10.4: Kulinganisha Idadi ya Watu wa Independent Mbili

Last updated
Save as PDF

Page ID: 179555

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Wakati wa kufanya mtihani wa hypothesis unaolinganisha idadi mbili za kujitegemea za idadi ya watu, sifa zifuatazo zinapaswa kuwepo:

Sampuli mbili za kujitegemea ni sampuli za random ambazo ni huru.
Idadi ya mafanikio ni angalau tano, na idadi ya kushindwa ni angalau tano, kwa kila sampuli.
Fasihi zinazoongezeka zinasema kuwa idadi ya watu lazima iwe angalau kumi au hata labda mara 20 ukubwa wa sampuli. Hii inaweka kila idadi ya watu kutoka kuwa juu-sampuli na kusababisha matokeo upendeleo.

Kulinganisha idadi mbili, kama kulinganisha njia mbili, ni kawaida. Kama idadi mbili inakadiriwa ni tofauti, inaweza kuwa kutokana na tofauti katika idadi ya watu au inaweza kuwa kutokana na nafasi katika sampuli. Mtihani wa hypothesis unaweza kusaidia kuamua kama tofauti katika idadi inakadiriwa inaonyesha tofauti katika idadi mbili za idadi ya watu.

Kama ilivyo kwa tofauti katika njia za sampuli, tunajenga usambazaji wa sampuli kwa tofauti katika idadi ya sampuli:\(\left(p_{A}^{\prime}-p_{B}^{\prime}\right)\) wapi\(p_{A}^{\prime}=X_{\frac{A}{n_{A}}}\) na\(p_{B}^{\prime}=X_{\frac{B}{n_{B}}}\) ni idadi ya sampuli kwa seti mbili za data katika swali. \(X_A\)na\(X_B\) ni idadi ya mafanikio katika kila kundi sampuli mtiririko, na\(n_A\) na\(n_B\) ni husika sampuli ukubwa kutoka makundi mawili. Tena tunakwenda Kielelezo cha Kati\(\PageIndex{5}\).

Kwa ujumla, hypothesis null inaruhusu kwa mtihani wa tofauti ya thamani fulani,\(\delta_{0}\), kama tulivyofanya kwa kesi ya tofauti katika njia.

\[H_{0} : p_{1}-p_{2}=\delta_{0}\nonumber\]

\[H_{1} : p_{1}-p_{2} \neq \delta_{0}\nonumber\]

Kawaida, hata hivyo, ni mtihani kwamba idadi mbili ni sawa. Hiyo ni,

\[H_{0} : p_{\mathrm{A}}=p_{B}\nonumber\]

\[H_{a} : p_{\mathrm{A}} \neq p_{B}\nonumber\]

Ili kufanya mtihani, tunatumia uwiano uliounganishwa,\(p_c\).

\[\textbf{The pooled proportion is calculated as follows:}\nonumber\]

\[p_{c}=\frac{x_{A}+x_{B}}{n_{A}+n_{B}}\nonumber\]

\[\textbf{The test statistic (z-score) is:}\nonumber\]

\[Z_{c}=\frac{\left(p_{A}^{\prime}-p_{B}^{\prime}\right)-\delta_{0}}{\sqrt{p_{c}\left(1-p_{c}\right)\left(\frac{1}{n_{A}}+\frac{1}{n_{B}}\right)}}\nonumber\]

ambapo\(\delta_{0}\) ni tofauti nadharia kati ya idadi mbili na p _c ni ugomvi pamoja kutoka formula hapo juu.

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Benki hivi karibuni imepata tawi jipya na hivyo ina wateja katika eneo hili jipya. Wao ni nia ya kiwango default katika wilaya yao mpya. Wanataka kupima hypothesis kwamba kiwango cha default ni tofauti na msingi wao wa sasa wa wateja. Wao sampuli ya faili 200 katika eneo A, wateja wao wa sasa, na kupata kwamba 20 wameshindwa. Katika eneo B, wateja wapya, sampuli nyingine ya mafaili 200 inaonyesha 12 kuwa defaulted juu ya mikopo yao. Katika kiwango cha 10% cha umuhimu tunaweza kusema kwamba viwango vya default ni sawa au tofauti?

