10.3: Nguvu za Mwendo wa Mzunguko - Inertia ya mzunguko

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Kuelewa uhusiano kati ya nguvu, wingi na kuongeza kasi.
• Jifunze athari ya kugeuka ya nguvu.
• Jifunze mlinganisho kati ya nguvu na moment, wingi na wakati wa inertia, na kuongeza kasi ya mstari na kasi ya angular.

Kama umewahi spun baiskeli gurudumu au kusukwa merry-go-pande zote, unajua kwamba nguvu inahitajika kubadili kasi angular kama inavyoonekana katika Kielelezo 10.4.1. Kwa kweli, intuition yako ni ya kuaminika katika kutabiri mambo mengi yanayohusika. Kwa mfano, tunajua kwamba mlango unafungua polepole ikiwa tunashinikiza karibu sana na vidole vyake. Zaidi ya hayo, tunajua kwamba mlango mkubwa zaidi, polepole unafungua. Mfano wa kwanza unamaanisha kuwa nguvu zaidi hutumiwa kutoka kwa egemeo, kasi ya kasi ya angular; maana nyingine ni kwamba kasi ya angular ni inversely sawia na wingi. Mahusiano haya yanapaswa kuonekana sawa na mahusiano ya kawaida kati ya nguvu, wingi, na kuongeza kasi iliyo katika sheria ya pili ya Newton ya mwendo. Kuna, kwa kweli, analogs sahihi za mzunguko kwa nguvu zote na wingi.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Nguvu inahitajika kwa spin gurudumu baiskeli. Nguvu kubwa, kasi kubwa ya angular zinazozalishwa. Gurudumu kubwa zaidi, ndogo kasi ya angular. Kama kushinikiza juu ya alizungumza karibu na axle, kasi ya angular itakuwa ndogo.

Kuendeleza uhusiano sahihi kati ya nguvu, wingi, Radius, na kuongeza kasi ya angular, fikiria nini kinatokea kama sisi exert nguvu\(F\) juu ya molekuli uhakika\(m\) kwamba ni katika umbali\(r\) kutoka hatua egemeo, kama inavyoonekana katika Kielelezo 10.4.2. Kwa sababu nguvu ni perpendicular kwa\(r\), kasi\(a = frac{F}{m}\) ni kupatikana katika mwelekeo wa\(F\). Tunaweza upya equation hii vile kwamba\(F = ma\) na kisha kutafuta njia ya kuhusiana maneno haya kwa maneno kwa wingi rotational. Tunaona kwamba\(a = r\alpha\), na sisi badala ya kujieleza hii katika\(F = ma\), kujitoa\[F = mr\alpha.\] Kumbuka kwamba moment ni kugeuka ufanisi wa nguvu. Katika kesi hii, kwa sababu\(F\) ni perpendicular kwa\(r\), wakati ni tu\(\tau = Fr\). Hivyo, kama sisi kuzidisha pande zote mbili za equation hapo juu na\(r\), sisi kupata moment upande wa kushoto. Hiyo ni,\[rF = mr^2\alpha\] au\[\tau = mr^2\alpha.\]

Equation hii ya mwisho ni analog ya mzunguko wa sheria ya pili ya Newton\(F = ma\), ambapo moment ni sawa na nguvu, kasi ya angular ni sawa na kuongeza kasi ya kutafsiri, na\(mr^2\) ni sawa na wingi (au inertia). Kiasi\(mr^2\) kinachoitwa inertia ya mzunguko au wakati wa inertia ya molekuli\(m\) ya uhakika umbali\(r\) kutoka katikati ya mzunguko.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kitu kinasaidiwa na meza ya usawa isiyo na msuguano na inaunganishwa na hatua ya egemeo kwa kamba ambayo hutoa nguvu ya centripetal. Nguvu\(F\) hutumiwa kwa kitu perpendicular kwa radius\(r\), na kusababisha kuharakisha kuhusu hatua ya pivot. Nguvu inachukuliwa perpendicular kwa\(r\).

Kufanya Uunganisho: Dynamics ya Mzunguko

Nguvu za mwendo wa mzunguko ni sawa kabisa na mienendo ya mstari au ya kutafsiri. Dynamics inahusika na nguvu na wingi na madhara yao juu ya mwendo. Kwa mwendo wa mzunguko, tutapata analogs moja kwa moja kwa nguvu na wingi ambao hufanya kama tunavyotarajia kutokana na uzoefu wetu wa awali.

