Usambazaji wa kielelezo mara nyingi unahusika na kiasi cha muda mpaka tukio fulani linatokea. Kwa mfano, kiasi cha muda (kuanzia sasa) mpaka tetemeko la ardhi linatokea lina usambazaji wa kielelezo. Mifano mingine ni pamoja na urefu wa muda, kwa dakika, wa simu za biashara za umbali mrefu, na kiasi cha muda, kwa miezi, betri ya gari hudumu. Inaweza kuonyeshwa, pia, kwamba thamani ya mabadiliko uliyo nayo katika mfuko wako au mfuko wa fedha takriban ifuatavyo usambazaji wa kielelezo.
Maadili ya kutofautiana kwa random ya kielelezo hutokea kwa njia ifuatayo. Kuna maadili machache makubwa na maadili madogo zaidi. Kwa mfano, tafiti za masoko zimeonyesha kuwa kiasi cha pesa wateja hutumia katika safari moja kwenye maduka makubwa ifuatavyo usambazaji wa kielelezo. Kuna watu wengi ambao hutumia kiasi kidogo cha fedha na watu wachache ambao hutumia kiasi kikubwa cha fedha.
Mgawanyiko wa kielelezo hutumiwa kwa kawaida katika mahesabu ya kuaminika kwa bidhaa, au urefu wa muda bidhaa hudumu.
Variable random kwa usambazaji kielelezo ni kuendelea na mara nyingi hatua ya muda, ingawa inaweza kutumika katika maombi mengine. Maswali ya kawaida yanaweza kuwa, “ni uwezekano gani kwamba tukio fulani litatokea ndani ya\(x\) masaa au siku zijazo, au ni nini uwezekano kwamba tukio fulani litatokea kati ya\(x_1\)\(x_2\) masaa na masaa, au ni uwezekano gani kwamba tukio hilo litachukua zaidi ya\(x_1\) masaa kufanya ?” Kwa kifupi, variable random\(X\) sawa (a) muda kati ya matukio au (b) kipindi cha muda kukamilisha hatua, kwa mfano kusubiri juu ya wateja. Kazi ya wiani ya uwezekano hutolewa na:
ambapo\(\mu\) ni wastani wa kihistoria wa kusubiri wakati.
na ina maana na kiwango kupotoka ya\(1/\mu\).
Fomu mbadala ya formula ya usambazaji wa kielelezo inatambua kile kinachoitwa mara nyingi sababu ya kuoza. Sababu ya kuoza inachukua tu jinsi ya haraka uwezekano wa tukio hupungua kama\(X\) ongezeko la kutofautiana kwa random. Wakati notation kutumia parameter ya kuoza m hutumiwa, kazi ya wiani ya uwezekano imewasilishwa kama:
\[f(x)=m e^{-m x}\nonumber\]
wapi\(m=\frac{1}{\mu}\)
Ili kuhesabu probabilities kwa kazi maalum za wiani wa uwezekano, kazi ya wiani wa nyongeza hutumiwa. Kazi ya wiani wa jumla (cdf) ni muhimu tu ya pdf na ni:
Hebu\(X\) = kiasi cha muda (kwa dakika) karani wa posta anatumia na mteja. Wakati unajulikana kutoka data ya kihistoria kuwa na wastani wa muda sawa na dakika nne.
Inapewa kwamba\(\mu = 4\) dakika, yaani, muda wa wastani karani hutumia na mteja ni dakika 4. Kumbuka kwamba bado tunafanya uwezekano na hivyo tunapaswa kuambiwa vigezo vya idadi ya watu kama vile maana. Ili kufanya mahesabu yoyote, tunahitaji kujua maana ya usambazaji: wakati wa kihistoria wa kutoa huduma, kwa mfano. Kujua maana ya kihistoria inaruhusu hesabu ya parameter ya kuoza, m.
\(m=\frac{1}{\mu}\). Kwa hiyo,\(m=\frac{1}{4}=0.25\).
