16.4: Kasi ya Wimbi kwenye Kamba iliyopigwa

Malengo ya kujifunza

• Kuamua mambo yanayoathiri kasi ya wimbi kwenye kamba
• Andika kujieleza hisabati kwa kasi ya wimbi kwenye kamba na kuzalisha dhana hizi kwa vyombo vya habari vingine

Kasi ya wimbi inategemea sifa za kati. Kwa mfano, katika kesi ya gitaa, masharti hutetemeka ili kuzalisha sauti. Kasi ya mawimbi kwenye masharti, na wavelength, kuamua mzunguko wa sauti zinazozalishwa. Kamba kwenye gitaa zina unene tofauti lakini zinaweza kufanywa kwa nyenzo zinazofanana. Wana densities tofauti ya mstari, ambapo wiani wa mstari hufafanuliwa kama wingi kwa urefu,

\[\mu = \frac{\text{mass of string}}{\text{length of string}} = \frac{m}{l} \ldotp \label{16.7}\]

Katika sura hii, tunazingatia kamba tu na wiani wa kawaida wa mstari. Ikiwa wiani wa mstari ni mara kwa mara, basi wingi (\(\Delta m\)) wa urefu mdogo wa kamba (\(\Delta\)x) ni\(\Delta m = \mu \Delta x\). Kwa mfano, kama kamba ina urefu wa 2.00 m na uzito wa kilo 0.06, basi wiani wa mstari ni\(\mu = \frac{0.06\; kg}{2.00\; m}\) = 0.03 kg/m Kama sehemu ya 1.00-mm imekatwa kutoka kamba, uzito wa urefu wa 1.00-mm ni

\[ \Delta m = \mu \Delta x = (0.03\, kg/m)(0.001\, m) = 3.00 \times 10^{−5}\, kg. \nonumber\]

Gitaa pia ina njia ya kubadilisha mvutano wa masharti. Mvutano wa masharti hurekebishwa kwa kugeuka spindles, inayoitwa mizigo ya tuning, karibu na ambayo masharti yamefungwa. Kwa gitaa, wiani wa mstari wa kamba na mvutano katika kamba huamua kasi ya mawimbi katika kamba na mzunguko wa sauti zinazozalishwa ni sawia na kasi ya wimbi.

Kasi ya kasi kwenye Kamba chini ya Mvutano

Kuona jinsi kasi ya wimbi kwenye kamba inategemea mvutano na wiani wa mstari, fikiria pigo iliyotumwa kamba ya taut (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Wakati kamba ya taut inapumzika kwenye nafasi ya usawa, mvutano katika kamba\(F_T\) ni mara kwa mara. Fikiria kipengele kidogo cha kamba na wingi sawa na\(\Delta m = \mu \Delta x\). Kipengele cha wingi kinapumzika na katika usawa na nguvu ya mvutano wa upande wowote wa kipengele cha wingi ni sawa na kinyume.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Misa kipengele cha kamba naendelea taut na mvutano\(F_T\). Kipengele cha wingi ni katika usawa wa tuli, na nguvu ya mvutano inayofanya upande wowote wa kipengele cha wingi ni sawa na ukubwa na kinyume na mwelekeo.

Ikiwa unakata kamba chini ya mvutano, wimbi la transverse linakwenda katika mwelekeo mzuri wa x-mwelekeo, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{2}\). Elementi ya wingi ni ndogo lakini imeenea katika takwimu ili kuifanya ionekane. Kipengele kidogo cha molekuli kinachozunguka perpendicular kwa mwendo wa wimbi kama matokeo ya nguvu ya kurejesha inayotolewa na kamba na haiingii katika mwelekeo wa x. Mvutano F _T katika kamba, ambayo hufanya katika mwelekeo mzuri na hasi, ni takriban mara kwa mara na ni huru ya nafasi na wakati.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kamba chini ya mvutano imevunjwa, na kusababisha pigo kuhamia kando ya kamba katika mwelekeo mzuri wa x.

