Skip to main content
Global

12.1: Kiwango cha Mtiririko na Uhusiano wake na Velocity

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    182950

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tumia kiwango cha mtiririko.
    • Eleza vitengo vya kiasi.
    • Eleza maji yasiyotumiwa.
    • Eleza matokeo ya equation ya kuendelea.

    Kiwango cha mtiririko\(Q\) hufafanuliwa kuwa kiasi cha maji kupita kwa eneo fulani kupitia eneo wakati wa kipindi cha muda, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Katika alama, hii inaweza kuandikwa kama

    \[Q = \dfrac{V}{t},\]

    wapi\(V\) ant kiasi\(t\) ni wakati uliopita.

    kitengo SI kwa kiwango cha mtiririko ni\(m^3/s\), lakini idadi ya vitengo vingine kwa\(Q\) ni katika matumizi ya kawaida. Kwa mfano, moyo wa watu wazima wanapumzika damu kwa kiwango cha lita 5.00 kwa dakika (L/min). Kumbuka kwamba lita (L) ni 1/1000 ya mita za ujazo au sentimita za ujazo 1000 (\(10^{-3} \, m^3\)au\(10^3 \, cm\)). Katika maandishi haya tutatumia chochote vitengo vya metri ni rahisi zaidi kwa hali fulani.

    Takwimu inaonyesha maji yanayotembea kupitia bomba la cylindrical wazi katika mwisho wote. sehemu ya bomba cylindrical na maji ni kivuli kwa urefu d. kasi ya maji katika kanda kivuli inavyoonekana kwa v kuelekea kulia. Sehemu msalaba wa silinda kivuli ni alama kama A. silinda hii ya mtiririko wa maji kupita hatua P juu ya bomba cylindrical. Kasi v ni sawa na d juu ya t.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Kiwango cha mtiririko ni kiasi cha maji kwa wakati kitengo inapita nyuma hatua kwa njia ya\(A\) eneo. re silinda kivuli ya mtiririko maji hatua ya zamani\(P\) katika bomba sare katika muda\(t\). Kiasi cha silinda ni\(Ad\) na kasi ya wastani ni\(\overline{v} = d/t\) hivyo kwamba kiwango cha mtiririko ni\(Q = Ad/t = A\overline{v}\).

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating Volume from Flow Rate: The Heart Pumps a Lot of Blood in a Lifetime

    Ni mita ngapi za ujazo za damu ambazo pampu ya moyo katika maisha ya miaka 75, kuchukua kiwango cha wastani cha mtiririko ni 5.00 L/min?

    Mkakati

    Muda na kiwango cha mtiririko\(Q\) hutolewa, na hivyo kiasi\(V\) kinaweza kuhesabiwa kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango cha mtiririko.

    Suluhisho

    Kutatua\(Q = V/t\) kwa kiasi hutoa

    \[V = Qt. \nonumber \]

    Kubadilisha maadili inayojulikana mavuno

    \[\begin{align*}V &= \left(\dfrac{5.00 \, L}{1 \, min}\right)(75 \, y)\left(\dfrac{1 \, m^3}{10^3 \, L}\right)(5.26 \times 10^5 \, \left(\dfrac{min}{y}\right) \\[5pt] &= 2.0 \times 10^5 \, m^3 \end{align*}\]

    Majadiliano

    Kiasi hiki ni kuhusu tani 200,000 za damu. Kwa kulinganisha, thamani hii ni sawa na mara 200 kiasi cha maji kilicho katika pool ya 6-mstari wa 50-m.

    Kiwango cha mtiririko na kasi ni kuhusiana, lakini tofauti kabisa, kiasi cha kimwili. Ili kufanya tofauti wazi, fikiria juu ya kiwango cha mtiririko wa mto. Kasi kubwa ya maji, kiwango kikubwa cha mtiririko wa mto. Lakini kiwango cha mtiririko pia inategemea ukubwa wa mto. Mkondo wa mlima wa haraka hubeba maji kidogo sana kuliko mto Amazon nchini Brazil, kwa mfano. Uhusiano sahihi kati ya kiwango cha mtiririko\(Q\) na kasi\(\overline{v}\) ni

    \[Q = A \overline{v},\]

