11.2: Mtihani wa Uchanganuzi wa Single

Last updated
Save as PDF

Page ID: 179452

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Hadi sasa maslahi yetu imekuwa peke juu ya parameter idadi ya watu\(μ\) au ni mwenzake katika binomial,\(p\). Hakika maana ya idadi ya watu ni kipande muhimu zaidi cha habari kuwa nacho, lakini wakati mwingine tuna nia ya kutofautiana kwa matokeo ya usambazaji fulani. Katika karibu michakato yote ya uzalishaji ubora hupimwa si tu kwa jinsi mashine inavyolingana na lengo, lakini pia tofauti ya mchakato. Kama moja walikuwa kujaza mifuko na chips viazi si tu ingekuwa na riba katika uzito wastani wa mfuko, lakini pia ni kiasi gani tofauti kulikuwa na uzito. Hakuna mtu anataka kuwa na uhakika kwamba uzito wastani ni sahihi wakati mfuko wao hauna chips. Voltage ya umeme inaweza kufikia kiwango cha wastani, lakini tofauti kubwa, spikes, inaweza kusababisha uharibifu mkubwa kwa mashine za umeme, hasa kompyuta. Napenda si tu kama kuwa na high maana daraja katika madarasa yangu, lakini pia chini tofauti kuhusu maana hii. Kwa kifupi, vipimo vya takwimu kuhusu ugomvi wa usambazaji una thamani kubwa na maombi mengi.

Mtihani wa ugomvi mmoja unafikiri kwamba usambazaji wa msingi ni wa kawaida. Nadharia null na mbadala ni alisema katika suala la ugomvi idadi ya watu. Takwimu za mtihani ni:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\nonumber\]

ambapo:

\(n\)= jumla ya idadi ya uchunguzi katika data sampuli
\(s^2\)= sampuli ugomvi
\(\sigma_{0}^{2}\)= thamani ya nadharia ya ugomvi wa idadi ya watu
\(H_{0} : \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}\)

Unaweza kufikiria s kama variable random katika mtihani huu. Idadi ya digrii za uhuru ni\(df = n - 1\). Mtihani wa ugomvi mmoja unaweza kuwa na haki-tailed, kushoto-tailed, au mbili-tailed. Mfano\(\PageIndex{1}\) kuonyesha jinsi ya kuanzisha nadharia null na mbadala. Null na mbadala hypotheses vyenye taarifa kuhusu ugomvi idadi ya watu.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Wakufunzi Math si tu nia ya jinsi wanafunzi wao kufanya juu ya mitihani, kwa wastani, lakini jinsi alama mtihani kutofautiana. Kwa wakufunzi wengi, ugomvi (au kiwango kupotoka) inaweza kuwa muhimu zaidi kuliko wastani.

Tuseme mwalimu wa hesabu anaamini kwamba kupotoka kwa kiwango cha mtihani wake wa mwisho ni pointi tano. Mmoja wa wanafunzi wake bora anadhani vinginevyo. Mwanafunzi anadai kuwa kupotoka kwa kiwango ni zaidi ya pointi tano. Ikiwa mwanafunzi angefanya mtihani wa hypothesis, je, nadharia zisizo na null na mbadala zingekuwa nini?

Jibu

Hata kama sisi ni kupewa idadi ya watu kiwango kupotoka, tunaweza kuanzisha mtihani kwa kutumia ugomvi idadi ya watu kama ifuatavyo.

\(H_{0} : \sigma^{2} \leq 5^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}>5^{2}\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Mwalimu wa SCUBA anataka kurekodi kina cha pamoja kila mmoja wa wanafunzi wake wakati wa kulipa. Anavutiwa na jinsi kina kinavyofautiana, ingawa kila mtu anapaswa kuwa na kina sawa. Anaamini kupotoka kwa kiwango ni miguu mitatu. Msaidizi wake anadhani kupotoka kwa kawaida ni chini ya miguu mitatu. Ikiwa mwalimu angefanya mtihani, je, nadharia zisizo na null na mbadala zingekuwa nini?

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Kwa mistari ya mtu binafsi kwenye madirisha yake mbalimbali, ofisi ya posta inaona kwamba kupotoka kwa kawaida kwa nyakati za kusubiri kwa wateja siku ya Ijumaa mchana ni dakika 7.2. Majaribio ya ofisi ya posta na mstari mmoja, kuu wa kusubiri na hupata kuwa kwa sampuli ya random ya wateja wa 25, nyakati za kusubiri kwa wateja zina kupotoka kwa kiwango cha dakika 3.5 siku ya Ijumaa mchana.

Kwa kiwango cha umuhimu wa 5%, jaribu madai kwamba mstari mmoja husababisha tofauti ya chini kati ya nyakati za kusubiri kwa wateja.

Jibu

Kwa kuwa madai ni kwamba mstari mmoja husababisha tofauti kidogo, hii ni mtihani wa ugomvi mmoja. Kipimo ni ugomvi wa idadi ya watu,\(\sigma^2\).

Random Variable: sampuli kiwango kupotoka\(s\),, ni variable random. Hebu\(s\) = kiwango kupotoka kwa nyakati za kusubiri.

\(H_{0} : \sigma^{2} \geq 7.2^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}<7.2^{2}\)

Usambazaji kwa mtihani:\(\chi_{24}^{2}\), wapi:

\(n\)= idadi ya wateja sampuli
\(df = n – 1 = 25 – 1 = 24\)

Tumia takwimu za mtihani:

\(\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}}=5.67\)

ambapo\(n = 25\),\(s = 3.5\), na\(\sigma = 7.2\).

