3.1: Sheria za Mwendo wa Sayari
- Page ID
- 176277
Malengo ya kujifunza
Mwishoni mwa sehemu hiyo, utaweza:
- Eleza jinsi Tycho Brahe na Johannes Kepler walivyochangia uelewa wetu wa jinsi sayari inavyozunguka Jua
- Eleza sheria tatu za Kepler za mwendo wa sayari
Karibu wakati Galileo alipoanza majaribio yake na miili ya kuanguka, jitihada za wanasayansi wengine wawili ziliongeza sana ufahamu wetu wa mwendo wa sayari. Wanaastronomia hawa wawili walikuwa mwangalizi Tycho Brahe na mwanahisabati Johannes Kepler. Kwa pamoja, waliweka uvumi wa Copernicus kwa misingi ya hisabati ya sauti na kuchapisha njia kwa kazi ya Isaac Newton katika karne iliyofuata.
Observatory ya Tycho Brahe
Miaka mitatu baada ya kuchapishwa kwa Copernicus 'De Revolutionibus, Tycho Brahe alizaliwa na familia ya utukufu wa Denmark. Alianzisha maslahi ya mapema katika astronomia na, kama kijana, alifanya uchunguzi muhimu wa astronomia. Miongoni mwa hayo kulikuwa na utafiti wa makini wa kile tunachokijua sasa ni nyota iliyolipuka ambayo iliwaka hadi kung'aa sana katika anga la usiku. Sifa yake ya kukua ilimpata uongozi wa Mfalme wa Denmark Frederick II, na akiwa na umri wa miaka 30, Brahe aliweza kuanzisha uchunguzi mzuri wa astronomical kwenye kisiwa cha Bahari ya Kaskazini cha Hven (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Brahe alikuwa wa mwisho na mkuu wa waangalizi wa kabla ya telescopic huko Ulaya.
Huko Hven, Brahe alifanya rekodi inayoendelea ya nafasi za Jua, Mwezi, na sayari kwa karibu miaka 20. Uchunguzi wake wa kina na sahihi ulimwezesha kutambua kwamba nafasi za sayari zilitofautiana na zile zilizotolewa katika meza zilizochapishwa, ambazo zilitegemea kazi ya Ptolemy. Takwimu hizi zilikuwa za thamani sana, lakini Brahe hakuwa na uwezo wa kuzichambua na kuendeleza mfano bora kuliko kile ambacho Ptolemy alikuwa amechapisha. Alizuiliwa zaidi kwa sababu alikuwa mwenzake wa fujo na cantankerous, na alikusanya maadui kati ya viongozi wa serikali. Mlinzi wake, Frederick II, alifariki mwaka 1597, Brahe alipoteza msingi wake wa kisiasa na kuamua kuondoka Denmark. Alichukua makazi huko Prague, ambako akawa mwanaastronomia wa mahakama kwa Mfalme Rudolf wa Bohemia. Huko, katika mwaka kabla ya kifo chake, Brahe alimkuta mwanahisabati kijana mwenye uwezo zaidi, Johannes Kepler, kumsaidia katika kuchambua data zake za kina za sayari.
Johannes Kepler
Johannes Kepler alizaliwa katika familia maskini katika jimbo la Ujerumani la Württemberg na aliishi sehemu kubwa ya maisha yake huku kukiwa na msukosuko wa Vita vya Miaka thelathini (angalia Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Alihudhuria chuo kikuu huko Tubingen na alisoma kwa kazi ya kiteolojia. Huko, alijifunza kanuni za mfumo wa Copernican na akageuka kuwa hypothesis ya heliocentric. Hatimaye, Kepler alikwenda Prague kutumikia kama msaidizi wa Brahe, aliyemweka kufanya kazi akijaribu kupata nadharia ya kuridhisha ya mwendo wa sayari—moja ambayo ilikuwa sambamba na mfululizo mrefu wa uchunguzi uliofanywa huko Hven. Brahe alikuwa akisita kumpa Kepler nyenzo nyingi wakati wowote mmoja kwa hofu ya kwamba Kepler angegundua siri za mwendo wa ulimwengu kwa nafsi yake, na hivyo kuiba Brahe baadhi ya utukufu huo. Tu baada ya kifo cha Brahe mwaka 1601 Kepler alipata milki kamili ya rekodi zisizo na thamani. Utafiti wao ulichukua muda mwingi wa Kepler kwa zaidi ya miaka 20.
