16.6: Kuingiliwa kwa Mawimbi

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176444

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Eleza jinsi mawimbi ya mitambo yanavyoonekana na kuenea kwenye mipaka ya kati
Eleza maneno kuingiliwa na superposition
Pata wimbi la matokeo la mawimbi mawili yanayofanana ya sinusoidal ambayo hutofautiana tu na mabadiliko ya awamu

Hadi sasa, tumekuwa tukijifunza mawimbi ya mitambo ambayo yanaenea kwa njia ya kati, lakini hatujajadili kile kinachotokea wakati mawimbi yanapokutana na mipaka ya kati au kinachotokea wakati wimbi linapokutana na wimbi lingine linaloenea kupitia katikati sawa. Mawimbi yanaingiliana na mipaka ya kati, na yote au sehemu ya wimbi inaweza kuonekana. Kwa mfano, unaposimama umbali fulani kutoka kwenye uso mkali wa mwamba na kulia, unaweza kusikia mawimbi ya sauti yanaonyesha uso mgumu kama echo. Mawimbi yanaweza pia kuingiliana na mawimbi mengine yanayoenea katika katikati sawa. Ukitupa miamba miwili ndani ya bwawa umbali fulani kutoka kwa mwenzake, mawimbi ya mviringo yanayotokana na mawe hayo mawili yanaonekana kupita kwa kila mmoja huku yanaenea kutoka mahali ambapo mawe yaliingia maji. Jambo hili linajulikana kama kuingiliwa. Katika sehemu hii, tunachunguza kinachotokea kwa mawimbi yanayokutana na mipaka ya kati au wimbi lingine linaloenea katikati sawa. Tutaona kwamba tabia zao ni tofauti kabisa na tabia ya chembe na miili imara. Baadaye, tunaposoma fizikia ya kisasa, tutaona kwamba tu kwa kiwango cha atomi tunaona kufanana katika tabia za mawimbi na chembe.

Kutafakari na Uhamisho

Wakati wimbi linaenea kwa njia ya kati, linaonyesha linapokutana na mipaka ya kati. Wimbi kabla ya kupiga mipaka linajulikana kama wimbi la tukio. Wimbi baada ya kukutana na mipaka linajulikana kama wimbi lililojitokeza. Jinsi wimbi linaonekana kwenye mipaka ya kati inategemea hali ya mipaka; mawimbi yatashughulikia tofauti ikiwa mipaka ya kati imewekwa mahali au huru kuhamia (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Hali ya kudumu ya mipaka ipo wakati kati ya mipaka inapowekwa mahali hivyo haiwezi kusonga. Hali ya mipaka ya bure ipo wakati kati ya mipaka ni huru kuhamia.

Kielelezo a inaonyesha takwimu mbili za kamba masharti ya msaada rigid upande wa kulia. Kamba ya juu imeandikwa kabla ya kutafakari. mapigo sumu juu ya kamba kueneza kuelekea haki na kasi v Subscript i. kamba ya chini ni kinachoitwa baada ya kutafakari. mapigo sumu chini ya kamba kueneza upande wa kushoto na kasi v subscript R. Kielelezo b inaonyesha takwimu mbili za kamba masharti ya pete kwamba ni kupita kwa njia ya pole upande wa kulia. Kamba ya juu imeandikwa kabla ya kutafakari. mapigo sumu juu ya kamba kueneza kuelekea haki na kasi v Subscript i. kamba ya chini ni kinachoitwa baada ya kutafakari. mapigo sumu juu ya kamba huenea upande wa kushoto na kasi v subscript R. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Mwisho mmoja wa kamba ni fasta ili iweze kusonga. Wimbi linaloenea kwenye kamba, linakabiliwa na hali hii ya kudumu ya mipaka, linaonekana nje ya awamu ya 180° (\(\pi\)rad) kuhusiana na wimbi la tukio hilo. (b) Mwisho mmoja wa kamba umefungwa kwa pete imara ya wingi mdogo kwenye pole ya maabara isiyo na msuguano, ambapo pete ni huru kuhamia. Wimbi linaloenea kwenye kamba, linakabiliwa na hali hii ya mipaka ya bure, linaonekana katika awamu ya 0° (0 rad) kuhusiana na wimbi.

