15.S: oscillations (muhtasari)
- Page ID
- 177011
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
Masharti muhimu
| amplitude (A) | uhamisho wa kiwango cha juu kutoka nafasi ya usawa wa kitu kinachozunguka nafasi ya usawa |
| kwa kina damped | hali ambayo damping ya oscillator husababisha kurudi haraka iwezekanavyo kwa nafasi yake ya usawa bila kusonga na kurudi juu ya nafasi hii |
| elastic uwezo wa nishati | uwezo wa nishati kuhifadhiwa kama matokeo ya deformation ya kitu elastic, kama vile kuenea kwa spring |
| msimamo wa usawa | nafasi ambapo spring si aliweka wala USITUMIE |
| nguvu ya mara kwa mara (k) | tabia ya spring, ambayo hufafanuliwa kama uwiano wa nguvu inayotumiwa kwa chemchemi hadi uhamisho unaosababishwa na nguvu; |
| frequency (f) | idadi ya matukio kwa kila kitengo cha wakati |
| mzunguko wa angular wa asili | mzunguko wa angular wa mfumo wa kusonga katika SHM |
| oscillation | fluctuation moja ya wingi, au kushuka kwa mara kwa mara na mara kwa mara ya wingi, kati ya maadili mawili uliokithiri karibu na usawa au thamani ya wastani |
| imeshuka kupita kiasi | hali ambayo damping ya oscillator husababisha kurudi kwa usawa bila oscillating; oscillator huenda polepole zaidi kuelekea usawa kuliko katika mfumo wa kina damped |
| kipindi (T) | muda kuchukuliwa kukamilisha oscillation moja |
| mwendo wa mara kwa mara | mwendo kwamba kurudia yenyewe katika vipindi mara kwa mara wakati |
| mabadiliko ya awamu | angle, katika radians, ambayo hutumiwa katika kazi ya cosine au sine ili kuhama kazi kushoto au kulia, kutumika kufanana na kazi na hali ya awali ya data |
| pendulum ya kimwili | kitu chochote kilichopanuliwa ambacho kinajitokeza kama pendulum |
| resonance | oscillations kubwa ya amplitude katika mfumo unaozalishwa na nguvu ndogo ya kuendesha gari ya amplitude, ambayo ina mzunguko sawa na mzunguko wa asili |
| kurejesha nguvu | nguvu kaimu katika upinzani kwa nguvu unasababishwa na deformation |
| rahisi harmonic mwendo (SHM) | mwendo wa oscillatory katika mfumo ambapo nguvu ya kurejesha ni sawa na uhamisho, ambayo hufanya katika mwelekeo kinyume na uhamisho |
| rahisi harmonic oscillator | kifaa kinachozunguka katika SHM ambapo nguvu ya kurejesha ni sawa na uhamisho na hufanya katika mwelekeo kinyume na uhamisho |
| pendulum rahisi | hatua molekuli, aitwaye bob pendulum, masharti ya kamba karibu massless |
| uhakika wa usawa | uhakika ambapo nguvu ya wavu kwenye mfumo ni sifuri, lakini uhamisho mdogo wa wingi utasababisha nguvu ya kurejesha ambayo inaelezea kuelekea hatua ya usawa |
| pendulum ya torsional | kitu chochote suspended kwamba oscillates na wakasokota kusimamishwa yake |
| underdamped | hali ambayo damping ya oscillator husababisha amplitude ya oscillations ya oscillator ya harmonic iliyopungua kupungua kwa muda, hatimaye inakaribia sifuri |
Mlinganyo muhimu
| Uhusiano kati ya mzunguko na kipindi | $f =\ frac {1} {T} $$ |
| Nafasi katika SHM na\(\phi\) = 0.00 | $x (t) = A\ cos (\ omega t) $$ |
| Msimamo mkuu katika SHM | $x (t) = A\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| General kasi katika SHM | $$v (t) = -A\ omega\ dhambi (\ omega t +\ phi) $$ |
| Kuongeza kasi ya jumla katika SHM | $$a (t) = -A\ omega ^ {2}\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| Upeo wa uhamisho (amplitude) wa SHM | $$x_ {max} = A $$ |
| Upeo wa kasi wa SHM | $$|v_ {max} | = A\ omega $$ |
| Upeo wa kasi wa SHM | $$|a_ {max} | = A\ omega^ {2} $$ |