Kupitia uchambuzi wake wa mwendo wa sayari, Kepler alianzisha mfululizo wa kanuni, ambazo sasa zinajulikana kama sheria tatu za Kepler, ambazo zilielezea tabia za sayari kulingana na njia zao kupitia angani. Sheria mbili za kwanza za mwendo wa sayari zilichapishwa mwaka 1609 katika The New Astronomia. Ugunduzi wao ulikuwa hatua kubwa katika maendeleo ya sayansi ya kisasa.
Sheria mbili za Kwanza za Mwendo wa Sayari
Njia ya kitu kupitia angani inaitwa obiti yake. Kepler awali alidhani ya kwamba njia za sayari zilikuwa duru, lakini kufanya hivyo hakumruhusu kupata mizunguko iliyokuwa sawa na uchunguzi wa Brahe. Akifanya kazi na data kwa Mars, hatimaye aligundua kwamba obiti ya sayari hiyo ilikuwa na sura ya mduara fulani iliyopigwa, au duaradufu. Karibu na mduara, duaradufu ni aina rahisi ya safu iliyofungwa, ya familia ya curves inayojulikana kama sehemu za conic (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)).
Unaweza kukumbuka kutoka madarasa math kwamba katika mduara, kituo ni hatua maalum. Umbali kutoka katikati hadi mahali popote kwenye mduara ni sawa. Katika duaradufu, jumla ya umbali kutoka pointi mbili maalum ndani ya duaradufu kwa hatua yoyote juu ya duaradufu daima ni sawa. Vipengele hivi viwili ndani ya duaradufu huitwa foci yake (umoja: focus), neno lililotengenezwa kwa kusudi hili na Kepler.
Mali hii inaonyesha njia rahisi ya kuteka ellipse (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Tunamfunga mwisho wa kitanzi cha kamba karibu na magunia mawili yaliyopigwa kupitia karatasi kwenye bodi ya kuchora, ili kamba iwe slack. Ikiwa sisi kushinikiza penseli dhidi ya kamba, na kufanya kamba taut, na kisha slide penseli dhidi ya kamba kote tacks, Curve kwamba matokeo ni duaradufu. Katika hatua yoyote ambapo penseli inaweza kuwa, jumla ya umbali kutoka penseli kwa tacks mbili ni urefu wa mara kwa mara-urefu wa kamba. Tacks ni katika foci mbili za ellipse.
Kipenyo pana zaidi cha duaradufu huitwa mhimili wake mkuu. Nusu umbali huu—yaani umbali kutoka katikati ya duaradufu hadi mwisho mmoja—ni mhimili wa semimajor, ambao kwa kawaida hutumika kutaja ukubwa wa duaradufu. Kwa mfano, mhimili wa semimajor wa obiti ya Mars, ambayo pia ni umbali wa wastani wa sayari kutoka Jua, ni kilomita milioni 228.
Sura (mzunguko) wa ellipse inategemea jinsi karibu na foci mbili zilivyo karibu, ikilinganishwa na mhimili mkubwa. Uwiano wa umbali kati ya foci hadi urefu wa mhimili wa semimajor huitwa eccentricity ya ellipse.
Ikiwa foci (au tacks) huhamishwa kwenye eneo moja, basi umbali kati ya foci itakuwa sifuri. Hii ina maana kwamba eccentricity ni sifuri na ellipse ni mduara tu; hivyo, mduara unaweza kuitwa ellipse ya eccentricity sifuri. Katika mduara, mhimili wa semimajor utakuwa radius.
Kisha, tunaweza kufanya ellipses ya elongations mbalimbali (au urefu kupanuliwa) kwa kutofautiana nafasi ya tacks (kwa muda mrefu kama wao si mbali zaidi kuliko urefu wa kamba). Zaidi ya eccentricity, zaidi elongated ni duaradufu, hadi eccentricity upeo wa 1.0, wakati duaradufu inakuwa “gorofa,” nyingine uliokithiri kutoka mduara.
Ukubwa na sura ya ellipse ni maalum kabisa na mhimili wake wa semimajor na eccentricity yake. Kwa kutumia data ya Brahe, Kepler aligundua kwamba Mars ina obiti ya duaradufu, huku Jua kwenye lengo moja (lengo lingine ni tupu). Uwezo wa obiti ya Mars ni kuhusu 0.1 tu; obiti yake, inayotolewa kwa kiwango, itakuwa kivitendo kutofautishwa na mduara, lakini tofauti ikawa muhimu kwa kuelewa mwendo wa sayari.
Kepler alizalisha matokeo haya katika sheria yake ya kwanza na alisema kuwa njia za sayari zote ni ellipses. Hapa ilikuwa wakati wa kuamua katika historia ya mawazo ya kibinadamu: haikuwa lazima kuwa na miduara tu ili uwe na cosmos inayokubalika. Ulimwengu ungeweza kuwa ngumu zaidi kuliko wanafalsafa wa Kigiriki walivyotaka kuwa.