Jibu

Suluhisho 10.6

Hii ni mtihani wa idadi. Tunajua hii kwa sababu msingi random variable ni binary, default au default. Zaidi ya hayo, tunajua ni mtihani wa tofauti kwa uwiano kwa sababu tuna makundi mawili ya sampuli, msingi wa wateja wa sasa na msingi wa wateja wapya uliopatikana. Hebu A na B kuwa subscripts kwa makundi mawili ya wateja. Kisha p _A na p _B ni idadi ya watu wawili tunayotaka kupima.

Tofauti ya Random:

\(P_{A}^{\prime}-P_{B}^{\prime}\)= tofauti katika idadi ya wateja ambao defaulted katika makundi mawili.

\(H_{0} : p_{A}=p_{B}\)

\(H_{a} : p_{A} \neq p_{B}\)

Maneno “ni tofauti” kukuambia mtihani ni mbili-tailed.

Usambazaji kwa mtihani: Kwa kuwa hii ni mtihani wa idadi mbili za idadi ya watu wa binomial, usambazaji ni wa kawaida:

\(p_{c}=\frac{x_{A}+x_{B}}{n_{A}+n_{B}}=\frac{20+12}{200+200}=0.08\)\(1-p_{c}=0.92\)

\(\left(p^{\prime} A-p^{\prime} B\right)=0.04\)ifuatavyo usambazaji takriban kawaida.

Idadi ya idadi ya kikundi A:\(p^{\prime}_{A}=\frac{x_{A}}{n_{A}}=\frac{20}{200}=0.1\)

Idadi ya kiwango cha kikundi B:\(p^{\prime}_{B}=\frac{x_{B}}{n_{B}}=\frac{12}{200}=0.06\)

Tofauti inakadiriwa kati ya makundi mawili ni:\(p_{A}^{\prime}-p_{B}^{\prime}=0.1-0.06=0.04\).

Kawaida usambazaji Curve ya tofauti katika asilimia ya wagonjwa wazima ambao hawana kuguswa na dawa A na B baada ya dakika 30. Maana ni sawa na sifuri, na maadili -0.04, 0, na 0.04 yanaandikwa kwenye mhimili usio na usawa. Mistari miwili ya wima hupanua kutoka -0.04 na 0.04 hadi kwenye pembe. Mkoa upande wa kushoto wa -0.04 na kanda upande wa kulia wa 0.04 ni kila kivuli kuwakilisha 1/2 (p-thamani) = 0.0702.

\[Z_{c}=\frac{\left(\mathrm{P}_{A}^{\prime}-\mathrm{P}_{B}^{\prime}\right)-\delta_{0}}{P_{c}\left(1-P_{c}\right)\left(\frac{1}{n_{A}}+\frac{1}{n_{B}}\right)}=0.54\nonumber\]

Takwimu za mtihani wa mahesabu ni .54 na sio mkia wa usambazaji.

Fanya uamuzi: Tangu takwimu za mtihani wa hesabu hazipo katika mkia wa usambazaji hatuwezi kukataa\(H_0\).

Hitimisho: Katika kiwango cha 1% cha umuhimu, kutoka kwa data ya sampuli, hakuna ushahidi wa kutosha wa kuhitimisha kuwa kuna tofauti kati ya idadi ya wateja ambao walipungua katika makundi mawili.

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Aina mbili za valves zinajaribiwa ili kuamua ikiwa kuna tofauti katika uvumilivu wa shinikizo. Kumi na tano kati ya sampuli random ya 100 ya Valve A kupasuka chini ya 4,500 psi. Sita kati ya sampuli random ya 100 ya Valve B kupasuka chini ya 4,500 psi. Mtihani kwa kiwango cha 5% cha umuhimu.