Inertia ya mzunguko na Muda wa Inertia

Kabla ya kufikiria mzunguko wa kitu chochote mbali na molekuli uhakika kama moja katika Kielelezo, ni lazima kupanua wazo la inertia rotational kwa kila aina ya vitu. Kupanua dhana yetu ya inertia ya mzunguko, tunafafanua wakati\(I\) wa inertia ya\(mr^2\) kitu kuwa jumla ya raia wote ambao hujumuisha. Hiyo ni,\(I = \sum mr^2\). Hapa\(I\) ni sawa na\(m\) katika translational mwendo. Kwa sababu ya umbali\(r\), wakati wa inertia kwa kitu chochote inategemea mhimili uliochaguliwa. Kweli, kuhesabu\(I\) ni zaidi ya upeo wa maandishi haya isipokuwa kwa kesi moja rahisi-ile ya hoop, ambayo ina molekuli yake yote kwa umbali sawa kutoka mhimili wake. Wakati wa hoop wa inertia karibu na mhimili wake ni kwa hiyo\(MR^2\), wapi\(M\) molekuli yake ya jumla na radius\(R\) yake. (Tunatumia\(M\) na\(R\) kwa kitu nzima ili kuwatofautisha kutoka\(m\) na\(r\) kwa raia wa uhakika.) Katika kesi nyingine zote, ni lazima kushauriana Kielelezo 10.4.3 (kumbuka kuwa meza ni kipande cha mchoro ambayo ina maumbo kama vile formula) kwa formula kwa\(I\) kuwa yamekuwa inayotokana na ushirikiano juu ya mwili kuendelea. Kumbuka kwamba\(I\) ina vitengo ya wingi kuzidisha kwa umbali squared\((kg \cdot m^2)\) kama tunaweza kutarajia kutoka ufafanuzi wake.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Baadhi ya inertias ya mzunguko.

Uhusiano wa jumla kati ya wakati, wakati wa inertia, na kasi ya angular ni\[net \, \tau = I \alpha\]\[\alpha = \dfrac{net \, \tau}{I},\] wapi wavu\(\tau\) ni wakati wa jumla kutoka kwa nguvu zote kuhusiana na mhimili uliochaguliwa. Kwa unyenyekevu, tutazingatia tu torques zilizofanywa na nguvu katika ndege ya mzunguko. Torques vile ni ama chanya au hasi na kuongeza kama idadi ya kawaida. uhusiano katika\(\tau = I\alpha\),\(\alpha = \frac{net \, \tau}{I}\) ni Analog mzunguko kwa sheria ya pili Newton na ni kwa ujumla sana husika. Equation hii ni kweli halali kwa moment yoyote, kutumika kwa kitu chochote, jamaa na mhimili yoyote.

Kama tunavyoweza kutarajia, kasi kubwa ni, kasi kubwa ya angular ni. Kwa mfano, vigumu mtoto anasumaji juu ya merry-kwenda pande zote, kasi inaharakisha. Zaidi ya hayo, mkubwa zaidi ya furaha-kwenda-pande zote, polepole ni kuchochea kasi kwa moment huo. Uhusiano wa msingi kati ya wakati wa inertia na kasi ya angular ni kwamba wakati mkubwa wa inertia, ndogo ni kasi ya angular. Lakini kuna twist ziada. Wakati wa inertia hutegemea tu juu ya wingi wa kitu, lakini pia juu ya usambazaji wake wa jamaa ya wingi na mhimili unaozunguka. Kwa mfano, itakuwa rahisi sana kuharakisha furaha inayojaa watoto ikiwa wamesimama karibu na mhimili wake kuliko ikiwa wote wamesimama kwenye makali ya nje. Masi ni sawa katika matukio yote mawili; lakini wakati wa inertia ni kubwa zaidi wakati watoto wako makali.

Kuchukua-Nyumbani majaribio

• Kata mduara ulio na radius ya cm 10 kutoka kwenye kadi ngumu. Karibu na makali ya mduara, weka namba 1 hadi 12 kama masaa kwenye uso wa saa. Weka mduara ili uweze kugeuka kwa uhuru juu ya mhimili usio na usawa kupitia kituo chake, kama gurudumu. (Unaweza loosely msumari mduara kwa ukuta.) Kushikilia mduara stationary na idadi 12 nafasi ya juu, ambatisha pua ya putty bluu (nyenzo fimbo kutumika kwa ajili ya fixing mabango kwa kuta) katika namba 3. Je, pua inahitaji kuwa na mzunguko wa mduara? Eleza jinsi unaweza kubadilisha wakati wa inertia ya mduara. Je! Mabadiliko haya yanaathirije kiasi cha putty ya bluu inahitajika kwa namba 3 ili mzunguko tu? Badilisha wakati wa mzunguko wa inertia na kisha jaribu kupokezana mduara kwa kutumia kiasi tofauti cha putty ya bluu. Kurudia mchakato huu mara kadhaa.