| Mzunguko wa angular wa mfumo wa moleku-spring katika SHM | $$\ omega =\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Kipindi cha mfumo wa moleku-spring katika SHM | $T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {m} {k}} $ |
| Upepo wa mfumo wa moleku-spring katika SHM | $f =\ frac {1} {2\ pi}\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Nishati katika mfumo wa moleku-spring katika SHM | $E_ {Jumla} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ Frac {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} {2} kA^ {2} $$ |
| Kasi ya wingi katika mfumo wa spring molekuli katika SHM | $$v =\ pm\ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2} - x^ {2})} $$ |
| Sehemu ya x ya radius ya disk inayozunguka | $x (t) = A\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| Sehemu ya x ya kasi ya makali ya disk inayozunguka | $$v (t) = -v_ {max}\ dhambi (\ omega t +\ phi) $$ |
| Sehemu ya x ya kuongeza kasi ya makali ya disk inayozunguka | $$a (t) = -a_ {max}\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| Nguvu equation kwa pendulum rahisi | $$\ frac {d ^ {2}\ theta} {dt^ {2}} = -\ frac {g} {L}\ theta $$ |
| Mzunguko wa angular kwa pendulum rahisi | $$\ omega =\ sqrt {\ frac {g} {L}} $$ |
| Kipindi cha pendulum rahisi | $T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {L} {g}} $$ |
| Mzunguko wa angular wa pendulum ya kimwili | $$\ omega =\ sqrt {\ frac {MgL} {I}} $$ |
| Kipindi cha pendulum ya kimwili | $T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {MgL}} $$ |
| Kipindi cha pendulum ya torsional | $T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {\ kappa}} $$ |
| Sheria ya pili ya Newton kwa mwendo harmonic | $$m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} + b\ frac {dx} {dt} + kx = 0 $$ |
| Suluhisho la mwendo wa harmonic usioingizwa | $x (t) = A_ {0} e^ {-\ frac {b} {2m} t}\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| Mzunguko wa angular wa asili wa mfumo wa moleku-spring | $$\ omega_ {0} =\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Mzunguko wa angular wa mwendo wa harmonic ulioingizwa | $$\ omega =\ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} -\ kushoto (\ dfrac {b} {2m}\ haki) ^ {2}} $$ |
| Sheria ya pili ya Newton kwa kulazimishwa, damped oscillation | $-kx -b\ frac {dx} {dt} + F_ {0}\ dhambi (\ omega t) = m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2} {dt^ {2}} $$ |
| Suluhisho la sheria ya pili ya Newton kwa oscillations kulazimishwa, damped | $x (t) = A\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| Amplitude ya mfumo unaofanywa kulazimishwa, kufuta kufuta | $A =\ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ omega^ {2} -\ omega_ {0} ^ {2}) ^ {2} + b^ {2}\ omega^ {2}}} $ |
Muhtasari
15.1 Rahisi Harmonic Motion
- Mwendo wa mara kwa mara ni oscillation ya kurudia. Wakati wa oscillation moja ni kipindi T na idadi ya oscillations kwa wakati kitengo ni frequency f. kiasi hizi ni kuhusiana na\(f = \frac{1}{T}\).
- Simple harmonic mwendo (SHM) ni oscillatory mwendo kwa mfumo ambapo nguvu kurejesha ni sawia na makazi yao na vitendo katika mwelekeo kinyume na makazi yao.
- Upeo wa uhamisho ni amplitude A. mzunguko angular\(\omega\), kipindi T, na frequency f ya oscillator rahisi harmonic hutolewa na\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)\(\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\), T = 2\(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\), na f =, ambapo m ni wingi wa mfumo na k ni nguvu ya mara kwa mara.
- Uhamisho kama kazi ya muda katika SHM hutolewa na x (t) = Acos\(\left(\dfrac{2 \pi}{T} t + \phi \right)\) = Acos (\(\omega t + \phi\)).