Sheria ya pili ya Kepler inahusika na kasi ambayo kila sayari inakwenda pamoja na duaradufu yake, inayojulikana pia kama kasi yake ya orbital. Akifanya kazi na uchunguzi wa Brahe wa Mars, Kepler aligundua kwamba sayari inakua inakua inapokuja karibu na Jua na kupungua chini huku inavuta mbali na Jua. Alionyesha fomu sahihi ya uhusiano huu kwa kufikiri kwamba Sun na Mars vinaunganishwa na mstari wa moja kwa moja, wa elastic. Wakati Mars iko karibu na Jua (nafasi ya 1 na 2 kwenye Kielelezo\(\PageIndex{4}\)), mstari wa elastic haukutambulishwa sana, na sayari inakwenda haraka. Mbali na jua, kama katika nafasi ya 3 na 4, mstari umewekwa sana, na sayari haina kusonga haraka sana. Wakati Mars inaposafiri katika obiti yake ya elliptical kuzunguka Jua, mstari wa elastic unafuta maeneo ya duaradufu kama inavyohamia (mikoa ya rangi katika takwimu yetu). Kepler aligundua kuwa katika vipindi sawa vya muda (t), maeneo yaliyotoka katika nafasi na mstari huu wa kufikiri daima ni sawa; yaani, eneo la kanda B kutoka 1 hadi 2 ni sawa na ile ya kanda A kutoka 3 hadi 4.
Ikiwa sayari inakwenda kwenye obiti ya mviringo, mstari wa elastic daima umeweka kiasi sawa na sayari inakwenda kwa kasi ya mara kwa mara karibu na obiti yake. Lakini, kama Kepler aligundua, katika njia nyingi kasi hiyo ya sayari inayozunguka nyota yake (au mwezi unaozunguka sayari yake) huelekea kutofautiana kwa sababu obiti ni duaradufu.
Sheria ya Tatu ya Kepler
Sheria mbili za kwanza za Kepler za mwendo wa sayari zinaelezea umbo la obiti ya sayari na kutuwezesha kuhesabu kasi ya mwendo wake wakati wowote katika obiti. Kepler alifurahi kugundua sheria hizo za msingi, lakini hawakukidhi jitihada zake za kuelewa kikamilifu mwendo wa sayari. Alitaka kujua kwa nini njia za sayari ziliwekwa nafasi kama zilivyo na kupata muundo wa hisabati katika harakati zao—“ maelewano ya nyanja” kama alivyoita. Kwa miaka mingi alifanya kazi ya kugundua mahusiano ya hisabati yanayoongoza nafasi ya sayari na wakati kila sayari ilichukua kuzunguka Jua.
Mwaka 1619, Kepler aligundua uhusiano wa msingi wa kuhusisha njia za sayari na umbali wao wa jamaa kutoka Jua. Tunafafanua kipindi cha orbital cha sayari, (\(P\)), kama wakati inachukua sayari kusafiri mara moja karibu na Jua. Pia, kumbuka kwamba mhimili wa semimajor wa sayari, a, ni sawa na umbali wake wa wastani kutoka Jua. Uhusiano, ambao sasa unajulikana kama sheria ya tatu ya Kepler, inasema kwamba kipindi cha orbital cha sayari cha mraba ni sawia na mhimili wa semimajor wa obiti yake cubed, au
\[P^2 \propto a^3 \nonumber\]
Wakati\(P\) (kipindi cha orbital) kinapimwa kwa miaka, na inaonyeshwa kwa kiasi kinachojulikana kama kitengo cha astronomia (AU), pande mbili za formula si sawia tu bali ni sawa. AU moja ni umbali wa wastani kati ya Dunia na Jua na ni takriban sawa na kilomita 1.5 × 108. Katika vitengo hivi,
\[P^2=a^3 \nonumber\]
Sheria ya tatu ya Kepler inatumika kwa vitu vyote vinavyozunguka Jua, ikiwa ni pamoja na Dunia, na hutoa njia za kuhesabu umbali wao wa jamaa kutoka Jua tangu wakati wanaochukua hadi obiti. Hebu tuangalie mfano maalum wa kuonyesha jinsi sheria ya tatu ya Kepler ilivyo muhimu.
