12.1: Mtihani wa Tofauti mbili

Sura hii utangulizi mpya uwezekano wiani kazi,\(F\) usambazaji. Usambazaji huu hutumiwa kwa programu nyingi ikiwa ni pamoja na ANOVA na kwa kupima usawa katika njia nyingi. Tunaanza na\(F\) usambazaji na mtihani wa hypothesis ya tofauti katika tofauti. Mara nyingi ni muhimu kulinganisha tofauti mbili badala ya wastani mbili. Kwa mfano, watendaji wa chuo wangependa profesa wawili wa chuo waandishi wa mitihani kuwa na tofauti sawa katika kuweka kwao. Ili kifuniko kiweke chombo, tofauti katika kifuniko na chombo lazima iwe sawa sawa. maduka makubwa inaweza kuwa na hamu ya tofauti ya mara kuangalia-nje kwa checkers mbili. Katika fedha, ugomvi ni kipimo cha hatari na hivyo swali kuvutia itakuwa mtihani hypothesis kwamba mbili portfolios uwekezaji tofauti na ugomvi huo, tete.

Ili kufanya\(F\) mtihani wa tofauti mbili, ni muhimu kwamba zifuatazo ni za kweli:

1. Wakazi ambao sampuli hizo mbili hutolewa ni takriban kawaida kusambazwa.
2. Wakazi wawili wanajitegemea.

Tofauti na vipimo vingine vya hypothesis katika kitabu hiki,\(F\) mtihani wa usawa wa tofauti mbili ni nyeti sana kwa upungufu kutoka kwa kawaida. Ikiwa mgawanyo wawili si wa kawaida, au karibu, mtihani unaweza kutoa matokeo ya upendeleo kwa takwimu za mtihani.

Tuseme sisi sampuli nasibu kutoka kwa watu wawili huru kawaida. Hebu\(\sigma_1^2\) na\(\sigma_2^2\) uwe tofauti ya idadi ya watu haijulikani\(s_1^2\) na\(s_2^2\) uwe sampuli tofauti. Hebu ukubwa wa sampuli uwe\(n_1\) na\(n_2\). Kwa kuwa tuna nia ya kulinganisha tofauti za sampuli mbili, tunatumia\(F\) uwiano:

\(F=\frac{\left[\frac{s_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}}\right]}{\left[\frac{s_{2}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]}\)

\(F\)ina usambazaji\(F \sim F\left(n_{1}-1, n_{2}-1\right)\)

wapi digrii\(n_1 – 1\) za uhuru kwa nambari na\(n_2 – 1\) ni digrii za uhuru kwa denominator.

Kama hypothesis null ni\(\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\), basi\(F\) uwiano, mtihani takwimu, inakuwa\(F_{c}=\frac{\left[\frac{s_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}}\right]}{\left[\frac{s_{2}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]}=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}\)

Aina mbalimbali za hypotheses zilizojaribiwa ni:

Jedwali 12.1

Mbili-tailed mtihani	Mtihani mmoja wa tailed	Mtihani mmoja wa tailed
\(\mathrm{H}_{0} : \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\)	\(\mathrm{H}_{0} : \sigma_{1}^{2} \leq \sigma_{2}^{2}\)	\(\mathrm{H}_{0} : \sigma_{1}^{2} \geq \sigma_{2}^{2}\)
\(\mathrm{H}_{1} : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}\)	\(\mathrm{H}_{1} : \sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2}\)	\(\mathrm{H}_{1} : \sigma_{1}^{2}<\sigma_{2}^{2}\)

Fomu ya jumla ya hypothesis ya null na mbadala kwa mtihani wa tailed mbili itakuwa:

\[H_{0} : \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}=\delta_{0}\nonumber\]

\[H_{a} : \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \neq \delta_{0}\nonumber\]