Kielelezo\(\PageIndex{1a}\) kinaonyesha hali ya mipaka ya kudumu. Hapa, mwisho mmoja wa kamba umewekwa kwenye ukuta hivyo mwisho wa kamba huwekwa mahali na katikati (kamba) mpakani hauwezi kusonga. Wakati wimbi linaonekana, amplitude ya njia iliyojitokeza ni sawa na ukubwa wa wimbi la tukio, lakini wimbi lililojitokeza linaonekana (\(180^o \pi\)rad) nje ya awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo. Mabadiliko ya awamu yanaweza kuelezewa kwa kutumia sheria ya tatu ya Newton: Kumbuka kwamba sheria ya tatu ya Newton inasema kwamba wakati kitu A kina nguvu juu ya kitu B, basi kitu B kina nguvu sawa na kinyume juu ya kitu A. kama wimbi la tukio linakutana na ukuta, kamba ina nguvu zaidi juu ya ukuta na ukuta humenyuka kwa kutumia nguvu sawa na kinyume juu ya kamba. Kutafakari kwenye mipaka iliyowekwa ni inverted. Kumbuka kuwa takwimu inaonyesha kiumbe cha wimbi la tukio lililojitokeza kama mto. Ikiwa wimbi la tukio lilikuwa shimo, wimbi lililojitokeza lingekuwa kiumbe.

Kielelezo\(\PageIndex{1b}\) kinaonyesha hali ya mipaka ya bure. Hapa, mwisho mmoja wa kamba umefungwa kwa pete imara ya molekuli kidogo juu ya pole isiyo na msuguano, hivyo mwisho wa kamba ni huru kuhamia juu na chini. Kama wimbi la tukio linakabiliwa na mipaka ya kati, pia inaonekana. Katika kesi ya hali ya mipaka ya bure, wimbi lililojitokeza liko katika awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo. Katika kesi hiyo, wimbi linakutana na mipaka ya bure kwa kutumia nguvu ya juu juu ya pete, kuharakisha pete. Pete husafiri hadi urefu wa juu sawa na amplitude ya wimbi na kisha huharakisha chini kuelekea nafasi ya usawa kutokana na mvutano katika kamba. Takwimu inaonyesha ukubwa wa wimbi la tukio linalojitokeza katika awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo kama kiumbe. Ikiwa wimbi la tukio lilikuwa ni shimo, wimbi lililojitokeza lingekuwa pia ni shimo. Ukubwa wa wimbi lililojitokeza litakuwa sawa na amplitude ya wimbi la tukio.

Katika hali fulani, mipaka ya kati haipatikani wala huru. Fikiria Kielelezo\(\PageIndex{2a}\), ambapo kamba ya wiani wa chini ya mstari imeunganishwa na kamba ya wiani wa juu wa mstari. Katika kesi hiyo, wimbi lililojitokeza haliko nje ya awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo. Pia kuna wimbi la kuambukizwa ambalo liko katika awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo. Wote mawimbi yaliyoambukizwa na yalijitokeza yana amplitudes chini ya amplitude ya wimbi la tukio. Ikiwa mvutano ni sawa katika masharti yote mawili, kasi ya wimbi ni ya juu katika kamba na wiani wa chini wa mstari.

