11.4: Mtihani wa Uhuru

Uchunguzi wa uhuru unahusisha kutumia meza ya dharura ya maadili yaliyozingatiwa (data). Takwimu za mtihani kwa mtihani wa uhuru ni sawa na ile ya mtihani mzuri:

\[\sum_{(i \cdot j)} \frac{(O-E)^{2}}{E}\nonumber\]

ambapo:

• \(O\)= maadili yaliyozingatiwa
• \(E\)= maadili yaliyotarajiwa
• \(i\)= idadi ya safu katika meza
• \(j\)= idadi ya nguzo katika meza

Kuna\(i \cdot j\) masharti ya fomu\(\frac{(O-E)^{2}}{E}\).

Mtihani wa uhuru huamua kama mambo mawili ni huru au la. Wewe kwanza ulikutana na neno uhuru katika Jedwali 3.1 mapema. Kama mapitio, fikiria mfano unaofuata.

Kumbuka

Thamani inayotarajiwa ndani ya kila kiini inahitaji kuwa angalau tano ili uweze kutumia mtihani huu.

Mfano 11.8

Tuseme\(A\) = ukiukwaji wa kasi katika mwaka jana na\(B\) = mtumiaji wa simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari. Ikiwa\(A\) na\(B\) ni huru basi\(P(A \cap B)=P(A) P(B) . A \cap B\) ni tukio ambalo dereva alipokea ukiukwaji wa kasi mwaka jana na pia alitumia simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari. Tuseme, katika utafiti wa madereva ambao walipata ukiukwaji kasi katika mwaka jana, na ambao walitumia simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari, kwamba 755 watu walikuwa utafiti. Kati ya 755, 70 alikuwa na ukiukwaji kasi na 685 hawakuwa; 305 kutumika simu za mkononi wakati wa kuendesha gari na 450 hawakuwa.

Hebu y = inatarajiwa idadi ya madereva ambao walitumia simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukwaji kasi.

Ikiwa\(A\) na\(B\) ni huru, basi\(P(A \cap B)=P(A) P(B)\). Kwa badala,

\[\frac{y}{755}=\left(\frac{70}{755}\right)\left(\frac{305}{755}\right)\nonumber\]

Tatua kwa\(y\):\(y=\frac{(70)(305)}{755}=28.3\)

Kuhusu watu 28 kutoka sampuli wanatarajiwa kutumia simu za mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukwaji wa kasi.

Katika mtihani wa uhuru, tunasema nadharia zisizo na maana na mbadala kwa maneno. Kwa kuwa meza ya dharura ina mambo mawili, hypothesis ya null inasema kuwa mambo ni huru na nadharia mbadala inasema kuwa wao si huru (tegemezi). Ikiwa tunafanya mtihani wa uhuru kwa kutumia mfano, basi hypothesis ya null ni:

\(H_0\): Kuwa mtumiaji wa simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukwaji wa kasi ni matukio ya kujitegemea; kwa maneno mengine, hawana athari kwa kila mmoja.

Kama hypothesis null walikuwa kweli, tunataka kutarajia kuhusu 28 watu kutumia simu za mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukaji kasi.

Mtihani wa uhuru daima ni sahihi kwa sababu ya hesabu ya takwimu za mtihani. Ikiwa maadili yaliyotarajiwa na yaliyozingatiwa hayana karibu pamoja, basi takwimu za mtihani ni kubwa sana na hutoka kwenye mkia wa kulia wa pembe ya mraba wa chi, kama ilivyo katika hali nzuri.

Idadi ya digrii za uhuru kwa mtihani wa uhuru ni:

\(d f=(\text { number of columns }-1)(\text { number of rows }-1)\)

Fomu ifuatayo inahesabu idadi inayotarajiwa (E):

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total number surveyed }}\nonumber\]

Zoezi 11.8

Sampuli ya wanafunzi 300 inachukuliwa. Kati ya wanafunzi waliofanyiwa utafiti, 50 walikuwa wanafunzi wa muziki, wakati 250 hawakuwa. Tisini na saba kati ya utafiti 300 walikuwa juu ya roll heshima, wakati 203 walikuwa si. Ikiwa tunadhani kuwa mwanafunzi wa muziki na kuwa kwenye roll ya heshima ni matukio ya kujitegemea, ni idadi gani inayotarajiwa ya wanafunzi wa muziki ambao pia wako kwenye roll ya heshima?