- Kasi hutolewa na v (t) = -A\(\omega\) dhambi (\(\omega t + \phi\)) = -v max dhambi (\(\omega t + \phi\)), ambapo v max = A\(\omega\) = A\(\sqrt{\frac{k}{m}}\).
- Kuongeza kasi hutolewa na (t) = -A\(\omega^{2}\) cos (\(\omega t + \phi\)) = -a max cos (\(\omega t + \phi\)), ambapo max = A\(\omega^{2}\) = A\(\frac{k}{m}\).
15.2 Nishati katika Simple Harmonic Motion
- Aina rahisi ya oscillations ni kuhusiana na mifumo ambayo inaweza kuelezwa na sheria ya Hooke, F = -kx, ambapo F ni nguvu ya kurejesha, x ni makazi yao kutoka usawa au deformation, na k ni nguvu ya mara kwa mara ya mfumo.
- Nishati ya uwezo wa kutosha U iliyohifadhiwa katika deformation ya mfumo ambayo inaweza kuelezwa na sheria ya Hooke inatolewa na U =\(\frac{1}{2}\) kx 2.
- Nishati katika oscillator rahisi harmonic ni pamoja kati ya nishati elastic uwezo na nishati kinetic, na jumla kuwa mara kwa mara: $$E_ {Jumla} =\ Frac {1} {2} kx^ {2} +\ Frac {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} = mara kwa mara\ ldotp $$
- Ukubwa wa kasi kama kazi ya msimamo kwa oscillator rahisi ya harmonic inaweza kupatikana kwa kutumia $$v =\ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2} - x^ {2})}\ ldotp$$
15.3 Kulinganisha Simple Harmonic Motion na Mviringo Motion
- Makadirio ya mwendo wa mviringo sare hupata oscillation rahisi ya harmonic.
- Fikiria mduara na radius A, kusonga kwa kasi ya angular mara kwa mara\(\omega\). uhakika juu ya makali ya mzunguko hatua katika mara kwa mara kasi tangential ya v max = A\(\omega\). Makadirio ya radius kwenye x-axis ni x (t) = Acos (\(\omega\)t +\(\phi\)), ambapo (\(\phi\)) ni mabadiliko ya awamu. Sehemu ya x ya kasi ya tangential ni v (t) = -A\(\omega\) dhambi (\(\omega\)t +\(\phi\)).
15.4 Pendulums
- Masi m kusimamishwa na waya wa urefu L na uzito mdogo ni pendulum rahisi na hupata SHM kwa amplitudes chini ya 15°. Kipindi cha pendulum rahisi ni T = 2\(\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\), ambapo L ni urefu wa kamba na g ni kasi kutokana na mvuto.
- Kipindi cha pendulum ya kimwili T = 2\(\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\) kinaweza kupatikana ikiwa wakati wa inertia unajulikana. Urefu kati ya hatua ya mzunguko na katikati ya wingi ni L.
- Kipindi cha pendulum ya torsional T = 2\(\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}\) kinaweza kupatikana ikiwa wakati wa inertia na torsion mara kwa mara hujulikana.
15.5 Oscillations damped
- Oscillators ya harmonic iliyopigwa na nguvu zisizo za kihafidhina ambazo zinaondoa nishati zao.
- Damping muhimu inarudi mfumo kwa usawa haraka iwezekanavyo bila overshooting.
- Mfumo wa underdamped utaondoka kupitia nafasi ya usawa.
- Mfumo wa overdamped huenda polepole zaidi kuelekea usawa kuliko moja ambayo ni ya kina damped.
15.6 Kufutwa kwa kulazimishwa
- Mzunguko wa asili wa mfumo ni mzunguko ambao mfumo hutembea ikiwa hauathiriwa na nguvu za kuendesha gari au kuacha.
- Nguvu ya mara kwa mara inayoendesha oscillator ya harmonic katika mzunguko wake wa asili hutoa resonance. Mfumo huo unasemekana kurudia.
- Mfumo wa chini wa damping una, juu ya amplitude ya oscillations kulazimishwa karibu resonance. Zaidi damping mfumo ina, majibu pana ina tofauti frequency kuendesha gari.