Kielelezo a inaonyesha masharti mawili, moja ya juu iliyoandikwa kabla ya kutafakari na moja ya chini iliyoandikwa baada ya kutafakari. kamba ya juu ina kunde kinachoitwa tukio wimbi, ambayo hueneza na haki kwa kasi v Subscript i. kamba ya chini ina kunde mbili. Yule upande wa kushoto ni kinachoitwa wimbi la kuambukizwa. Hii hueneza na haki kwa kasi v Subscript T. wimbi upande wa kushoto ni kinachoitwa yalijitokeza wimbi. Ni hatua ya kushoto na kasi v Subscript R. ina amplitude ndogo kutoka tukio wimbi na ni kichwa chini. Kielelezo b kinaonyesha masharti mawili, moja ya juu iliyoandikwa kabla ya kutafakari na moja ya chini iliyoandikwa baada ya kutafakari. kamba ya juu ina kunde kinachoitwa tukio wimbi, ambayo hueneza na haki kwa kasi v Subscript i. kamba ya chini ina kunde mbili. Yule upande wa kushoto ni kinachoitwa wimbi la kuambukizwa na moja upande wa kulia ni kinachoitwa wimbi lililojitokeza. Wote hutengenezwa juu ya kamba. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mawimbi ya kusafiri pamoja na aina mbili za masharti: kamba nyembamba yenye wiani wa juu na kamba nyembamba yenye wiani mdogo wa mstari. Mikanda yote ni chini ya mvutano huo, hivyo wimbi linakwenda kwa kasi kwenye kamba ya chini-wiani kuliko kwenye kamba ya juu-wiani. (a) Wimbi linalohamia kutoka kasi ya chini hadi katikati ya kasi husababisha wimbi lililojitokeza ambalo ni 180° (\(\pi\)rad) nje ya awamu kuhusiana na mapigo ya tukio (au wimbi) na wimbi la kuambukizwa ambalo liko katika awamu na wimbi la tukio hilo. (b) Wakati wimbi linakwenda kutoka katikati ya kasi hadi katikati ya kasi, wimbi lililojitokeza na la kuambukizwa liko katika awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo.

\(\PageIndex{2b}\)inaonyesha high-linear wingi wiani kamba ni masharti ya kamba ya chini linear wiani. Katika kesi hiyo, wimbi lililojitokeza liko katika awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo. Pia kuna wimbi la kuambukizwa ambalo liko katika awamu kuhusiana na wimbi la tukio hilo. Tukio hilo na mawimbi yaliyojitokeza yana amplitudes chini ya amplitude ya wimbi la tukio. Hapa unaweza kuona kwamba ikiwa mvutano ni sawa katika masharti yote mawili, kasi ya wimbi ni ya juu katika kamba na wiani wa chini wa mstari.

Superposition na Kuingiliwa

Mawimbi mengi hayaonekani rahisi sana. Mawimbi mazuri ni ya kuvutia zaidi, hata mazuri, lakini yanaonekana kuwa ya kushangaza. Mawimbi ya kuvutia zaidi ya mitambo yanajumuisha mchanganyiko wa mawimbi mawili au zaidi ya kusafiri yanayoenea katikati sawa. Kanuni ya superposition inaweza kutumika kuchambua mchanganyiko wa mawimbi.

Fikiria vurugu mbili rahisi za amplitude sawa zinazohamia kuelekea kwa kila mmoja katikati sawa, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{3}\). Hatimaye, mawimbi yanaingiliana, huzalisha wimbi ambalo lina mara mbili ya amplitude, na kisha kuendelea bila kuathiriwa na kukutana. Vurugu husemekana kuingilia kati, na jambo hili linajulikana kama kuingiliwa.

Takwimu tano zinaonyesha hatua tofauti za vurugu viwili vinavyoelekea kila mmoja. Pulses ni mbali mbali wakati t1. Wote wana amplitude A. wao hoja kwa kila mmoja kwa wakati t2, kuchanganya katika wimbi na kilele mbili. Wakati wa t3, huchanganya katika wimbi moja na amplitude 2A. Wakati wa t4, huondoka tena, kila mmoja akipata amplitude A. wanarudi kwenye nafasi zao za awali wakati wa t5. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Pulses mbili kusonga kuelekea mtu mwingine uzoefu kuingiliwa. Neno kuingiliwa linamaanisha kinachotokea wakati mawimbi mawili yanaingiliana.