Kwa mfano, tuseme muda gani Mars inachukua kwenda kuzunguka Jua (katika miaka ya Dunia). Sheria ya tatu ya Kepler inaweza kutumika kuhesabu umbali wa wastani wa Mars kutoka Jua. Kipindi cha orbital cha Mars (miaka 1.88 ya Dunia) mraba, au\(P^2\), ni 1.882 = 3.53, na kwa mujibu wa equation kwa sheria ya tatu ya Kepler, hii inalingana na mchemraba wa mhimili wake wa semimajor, au\(a^3\). Kwa hiyo nambari gani inapaswa kuwa cubed kutoa 3.53? Jibu ni 1.52 (tangu\(1.52 \times 1.52 \times 1.52 = 3.53\)). Hivyo, mhimili wa semimajor wa Mars katika vitengo vya angani lazima uwe 1.52 AU. Kwa maneno mengine, kuzunguka Jua kwa muda kidogo chini ya miaka miwili, Mars lazima iwe karibu 50% (nusu tena) mbali na Jua kama Dunia ilivyo.
Mfano\(\PageIndex{1}\): Kuhesabu vipindi
Fikiria kitu kinazunguka Jua. Je, itakuwa kipindi cha orbital cha kitu ikiwa obiti yake ina mhimili wa semimajor wa 50 AU?
Suluhisho
Kutokana na sheria ya tatu ya Kepler, tunajua kwamba (tunapotumia vitengo vya miaka na AU)
\[P^2=a^3 \nonumber\]
Ikiwa obiti ya kitu ina mhimili wa semimajor wa 4 AU (a = 50), tunaweza mchemraba 50 na kisha kuchukua mizizi ya mraba ya matokeo ili kupata P:
\[ \begin{array}{l} P = \sqrt{a^3} \\ P = \sqrt{50 \times 50 \times 50} = \sqrt{125,000} = 353.6 \text{ years} \end{array}\]
Kwa hiyo, kipindi cha orbital cha kitu ni karibu miaka 350. Hii ingekuwa mahali kitu yetu nadharia zaidi ya obiti ya Pluto.
Zoezi\(\PageIndex{1}\)
Je, itakuwa kipindi cha orbital cha asteroid (chunk ya miamba kati ya Mars na Jupiter) na mhimili wa semimajor wa 3 AU?
- Jibu
-
\[P = \sqrt{3 \times 3 \times 3} = \sqrt{27} = 5.2 \text{ years}\]
Sheria tatu za Kepler za mwendo wa sayari zinaweza kufupishwa kama ifuatavyo:
- Sheria ya kwanza ya Kepler: Kila sayari inazunguka Jua katika obiti yaani duaradufu, huku Jua likiwa na lengo moja la duaradufu.
- Sheria ya pili ya Kepler: Mstari wa moja kwa moja unajiunga na sayari na Jua linafuta maeneo sawa angani kwa vipindi sawa vya wakati.
- Sheria ya tatu ya Kepler: Mraba wa kipindi cha orbital ya sayari ni sawia moja kwa moja na mchemraba wa mhimili wa semimajor wa obiti yake.
Sheria tatu za Kepler hutoa maelezo sahihi ya kijiometri ya mwendo wa sayari ndani ya mfumo wa Copernican. Kwa zana hizi, iliwezekana kuhesabu nafasi za sayari na usahihi ulioboreshwa sana. Hata hivyo, sheria za Kepler zinaelezea tu: hazitusaidia kuelewa ni nguvu gani za asili zinazuia sayari kufuata seti hii ya sheria. Hatua hiyo iliachwa kwa Isaac Newton.
Mfano\(\PageIndex{2}\): Kutumia Sheria ya Tatu ya Kepler
Kwa kutumia vipindi orbital na shoka semimajor kwa Venus na Dunia zinazotolewa hapa, mahesabu\(P^2\) na\(a^3\), na kuthibitisha kwamba wao kutii sheria ya tatu ya Kepler. Kipindi cha orbital cha Venus ni mwaka 0.62, na mhimili wake wa semimajor ni 0.72 AU. Kipindi cha orbital cha Dunia ni mwaka wa 1.00, na mhimili wake wa semimajor ni 1.00 AU.
Suluhisho
Tunaweza kutumia equation kwa sheria ya tatu ya Kepler,\(P^2 \propto a^3\). Kwa Venus,\(P^2 = 0.62 \times 0.62 = 0.38 \text{ years}\) na\(a^3 = 0.72 \times 0.72 \times 0.72 = 0.37 \text{ AU}\) (namba za mzunguko wakati mwingine husababisha tofauti ndogo kama hii). Kipindi cha orbital (mwaka 0.38) kinakaribia mhimili wa semimajor (0.37 AU).
