti ya sampuli = 15.433 =\(\bf{s^2}\) imeunganishwa
Kisha\(M S_{\text {within}}=s^{2} \text { pooled }=15.433\).
\(F\)Takwimu (au\(F\) uwiano) ni\(F=\frac{M S_{\text { between }}}{M S_{\text { within }}}=\frac{n s_{\overline{x}}^{2}}{s^{2} \text { pooled }}=\frac{(5)(0.413)}{15.433}=0.134\)
Ya\(df\) s kwa nambari = idadi ya vikundi\(– 1 = 3 – 1 = 2\).
\(df\)s kwa denominator = jumla ya idadi ya sampuli — idadi ya vikundi\(= 15 – 3 = 12\)
Usambazaji wa mtihani ni\(F_{2,12}\) na\(F\) takwimu ni\(F = 0.134\)
\(p\)Thamani ni\(P(F > 0.134) = 0.8759\).
uamuzi: Tangu\(\alpha = 0.03\) na\(p\text{-value }= 0.8759\), basi huwezi kukataa H0. (Kwa nini?)
Hitimisho: Kwa kiwango cha 3% cha umuhimu, kutoka kwa data ya sampuli, ushahidi hautoshi kuhitimisha kuwa urefu wa maana wa mimea ya maharagwe ni tofauti.
Nukuu
Nukuu ya\(F\) usambazaji ni\(F \sim F_{d f(n u m), d f(d e n o m)}\) wapi\(df(num) = df_{between}\) na\(df(denom) = df_{within}\). Maana ya\(F\) usambazaji ni\(\mu=\frac{d f(n u m)}{d f(\text {denom})-2}\)