Kuchambua kuingiliwa kwa mawimbi mawili au zaidi, tunatumia kanuni ya superposition. Kwa mawimbi ya mitambo, kanuni ya superposition inasema kwamba ikiwa mawimbi mawili au zaidi ya kusafiri yanachanganya wakati huo huo, nafasi inayosababisha kipengele cha wingi wa kati, kwa wakati huo, ni jumla ya algebraic ya nafasi kutokana na mawimbi ya mtu binafsi. Mali hii inaonyeshwa na mawimbi mengi yaliyozingatiwa, kama vile mawimbi kwenye kamba, mawimbi ya sauti, na mawimbi ya maji ya uso. Mawimbi ya umeme pia hutii kanuni ya superposition, lakini mashamba ya umeme na magnetic ya wimbi la pamoja huongezwa badala ya uhamisho wa kati. Mawimbi yanayotii kanuni ya superposition ni mawimbi ya mstari; mawimbi ambayo hayatii kanuni ya superposition inasemekana kuwa mawimbi yasiyo ya Katika sura hii, tunahusika na mawimbi ya mstari, hususan, mawimbi ya sinusoidal.

Kanuni ya superposition inaweza kueleweka kwa kuzingatia usawa wa wimbi la mstari. Katika Hisabati ya Mganda, tulifafanua wimbi linear kama wimbi ambalo uwakilishi wa hisabati hutii equation ya wimbi linear. Kwa wimbi la kuvuka kwenye kamba na nguvu ya kurejesha elastic, equation ya wimbi la mstari ni

\[\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}} \ldotp\]

Kazi yoyote ya wimbi y (x, t) = y (x vt), ambapo hoja ya kazi ni linear (x vt) ni suluhisho la equation ya wimbi la mstari na ni kazi ya wimbi la mstari. Ikiwa kazi ya wimbi y ₁ (x, t) na y ₂ (x, t) ni ufumbuzi wa equation ya wimbi la mstari, jumla ya kazi mbili y ₁ (x, t) + y ₂ (x, t) pia ni suluhisho la equation ya wimbi la mstari. Mawimbi ya mitambo ambayo yanatii superposition kawaida huzuiwa kwa mawimbi yenye amplitudes ambayo ni ndogo kuhusiana na wavelengths yao. Ikiwa amplitude ni kubwa mno, kati hupotosha nyuma ya kanda ambapo nguvu ya kurejesha ya kati ni ya mstari.

Mawimbi yanaweza kuingilia kati kwa ufanisi au kwa uharibifu. Kielelezo\(\PageIndex{4}\) inaonyesha mbili kufanana sinusoidal mawimbi kwamba kufika katika hatua moja hasa katika awamu. Kielelezo\(\PageIndex{4a}\) na\(\PageIndex{4b}\) kuonyesha mbili mawimbi ya mtu binafsi, Kielelezo\(\PageIndex{4c}\) inaonyesha wimbi matokeo ambayo matokeo ya jumla algebraic ya mawimbi mawili linear. Vipande vya mawimbi mawili ni sawa sawa, kama vile mabwawa. Superposition hii inazalisha kuingiliwa kwa kujenga. Kwa sababu mvuruko unaongeza, kuingiliwa kwa kujenga hutoa wimbi ambalo lina mara mbili ya amplitude ya mawimbi ya mtu binafsi, lakini ina wavelength sawa.

Takwimu a na b kila zinaonyesha wimbi na amplitude A na wavelength lambda. Wao ni katika awamu na kila mmoja. Kielelezo a kinachoitwa y1 mabano x, t mabano sawa na A sine mabano KX bala omega t mabano. Kielelezo b ni kinachoitwa Y2 mabano x, t mabano sawa na A sine mabano KX bala omega t mabano. Kielelezo c inaonyesha wimbi ambalo liko katika awamu na nyingine mbili. Ina amplitude 2A na wavelength lambda. Ni kinachoitwa na mabano x, t mabano sawa na y1 plus y2 sawa na 2A sine mabano KX bala omega t mabano. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Kuingiliwa kwa kujenga mawimbi mawili yanayofanana hutoa wimbi na mara mbili amplitude, lakini wavelength sawa.

