13.2: Sheria ya Newton ya Gravitation Universal
- Page ID
- 176725
- Andika orodha muhimu katika historia ya gravitation
- Tumia nguvu ya mvuto kati ya raia wawili wa uhakika
- Tathmini nguvu ya mvuto kati ya makusanyo ya wingi
Sisi kwanza tathmini historia ya utafiti wa gravitation, kwa msisitizo juu ya matukio hayo ambayo kwa maelfu ya miaka yamewaongoza wanafalsafa na wanasayansi kutafuta maelezo. Kisha tunachunguza fomu rahisi ya sheria ya Newton ya uharibifu wa ulimwengu wote na jinsi ya kuitumia.
Historia ya Gravitation
Wanafalsafa wa mwanzo walishangaa kwa nini vitu kawaida huwa na kuanguka chini. Aristotle (384—322 KK) aliamini ya kwamba ilikuwa asili ya miamba kutafuta Dunia na asili ya moto kutafuta mbingu. Brahmagupta (598~665 CE) alidai kwamba Dunia ilikuwa nyanja na vitu vilikuwa na uhusiano wa asili kwa ajili yake, kuanguka kuelekea katikati kutoka popote walipo.
Mwendo wa Jua, Mwezi wetu, na sayari zimejifunza kwa maelfu ya miaka pia. Mwendo huu ulielezewa kwa usahihi wa kushangaza na Ptolemy (90—168 CE), ambaye njia yake ya epicycles ilielezea njia za sayari kama duru ndani ya miduara. Hata hivyo, kuna ushahidi mdogo kwamba mtu yeyote aliunganisha mwendo wa miili ya astronomia na mwendo wa vitu vinavyoanguka duniani—hadi karne ya kumi na saba.
Nicolaus Copernicus (1473—1543) kwa ujumla anahesabiwa kuwa wa kwanza kupinga mfumo wa geocentric wa Ptolemy (Dunia-unaozingatia) na kupendekeza mfumo wa heliocentric, ambapo Jua liko katikati ya mfumo wa jua. Wazo hili lilisaidiwa na vipimo vya jicho la uchi vyema vya mwendo wa sayari na Tycho Brahe na uchambuzi wao na Johannes Kepler na Galileo Galilei. Kepler alionyesha ya kwamba mwendo wa kila sayari ni duaradufu (wa kwanza kati ya sheria zake tatu, zilizojadiliwa katika Sheria za Kepler's of Planetary Motion), na Robert Hooke (Hooke huyo aliyeandaa sheria ya Hooke kwa ajili ya chemchemi) intuitively alipendekeza kuwa mwendo huu unatokana na sayari zinazovutiwa na Jua. Hata hivyo, ni Isaac Newton ambaye aliunganisha kasi ya vitu karibu na uso wa Dunia na kasi ya centripetal ya Mwezi katika obiti yake kuhusu Dunia.
Hatimaye, katika nadharia ya Einstein ya Gravity, tunaangalia nadharia ya relativity ya jumla iliyopendekezwa na Albert Einstein mwaka wa 1916. Nadharia yake inatokana na mtazamo tofauti sana, ambapo mvuto ni udhihirisho wa nafasi ya kupigana kwa wingi na wakati. Matokeo ya nadharia yake yalitoa kupanda kwa utabiri wengi wa ajabu, kimsingi wote ambao umethibitishwa zaidi ya miongo mingi kufuatia kuchapishwa kwa nadharia (ikiwa ni pamoja na kipimo cha 2015 cha mawimbi ya mvuto kutokana na kuungana kwa mashimo mawili meusi).