    \(A\)wapi eneo la msalaba na\( \overline{v}\) ni kasi ya wastani. Equation hii inaonekana mantiki ya kutosha. uhusiano inatuambia kwamba kiwango cha mtiririko ni moja kwa moja sawia na ukubwa wa kasi ya wastani (hapa inajulikana kama kasi) na ukubwa wa mto, bomba, au mfereji mwingine. Kubwa cha mfereji, eneo kubwa zaidi la msalaba. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) unaeleza jinsi uhusiano huu ni kupatikana. Silinda ya kivuli ina kiasi

    \[V = Ad,\]

    ambayo inapita nyuma hatua\(P\) katika wakati\(t\). Kugawanya pande zote mbili za uhusiano huu kwa\(t\) anatoa

    \[\dfrac{V}{t} = \dfrac{Ad}{t}.\]

    Tunaona kwamba\(Q = V\t\) na kasi ya wastani ni\(\overline{v} = d/t\). Hivyo equation inakuwa\(Q = A\overline{v}\).

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha maji yasiyotumiwa yanayotembea kwenye bomba la radius iliyopungua. Kwa sababu maji ni incompressible, kiasi hicho cha maji lazima kati yake kupita hatua yoyote katika tube katika muda fulani ili kuhakikisha mwendelezo wa mtiririko. Katika kesi hiyo, kwa sababu eneo la msalaba wa bomba hupungua, kasi lazima iongeze. Mantiki hii inaweza kupanuliwa ili kusema kwamba kiwango cha mtiririko lazima iwe sawa katika pointi zote kwenye bomba. Hasa, kwa pointi 1 na 2,

    \[Q_1 = Q_2\]

    \[A_1\overline{v}_1 = A_2\overline{v}_2\]

    Hii inaitwa equation ya kuendelea na halali kwa maji yoyote incompressible. Matokeo ya equation ya mwendelezo yanaweza kuzingatiwa wakati maji inapita kutoka hose ndani ya bomba nyembamba ya dawa: inatokea kwa kasi—yaani kusudi la bubu. Kinyume chake, wakati mto unapoingia kwenye mwisho mmoja wa hifadhi, maji hupungua kwa kiasi kikubwa, labda kuokota kasi tena inapoacha mwisho mwingine wa hifadhi. Kwa maneno mengine, kasi huongezeka wakati eneo la msalaba hupungua, na kasi hupungua wakati eneo la msalaba linaongezeka.

    Takwimu inaonyesha tube ya cylindrical pana upande wa kushoto na nyembamba upande wa kulia. Maji yanaonyeshwa inapita kati ya tube ya cylindrical kuelekea kulia kando ya mhimili wa tube. Eneo la kivuli limewekwa kwenye silinda pana upande wa kushoto. Sehemu ya msalaba imewekwa juu yake kama A. Hatua moja imewekwa kwenye sehemu hii ya msalaba. kasi ya maji kwa njia ya eneo kivuli kwenye tube nyembamba ni alama ya v moja kama mshale kuelekea kulia. Eneo lingine la kivuli limewekwa kwenye cylindrical nyembamba upande wa kulia. Eneo la kivuli kwenye tube nyembamba ni mrefu zaidi kuliko ile kwenye tube pana ili kuonyesha kwamba wakati tube inapungua, kiasi sawa kinachukua urefu mkubwa zaidi. Sehemu ya msalaba imewekwa kwenye tube nyembamba ya cylindrical kama A mbili. Hatua mbili ni alama kwenye sehemu hii ya msalaba. kasi ya maji kwa njia ya eneo kivuli kwenye tube nyembamba ni alama v mbili kuelekea kulia. mshale inayoonyesha v mbili ni mrefu kuliko kwa v moja kuonyesha v mbili kuwa kubwa katika thamani ya v moja.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Wakati tube inapungua, kiasi sawa kinachukua urefu mkubwa. Kwa kiasi sawa cha kupitisha pointi 1 na 2 kwa wakati fulani, kasi lazima iwe kubwa zaidi katika hatua ya 2. Mchakato huo unarekebishwa kabisa. Ikiwa maji yanapita katika mwelekeo kinyume, kasi yake itapungua wakati tube inapanuka. (Kumbuka kuwa kiasi cha jamaa cha mitungi miwili na mishale ya vector ya kasi ya sambamba haipatikani kwa kiwango.)

