Skip to main content
Global

6.3: Nguvu ya Kati

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    183680

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tumia mgawo wa msuguano kwenye tairi ya gari.
    • Tumia kasi bora na angle ya gari kwa upande.

    Nguvu yoyote au mchanganyiko wa nguvu inaweza kusababisha kasi ya centripetal au radial. Mifano michache tu ni mvutano katika kamba kwenye mpira wa tether, nguvu ya mvuto wa dunia juu ya Mwezi, msuguano kati ya skates roller na sakafu Rink, nguvu banked barabara juu ya gari, na nguvu juu ya tube ya centrifuge inazunguka.

    Nguvu yoyote ya wavu inayosababisha mwendo wa mviringo sare inaitwa nguvu ya centripetal. Mwelekeo wa nguvu ya centripetal ni kuelekea katikati ya curvature, sawa na mwelekeo wa kasi ya centripetal. Kwa mujibu wa sheria ya pili ya Newton ya mwendo, nguvu wavu ni mara nyingi kuongeza kasi: wavu\(F = ma \). Kwa mwendo sare mviringo, kuongeza kasi ni kuongeza kasi centripetal -\(a = a_c\). Hivyo, ukubwa wa nguvu centripetal\(F_c\) ni\[ F_c = ma_c.\]

    Kwa kutumia maneno ya kuongeza kasi ya centripetal\(a_c\) kutoka\( a_c = \frac{v^2}{r}; \, a_c = r\omega^2\), tunapata maneno mawili kwa nguvu ya centripetal\(F_c\) kwa suala la wingi, kasi, kasi ya angular, na radius ya curvature:

    \[F_c = m \dfrac{v^2}{r}; \, F_c = mr\omega^2.\]

    Unaweza kutumia namna yoyote ya kujieleza kwa nguvu ya centripetal ni rahisi zaidi. Nguvu ya centripetal daima\(F_c\) ni perpendicular kwa njia na akizungumzia katikati ya curvature, kwa sababu\(a_c\) ni perpendicular kwa kasi na akizungumzia katikati ya curvature.Kumbuka kwamba ikiwa unatatua maneno ya kwanza\(r\), unapata\[r = \dfrac{mv^2}{F_c}.\]

    Hii ina maana kwamba kwa wingi na kasi iliyotolewa, nguvu kubwa ya centripetal husababisha radius ndogo ya curvature-yaani, curve tight.

    Takwimu iliyotolewa ina semicircles mbili, moja juu ya nyingine. Semicircle ya juu ni kubwa na moja chini ni ndogo. Katika takwimu zote mbili, mwelekeo wa njia hutolewa kando ya semicircle katika mwelekeo wa kukabiliana na saa. Hatua inavyoonyeshwa kwenye njia, ambapo radius kutoka mduara, r, inavyoonyeshwa kwa mshale kutoka katikati ya mduara. Wakati huo huo, nguvu ya centripetal inavyoonyeshwa kwa mwelekeo kinyume na ile ya mshale wa radius. Kasi, v, inavyoonyeshwa kando ya hatua hii katika mwelekeo wa kushoto wa juu na ni perpendicular kwa nguvu. Katika takwimu zote mbili, kasi ni sawa, lakini radius ni ndogo na nguvu ya centripetal ni kubwa katika takwimu ya chini.
    Kielelezo:Nguvu ya\(\PageIndex{1}\) msuguano hutoa nguvu ya centripetal na inafanana sawa nayo. Nguvu ya centripetal ni perpendicular kwa kasi na husababisha mwendo sare mviringo. kubwa\(F_c\), ndogo Radius ya curvature\(r\) na kali Curve. Curve ya pili ina sawa\(v\), lakini kubwa\(F_c\) hutoa ndogo\(r'\).

    Mfano \(\PageIndex{1}\): What Coefficient of Friction Do Car Tires Need on a Flat Curve?

    1. Tumia nguvu ya centripetal iliyotumiwa kwenye gari la kilo 900 ambalo linazungumzia safu ya radius 500 m saa 25.0 m/s.
    2. Kutokana na curve unbanked, kupata kiwango cha chini tuli mgawo wa msuguano, kati ya matairi na barabara, msuguano tuli kuwa sababu ambayo inaendelea gari kutoka slipping (angalia Kielelezo).

