16.2: Ulinganisho wa Maxwell na Mawimbi ya umeme

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Eleza marekebisho ya Maxwell ya sheria ya Ampère kwa kuingiza sasa ya makazi yao
• Jimbo na uomba equations ya Maxwell katika fomu muhimu
• Eleza jinsi ulinganifu kati ya kubadilisha nyanja za umeme na kubadilisha magnetic inaelezea utabiri wa Maxwell wa mawimbi ya umeme
• Eleza jinsi Hertz alithibitisha utabiri wa Maxwell wa mawimbi ya umeme

James Clerk Maxwell (1831—1879) alikuwa mmoja wa wachangiaji wakuu wa fizikia katika karne ya kumi na tisa (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Ingawa alikufa kijana, alifanya michango mikubwa katika maendeleo ya nadharia ya kinetic ya gesi, kuelewa maono ya rangi, na kwa asili ya pete za Saturn. Pengine anafahamika zaidi kwa kuwa na maarifa yaliyopo ya pamoja ya sheria za umeme na za sumaku na ufahamu wake mwenyewe kuwa nadharia kamili ya sumakuumeme, iliyowakilishwa na milinganyo ya Maxwell.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): James Clerk Maxwell, mwanafizikia wa karne ya kumi na tisa, alianzisha nadharia iliyoelezea uhusiano kati ya umeme na magnetism, na alitabiri kwa usahihi kwamba mwanga unaoonekana una mawimbi ya umeme.

Marekebisho ya Maxwell kwa Sheria za Umeme na Magnetism

Sheria nne za msingi za umeme na sumaku zilikuwa zimegunduliwa majaribio kupitia kazi ya wanafizikia kama vile Oersted, Coulomb, Gauss, na Faraday. Maxwell aligundua kutofautiana kwa mantiki katika matokeo haya ya awali na kutambua kutokamilika kwa sheria ya Ampère kama sababu yao.

Kumbuka kwamba kwa mujibu wa sheria ya Ampère, sehemu muhimu ya shamba la magnetic karibu na kitanzi kilichofungwa C ni sawia na sasa ninapita kupitia uso wowote ambao mipaka yake ni kitanzi C yenyewe:

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I. \label{Eq1}\]

Kuna nyuso nyingi ambazo zinaweza kushikamana na kitanzi chochote, na sheria ya Ampère iliyotajwa katika Equation\ ref {Eq1} ni huru ya uchaguzi wa uso.

Fikiria kuweka-up katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Chanzo cha emf kinaunganishwa kwa ghafla kwenye capacitor ya sambamba ya sahani ili sasa tegemezi ya muda mimi inakua kwenye waya. Tuseme tunatumia sheria ya Ampère kwa kitanzi C iliyoonyeshwa wakati kabla ya capacitor imeshtakiwa kikamilifu, ili\( I \neq 0\). Uso\(S_1\) hutoa thamani isiyo ya sifuri kwa sasa iliyoambatanishwa I, wakati uso\(S_2\) hutoa sifuri kwa sasa iliyofungwa kwa sababu hakuna sasa inapita kwa njia hiyo:

\[\underbrace{\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I}_{\text{if surface } S_1 \text{is used}}\]

\[\underbrace{ \, =0 }_{\text{if surface } S_2 \text{is used}}\]

Kwa wazi, sheria ya Ampère katika hali yake ya kawaida haifanyi kazi hapa. Hii inaweza kuwa si ya kushangaza, kwa sababu sheria ya Ampère kama ilivyotumika katika sura za awali ilihitaji sasa ya kutosha, wakati sasa katika jaribio hili linabadilika kwa wakati na haitoshi kabisa.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Maji kupitia uso\(S_1\) na uso\(S_2\) ni sawa, licha ya kuwa na kitanzi sawa cha mipaka C.

Sheria ya Ampère inawezaje kurekebishwa ili itumike katika hali zote? Maxwell alipendekeza ikiwa ni pamoja na mchango wa ziada, aitwaye sasa makazi yao\(I_d\), kwa sasa halisi mimi,

\[\boxed{\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 (I + I_d)} \label{EQ4}\]

ambapo sasa makazi yao hufafanuliwa kuwa

\[\boxed{I_d = \epsilon_0 \dfrac{d\Phi_E}{dt}.} \label{EQ5}\]

Hapa\(\epsilon_0\) ni permittivity ya nafasi ya bure na\(\Phi_E\) ni flux umeme, inavyoelezwa kama

\[\Phi_E = \iint_{Surface \, S} \vec{E} \cdot d\vec{A}.\]

Sasa uhamisho ni sawa na sasa halisi katika sheria ya Ampère, kuingia katika sheria ya Ampère kwa njia ile ile. Inazalishwa, hata hivyo, kwa shamba la umeme linalobadilika. Inahesabu shamba la umeme linalobadilika linalozalisha shamba la magnetic, kama vile sasa halisi inavyofanya, lakini sasa uhamisho unaweza kuzalisha shamba la magnetic hata pale ambapo hakuna sasa halisi. Wakati neno hili la ziada limejumuishwa, usawa wa sheria ya Ampère unakuwa

\[\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac{d\Phi_E}{dt}\]

na ni huru ya uso S kwa njia ambayo mimi sasa ni kipimo.