Mfano 11.9

Kikundi cha kujitolea, hutoa kutoka saa moja hadi tisa kila wiki na wananchi waandamizi wenye ulemavu. Mpango huo unaajiri kati ya wanafunzi wa chuo cha jamii, wanafunzi wa chuo cha miaka minne, na wasio wanafunzi. Katika Jedwali 11.14 ni sampuli ya watu wazima kujitolea na idadi ya masaa wao kujitolea kwa wiki.

Jedwali lina maadili (O) yaliyozingatiwa (data).

Jedwali 11.14 Idadi ya Masaa Kazi Kwa Wiki na Aina ya Kujitolea (Imeonekana)

Aina ya kujitolea	Masaa 1—3	Masaa 4—6	Masaa 7—9	Row jumla
Wanafunzi wa chuo cha jamii	111	96	48	255
Wanafunzi wa chuo cha nne	96	133	61	290
Wasiokuwa wanafunzi	91	150	53	294
Jumla ya safu	298	379	162	839

Je, idadi ya masaa waliojitolea huru ya aina ya kujitolea?

Jibu

Suluhisho 11.9

Jedwali lililozingatiwa na swali mwishoni mwa tatizo, “Je, idadi ya masaa waliojitolea huru ya aina ya kujitolea?” kukuambia hii ni mtihani wa uhuru. Sababu mbili ni idadi ya masaa waliojitolea na aina ya kujitolea. Jaribio hili daima ni sahihi.

\(H_0\): Idadi ya masaa waliojitolea ni huru ya aina ya kujitolea.

\(H_a\): Idadi ya masaa waliojitolea inategemea aina ya kujitolea.

Matokeo yaliyotarajiwa ni katika Jedwali 11.15.

Jedwali lina maadili yaliyotarajiwa (E) (data).

Jedwali 11.15 Idadi ya Masaa Kazi Kwa Wiki na Aina ya Kujitolea (Inatarajiwa)

Aina ya kujitolea	Masaa 1-3	Masaa 4-6	Masaa 7-9
Wanafunzi wa chuo cha jamii	90.57	115.19	49.24
Wanafunzi wa chuo cha nne	103.00	131.00	56.00
Wasiokuwa wanafunzi	104.42	132.81	56.77

Kwa mfano, hesabu ya mzunguko uliotarajiwa kwa kiini cha juu cha kushoto ni

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total number surveyed }}=\frac{(255)(298)}{839}=90.57\nonumber\]

Tumia takwimu za mtihani:\(\chi^2 = 12.99\) (calculator au kompyuta)

Usambazaji kwa mtihani:\(\chi_4^2\)

\(d f=(3 \text { columns }-1)(3 \text { rows }-1)=(2)(2)=4\)

Grafu:

Kielelezo 11.8

Grafu ya mraba wa CHI inaonyesha usambazaji na alama thamani muhimu na digrii nne za uhuru katika kiwango cha 95% cha kujiamini\(\alpha = 0.05\), 9.488. Grafu pia inaonyesha takwimu za\(\chi_{c}^{2}\) mtihani wa mahesabu ya 12.99. Kulinganisha takwimu za mtihani na thamani muhimu, kama tulivyofanya na vipimo vingine vya hypothesis, tunafikia hitimisho.

Fanya uamuzi: Kwa sababu takwimu za mtihani zilizohesabiwa ziko kwenye mkia hatuwezi kukubali H ₀. Hii ina maana kwamba mambo hayajitegemea.

Hitimisho: Katika kiwango cha 5% cha umuhimu, kutoka kwa data, kuna ushahidi wa kutosha wa kuhitimisha kuwa idadi ya masaa waliojitolea na aina ya kujitolea hutegemea.