    Kwa kuwa vinywaji ni kimsingi incompressible, equation ya kuendelea ni halali kwa vinywaji vyote. Hata hivyo, gesi ni compressible, na hivyo equation lazima kutumika kwa tahadhari kwa gesi kama ni wanakabiliwa na compression au upanuzi.

    Mfano\(\PageIndex{2}\): Calculating Fluid Speed: Speed Increases When a Tube Narrows

    Bomba yenye radius ya cm 0.250 inaunganishwa na hose ya bustani yenye radius ya cm 0.900. Kiwango cha mtiririko kupitia hose na bomba ni 0.500 L/s.

    Mkakati

    Tunaweza kutumia uhusiano kati ya kiwango cha mtiririko na kasi ili kupata kasi zote mbili. Tutatumia usajili 1 kwa hose na 2 kwa bomba.

    Suluhisho kwa (a)

    Kwanza, sisi kutatua\(Q = A\overline{v}\)\(v_1\) na kutambua kwamba eneo msalaba-Sectional ni\(A = \pi r^2\), kujitoa

    \[\overline{v}_1 = \dfrac{Q}{A_1} = \dfrac{Q}{\pi r_1^2}, \nonumber \]

    Kubadilisha maadili inayojulikana na kufanya mazao ya kitengo sahihi

    \[\overline{v}_1 = \dfrac {(0.500 \, L/s)(10^{-3} m^3/L)}{\pi (9.00 \times 10^{-3}m)^2} = 1.96 \, m/s. \nonumber \]

    Suluhisho kwa (b)

    Tunaweza kurudia hesabu hii ili kupata kasi katika nozzle\(\overline{v}_2\), lakini tutatumia equation ya mwendelezo kutoa ufahamu tofauti. Kutumia equation ambayo inasema

    \[A_1\overline{v}_1 = A_2\overline{v}_2 \nonumber \]

    kutatua\(\overline{v}_2\) na kubadilisha nafasi ya mavuno\(\pi r^2\) ya eneo la msalaba

    \[\overline{v}_2 = \dfrac{A_1}{A_2}\overline{v}_1 = \dfrac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}\overline{v}_1 = \dfrac{r_1^2}{r_2^2}\overline{v}_1. \nonumber \]

    Kubadilisha maadili inayojulikana,

    \[\overline{v}_2 = \dfrac{ (0.900 \, cm)^2}{(0.250 \, cm)^2} 1.96 \, m/s = 25.5 \, m/s. \nonumber \]

    Majadiliano

    Kasi ya 1.96 m/s ni juu ya haki kwa maji yanayotokana na hose isiyo na pua. Bomba hutoa mkondo wa kasi sana tu kwa kuzuia mtiririko kwenye tube nyembamba.

    Suluhisho la sehemu ya mwisho ya mfano inaonyesha kwamba kasi ni inversely sawia na mraba wa radius ya tube, na kufanya athari kubwa wakati radius inatofautiana. Tunaweza kupiga mshumaa kwa mbali kabisa, kwa mfano, kwa kunyoosha midomo yetu, wakati kupiga mshumaa kwa kinywa chetu wazi ni ufanisi kabisa.

    Katika hali nyingi, ikiwa ni pamoja na mfumo wa moyo, mishipa ya mtiririko hutokea. Damu hupigwa kutoka moyoni ndani ya mishipa ambayo hugawanyika katika mishipa ndogo (arterioles) ambayo huwa tawi ndani ya vyombo vyema sana vinavyoitwa capillaries. Katika hali hii, mwendelezo wa mtiririko unasimamiwa lakini ni jumla ya viwango vya mtiririko katika kila matawi katika sehemu yoyote pamoja na tube inayohifadhiwa. Equation ya kuendelea katika fomu zaidi ya jumla inakuwa

    \[n_1A_1\overline{v}_1 = n_2A_2\overline{v}_2,\]

    wapi\(n_1\) na\(n_2\) ni idadi ya matawi katika kila sehemu kando ya tube.