Sheria ya Newton ya Gravitation Universal
Newton alibainisha kuwa vitu vilivyo kwenye uso wa Dunia (hivyo umbali wa R E kutoka katikati ya Dunia) vina kasi ya g, lakini Mwezi, umbali wa 60 R E, una kasi ya centripetal kuhusu (60) mara 2 ndogo kuliko g. kwamba nguvu ipo kati ya vitu viwili, ambavyo ukubwa wake hutolewa na bidhaa ya raia wawili umegawanyika na mraba wa umbali kati yao. Sasa tunajua kwamba sheria hii ya mraba inverse ni ubiquitous katika asili, kazi ya jiometri kwa vyanzo uhakika. Nguvu ya chanzo chochote kwa umbali r huenea juu ya uso wa nyanja inayozingatia juu ya wingi. Eneo la uso wa nyanja hiyo ni sawia na r 2. Katika sura za baadaye, tunaona fomu hiyo hiyo katika nguvu ya umeme.
Sheria ya Newton ya gravitation inaweza kuwa walionyesha kama
\[\vec{F}_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{r}_{12} \label{13.1}\]
ambapo\(\vec{F}_{12}\) ni nguvu juu ya kitu 1 exerted na kitu 2 na\(\hat{r}_{12}\) ni kitengo vector kwamba pointi kutoka kitu 1 kuelekea kitu 2.
Kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\), pointi\(\vec{F}_{12}\) vector kutoka kitu 1 kuelekea kitu 2, na hivyo inawakilisha nguvu ya kuvutia kati ya vitu. Nguvu sawa lakini kinyume\(\vec{F}_{21}\) ni nguvu juu ya kitu 2 exerted na kitu 1.
Vikosi hivi sawa lakini kinyume vinaonyesha sheria ya tatu ya Newton, ambayo tulijadili mapema. Kumbuka kuwa madhubuti kusema, Equation\ ref {13.1} inatumika kwa molekuli kumweka - umati wote iko katika hatua moja. Lakini inatumika sawa na vitu vingine vya usawa, ambapo r ni umbali kati ya vituo vya wingi wa vitu hivyo. Mara nyingi, inafanya kazi vizuri kwa vitu visivyo na kawaida, ikiwa kujitenga kwao ni kubwa ikilinganishwa na ukubwa wao, na tunachukua r kuwa umbali kati ya katikati ya wingi wa kila mwili.
Cavendish majaribio
Karne baada ya Newton kuchapisha sheria yake ya uvunjaji wa ulimwengu wote, Henry Cavendish aliamua uwiano wa mara kwa mara G kwa kufanya jaribio la maumivu. Alijenga kifaa sawa na kile kilichoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{2}\), ambapo raia wadogo wamesimamishwa kutoka waya. Mara moja katika usawa, raia mbili zilizowekwa, kubwa huwekwa kwa usawa karibu na ndogo. Mvuto wa mvuto hujenga torsion (kupotosha) katika waya inayounga mkono ambayo inaweza kupimwa.
G ya mara kwa mara inaitwa mara kwa mara ya mvuto wa ulimwengu wote na Cavendish aliamua kuwa G = 6.67 x 10 -11 N • m 2 /kg 2. Neno 'zima' linaonyesha kwamba wanasayansi wanafikiri kwamba mara kwa mara hii inatumika kwa raia wa muundo wowote na kwamba ni sawa katika Ulimwengu wote. Thamani ya G ni idadi ndogo sana, inayoonyesha kuwa nguvu ya mvuto ni dhaifu sana. Mvuto kati ya raia kama ndogo kama miili yetu, au hata vitu ukubwa wa skyscrapers, ni ndogo sana. Kwa mfano, raia mbili za kilo 1.0 ziko mbali ya mita 1.0 hutumia nguvu ya 6.7 x 10 -11 N kwa kila mmoja. Hii ni uzito wa nafaka ya kawaida ya poleni.
Ingawa mvuto ni dhaifu zaidi kati ya vikosi vinne vya asili, asili yake ya kuvutia ni kile kinachotushikilia Duniani, husababisha sayari kuzizunguka Jua na Jua kuzizunguka galaxi yetu, na hufunga galaxi katika makundi, kuanzia chache hadi mamilioni. Mvuto ni nguvu inayounda Ulimwengu.