Wakati notation kutumika parameter kuoza, m, uwezekano wiani kazi ni iliyotolewa kama\(f(x)=m e^{-m x}\), ambayo ni tu formula ya awali na m kubadilishwa kwa\(\frac{1}{\mu}\), au\(f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}\).
Ili kuhesabu probabilities kwa kazi ya wiani wa uwezekano wa kielelezo, tunahitaji kutumia kazi ya wiani wa nyongeza. Kama inavyoonyeshwa hapo chini, safu ya kazi ya wiani wa nyongeza ni:
\(f(x) = 0.25e^{–0.25x}\)ambapo x ni angalau sifuri na\(m = 0.25\).
Kwa mfano,\(f(5) = 0.25e^{(-0.25)(5)} = 0.072\). Kwa maneno mengine, kazi ina thamani ya .072 wakati\(x = 5\).
Grafu ni kama ifuatavyo:
Kielelezo\(\PageIndex{13}\)
Angalia grafu ni Curve kupungua. Wakati\(x = 0\),
\(f(x) = 0.25e^{(−0.25)(0)} = (0.25)(1) = 0.25 = m\). Thamani ya juu kwenye mhimili wa y ni daima\(m\), moja imegawanywa na maana.
Zoezi\(\PageIndex{3}\)
Kiasi cha muda wa wanandoa duka kwa kadi za maadhimisho ya miaka inaweza kuonyeshwa na usambazaji wa kielelezo na kiwango cha wastani cha muda sawa na dakika nane. Andika usambazaji, sema kazi ya wiani wa uwezekano, na graph usambazaji.
Mfano\(\PageIndex{4}\)
a. kutumia taarifa katika Mfano\(\PageIndex{3}\), kupata uwezekano kwamba karani inatumia dakika nne hadi tano na wateja nasibu kuchaguliwa.
Jibu
a. kupata\(P (4 < x < 5)\).
Kazi ya usambazaji wa jumla (CDF) inatoa eneo upande wa kushoto. \(P(x < x) = 1 – e^{–mx}\) \(P(x < 5) = 1 – e^{(–0.25)(5)} = 0.7135\)na\(P(x < 4) = 1 – e^{(–0.25)(4)} = 0.6321\) \(P(4 < x < 5)= 0.7135 – 0.6321 = 0.0814\)
Kielelezo 5.14
Zoezi\(\PageIndex{4}\)
Idadi ya siku mbele wasafiri kununua tiketi zao za ndege zinaweza kuonyeshwa na usambazaji wa kielelezo na kiwango cha wastani cha muda sawa na siku 15. Pata uwezekano kwamba msafiri atanunua tiketi chini ya siku kumi mapema. Ni siku ngapi nusu ya wasafiri wote wanasubiri?
Mfano\(\PageIndex{5}\)
Kwa wastani, sehemu fulani ya kompyuta inachukua miaka kumi. Urefu wa muda sehemu ya kompyuta inachukua ni kusambazwa kwa kiasi kikubwa.
a Ni uwezekano gani kwamba sehemu ya kompyuta hudumu zaidi ya miaka 7?
Jibu
a Hebu kiasi\(x =\) cha muda (katika miaka) sehemu ya kompyuta itaendelea.
\ mu = 10 hivyo\(m=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{10}=0.1\)
Kupata\(P(x > 7)\). Chora grafu. \(P(x > 7) = 1 – P(x < 7)\). \(P(X < x) = 1 – e^{–mx}\)Tangu wakati huo\(P(X > x) = 1 – ( 1 –^{e–mx}) = e^{–mx}\) \(P(x > 7) = e(–0.1)(7) = 0.4966\). Uwezekano kwamba sehemu ya kompyuta hudumu zaidi ya miaka saba ni\(0.4966\).
Kielelezo\(\PageIndex{15}\)
b Kwa wastani, kwa muda gani sehemu tano za kompyuta zitaendelea ikiwa zinatumiwa moja kwa moja?