Kielelezo\(\PageIndex{5}\) inaonyesha mawimbi mawili kufanana kwamba kufika hasa 180° nje ya awamu, kuzalisha kuingiliwa uharibifu. Kielelezo\(\PageIndex{5a}\) na\(\PageIndex{5b}\) kuonyesha mawimbi ya mtu binafsi, na Kielelezo\(\PageIndex{5c}\) inaonyesha superposition ya mawimbi mawili. Kwa sababu mabwawa ya wimbi moja huongeza mwamba wa wimbi lingine, amplitude inayosababisha ni sifuri kwa kuingilia uharibifu - mawimbi kufuta kabisa.

Takwimu a na b kila zinaonyesha wimbi na amplitude A na wavelength lambda. Wao ni nje ya awamu na kila mmoja kwa pi angle. Kielelezo a kinachoitwa y1 mabano x, t mabano sawa na A sine mabano KX bala omega t plus pi mabano. Kielelezo b ni kinachoitwa Y2 mabano x, t mabano sawa na A sine mabano KX bala omega t mabano. Kielelezo c kinaonyesha ukosefu wa wimbi lolote. Ni kinachoitwa y mabano x, t mabano sawa na y1 pamoja na y2 sawa na 0. — Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Kuingiliwa kwa uharibifu wa mawimbi mawili yanayofanana, moja na mabadiliko ya awamu ya 180° (\(\pi\)rad), hutoa amplitude ya sifuri, au kufuta kamili.

Wakati mawimbi ya mstari yanaingilia kati, wimbi la matokeo ni jumla ya algebraic ya mawimbi ya mtu binafsi kama ilivyoelezwa katika kanuni ya superposition. Kielelezo\(\PageIndex{6}\) kinaonyesha mawimbi mawili (nyekundu na bluu) na wimbi la matokeo (nyeusi). Wimbi la matokeo ni jumla ya algebraic ya mawimbi mawili ya mtu binafsi.

Kielelezo inaonyesha mawimbi matatu. Mbili kati ya hizi, bluu na nyekundu zina maadili y tofauti kutoka -10 hadi pamoja na 10 na wavelength sawa. Wao ni kidogo nje ya awamu. Ya tatu, ambayo ni nyeusi, ina wavelength sawa lakini amplitude kubwa. Takwimu nyingine inaonyesha sehemu iliyopigwa ya grafu hii. Kwa x takriban sawa na 0.74, maadili ya y ya mawimbi nyekundu na bluu ni y1 = 8 na y2 = 10 kwa mtiririko huo. Thamani y ya wimbi nyeusi ni y1 + y2 = 18. Katika x sawa na 1, maadili y ya mawimbi nyekundu na bluu ni 9.5. Thamani y ya wimbi nyeusi ni y1 + y2 = 19. — Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Wakati mawimbi mawili ya mstari katika kuingilia kati sawa, urefu wa wimbi la kusababisha ni jumla ya urefu wa mawimbi ya mtu binafsi, kuchukuliwa hatua kwa hatua. Mpango huu unaonyesha mawimbi mawili (nyekundu na bluu) yaliyoongezwa pamoja, pamoja na wimbi linalosababisha (nyeusi). Grafu hizi zinawakilisha urefu wa wimbi kila hatua. Mawimbi yanaweza kuwa wimbi lolote linear, ikiwa ni pamoja na viwimbi kwenye bwawa, misukosuko kwenye kamba, sauti, au mawimbi ya umeme.