Fikiria kwamba mwelekeo wa kamba iliyohamishwa kwa heshima na mhimili usio na usawa ni mdogo. Nguvu ya wavu juu ya kipengele cha kamba, inayofanya sambamba na kamba, ni jumla ya mvutano katika kamba na nguvu ya kurejesha. Vipengele vya x-vya nguvu ya mvutano hufuta, hivyo nguvu ya wavu ni sawa na jumla ya vipengele vya y vya nguvu. Ukubwa wa sehemu ya x ya nguvu ni sawa na nguvu ya usawa ya mvutano wa kamba\(F_T\) kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{2}\). Ili kupata vipengele vya y vya nguvu, kumbuka kuwa tan\(\theta_{1} = − \frac{F_{1}}{F_{T}}\) na\(\tan \theta_{2} = \frac{F_{2}}{F_{T}}\). Ya\(\tan \theta\) ni sawa na mteremko wa kazi kwa hatua, ambayo ni sawa na derivative ya sehemu ya y kwa heshima na x wakati huo. Kwa hiyo,\(\frac{F_{1}}{F_{T}}\) ni sawa na mteremko hasi wa kamba saa x ₁ na\(\frac{F_{2}}{F_{T}}\) ni sawa na mteremko wa kamba saa x ₂:

\[\frac{F_{1}}{F_{T}} = - \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{1}}\; and\; \frac{F_{2}}{F_{T}} = \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{2}} \ldotp\]

Nguvu ya wavu iko kwenye kipengele kidogo cha molekuli inaweza kuandikwa kama

\[F_{net} = F_{1} + F_{2} = F_{T} \Bigg[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{2}} - \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{1}} \Bigg] \ldotp\]

Kutumia sheria ya pili ya Newton, nguvu ya wavu ni sawa na mara nyingi kasi. Uzito wa mstari wa kamba δ ni wingi kwa urefu wa kamba, na wingi wa sehemu ya kamba ni\(\mu \Delta\) x,

\[F_{T} \Bigg[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{2}} - \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{1}} \Bigg] = \Delta ma = \mu \Delta x \left(\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}\right) \ldotp\]

Kugawanyika kwa F _T\(\Delta\) x na kuchukua kikomo kama\(\Delta\) x inakaribia sifuri,

\[\begin{split} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Bigg[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{2}} - \left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)_{x_{1}} \Bigg]}{\Delta x} & = \frac{\mu}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} & = \frac{\mu}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \ldotp \end{split}\]

Kukumbuka kwamba linear wimbi equation ni

\[\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}} \ldotp\]

Kwa hiyo,

\[\frac{1}{v^{2}} = \frac{\mu}{F_{T}} \ldotp\]

Kutatua\(v\), tunaona kwamba kasi ya wimbi kwenye kamba inategemea mvutano na wiani wa mstari

Kasi ya Mganda kwenye Kamba Chini ya Mvutano

Kasi ya pigo au wimbi kwenye kamba chini ya mvutano inaweza kupatikana kwa equation

\[|v| = \sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}} \label{16.8}\]

\(F_T\)wapi mvutano katika kamba na\(µ\) ni wingi kwa urefu wa kamba.

Mfano 16.5: Kasi ya Wave ya Spring ya Guitar

Kwenye gitaa la kamba sita, kamba ya juu ya E ina wiani wa mstari wa\(\mu_{High\; E}\) = 3.09 x 10 ^—4 kg/m na kamba ya chini ya E ina wiani wa mstari wa\(\mu_{Low\; E}\) = 5.78 x 10 ^-3 kg/m. (a) Ikiwa kamba ya juu ya E imevunjwa, huzalisha wimbi katika kamba, ni kasi gani ya wimbi ikiwa mvutano wa kamba ni 56.40 N? (b) Uzito wa mstari wa kamba ya chini ya E ni takriban mara 20 zaidi kuliko ile ya kamba ya juu ya E. Kwa mawimbi ya kusafiri kwa njia ya chini E kamba katika kasi sawa wimbi kama E high, je, mvutano haja ya kuwa kubwa au ndogo kuliko high E kamba? Je, itakuwa mvutano wa takriban? (c) Tumia mvutano wa kamba ya chini ya E inayohitajika kwa kasi sawa ya wimbi.