Ambapo ikiwa\(\delta_{0}=1\) ni mtihani rahisi wa hypothesis kwamba tofauti mbili ni sawa. Aina hii ya hypothesis ina faida ya kuruhusu kwa vipimo ambavyo ni zaidi ya tofauti rahisi na vinaweza kubeba vipimo kwa tofauti maalum kama tulivyofanya kwa tofauti katika njia na tofauti kwa idadi. Aina hii ya hypothesis pia inaonyesha uhusiano kati ya\(F\) usambazaji na\(\chi^2\): the\(F\) ni uwiano wa mgawanyo wa mraba wa chi mbili usambazaji tulioona katika sura ya mwisho. Hii inasaidia katika kuamua digrii za uhuru wa\(F\) usambazaji wa matokeo.

Ikiwa watu wawili wana tofauti sawa, basi\(s_1^2\) na\(s_2^2\) ni karibu na thamani na takwimu za mtihani,\(F_{c}=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}\) ni karibu na moja. Lakini kama tofauti mbili za idadi ya watu ni tofauti sana,\(s_1^2\) na\(s_2^2\) huwa tofauti sana, pia. Kuchagua\(s_1^2\) kama ugomvi mkubwa wa sampuli\(\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}\) husababisha uwiano kuwa mkubwa kuliko moja. Ikiwa\(s_1^2\) na\(s_2^2\) ni mbali, basi\(F_{c}=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}\) ni idadi kubwa.

Kwa hiyo, ikiwa\(F\) ni karibu na moja, ushahidi unapendelea hypothesis ya null (tofauti mbili za idadi ya watu ni sawa). Lakini ikiwa\(F\) ni kubwa zaidi kuliko moja, basi ushahidi ni kinyume na hypothesis ya null. Kwa asili, tunauliza kama takwimu za F zilizohesabiwa, takwimu za mtihani, ni tofauti sana na moja.

Kuamua pointi muhimu tunapaswa kupata\(F_{\alpha,df1,df2}\). Angalia Kiambatisho A kwa\(F\) meza. \(F\)Jedwali hili lina maadili kwa viwango mbalimbali vya umuhimu kutoka 0.1 hadi 0.001 iliyochaguliwa kama “p” katika safu ya kwanza. Ili kupata thamani muhimu, chagua kiwango cha umuhimu kinachohitajika na ufuate chini na kote ili kupata thamani muhimu katika makutano ya digrii mbili za uhuru. \(F\)Usambazaji una daraja mbili tofauti za uhuru, moja inayohusishwa na nambari,\(_{df1}\), na moja inayohusishwa na denominator,\(_{df2}\) na kusumbua mambo\(F\) usambazaji hauna ulinganifu na hubadilisha kiwango cha skewness kadiri digrii za uhuru zinabadilika. Daraja la uhuru katika nambari\(n_1\) ni\(n_1-1\) wapi ukubwa wa sampuli kwa kikundi 1, na digrii za uhuru katika denominator\(n_2\) ni\(n_2-1\) wapi ukubwa wa sampuli kwa kundi la 2. \(F_{\alpha,df1,df2}\)itatoa thamani muhimu juu ya mwisho wa juu wa\(F\) usambazaji.

Ili kupata thamani muhimu kwa mwisho wa usambazaji, reverse digrii za uhuru na ugawanye\(F\) -thamani kutoka meza hadi moja.

• Upper mkia muhimu thamani:\(F_{\alpha,df1,df2}\)
• Chini ya mkia muhimu thamani:\(1/F_{\alpha,df2,df1}\)

Wakati thamani mahesabu ya\(F\) ni kati ya maadili muhimu, si katika mkia, hatuwezi kukataa hypothesis null kwamba tofauti mbili alikuja kutoka idadi ya watu na ugomvi huo. Kama mahesabu F-thamani ni katika aidha mkia hatuwezi kukubali hypothesis null kama sisi tumekuwa kufanya kwa wote wa vipimo ya awali ya hypothesis.