Upeo wa mawimbi mengi hutoa mchanganyiko wa kuingiliwa kwa kujenga na uharibifu, na inaweza kutofautiana kutoka sehemu kwa mahali na mara kwa mara. Sauti kutoka stereo, kwa mfano, inaweza kuwa kubwa katika doa moja na utulivu katika mwingine. Tofauti kubwa ina maana mawimbi ya sauti huongeza sehemu kwa ufanisi na sehemu ya uharibifu katika maeneo tofauti. Stereo ina angalau wasemaji wawili wanaounda mawimbi ya sauti, na mawimbi yanaweza kutafakari kutoka kuta. Mawimbi haya yote huingilia kati, na wimbi linalosababisha ni mawimbi ya mawimbi.

Tumeonyesha mifano kadhaa ya superposition ya mawimbi ambayo ni sawa. Kielelezo\(\PageIndex{7}\) unaeleza mfano wa superposition ya mawimbi mawili tofauti. Hapa tena, mvutano huongeza, huzalisha wimbi la matokeo.

Kielelezo inaonyesha mawimbi matatu. Mganda 1 ina wavelength kubwa na amplitude ikilinganishwa na wimbi 2 Wimbi la tatu, lililoandikwa wimbi la matokeo ni umbo la kawaida. — Kielelezo\(\PageIndex{7}\): Upeo wa mawimbi yasiyo ya kawaida huonyesha kuingiliwa kwa kujenga na uharibifu.

Wakati mwingine, wakati mawimbi mawili au zaidi ya mitambo yanaingilia kati, muundo unaozalishwa na wimbi linaloweza kusababisha unaweza kuwa matajiri katika utata, baadhi bila mifumo yoyote inayoonekana kwa urahisi. Kwa mfano, kupanga njama ya sauti ya muziki wako unaopenda inaweza kuonekana ngumu sana na ni upeo wa mawimbi ya sauti ya mtu binafsi kutoka kwa vyombo vingi; ni ugumu ambao hufanya muziki kuvutia na unapaswa kusikiliza. Wakati mwingine, mawimbi yanaweza kuingilia kati na kuzalisha matukio ya kuvutia, ambayo ni ngumu katika kuonekana kwao na bado ni nzuri katika unyenyekevu wa kanuni ya kimwili ya superposition, ambayo iliunda wimbi lililosababisha. Mfano mmoja ni jambo linalojulikana kama mawimbi yaliyosimama, yanayotayarishwa na mawimbi mawili yanayofanana yanayotembea katika Tutaangalia kwa karibu zaidi jambo hili katika sehemu inayofuata.

Masimulizi

Jaribu simulation hii kufanya mawimbi na bomba dripping, msemaji audio, au laser! Ongeza chanzo cha pili au jozi ya slits ili kuunda muundo wa kuingiliwa. Unaweza kuchunguza chanzo kimoja au vyanzo viwili. Kutumia vyanzo viwili, unaweza kuchunguza mifumo ya kuingiliwa ambayo hutokea kwa kutofautiana kwa mzunguko na amplitudes ya vyanzo.

Upeo wa Mawimbi ya Sinusoidal ambayo yanatofautiana na Shift ya Awamu

Mifano nyingi katika fizikia zinajumuisha mawimbi mawili ya sinusoidal ambayo yanafanana na amplitude, nambari ya wimbi, na mzunguko wa angular, lakini hutofautiana na mabadiliko ya awamu:

\[\begin{split} y_{1} (x,t) & = A \sin (kx - \omega t + \phi), \\ y_{2} (x,t) & = A \sin (kx - \omega t) \ldotp \end{split}\]

Wakati mawimbi haya mawili yapo katikati sawa, wimbi linalotokana na kuongezeka kwa mawimbi mawili ya mtu binafsi ni jumla ya mawimbi mawili ya mtu binafsi:

\[y_{R} (x,t) = y_{1} (x,t) + y_{2} (x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi) + A \sin (kx - \omega t) \ldotp\]