Jibu
b Kwa wastani, sehemu moja ya kompyuta inachukua miaka kumi. Kwa hiyo, sehemu tano za kompyuta, ikiwa zinatumiwa moja baada ya nyingine ingekuwa mwisho, kwa wastani, (5) (10) = miaka 50.
d Ni uwezekano gani kwamba sehemu ya kompyuta inachukua kati ya miaka tisa na 11?
Jibu
d. kupata\(P (9 < x < 11)\). Chora grafu.
Kielelezo\(\PageIndex{16}\)
\(P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e^{(–0.1)(11)}) – (1 – e^{(–0.1)(9)}) = 0.6671 – 0.5934 = 0.0737\). Uwezekano kwamba sehemu ya kompyuta hudumu kati ya miaka tisa na 11 ni\(0.0737\).
Zoezi\(\PageIndex{5}\)
Kwa wastani, jozi ya viatu vya kukimbia inaweza kudumu miezi 18 ikiwa hutumiwa kila siku. Urefu wa viatu vya kukimbia mwisho ni kusambazwa kwa kiasi kikubwa. Je! Ni uwezekano gani kwamba jozi ya viatu vya kukimbia hudumu zaidi ya miezi 15? Kwa wastani, je, jozi sita za viatu vya kukimbia zitaendelea muda gani ikiwa zinatumiwa moja baada ya nyingine? Asilimia themanini ya viatu vya kukimbia mwisho kwa muda gani ikiwa hutumiwa kila siku?
Mfano\(\PageIndex{6}\)
Tuseme kwamba urefu wa simu, katika dakika, ni kielelezo random variable na parameter kuoza\(\frac{1}{12}\). Kuoza p [parameter ni njia nyingine ya kuona 1/λ. Ikiwa mtu mwingine anakuja kwenye simu ya umma kabla yako, pata uwezekano wa kusubiri zaidi ya dakika tano. Hebu X = urefu wa simu, kwa dakika.
Ni nini\(m, \mu\), na\(\sigma\)? Uwezekano kwamba lazima kusubiri zaidi ya dakika tano ni _______.
Jibu
\(m = \frac{1}{12}\)
\(\mu = 12\)
\(\sigma = 12\)
\(P(x > 5) = 0.6592\)
Mfano\(\PageIndex{7}\)
Wakati uliotumika kusubiri kati ya matukio mara nyingi unatokana kwa kutumia usambazaji wa kielelezo. Kwa mfano, tuseme kwamba wastani wa wateja 30 kwa saa huwasili kwenye duka na muda kati ya waliofika unasambazwa kwa kiasi kikubwa.
Kwa wastani, ni dakika ngapi zinazopita kati ya waliofika wawili mfululizo?
Wakati duka linafungua kwanza, inachukua muda gani kwa wastani kwa wateja watatu kufika?
Baada ya mteja kufika, kupata uwezekano kwamba inachukua chini ya dakika moja kwa mteja ijayo kufika.
Baada ya mteja kufika, kupata uwezekano kwamba inachukua zaidi ya dakika tano kwa mteja mwingine kufika.
Je, usambazaji wa kielelezo unaofaa kwa hali hii?
Jibu
A.Kwa kuwa tunatarajia wateja 30 kufika kwa saa (dakika 60), tunatarajia kwa wastani mteja mmoja kufika kila dakika mbili kwa wastani.
B.Kwa kuwa mteja mmoja anafika kila dakika mbili kwa wastani, itachukua dakika sita kwa wastani kwa wateja watatu kufika.
C.Hebu muda kati\(X =\) ya waliofika, katika dakika. Kwa sehemu a\(\mu = 2\), hivyo\(m = \frac{1}{2}= 0.5\).
kazi ya usambazaji nyongeza ni\(P(X < x) = 1 – e^{(-0.5)(x)}\) Kwa hiyo\(P(X < 1) = 1 – e^{(–0.5)(1)} = 0.3935\).