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Calculating Flow Speed and Vessel Diameter: Branching in the Cardiovascular System

    Aorta ni chombo kuu cha damu ambacho damu huacha moyo ili kuzunguka mwili. (a) Tumia kasi ya wastani ya damu katika aorta ikiwa kiwango cha mtiririko ni 5.0 L/min. Aorta ina radius ya mm 10. (b) Damu pia inapita kupitia mishipa ndogo ya damu inayojulikana kama capillaries. Wakati kiwango cha mtiririko wa damu katika aorta ni 5.0 L/min, kasi ya damu katika capillaries ni karibu 0.33 mm/s Kutokana na kwamba wastani wa kipenyo cha kapilari ni\(8.0 \, \mu m\), kuhesabu idadi ya capillaries katika mfumo wa mzunguko wa damu.

    Mkakati

    Tunaweza kutumia\(Q = A\overline{v}\) kuhesabu kasi ya mtiririko katika aorta na kisha kutumia fomu ya jumla ya equation ya mwendelezo kuhesabu idadi ya kapilari kama vigezo vingine vyote vinavyojulikana.

    Suluhisho kwa (a)

    Kiwango cha mtiririko hutolewa na\(Q = A\overline{v}\) au\(\overline{v} = \frac{Q}{\pi r^2} \) kwa chombo cha cylindrical.

    Kubadilisha maadili inayojulikana (kubadilishwa kwa vitengo vya mita na sekunde) inatoa

    \[\begin{align*} \overline{v} &= \dfrac{(5.0 \, L/min)(10^{-3} \, m^3/L)(1 \, min/60 \, s)}{\pi(0.010 \, m)^2} \\[5pt] &= 0.27 \, m/s. \end{align*}\]

    Suluhisho kwa (b)

    Kutumia\(n_1A_1\overline{v}_1 = n_2A_2\overline{v}_1\), kugawa subscript 1 kwa aorta na 2 kwa capillaries, na kutatua kwa\(n_2\) (idadi ya capillaries) anatoa\(n_2 = \frac{n_1A_1\overline{v}_1}{A-2\overline{v}_2}.\) Kubadili kiasi vyote kwa vitengo vya mita na sekunde na kubadilisha katika equation hapo juu inatoa

    \[\begin{align*} n_2 &= \dfrac{(1)(\pi)(10 \times 10^{-3} m)^2(0.27 \, m/s)}{(\pi)(4.0 \times 10^{-6} m)(0.33 \times 10^{-3} m/s)} \\[5pt] &= 5.0 \times 10^9 \, capillaries.\end{align*}\]

    Majadiliano

    Kumbuka kuwa kasi ya mtiririko katika capillaries imepungua sana kuhusiana na kasi katika aorta kutokana na ongezeko kubwa la eneo la jumla la msalaba kwenye capillaries. Kasi hii ya chini ni kuruhusu muda wa kutosha wa kubadilishana ufanisi kutokea ingawa ni muhimu pia kwa mtiririko usiwe na stationary ili kuepuka uwezekano wa kukata. Je! Idadi hii kubwa ya capillaries katika mwili inaonekana kuwa ya busara? Katika misuli ya kazi, mtu hupata capillaries 200 kwa kila\(mm^3\), au juu ya\(200 \times 10^6\) kilo 1 ya misuli. Kwa kilo 20 cha misuli, hii ni sawa na\(4 \times 10^9\) capillaries. × 10 9

    Muhtasari

    • Kiwango cha mtiririko\(Q\) hufafanuliwa kuwa kiasi\(V\) kinachozunguka kipindi cha wakati\(t\), au\(Q = \frac{V}{t}\) wapi\(V\) kiasi na\(t\) ni wakati.
    • Kitengo cha SI cha kiasi ni\(m^3\).
    • Kitengo kingine cha kawaida ni lita (L), ambayo ni\(10^{-3}m^3\)
    • Kiwango cha mtiririko na kasi ni kuhusiana na\(Q = A\overline{v}\) wapi\(A\) eneo la msalaba wa mtiririko na\(v\) ni kasi yake ya wastani.
    • Kwa maji yasiyo ya kawaida, kiwango cha mtiririko katika pointi mbalimbali ni mara kwa mara. Hiyo ni,

    \[Q_1 = Q_2\]

    \[A_1\overline{v}_1 = A_2\overline{v}_2\]

    \[n_1A_1\overline{v}_1 = n_2A_2\overline{v}_2\]

    faharasa

    kiwango cha mtiririko
    iliyofupishwa Q, ni kiasi V kinachozidi hatua fulani wakati wa t, au Q = V/t
    lita
    kitengo cha kiasi, sawa na 10 -3 m 3