Wimbi la matokeo linaweza kueleweka vizuri kwa kutumia utambulisho wa trigonometric:

\[\sin u + \sin v = 2 \sin \left(\dfrac{u + v}{2}\right) \cos \left(\dfrac{u - v}{2}\right),\]

ambapo u = kx -\(\omega\) t +\(\phi\) na v = kx -\(\omega\) t. wimbi kusababisha inakuwa

\[\begin{split} y_{R} (x,t) & = y_{1} (x,t) + y_{2} (x,t) = A \sin (kx - \omega t + \phi) + A \sin (kx - \omega t) \\ & = 2A \sin \left(\dfrac{(kx - \omega t + \phi) + (kx - \omega t)}{2}\right) \cos \left(\dfrac{(kx - \omega t + \phi) - (kx - \omega t)}{2}\right) \\ & = 2A \sin \left(kx - \omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) \cos \left(\dfrac{\phi}{2}\right) \ldotp \end{split}\]

Equation hii ni kawaida imeandikwa kama

\[y_{R} (x,t) = 2A \cos \left(\dfrac{\phi}{2}\right) \sin \left(kx - \omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) \ldotp \label{16.13}\]

Wimbi la matokeo lina idadi sawa ya wimbi na mzunguko wa angular, amplitude ya _R = [2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\)], na mabadiliko ya awamu sawa na nusu ya mabadiliko ya awamu ya awali. Mifano ya mawimbi ambayo hutofautiana tu katika mabadiliko ya awamu yanaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{7}\).

radiani. Vipande vya wimbi la bluu sanjari na mabwawa ya wimbi nyekundu na kinyume chake. Wimbi la kijani haipo. Kielelezo d ni kinachoitwa delta phi sawa na 3 pi na 2 radians. Hapa, mawimbi nyekundu na bluu kila mmoja yana amplitude ya m 10 na wimbi la kijani lina amplitude ya m 15 Ina wavelength sawa na mawimbi mengine mawili. Vipande vya wimbi la kijani hutengenezwa ambapo mawimbi ya mawimbi nyekundu na ya bluu yanaingiliana. — Kielelezo\(\PageIndex{8}\): Superposition ya mawimbi mawili na amplitudes kufanana, wavelengths, na frequency, lakini hiyo tofauti katika mabadiliko ya awamu. Wimbi nyekundu hufafanuliwa na kazi ya wimbi y ₁ (x, t) = Dhambi (kx -\(\omega\) t) na wimbi la bluu linafafanuliwa na kazi ya wimbi y ₂ (x, t) = Dhambi (kx -\(\omega\) t +\(\phi\)). Mstari mweusi unaonyesha matokeo ya kuongeza mawimbi mawili. Tofauti ya awamu kati ya mawimbi mawili ni (a) 0.00 rad, (b)\(\frac{\pi}{2}\) rad, (c)\(\pi\) rad, na (d)\(\frac{3 \pi}{2}\) rad.

Mawimbi nyekundu na bluu kila mmoja yana amplitude sawa, nambari ya wimbi, na mzunguko wa angular, na hutofautiana tu katika mabadiliko ya awamu. Kwa hiyo wana kipindi hicho, wavelength, na mzunguko. Wimbi la kijani ni matokeo ya superposition ya mawimbi mawili. Wakati mawimbi mawili yana tofauti ya awamu ya sifuri, mawimbi ni katika awamu, na wimbi la matokeo lina idadi sawa ya wimbi na mzunguko wa angular, na amplitude sawa na amplitudes ya mtu binafsi mara mbili (sehemu (a)). Hii ni kuingiliwa kwa kujenga. Ikiwa tofauti ya awamu ni 180°, mawimbi yanaingilia kati katika kuingiliwa kwa uharibifu (sehemu (c)). Wimbi la matokeo lina amplitude ya sifuri. Awamu nyingine yoyote tofauti matokeo katika wimbi na idadi sawa wimbi na mzunguko angular kama mbili mawimbi tukio lakini kwa awamu ya mabadiliko ya\(\frac{\phi}{2}\) na amplitude sawa na 2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\). Mifano zinaonyeshwa katika sehemu (b) na (d).