Kwa hiyo, Venus inatii sheria ya tatu ya Kepler. Kwa Dunia,\(P^2 = 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ year}\) na\(a^3 = 1.00 \times 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ AU}\). Kipindi cha orbital (mwaka wa 1.00) kinakaribia (katika kesi hii, sawa) mhimili wa semimajor (1.00 AU). Kwa hiyo, Dunia inatii sheria ya tatu ya Kepler.
Zoezi\(\PageIndex{1}\)
Kwa kutumia vipindi orbital na shoka semimajor kwa Saturn na Jupiter zinazotolewa hapa, mahesabu\(P^2\) na\(a^3\), na kuthibitisha kwamba wao kutii sheria ya tatu ya Kepler. Kipindi cha orbital cha Saturn ni miaka 29.46, na mhimili wake wa semimajor ni 9.54 AU. Kipindi cha orbital cha Jupiter ni miaka 11.86, na mhimili wake wa semimajor ni 5.20 AU.
- Jibu
-
Kwa Saturn,\(P^2 = 29.46 \times 29.46 = 867.9 \text{ years}\) na\(a^3 = 9.54 \times 9.54 \times 9.54 = 868.3 \text{ AU}\). Kipindi cha orbital (miaka 867.9) kinakaribia mhimili wa semimajor (868.3 AU). Kwa hiyo, Saturn anatii sheria ya tatu ya Kepler.
Kwa heshima ya mwanasayansi aliyeanzisha kwanza sheria zinazotawala mwendo wa sayari, timu iliyojenga chombo cha angani cha kwanza kutafuta sayari zinazozunguka nyota nyingine iliamua kutaja swala “Kepler.” Ili kujifunza zaidi kuhusu maisha ya Johannes Kepler na sheria zake za mwendo wa sayari, pamoja na habari nyingi kuhusu Misheni ya Kepler, tembelea tovuti ya Kepler ya NASA na ufuate viungo vinavyokuvutia.
Dhana muhimu na Muhtasari
Uchunguzi sahihi wa Tycho Brahe wa nafasi za sayari ulitoa data iliyotumiwa na Johannes Kepler ili kupata sheria zake tatu za msingi za mwendo wa sayari. Sheria za Kepler zinaelezea tabia ya sayari katika njia zao kama ifuatavyo: (1) obiti za sayari ni duaradufu na Jua kwa lengo moja; (2) kwa vipindi sawa, obiti ya sayari inafuta maeneo sawa; na (3) uhusiano kati ya kipindi cha orbital (\(P\)) na mhimili wa semimajor (\(a\)) wa obiti hutolewa na\(P^2 = a^3\) (wakati\(a\) ni katika vitengo vya AU na\(P\) iko katika vitengo vya miaka ya dunia).
faharasa
- kitengo cha astronomia (AU)
- kitengo cha urefu kinachofafanuliwa kama umbali wa wastani kati ya Dunia na Jua; umbali huu ni karibu kilomita 1.5 × 108
- upotovu
- katika duaradufu, uwiano wa umbali kati ya foci kwa mhimili mkubwa
- duaradufu
- safu iliyofungwa ambayo jumla ya umbali kutoka kwa hatua yoyote kwenye ellipse hadi pointi mbili ndani (inayoitwa foci) daima ni sawa
- lenga
- (wingi: foci) moja ya pointi mbili fasta ndani ya duaradufu ambayo jumla ya umbali kwa hatua yoyote juu ya ellipse ni mara kwa mara
- Sheria ya kwanza ya Kepler
- kila sayari inazunguka Jua katika obiti ambayo ni duaradufu, na Jua kwenye lengo moja la duaradufu
- Sheria ya pili ya Kepler
- mstari wa moja kwa moja kujiunga na sayari na Jua linafuta maeneo sawa katika nafasi kwa vipindi sawa vya wakati
- Sheria ya tatu ya Kepler
- mraba wa kipindi cha orbital ya sayari ni sawia moja kwa moja na mchemraba wa mhimili wa semimajor wa obiti yake
- mhimili mkubwa
- kipenyo cha juu cha ellipse
- obiti
- njia ya kitu ambacho ni katika mapinduzi juu ya kitu kingine au hatua
- kipindi cha orbital (P)
- wakati inachukua kitu kusafiri mara moja kuzunguka Sun
- kasi ya orbital
- kasi ambayo kitu (kawaida sayari) huzunguka karibu na wingi wa kitu kingine; katika kesi ya sayari, kasi ambayo kila sayari inakwenda pamoja na ellipse yake
- mhimili wa semimajor
- nusu ya mhimili mkubwa wa sehemu conic, kama vile duaradufu