Mkakati wa Kutatua matatizo kwa Dynamics ya Rotational

1. Kuchunguza hali ili kuamua kuwa wakati na wingi huhusika katika mzunguko. Chora mchoro wa makini wa hali hiyo.
2. Kuamua mfumo wa maslahi.
3. Chora mchoro wa mwili wa bure. Hiyo ni, kuteka na kuandika majeshi yote ya nje yanayofanya mfumo wa maslahi.
4. Omba\(net \, \tau = \alpha\),\(\alpha = \frac{net \, \tau}{I},\)
5. sawa na mzunguko wa sheria ya pili ya Newton, kutatua tatizo. Uangalizi lazima uchukuliwe ili kutumia wakati sahihi wa inertia na kuzingatia wakati kuhusu hatua ya mzunguko.
6. Kama siku zote, angalia suluhisho la kuona ikiwa ni busara.

Kufanya Connections: Statics vs Kinetics

Katika statics, wakati wa wavu ni sifuri, na hakuna kasi ya angular. Katika mwendo wa mzunguko, wakati wa wavu ni sababu ya kuongeza kasi ya angular, hasa kama katika sheria ya pili ya Newton ya mwendo wa mzunguko.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating the Effect of Mass Distribution

Fikiria baba kusuuza uwanja wa michezo merry-go-pande zote katika Kielelezo. Ana nguvu ya 250 N makali ya 50.0-kg merry-go-round, ambayo ina radius 1.50 m. Tumia kasi ya angular zinazozalishwa (a) wakati hakuna mtu anayezunguka na (b) wakati mtoto wa kilo 18.0 anakaa 1.25 m mbali na kituo hicho. Fikiria merry-go-round yenyewe kuwa disk sare na msuguano usio na maana.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): baba inasubu uwanja wa michezo merry-go-pande zote katika makali yake na perpendicular kwa Radius yake kufikia moment upeo.

Mkakati

Kuongeza kasi ya angular hutolewa moja kwa moja na maneno\(\alpha = \frac{net \, \tau}{I}\)\[\alpha = \dfrac{\tau}{I}.\] Ili kutatua\(\alpha\), lazima kwanza tuhesabu wakati (ambayo ni sawa katika matukio yote mawili) na wakati wa hali\(I\) (ambayo ni kubwa zaidi katika kesi ya pili). Ili kupata wakati huo, tunaona kwamba nguvu iliyotumiwa ni perpendicular kwa radius na msuguano ni duni, ili\[\tau = rF \, sin \, \theta = (1.50 \, m)(250 \, N) = 375 \, N \cdot m.\]

Suluhisho kwa (a)

Wakati wa inertia ya disk imara kuhusu mhimili huu hutolewa katika Kielelezo kuwa\[\dfrac{1}{2}MR^2,\] wapi\(M = 50.0 \, kg\) na\(R = 1.50 \, m\), ili

\[I = (0.500)(50.0 \, kg)(1.50 \, m)^2 = 56.25 \, kg \cdot m^2\]

Sasa, baada ya kubadilisha maadili inayojulikana, tunapata kasi ya angular kuwa

\[\alpha = \dfrac{\tau}{I} = \dfrac{375 \, N \cdot m}{56.25 \, kg \cdot m^2} = 6.67 \dfrac{rad}{s^2}.\]

Suluhisho kwa (b)

Tunatarajia kuongeza kasi ya angular kwa mfumo kuwa chini katika sehemu hii, kwa sababu wakati wa inertia ni mkubwa wakati mtoto anapokuwa kwenye furaha. Ili kupata muda wa jumla wa inertia\(I\), sisi kwanza kupata wakati wa mtoto wa inertia\(I_c\) kwa kuzingatia mtoto kuwa sawa na molekuli uhakika katika umbali wa 1.25 m kutoka mhimili. Kisha,

\[I_c = MR^2 = (18.0 \, kg)(1.25 \, m)^2 = 28.13 \, kg \cdot m^2.\]

Wakati wa jumla wa inertia ni jumla ya wakati wa inertia ya merry-go-round na mtoto (kuhusu mhimili huo). Ili kuhalalisha jumla hii mwenyewe, angalia ufafanuzi wa\(I\):

\[I = 28.13 \, kg \cdot m^2 + 56.25 \, kg \cdot m^2 = 84.38 \, kg \cdot m^2.\]