    Mkakati na ufumbuzi kwa (a)

    Tunajua kwamba\(F_c = \frac{mv^2}{r}.\) Hivyo,\[F_c = \dfrac{mv^2}{r} = \dfrac{(900\, kg)(25.0 \, m/s)^2}{500 \, m)} = 1125 \, N. \nonumber\]

    Mkakati wa (b)

    Kielelezo kinaonyesha vikosi vinavyofanya gari kwenye safu isiyokuwa ya chini (ngazi ya chini).

    Katika takwimu iliyotolewa, gari linaonyeshwa kutoka nyuma, ambalo linageuka upande wa kushoto. Uzito, w, wa gari unaonyeshwa kwa mshale wa chini na N na mshale wa juu nyuma ya gari. Katika gurudumu la nyuma la kulia, nguvu ya centripetal inavyoonyeshwa pamoja na formula yake ya equation katika mshale wa kushoto wa usawa. Mchoro wa bure wa mwili unaonyesha vectors tatu, moja juu, inayoonyesha N, moja chini, inayoonyesha w, na upande mmoja wa kushoto, inayoonyesha nguvu ya centripetal.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Gari hili kwenye ardhi ya ngazi ni kusonga mbali na kugeuka upande wa kushoto. Nguvu ya centripetal inayosababisha gari kugeuka kwenye njia ya mviringo ni kutokana na msuguano kati ya matairi na barabara. Mgawo wa chini wa msuguano unahitajika, au gari litahamia kwenye safu kubwa ya radius na kuondoka barabara.

    Msuguano ni upande wa kushoto, kuweka gari kutoka kuacha, na kwa sababu ni nguvu pekee ya usawa inayofanya gari, msuguano ni nguvu ya centripetal katika kesi hii. Tunajua kwamba msuguano wa juu wa tuli (ambapo matairi yanaendelea lakini haipatikani)\(\mu_s\) ni\(\mu_s N,\) wapi mgawo wa msuguano wa tuli na N ni nguvu ya kawaida. Nguvu ya kawaida inalingana na uzito wa gari kwenye ardhi ya ngazi,) ili\( N = mg\). Hivyo nguvu centripetal katika hali hii ni

    \[F_c = f = \mu_sN = \mu_s mg. \nonumber\]

    Sasa tuna uhusiano kati ya nguvu ya centripetal na mgawo wa msuguano. Kutumia kujieleza kwanza kwa\(F_c\) kutoka equation

    \[\begin{align*} F_c = m\dfrac{v^2}{r} \\[5pt] &= mr\omega^2 \end{align*} \]

    \[m\dfrac{v^2}{r} = \mu_smg. \nonumber\]

    Sisi kutatua hili kwa\(\mu_s\), akibainisha kuwa molekuli cancels, na kupata

    \[\mu_s = \dfrac{v^2}{rg}. \nonumber\]

    Suluhisho kwa (b)

    Kubadilisha maarifa,

    \[\mu_s = \dfrac{(25.0 \, m/s)^2}{(500 \, m)(9.80 \, m/s^2)} = 0.13. \nonumber\]

    (Kwa sababu coefficients ya msuguano ni takriban, jibu hutolewa kwa tarakimu mbili tu.)

    Majadiliano

    Tunaweza pia kutatua sehemu (a) kutumia kujieleza kwanza katika

    \[\begin{align*} F_c &= m\dfrac{v^2}{r} \\[4pt] &= mr\omega^2 \end{align*}\]

    kwa sababu\(m\),\(v\) na\(r\) wanapewa. Mgawo wa msuguano unaopatikana katika sehemu (b) ni ndogo sana kuliko kawaida hupatikana kati ya matairi na barabara. Gari bado litajadili curve ikiwa mgawo ni mkubwa kuliko 0.13, kwa sababu msuguano wa tuli ni nguvu ya msikivu, kuwa na uwezo wa kudhani thamani chini ya lakini si zaidi\(\mu_sN\). Mgawo wa juu pia utaruhusu gari kujadili Curve kwa kasi ya juu, lakini kama mgawo wa msuguano ni mdogo, kasi salama itakuwa chini ya 25 m/s Kumbuka kuwa molekuli kufuta, ikimaanisha kuwa katika mfano huu, haijalishi jinsi gari kubeba sana kujadili upande. Misa cancels kwa sababu msuguano ni kudhani sawia na nguvu ya kawaida, ambayo kwa upande ni sawia na wingi. Ikiwa uso wa barabara ulipigwa benki, nguvu ya kawaida itakuwa chini kama itajadiliwa hapa chini.