Kielelezo\(\PageIndex{17}\)
d\(P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – (1 – e^{(-0.5)(5)}) = e^{–2.5} \approx 0.0821\).
Kielelezo\(\PageIndex{18}\)
Mfano huu unafikiri kwamba mteja mmoja anafika kwa wakati mmoja, ambayo inaweza kuwa ya busara kwani watu wanaweza duka katika vikundi, na kusababisha wateja kadhaa wanaowasili kwa wakati mmoja. Pia inadhani kwamba mtiririko wa wateja haubadilika siku nzima, ambayo si halali ikiwa wakati fulani wa siku ni busier kuliko wengine.
Memorylessness ya Usambazaji Kielelezo
Kumbuka kwamba kiasi cha muda kati ya wateja kwa karani wa posta kujadiliwa mapema ni exponentially kusambazwa kwa maana ya dakika mbili. Tuseme kwamba dakika tano zimepita tangu mteja wa mwisho aliwasili. Kwa kuwa muda mrefu usio wa kawaida umepita sasa, inaonekana kuwa na uwezekano mkubwa zaidi kwa mteja kufika ndani ya dakika inayofuata. Kwa usambazaji wa kielelezo, hii sio kesi-wakati wa ziada uliotumiwa kusubiri mteja ijayo hautegemei muda gani tayari umepita tangu mteja wa mwisho. Hii inajulikana kama mali isiyokumbuka. Kielelezo na kijiometri uwezekano wiani kazi ni tu uwezekano kazi kwamba kuwa na mali memoryless. Hasa, mali memoryless anasema kwamba
\(P(X > r + t | X > r) = P (X > t)\)kwa wote\(r \geq 0\) na\(t \geq 0\)
Kwa mfano, ikiwa dakika tano zimepita tangu mteja wa mwisho aliwasili, basi uwezekano wa kuwa zaidi ya dakika moja itapita kabla ya mteja atakapofika huhesabiwa kwa kutumia r = 5 na t = 1 katika equation iliyotangulia.
Huu ni uwezekano sawa na ule wa kusubiri zaidi ya dakika moja kwa mteja kufika baada ya kuwasili hapo awali.
Usambazaji wa kielelezo mara nyingi hutumiwa kutengeneza muda mrefu wa kifaa cha umeme au mitambo. Katika Mfano\(\PageIndex{5}\), maisha ya sehemu fulani ya kompyuta ina usambazaji wa kielelezo kwa maana ya miaka kumi. Mali isiyokumbuka inasema kuwa ujuzi wa kile kilichotokea katika siku za nyuma hauna athari juu ya uwezekano wa baadaye. Katika kesi hii ina maana kwamba sehemu ya zamani haipatikani zaidi wakati wowote kuliko sehemu mpya ya bidhaa. Kwa maneno mengine, sehemu hiyo inakaa nzuri kama mpya mpaka itavunja ghafla. Kwa mfano, kama sehemu tayari imechukua miaka kumi, basi uwezekano kwamba hudumu miaka saba ni\(P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0.4966\), ambapo mstari wa wima unasomewa kama “kupewa”.
Mfano\(\PageIndex{8}\)
Rejea tena karani wa posta ambapo wakati karani wa posta anatumia na mteja wake ana usambazaji wa kielelezo kwa maana ya dakika nne. Tuseme mteja ametumia dakika nne na karani wa posta. Ni uwezekano gani kwamba yeye atatumia angalau dakika tatu za ziada na karani wa posta?
Kazi ya usambazaji wa jumla ni\(P(X < x) = 1 – e^{–0.25x}\).
Tunataka kupata\(P (X > 7|X > 4)\). Mali isiyokumbuka inasema kwamba\(P (X > 7|X > 4) = P (X > 3)\), kwa hiyo tunahitaji tu kupata uwezekano kwamba mteja anatumia zaidi ya dakika tatu na karani wa posta.