Hii ni safu isiyo ya kawaida ya chi-mraba na maadili ya 0 na 5.67 iliyoandikwa kwenye mhimili usio na usawa. Hatua 5.67 iko upande wa kushoto wa kilele cha curve. Mstari wa juu wa wima unatoka 5.67 hadi kwenye pembe na kanda upande wa kushoto wa mstari huu umevuliwa. Eneo la kivuli ni sawa na thamani ya p.

Grafu ya mraba wa CHI inaonyesha usambazaji na alama thamani muhimu na digrii 24 za uhuru katika kiwango cha 95% ya kujiamini\(\alpha = 0.05\), 13.85. Thamani muhimu ya 13.85 ilitoka kwenye meza ya mraba ya Chi ambayo inasomwa sana kama meza ya wanafunzi. Tofauti ni kwamba wanafunzi t usambazaji ni symmetrical na Chi squared usambazaji si. Juu ya meza ya mraba ya Chi hatuoni tu 0.05, 0.10, nk lakini pia 0.95, 0.975, nk Hizi ni nguzo zinazotumiwa kupata thamani muhimu ya mkono wa kushoto. Grafu pia inaashiria takwimu za\(\chi^2\) mtihani wa mahesabu ya 5.67. Kulinganisha takwimu za mtihani na thamani muhimu, kama tulivyofanya na vipimo vingine vya hypothesis, tunafikia hitimisho.

Neno “chini” linakuambia hii ni mtihani wa kushoto.

Tengeneza uamuzi: Kwa sababu takwimu za mtihani zilizohesabiwa ziko kwenye mkia hatuwezi kukubali\(H_0\). Hii ina maana kwamba unakataa\(\sigma^2 \geq 7.2^2\). Kwa maneno mengine, hufikiri tofauti katika nyakati za kusubiri ni dakika 7.2 au zaidi; unafikiri tofauti katika nyakati za kusubiri ni ndogo.

Hitimisho: Katika kiwango cha 5% cha umuhimu, kutoka kwa data, kuna ushahidi wa kutosha ili kuhitimisha kuwa mstari mmoja husababisha tofauti ya chini kati ya nyakati za kusubiri au kwa mstari mmoja, wakati wa kusubiri kwa wateja hutofautiana chini ya dakika 7.2.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Profesa Hadley ana udhaifu kwa donuts iliyojaa cream, lakini anaamini kwamba baadhi ya mikate ya mikate hayakujaza vizuri donuts. Sampuli ya donuts 24 inaonyesha kiasi cha wastani cha kujaza sawa na vikombe 0.04, na kupotoka kwa kiwango cha sampuli ni vikombe 0.11. Profesa Hadley ana nia ya kiasi cha wastani cha kujaza, bila shaka, lakini ana shida hasa ikiwa donut moja ni tofauti kabisa na mwingine. Profesa Hadley haipendi mshangao.

Mtihani kwa 95% hypothesis ya null kwamba ugomvi wa idadi ya watu wa kujaza donut ni tofauti sana na kiasi cha wastani cha kujaza.

Jibu

Hii ni wazi tatizo la kushughulika na tofauti. Katika kesi hii sisi ni kupima sampuli moja badala ya kulinganisha sampuli mbili kutoka kwa watu tofauti. Nadharia null na mbadala ni hivyo:

\[H_{0} : \sigma^{2}=0.04\nonumber\]

\[H_{0} : \sigma^{2} \neq 0.04\nonumber\]

Mtihani umeanzishwa kama mtihani wa tailed mbili kwa sababu Profesa Hadley ameonyesha wasiwasi na tofauti nyingi mno katika kujaza pamoja na kidogo mno: chuki yake ya mshangao ni kiwango chochote cha kujaza nje ya wastani uliotarajiwa wa vikombe 0.04. Takwimu ya mtihani imehesabiwa kuwa:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{o}^{2}}=\frac{(24-1) 0 \cdot 11^{2}}{0.04^{2}}=6.9575\nonumber\]

Takwimu za\(\chi^2\) mtihani zilizohesabiwa, 6.96, ziko katika mkia kwa hiyo kwa kiwango cha 0.05 cha umuhimu, hatuwezi kukubali nadharia mbaya kwamba ugomvi katika kujaza donut ni sawa na vikombe 0.04. Inaonekana kwamba Profesa Hadley amepelekwa kukutana na tamaa na kila kidogo.

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

FCC inafanya vipimo vya kasi ya broadband kupima kiasi gani data kwa sekunde hupita kati ya kompyuta ya mtumiaji na intaneti. Kuanzia Agosti ya 2012, kiwango cha kupotoka kwa kasi ya Intaneti katika Watoa Huduma za Intaneti (ISPs) ilikuwa asilimia 12.2. Tuseme sampuli ya ISP 15 inachukuliwa, na kupotoka kwa kawaida ni 13.2. Mchambuzi anadai kuwa kiwango cha kupotoka kwa kasi ni zaidi ya kile kilichoripotiwa. Hali null na mbadala nadharia, compute digrii ya uhuru, mtihani takwimu, mchoro grafu ya usambazaji na alama eneo kuhusishwa na kiwango cha kujiamini, na kuteka hitimisho. Mtihani katika kiwango cha umuhimu wa 1%.