Kuamua mwendo unaosababishwa na nguvu ya mvuto, fuata hatua hizi:
- Tambua raia mbili, moja au zote mbili, ambazo unataka kupata nguvu ya mvuto.
- Chora mchoro wa mwili wa bure, sketching nguvu inayofanya kila molekuli na kuonyesha umbali kati ya vituo vyao vya wingi.
- Tumia sheria ya pili ya Newton ya mwendo kwa kila molekuli ili kuamua jinsi itakavyohamia.
Fikiria mbili karibu spherical magari Soyuz payload, katika obiti kuhusu Dunia, kila na uzito 9000 kg na mduara 4.0 m Wao ni awali katika mapumziko jamaa na kila mmoja, 10.0 m kutoka kituo cha hadi kituo. (Kama tutakavyoona katika Sheria za Kepler's of Planetary Motion, wote obiti Dunia kwa kasi sawa na kuingiliana karibu sawa na kama walikuwa wametengwa katika nafasi ya kina.) Kuamua nguvu ya mvuto kati yao na kuongeza kasi yao ya awali. Tathmini ya muda gani inachukua kwao kuunganisha pamoja, na jinsi ya haraka wanahamia juu ya athari.
Mkakati
Tunatumia sheria ya Newton ya gravitation kuamua nguvu kati yao na kisha kutumia sheria ya pili ya Newton kupata kasi ya kila mmoja. Kwa makadirio, tunadhani kasi hii ni mara kwa mara, na tunatumia equations ya kasi ya mara kwa mara kutoka Motion kando ya Line moja kwa moja ili kupata muda na kasi ya mgongano.
Suluhisho
Ukubwa wa nguvu ni
\[|\vec{F}_{12}| = F_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = (6.67 \times 10^{-11}\; N\; \cdotp m^{2}/kg^{2}) \frac{(9000\; kg)(9000\; kg)}{(10\; m)^{2}} = 5.4 \times 10^{-5}\; N \ldotp\]
Kuongeza kasi ya awali ya kila payload ni
\[a = \frac{F}{m} = \frac{5.4 \times 10^{-5}\; N}{9000\; kg} = 6.0 \times 10^{-9}\; m/s^{2} \ldotp\]
Magari ni 4.0 m kipenyo, hivyo magari huhamia kutoka 10.0 m hadi 4.0 m mbali, au umbali wa 3.0 m kila mmoja. Hesabu sawa na ile hapo juu, kwa wakati magari ni 4.0 m mbali, hutoa kasi ya 3.8 x 10 -8 m/s 2, na wastani wa maadili haya mawili ni 2.2 x 10 -8 m/s 2. Ikiwa tunadhani kasi ya mara kwa mara ya thamani hii na huanza kutoka kupumzika, basi magari yanapigana na kasi iliyotolewa na
\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a (x - x_{0}),\; where\; v_{0} = 0,\]
kwa hivyo
\[v = \sqrt{2(2.2 \times 10^{-9}\; N)(3.0\; m)} = 3.6 \times 10^{-4}\; m/s \ldotp\]
Tunatumia v = v 0 + katika kupata t = v/a = 1.7 x 10 4 s au kuhusu masaa 4.6.
Umuhimu
Hizi mahesabu-ikiwa ni pamoja na nguvu ya awali-ni makadirio tu, kama magari pengine si spherically symmetrical. Lakini unaweza kuona kwamba nguvu ni ndogo sana. Wanaanga lazima tether wenyewe wakati wa kufanya kazi nje hata mkubwa International Space Station (ISS), kama katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\), kwa sababu mvuto mvuto hawezi kuwaokoa kutoka hata kushinikiza ndogo mbali na kituo cha.