Uhusiano kati ya Poisson na Usambazaji wa Kielelezo
Kuna uhusiano wa kuvutia kati ya usambazaji wa kielelezo na usambazaji wa Poisson. Tuseme kwamba wakati unaopita kati ya matukio mawili mfululizo hufuata usambazaji wa kielelezo kwa maana ya\(\mu\) vitengo vya wakati. Pia kudhani kwamba nyakati hizi ni huru, maana yake ni kwamba muda kati ya matukio haiathiriwa na nyakati kati ya matukio ya awali. Ikiwa mawazo haya yanashikilia, basi idadi ya matukio kwa wakati wa kitengo ifuatavyo usambazaji wa Poisson kwa maana\(\mu\). Kumbuka kwamba ikiwa\(X\) ina usambazaji wa Poisson kwa maana\(\mu\), basi\(P(X=x)=\frac{\mu^{x_{e}-\mu}}{x !}\).
formula kwa ajili ya usambazaji kielelezo:\(P(X=x)=m e^{-m x}=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}\) Ambapo\(m =\) kiwango parameter, au\(\mu =\) wastani wa muda kati ya matukio.
Tunaona kwamba kielelezo ni binamu wa usambazaji wa Poisson na wanaunganishwa kupitia formula hii. Kuna tofauti muhimu zinazofanya kila usambazaji kuwa muhimu kwa aina tofauti za matatizo ya uwezekano.
Kwanza, Poisson ina kutofautiana kwa random\(x\), ambapo wakati; kutofautiana kwa kuendelea ni artificially kuvunjwa katika vipande discrete. Tuliona kwamba idadi ya matukio ya tukio katika kipindi fulani wakati\(x\), ifuatavyo usambazaji Poisson.
Kwa mfano, idadi ya mara pete simu kwa saa. Kwa kulinganisha, wakati kati ya matukio hufuata usambazaji wa kielelezo. Kwa mfano. Simu tu ilipiga, itakuwa muda gani mpaka itapiga tena? Sisi ni kupima urefu wa muda wa muda, kuendelea random variable, kielelezo, si matukio wakati wa kipindi, Poisson.
Usambazaji wa Kielelezo v. Usambazaji wa Poisson
Njia inayoonekana ya kuonyesha kufanana na tofauti kati ya mgawanyo huu wawili ni kwa mstari wa wakati.
Kielelezo 5.20
variable random kwa ajili ya usambazaji Poisson ni za kipekee na hivyo makosa matukio wakati wa kipindi fulani wakati,\(t_1\) kwa\(t_2\) juu ya Kielelezo\(\PageIndex{20}\), na mahesabu ya uwezekano wa idadi hiyo kutokea. Idadi ya matukio, nne katika grafu, inapimwa kwa idadi ya kuhesabu; kwa hiyo, kutofautiana kwa random ya Poisson ni kutofautiana kwa random isiyo ya kawaida.
Usambazaji wa uwezekano wa kielelezo huhesabu uwezekano wa kipindi cha muda, kutofautiana kwa random inayoendelea. Katika Kielelezo\(\PageIndex{20}\) hii ni umeonyesha kama mabano kutoka t1 kwa tukio ya pili ya tukio alama na pembetatu.
Maswali ya usambazaji wa Poisson ya kawaida ni “ni watu wangapi watafika kwenye dirisha langu la Checkout katika saa inayofuata?”.
Maswali ya usambazaji wa kielelezo ya kawaida ni “itakuwapo muda gani mpaka mtu mwingine atakapofika,” au lahaja, “mtu atabaki hapa muda gani baada ya kufika?”.
Tunaona mara moja kufanana kati ya formula ya kielelezo na formula ya Poisson.