    Hebu sasa fikiria curves benki, ambapo mteremko wa barabara husaidia kujadili curve. Angalia Kielelezo. Angle kubwa\(\theta\), kwa kasi unaweza kuchukua curve. Mbio za nyimbo kwa ajili ya baiskeli kama vile magari, kwa mfano, mara nyingi kuwa na steeply banked curves. Katika “curve bora ya benki,” angle\(\theta\) ni kwamba unaweza kujadili Curve kwa kasi fulani bila msaada wa msuguano kati ya matairi na barabara. Sisi hupata kujieleza kwa\(\theta\) ajili ya Curve walau benki na kufikiria mfano kuhusiana na hilo.

    Kwa benki bora, nguvu ya nje ya wavu inalingana na nguvu ya centripetal ya usawa kwa kutokuwepo kwa msuguano. Vipengele vya nguvu ya kawaida N katika maelekezo ya usawa na wima lazima iwe sawa na nguvu ya centripetal na uzito wa gari, kwa mtiririko huo. Katika hali ambazo vikosi si sawa, ni rahisi zaidi kuzingatia vipengele pamoja na axes perpendicular - katika kesi hii, maelekezo ya wima na ya usawa.

    Kielelezo kinaonyesha mchoro wa mwili wa bure kwa gari kwenye safu isiyo na msuguano. Ikiwa angle\(\theta\) ni bora kwa kasi na radius, basi nguvu ya nje ya wavu itakuwa sawa na nguvu muhimu ya centripetal. Vikosi viwili vya nje vinavyofanya gari ni uzito wake\(w\) na nguvu ya kawaida ya barabara\(N\). (Uso usio na msuguano unaweza tu kutumia nguvu perpendicular kwa uso-yaani, nguvu ya kawaida.) Majeshi haya mawili yanapaswa kuongeza kutoa nguvu ya nje ya wavu ambayo ni ya usawa kuelekea katikati ya curvature na ina ukubwa\(mv^2/r\). Kwa sababu hii ni nguvu muhimu na ni ya usawa, tunatumia mfumo wa kuratibu na axes wima na usawa. Nguvu ya kawaida tu ina sehemu ya usawa, na hivyo hii lazima iwe sawa na nguvu ya centripetal-yaani,

    \[N\, \sin \, \theta = \dfrac{mv^2}{r}.\]

    Kwa sababu gari haitoi uso wa barabara, nguvu ya wima ya wavu lazima iwe sifuri, maana yake ni kwamba vipengele vya wima vya vikosi viwili vya nje vinapaswa kuwa sawa na ukubwa na kinyume chake. Kutoka kwenye takwimu, tunaona kwamba sehemu ya wima ya nguvu ya kawaida ni\(N\, cos \, \theta\), na nguvu nyingine tu ya wima ni uzito wa gari. Hizi lazima iwe sawa kwa ukubwa; hivyo,

    \[N\, \cos \, \theta = mg.\]

    Sasa tunaweza kuchanganya equations mbili za mwisho ili kuondoa\(N\) na kupata maelezo kwa\(\theta\), kama inavyotaka. Kutatua equation pili kwa\(N = mg/(cos \, \theta) \), na kubadilisha hii katika mavuno ya kwanza

    \[mg\dfrac{\sin\, \theta}{\cos \, \theta} = \dfrac{mv^2}{r}\]

    \[ mg \, tan \, \theta = \dfrac{mv^2}{r}\]

    \[\tan \, \theta = \dfrac{v^2}{rg}\]

    Kuchukua tangent inverse inatoa

    \[\theta = \tan^{-1} \left( \dfrac{v^2}{rg} \right) \, (ideally \, banked \, curve, \, no \, friction). \]

    Maneno haya yanaweza kueleweka kwa kuzingatia jinsi\(\theta\) inategemea\(v\) na\(r\). Kubwa\(\theta\) kitapatikana kwa kubwa\(v\) na ndogo\(r\). Hiyo ni, barabara lazima ziingizwe kwa kasi kwa kasi ya juu na makali makali. Msuguano husaidia, kwa sababu inakuwezesha kuchukua pembe kwa kasi zaidi au ya chini kuliko ikiwa curve haina msuguano. Kumbuka kwamba\(\theta\) haitegemei wingi wa gari.