Kwa mfano katika Jedwali 11.15, ikiwa kulikuwa na aina nyingine ya kujitolea, vijana, digrii za uhuru zingekuwa nini?

Zoezi 11.9

Ofisi ya Takwimu za Kazi hukusanya data kuhusu ajira nchini Marekani. Sampuli inachukuliwa ili kuhesabu idadi ya wananchi wa Marekani wanaofanya kazi katika moja ya sekta kadhaa za sekta baada ya muda. Jedwali 11.16 linaonyesha matokeo:

Jedwali 11.16

Sekta ya viwanda	2000	2010	2020	Jumla
Nonkilimo mshahara na mshahara	13,243	13,044	15,018	41,305
Bidhaa zinazozalisha, ukiondoa kilimo	2,457	1,771	1,950	6,178
Huduma-kutoa	10,786	11,273	13,068	35,127
Kilimo, misitu, uvuvi, na uwindaji	240	214	201	655
Nonkilimo kujiajiri na mfanyakazi wa familia bila kulipwa	931	894	972	2,797
Sekondari mshahara na ajira mshahara katika kilimo na viwanda binafsi kaya	14	11	11	36
Kazi za sekondari kama mfanyakazi wa familia aliyeajiriwa au asiyolipwa	196	144	152	492
Jumla	27,867	27,351	31,372	86,590

Tunataka kujua kama mabadiliko katika idadi ya ajira ni huru ya mabadiliko katika miaka. Hali nadharia null na mbadala na digrii ya uhuru.

Mfano 11.10

Chuo cha De Anza kinavutiwa na uhusiano kati ya kiwango cha wasiwasi na haja ya kufanikiwa shuleni. Sampuli ya random ya wanafunzi 400 ilichukua mtihani ambao ulipima kiwango cha wasiwasi na haja ya kufanikiwa shuleni. Jedwali 11.17 inaonyesha matokeo. De Anza College anataka kujua kama kiwango cha wasiwasi na haja ya kufanikiwa shuleni ni matukio ya kujitegemea.

Jedwali 11.17 Haja ya Kufanikiwa Shule dhidi ya Ngazi ya Wasiwasi

Haja ya kufanikiwa shuleni	High wasiwasi	Med-high wasiwasi	Wasiwasi wa kati	Med-chini wasiwasi	Wasiwasi wa chini	Row jumla
Haja kubwa	35	42	53	15	10	155
Mahitaji ya kati	18	48	63	33	31	193
Mahitaji ya chini	4	5	11	15	17	52
Jumla ya safu	57	95	127	63	58	400

Wanafunzi wangapi wa ngazi ya wasiwasi wanatarajiwa kuwa na haja kubwa ya kufanikiwa shuleni?

Jibu

Suluhisho 11.10

a. jumla ya safu kwa kiwango cha juu cha wasiwasi ni 57. Jumla ya mstari kwa haja kubwa ya kufanikiwa shuleni ni 155. Ukubwa wa sampuli au jumla ya utafiti ni 400.

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=\frac{155 \cdot 57}{400}=22.09\nonumber\]

Idadi inayotarajiwa ya wanafunzi ambao wana kiwango cha juu cha wasiwasi na haja kubwa ya kufanikiwa shuleni ni takriban 22.

Ikiwa vigezo viwili vinajitegemea, ni wanafunzi wangapi unatarajia kuwa na haja ndogo ya kufanikiwa shuleni na kiwango cha chini cha wasiwasi?

Jibu

Suluhisho 11.10

b. jumla ya safu kwa med-chini wasiwasi ngazi ni 63. Jumla ya mstari kwa haja ndogo ya kufanikiwa shuleni ni 52. Ukubwa wa sampuli au jumla ya utafiti ni 400.

c.\(E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=\) ________

Jibu

Suluhisho 11.10

c.\(E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=8.19\)

d. inatarajiwa idadi ya wanafunzi ambao wana med-chini wasiwasi ngazi na haja ya chini ya kufanikiwa katika shule ni kuhusu ________.

Jibu

Suluhisho 11.10

d. 8