\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]
Wote uwezekano wiani kazi ni msingi juu ya uhusiano kati ya muda na ukuaji kielelezo au kuoza. “E” katika formula ni mara kwa mara na thamani ya takriban ya 2.71828 na ni msingi wa formula ya ukuaji wa kielelezo ya asili ya logarithmic. Wakati watu wanasema kuwa kitu imeongezeka kwa kiasi kikubwa, hii ndiyo wanayozungumzia.
Mfano wa kielelezo na Poisson itaweka wazi tofauti zilikuwa mbili. Pia itaonyesha maombi ya kuvutia wanayo.
PoissonUsambazaji
Tuseme kwamba kihistoria 10 wateja kufika katika mistari Checkout kila saa. Kumbuka kwamba hii bado ni uwezekano hivyo tunapaswa kuambiwa maadili haya ya kihistoria. Tunaona hii ni tatizo Poisson uwezekano.
Tunaweza kuweka habari hii katika Poisson uwezekano wiani kazi na kupata formula ya jumla ambayo mahesabu ya uwezekano wa idadi yoyote maalum ya wateja kuwasili katika saa ijayo.
Fomu ni kwa thamani yoyote ya kutofautiana kwa random tuliyochagua, na hivyo x imewekwa katika formula. Hii ni formula:
\[f(x)=\frac{10^{x} e^{-10}}{x !}\nonumber\]
Kwa mfano, uwezekano wa watu 15 wanaofika kwenye counter ya checkout katika saa inayofuata itakuwa
Hapa tuna kuingizwa x = 15 na mahesabu uwezekano kwamba katika saa ijayo 15 watu kufika ni .061.
Usambazaji wa kielelezo
Ikiwa tunaweka ukweli huo wa kihistoria ambao wateja wa 10 huwasili kila saa, lakini sasa tunavutiwa na wakati wa huduma ambayo mtu hutumia kwenye counter, basi tutatumia usambazaji wa kielelezo. kielelezo uwezekano kazi kwa thamani yoyote ya x, variable random, kwa ajili ya hii hasa Checkout counter data ya kihistoria ni:
Ili kuhesabu\(\mu\), wakati wa huduma ya wastani wa kihistoria, tunagawanya tu idadi ya watu wanaokuja kwa saa, 10, katika kipindi cha muda, saa moja, na kuwa na\(\mu = 0.1\). Kwa kihistoria, watu hutumia 0.1 ya saa kwenye counter ya checkout, au dakika 6. Hii inaelezea .1 katika formula.
Kuna machafuko ya asili na\(\mu\) katika wote Poisson na formula kielelezo. Wana maana tofauti, ingawa wana alama sawa. Maana ya kielelezo ni moja kugawanywa na maana ya Poisson. Kama wewe ni kupewa idadi ya kihistoria ya waliofika una maana ya Poisson. Kama wewe ni kupewa urefu wa kihistoria wa muda kati ya matukio una maana ya kielelezo.
Kuendelea na mfano wetu katika karani wa Checkout; ikiwa tulitaka kujua uwezekano kwamba mtu atatumia dakika 9 au chini ya kuangalia nje, basi tunatumia formula hii. Kwanza, sisi kubadilisha kwa vitengo sawa wakati ambayo ni sehemu ya saa moja. Dakika tisa ni 0.15 ya saa moja. Halafu tunaona kwamba tunaomba maadili mbalimbali. Hii ni daima kesi kwa kuendelea random variable. Tunaandika swali la uwezekano kama:
\[p(x \leq 9)=1-10 e^{-10 x}\nonumber\]
Sasa tunaweza kuweka namba katika formula na tuna matokeo yetu.
\[p(x=.15)=1-10 e^{-10(.15)}=0.7769\nonumber\]
Uwezekano kwamba mteja atatumia dakika 9 au chini ya kuangalia nje ni\(0.7769\).
Tunaona kwamba tuna uwezekano mkubwa wa kupata nje chini ya dakika tisa na uwezekano mdogo wa kuwa na wateja 15 wanaowasili saa inayofuata.