    Katika takwimu hii, gari kutoka nyuma huonyeshwa, kugeuka upande wa kushoto, kwenye mteremko unaozunguka chini hadi kushoto. Hatua katikati ya nyuma ya gari inavyoonyeshwa ambayo inaonyesha vector moja ya chini inayoonyesha uzito, w, na mshale wa juu unaoonyesha nguvu N, ambayo ni mstari wa mstari kwenye gari na iko kwenye theta ya angle yenye mshale wa moja kwa moja. Mteremko ni kwenye theta ya angle na uso usio na usawa chini ya mteremko. Maadili ya nguvu, N kuzidisha sine theta sawa na nguvu ya centripetal, nguvu ya wavu kwenye gari na N cosine theta sawa na w hutolewa chini ya gari.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): gari juu ya Curve hii banked ni kusonga mbali na kugeuka upande wa kushoto.

    Mfano\(\PageIndex{2}\): What is the Ideal Speed to Take a Steeply Banked Tight Curve?

    Curves juu ya baadhi ya nyimbo mtihani na kozi mbio, kama vile Daytona International Speedway katika Florida, ni steeply sana banked. Benki hii, kwa msaada wa msuguano wa tairi na usanidi wa gari imara sana, inaruhusu curves kuchukuliwa kwa kasi sana. Kwa mfano, hesabu kasi ambayo Curve ya radius 100 m iliyowekwa kwenye 65.0° inapaswa kuendeshwa ikiwa barabara haina msuguano.

    Mkakati

    Tunaona kwanza kwamba maneno yote katika kujieleza kwa angle bora ya pembe ya benki isipokuwa kwa kasi hujulikana; hivyo, tunahitaji tu upya ili kasi inaonekana upande wa kushoto na kisha kubadilisha kiasi kinachojulikana.

    Suluhisho

    Kuanzia na

    \[\tan \, \theta = \dfrac{v^2}{rg} \nonumber\]

    tunapata

    \[v = (rg \, tan \, \theta)^{\frac{1}{2}}. \nonumber\]

    Akibainisha kuwa tan 65.0º = 2.14, tunapata

    \[ \begin{align*} v &= [(100 \, m)(9.80 \, m/s^2)(2.14)]^{\frac{1}{2}} \\[4pt] &= 45.8 \, m/s \end{align*} \]

    Majadiliano

    Hii ni karibu 165 km/h, sambamba na curve sana banked na badala mkali. Msuguano wa tairi huwezesha gari kuchukua pembe kwa kasi ya juu sana.

    Mahesabu sawa na yale yaliyotangulia yanaweza kufanywa kwa hali nyingi za kuvutia ambazo nguvu ya centripetal inashirikiwa-idadi ya hizi zinawasilishwa katika Matatizo na Mazoezi ya sura hii.

    KUCHUKUA NYUMBANI MAJARIBIO

    Uliza rafiki au jamaa kugeuza klabu ya golf au racquet ya tenisi. Kuchukua vipimo sahihi ili kukadiria kasi ya centripetal ya mwisho wa klabu au racquet. Unaweza kuchagua kufanya hivyo kwa mwendo wa polepole.

    PHET EXPLORATIONS: MVUTO NA ORBITS

    Hoja ya jua, dunia, mwezi na kituo cha nafasi kuona jinsi unaathiri nguvu zao mvuto na njia orbital. Tazama ukubwa na umbali kati ya miili tofauti ya mbinguni, na uzima mvuto ili uone nini kitatokea bila hiyo!

    Muhtasari

    • Nguvu ya centripetal\(F_c\) ni nguvu yoyote inayosababisha mwendo wa mviringo sare. Ni “kituo cha kutafuta” nguvu ambayo daima inaelezea kuelekea katikati ya mzunguko. Ni perpendicular kwa kasi ya mstari\(v\) na ina ukubwa,\[F_c = ma_c \nonumber \] ambayo inaweza pia kuelezwa kama\[F_c = \dfrac{v^2}{r} \nonumber \] au\[F_c = mr\omega^2 \nonumber\]

    faharasa

    nguvu ya centripetal
    nguvu yoyote wavu kusababisha sare mviringo mwendo
    benki bora
    kutembea kwa curve katika barabara, ambapo angle ya mteremko inaruhusu gari kujadili curve kwa kasi fulani bila msaada wa msuguano kati ya matairi na barabara; nguvu ya nje ya gari inalingana na nguvu ya centripetal ya usawa kwa kutokuwepo kwa msuguano
    kasi bora
    kasi ya juu ya salama ambayo gari linaweza kugeuka kwenye pembe bila msaada wa msuguano kati ya tairi na barabara
    angle bora
    angle ambayo gari inaweza kugeuka salama juu ya mwinuko mwinuko, ambayo ni sawa na kasi bora
    benki Curve
    Curve katika barabara ambayo ni sloping kwa namna ambayo husaidia gari kujadili Curve