Ni nini kinachotokea kwa nguvu na kuongeza kasi kama magari kuanguka pamoja? Je, makadirio yetu ya kasi katika mgongano juu au chini kuliko kasi kweli kuwa? Na hatimaye, nini kitatokea ikiwa raia hawakufanana? Je nguvu katika kila kuwa sawa au tofauti? Vipi kuhusu kasi yao?
- Jibu
-
Ongeza maandiko hapa. Usifute maandishi haya kwanza.
Athari ya mvuto kati ya vitu viwili na raia kwa utaratibu wa magari haya ya nafasi ni kweli ndogo. Hata hivyo, athari za mvuto juu yenu kutoka duniani ni muhimu kwa kutosha kwamba kuanguka duniani kwa miguu michache tu kunaweza kuwa hatari. Tunachunguza nguvu ya mvuto karibu na uso wa Dunia katika sehemu inayofuata.
Kupata kasi ya galaxy yetu, Milky Way, kutokana na karibu comparably ukubwa galaxy, Andromeda Galaxy (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)). Masi takriban ya kila galaxy ni raia wa jua bilioni 800 (masi ya jua ni masi ya Jua letu), na hutenganishwa na miaka ya nuru milioni 2.5. (Kumbuka kwamba masi ya Andromeda haijulikani sana lakini inaaminika kuwa kubwa kidogo kuliko galaxi yetu.) Kila galaksi ina kipenyo cha takriban miaka ya nuru 100,000 (mwaka wa nuru 1 = 9.5 x 10 m 15).
Mkakati
Kama ilivyo katika mfano uliotangulia, tunatumia sheria ya Newton ya mvuto ili kuamua nguvu kati yao na kisha kutumia sheria ya pili ya Newton ili kupata kasi ya Njia ya Milky. Tunaweza kufikiria galaxi kuwa raia wa uhakika, kwa kuwa ukubwa wao ni karibu mara 25 ndogo kuliko kujitenga kwao. Masi ya Jua (tazama Kiambatisho D) ni 2.0 x 10 kilo 30 na mwaka wa nuru ni umbali wa mwanga unaosafiri katika mwaka mmoja, 9.5 x 10 15 m.
Suluhisho
Ukubwa wa nguvu ni
\[F_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = (6.67 \times 10^{-11}\; N\; \cdotp m^{2}/kg^{2}) \frac{[(800 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{30}\; kg)]^{2}}{[(2.5 \times 10^{6})(9.5 \times 10^{15}\; m)]^{2}} = 3.0 \times 10^{29}\; N \ldotp\]
Kuongeza kasi ya Milky Way ni
\[a = \frac{F}{m} = \frac{3.0 \times 10^{29}\; N}{(800 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{30}\; kg)} = 1.9 \times 10^{-13}\; m/s^{2} \ldotp\]
Umuhimu
Je! Thamani hii ya kuongeza kasi inaonekana ndogo sana? Ikiwa wanaanza kupumzika, basi wangeweza kuharakisha moja kwa moja kuelekea kila mmoja, “kupigana” katikati yao ya wingi. Hebu tuchunguze wakati wa hili kutokea. Kuongeza kasi ya awali ni ~10 -13 m/s 2, hivyo kwa kutumia v = at, tunaona kwamba itachukua ~10 13 s kwa kila galaxy kufikia kasi ya 1.0 m/s, na itakuwa tu ~0.5 x 10 13 m karibu. Hiyo ni amri tisa za ukubwa mdogo kuliko umbali wa awali kati yao. Kwa kweli, mwendo huo ni rahisi sana. Galaksi hizi mbili, pamoja na galaxi zingine 50 ndogo, zote zimefungwa katika kikundi chetu cha ndani. Mkusanyiko wetu wa ndani umefungwa kwa makundi mengine katika kile kinachoitwa supercluster. Yote hii ni sehemu ya ngoma kubwa cosmic kwamba matokeo ya gravitation, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{5}\).