Kubadilisha maadili inayojulikana katika equation kwa\(\alpha \) anatoa

\[\alpha = \dfrac{\tau}{I} = \dfrac{375 \, N \cdot m}{84.38 \, kg \cdot m^2} = 4.44 \dfrac{rad}{s^2}.\]

Majadiliano

Kuongeza kasi ya angular ni chini wakati mtoto anapokuwa kwenye merry-kwenda pande zote kuliko wakati merry-go-round ni tupu, kama inavyotarajiwa. Accelerations angular kupatikana ni kubwa kabisa, sehemu kutokana na ukweli kwamba msuguano ilikuwa kuchukuliwa kuwa duni. Ikiwa, kwa mfano, baba aliendelea kusubu perpendicularly kwa 2.00 s, angeweza kutoa furaha ya mzunguko kasi ya angular ya 13.3 rad/s wakati ni tupu lakini 8.89 rad/s tu wakati mtoto ni juu yake. Kwa upande wa mapinduzi kwa pili, kasi hizi za angular ni 2.12 rev/s na 1.41 rev/s, kwa mtiririko huo. Baba angeishia kukimbia saa 50 km/h katika kesi ya kwanza. Majira ya Olimpiki, hapa anakuja! Uthibitisho wa namba hizi ni wa kushoto kama zoezi kwa msomaji.

Zoezi\(\PageIndex{1}\):Check Your Understanding

Torque ni analog ya nguvu na wakati wa inertia ni analog ya wingi. Nguvu na wingi ni kiasi cha kimwili ambacho kinategemea jambo moja tu. Kwa mfano, wingi unahusiana tu na idadi ya atomi za aina mbalimbali katika kitu. Je, wakati na wakati wa inertia ni rahisi sana?

Suluhisho

Hapana. Torque inategemea mambo matatu: ukubwa wa nguvu, mwelekeo wa nguvu, na hatua ya maombi. Muda wa inertia inategemea wingi wote na usambazaji wake kuhusiana na mhimili wa mzunguko. Kwa hiyo, wakati analogies ni sahihi, kiasi hiki cha mzunguko hutegemea mambo zaidi

Muhtasari

• Nguvu ya mbali hutumiwa kutoka pivot, zaidi ni kasi ya angular; kasi ya angular ni inversely sawia na wingi.
• Kama sisi exert nguvu\(F\) juu ya hatua ya molekuli\(m\) yaani umbali r kutoka egemeo uhakika na kwa sababu nguvu ni perpendicular kwa r na kuongeza kasi\(a = F/m\) ni kupatikana katika mwelekeo wa\(F\). Tunaweza upya equation hii vile kwamba\[F = ma,\] na kisha kutafuta njia ya kuhusiana maneno haya kwa maneno kwa wingi rotational. Tunaona kwamba\(a = r \alpha\), na sisi badala ya kujieleza hii katika\(F = ma\), kujitoa\[F = mr\alpha\]
• Torque ni ufanisi wa kugeuka wa nguvu. Katika kesi hii, kwa sababu\(F\) ni perpendicular kwa\(r\), wakati ni tu\(\tau = rF\). Kama sisi kuzidisha pande zote mbili za equation hapo juu na\(r\), sisi kupata moment upande wa kushoto. Hiyo ni,\[rF = mr^2\alpha\] au\[\tau = mr^2\alpha.\]
• Wakati wa inertia\(I\) ya kitu ni jumla\(MR^2\) ya raia wote ambao hujumuisha. Hiyo ni,\[I = \sum mr^2.\]
• Uhusiano wa jumla kati ya wakati, wakati wa inertia, na kuongeza kasi ya angular ni\[\tau = I \alpha\] au\[\alpha = \dfrac{net \, \tau}{I}.\]

faharasa

moment

ufanisi wa kugeuka wa nguvu

inertia ya mzunguko

upinzani dhidi ya mabadiliko ya mzunguko. Inertia ya mzunguko zaidi kitu kina, ni vigumu kuzunguka

wakati wa inertia

mara nyingi mraba wa umbali wa perpendicular kutoka mhimili wa mzunguko; kwa wingi wa uhakika, ni i=MR2 na, kwa sababu kitu chochote kinaweza kujengwa kutoka kwa mkusanyiko wa raia wa uhakika, uhusiano huu ni msingi wa wakati mwingine wote wa inertia