Mkakati

1. Kasi ya wimbi inaweza kupatikana kutoka wiani wa mstari na mvutano\(v = \sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}\).
2. Kutoka kwa equation v =\(\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}\), ikiwa wiani wa mstari umeongezeka kwa sababu ya karibu 20, mvutano utahitaji kuongezeka kwa sababu ya 20.
3. Kujua kasi na wiani wa mstari, equation ya kasi inaweza kutatuliwa kwa nguvu ya mvutano F _T =\(\mu\) v ².

Suluhisho

1. Tumia equation ya kasi ili kupata kasi: $$v =\ sqrt {\ frac {F_ {T}} {\ mu} =\ sqrt {\ frac {56.40\; N} {3.09\ mara 10^ {-4}\; kg/m}} = 427.23\; m/s\ ldotp$$
2. Mvutano utahitaji kuongezeka kwa sababu ya takriban 20. Mvutano itakuwa kidogo chini ya 1128 N.
3. Tumia equation ya kasi ili kupata mvutano halisi: $$F_ {T} =\ mu v^ {2} = (5.78\ mara 10^ {-3}\; kg/m) (427.23\; m/s) ^ {2} = 1055.00\; N\ ldotp$$
4. Suluhisho hili ni ndani ya 7% ya makadirio.

Umuhimu

Maelezo ya kiwango cha kamba sita (high E, B, G, D, A, chini E) yanatengenezwa ili kutetemeka kwenye masafa ya msingi (329.63 Hz, 246.94 Hz, 196.00 Hz, 146.83 Hz, 110.00 Hz, na 82.41 Hz) wakati wa kukatwa. Mzunguko hutegemea kasi ya mawimbi kwenye kamba na wavelength ya mawimbi. Mikanda sita ina densities tofauti ya mstari na ni “tuned” kwa kubadilisha mvutano katika masharti. Tutaona katika Kuingiliwa kwa Waves kwamba wavelength inategemea urefu wa masharti na hali ya mipaka. Ili kucheza maelezo zaidi ya maelezo ya msingi, urefu wa masharti hubadilishwa kwa kushinikiza chini kwenye masharti.

Zoezi 16.5

Kasi ya wimbi la wimbi kwenye kamba inategemea mvutano na wiani wa mstari wa mstari. Ikiwa mvutano umeongezeka mara mbili, ni nini kinachotokea kwa kasi ya mawimbi kwenye kamba?

Kasi ya Mawimbi ya Ukandamizaji katika maji

Kasi ya wimbi kwenye kamba inategemea mizizi ya mraba ya mvutano umegawanyika na wingi kwa urefu, wiani wa mstari. Kwa ujumla, kasi ya wimbi kupitia kati inategemea mali ya elastic ya mali ya kati na inertial ya kati.

\[|v| = \sqrt{\frac{elastic\; property}{inertial\; property}}\]

Mali ya elastic inaelezea tabia ya chembe za kati kurudi kwenye nafasi yao ya awali wakati inapotoshwa. Mali ya inertial inaelezea tabia ya chembe kupinga mabadiliko katika kasi.

Kasi ya wimbi la longitudinal kupitia kioevu au gesi inategemea wiani wa maji na moduli wingi wa maji,

\[v = \sqrt{\frac{\beta}{\rho}} \ldotp \label{16.9}\]

Hapa moduli wingi hufafanuliwa kama β =\(− \frac{\Delta P}{\frac{\Delta V}{V_{0}}}\), ambapo\(\Delta\) P ni mabadiliko katika shinikizo na denominator ni uwiano wa mabadiliko katika kiasi hadi kiasi cha awali, na\(\rho \equiv \frac{m}{V}\) ni masi kwa kiasi cha kitengo. Kwa mfano, sauti ni wimbi la mitambo linalotembea kupitia kiowevu au imara. Kasi ya sauti hewani yenye shinikizo la angahewa la 1.013 x 10 ⁵ Pa na halijoto ya 20°C ni v _s ≈ 343.00 m/s.Kwa sababu wiani unategemea halijoto, kasi ya sauti hewani inategemea halijoto. Hii itajadiliwa kwa undani katika Sauti.