Njia mbadala ya kutafuta maadili muhimu ya\(F\) usambazaji hufanya matumizi ya\(F\) -meza rahisi. Tunaona katika\(F\) -meza kwamba maadili yote ya\(F\) ni makubwa kuliko moja kwa hiyo\(F\) thamani muhimu kwa mkia wa mkono wa kushoto daima itakuwa chini ya moja kwa sababu ya kupata thamani muhimu kwenye mkia wa kushoto tunagawanya\(F\) thamani katika namba moja kama inavyoonekana hapo juu. Pia tunaona kwamba ikiwa ugomvi wa sampuli katika nambari ya takwimu za mtihani ni kubwa kuliko ugomvi wa sampuli katika denominator,\(F\) thamani inayosababisha itakuwa kubwa kuliko moja. Njia ya shorthand ya mtihani huu ni kuhakikisha kuwa kubwa ya tofauti mbili za sampuli huwekwa kwenye nambari ili kuhesabu takwimu za mtihani. Hii itakuwa na maana kwamba tu mkono wa kulia mkia muhimu thamani itabidi kupatikana katika\(F\) -meza.

Mfano 12.1

Waalimu wawili wa chuo wanavutiwa kama au kuna tofauti yoyote katika njia wanayoweka mitihani ya hisabati. Wao kila daraja seti moja ya mitihani 10. Darasa la kwanza la mwalimu lina tofauti ya 52.3. Darasa la pili la mwalimu lina tofauti ya 89.9. Mtihani madai kwamba ugomvi wa kwanza wa mwalimu ni mdogo. (Katika vyuo vikuu vingi, ni muhimu kwa tofauti za darasa la mtihani kuwa karibu sawa kati ya waalimu.) Kiwango cha umuhimu ni 10%.

Jibu

Suluhisho 12.1

Hebu 1 na 2 kuwa scripts zinazoonyesha mwalimu wa kwanza na wa pili, kwa mtiririko huo.

\(n_1 = n_2 = 10\).

\(H_{0} : \sigma_{1}^{2} \geq \sigma_{2}^{2}\)na\(H_{a} : \sigma_{1}^{2}<\sigma_{2}^{2}\)

Tumia takwimu za mtihani: Kwa hypothesis null (\(\sigma_{1}^{2} \geq \sigma_{2}^{2}\)),\(F\) takwimu ni:

\(F_{c}=\frac{s_{2}^{2}}{s_{1}^{2}}=\frac{89.9}{52.3}=1.719\)

Thamani muhimu kwa mtihani:\(F_{9,9}=5.35\) wapi\(n_1 – 1 = 9\) na\(n_2 – 1 = 9\).

Kielelezo 12.2

Fanya uamuzi: Kwa kuwa\(F\) thamani iliyohesabiwa haipo kwenye mkia hatuwezi kukataa\(H_0\).

Hitimisho: Kwa kiwango cha 10% cha umuhimu, kutoka kwa data, hakuna ushahidi usio na uwezo wa kuhitimisha kuwa tofauti katika darasa kwa mwalimu wa kwanza ni ndogo.

Zoezi 12.1

Shirika la New York Choral linagawanya waimbaji wa kiume hadi katika makundi manne kutoka kwa sauti za juu hadi chini zaidi: Tenor1, Tenor2, Bass1, Bass2. Katika meza ni urefu wa wanaume katika makundi ya Tenor1 na Bass2. Mmoja anashutumu kuwa wanaume warefu watakuwa na sauti za chini, na kwamba tofauti ya urefu inaweza kuongezeka kwa sauti za chini pia. Je, tuna ushahidi mzuri kwamba ugomvi wa urefu wa waimbaji katika kila moja ya makundi haya mawili (Tenor1 na Bass2) ni tofauti?

Jedwali 12.2

Tenor1	bass 2	Tenor 1	bass 2	Tenor 1	bass 2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72