Sasa tunaweza kuchunguza toleo hili iliyopita ya sheria Ampère ya kuthibitisha kwamba ana huru ya kama uso\(S_1\) au uso\(S_2\) katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\) imechaguliwa. Shamba la umeme\(\vec{E}\) linalolingana na mtiririko\(\Phi_E\) katika Equation\ ref {EQ5} ni kati ya sahani za capacitor. Kwa hiyo,\(\vec{E}\) shamba na uhamisho wa sasa kupitia uso\(S_1\) ni sifuri, na Equation\ ref {EQ4} inachukua fomu

\[\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I. \label{16.5}\]

Tunapaswa sasa kuonyesha kwamba kwa uso\(S_2\), kwa njia ambayo hakuna mtiririko halisi wa sasa, sasa makazi yao inaongoza kwa thamani sawa\(\mu_0 I\) kwa upande wa kulia wa sheria ya Ampère ya equation. Kwa uso\(S_2\) equation inakuwa

\[\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \dfrac{d}{dt} \left[ \epsilon_0 \iint_{Surface \, S_2} \vec{E} \cdot d\vec{A} \right].\]

Sheria ya Gauss kwa malipo ya umeme inahitaji uso uliofungwa na haiwezi kutumika kwa kawaida kwenye uso kama\(S_1\) peke yake au\(S_2\) peke yake. Lakini nyuso mbili\(S_1\) na\(S_2\) kuunda uso imefungwa katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\) na inaweza kutumika katika sheria Gauss ya. Kwa sababu uwanja wa umeme ni sifuri juu\(S_1\), mchango wa mtiririko kupitia\(S_1\) ni sifuri. Hii inatupa

\[ \begin{align} \oint_{Surface \, S_1 + S_2} \vec{E} \cdot d\vec{A} &= \iint_{Surface \, S_1} \vec{E} \cdot d\vec{A} + \iint_{Surface \, S_2} \vec{E} \cdot d\vec{A} \\[4pt] &= 0 + \iint_{Surface \, S_2} \vec{E} \cdot d\vec{A} \\[4pt] &= \iint_{Surface \, S_2} \vec{E} \cdot d\vec{A}. \end{align}\]

Kwa hiyo, tunaweza kuchukua nafasi muhimu zaidi\(S_2\) katika Equation\ ref {16.5} na uso wa Gaussia uliofungwa\(S_1 + S_2\) na kutumia sheria ya Gauss ili kupata

\[\oint_{S_1} \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \dfrac{dQ_{in}}{dt} = \mu_0 I.\]

Hivyo, iliyopita sheria Ampère equation ni sawa kwa kutumia uso\(S_2\), ambapo upande wa kulia matokeo kutoka makazi ya sasa, kama ilivyo kwa uso\(S_1\), ambapo mchango linatokana na mtiririko halisi wa malipo ya umeme.

Uhamisho wa sasa katika capacitor ya malipo

Sambamba ya sahani capacitor na capacitance C ambayo sahani zina eneo A na umbali wa kujitenga d huunganishwa na kupinga R na betri ya voltage V. Ya sasa inaanza kuzunguka\(t = 0\).

1. Pata uhamisho wa sasa kati ya sahani za capacitor wakati t.
2. Kutoka kwa mali ya capacitor, tafuta sasa halisi ya sasa\(I = \dfrac{dQ}{dt}\), na ulinganishe jibu kwa sasa inayotarajiwa katika waya wa mzunguko wa RC unaofanana.

Mkakati

Tunaweza kutumia equations kutoka uchambuzi wa mzunguko RC (Alternating-Sasa Circuits) pamoja na toleo Maxwell ya sheria Ampère ya.

Suluhisho

1. Voltage kati ya sahani wakati t hutolewa na\[V_C = \dfrac{1}{C} Q(t) = V_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right). \nonumber\] Hebu z -axis uhakika kutoka sahani chanya kwa sahani hasi. Kisha z -sehemu ya uwanja wa umeme kati ya sahani kama kazi ya muda t ni\[E_z (t) = \dfrac{V_0}{d}\left(1 - e^{-t/RC}\right). \nonumber\] Kwa hiyo, sehemu ya z-ya sasa ya uhamisho\(I_d\) kati ya sahani ni\[I_d (t) = \epsilon_0 A\dfrac{\partial E_z (t)}{\partial t} = \epsilon_0 A \dfrac{V_0}{d} \times \dfrac{1}{RC} e^{-t/RC} = \dfrac{V_0}{R} e^{-t/RC}, \nonumber\] wapi\(C = \epsilon_0 \dfrac{A}{d}\) tumetumia kwa uwezo.
2. Kutoka kwa maneno\(V_C\) ya malipo kwenye capacitor ni\[Q(t) = CV_C = CV_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right). \nonumber\] Sasa ndani ya capacitor baada ya mzunguko imefungwa, kwa hiyo sasa\[I = \dfrac{dQ}{dt} = \dfrac{V_0}{R}e^{-t/RC}. \nonumber\] hii ni sawa na\(I_d\) kupatikana katika (a).

Milinganyo ya Maxwell

Kwa marekebisho ya sasa ya uhamisho, equations ya Maxwell huchukua fomu

\[ \begin{align} \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} &= \dfrac{Q_{in}}{\epsilon_0} \, (\text{Gauss's law}) \label{eq1} \\[4pt] \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} &= 0 \, (\text{Gauss's law for magnetism}) \label{eq2} \\[4pt] \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} &= - \dfrac{d\Phi_m}{dt} \, (\text{Faraday's law}) \label{eq3} \\[4pt] \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} &= \mu_0 I + \epsilon_0I + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac{d\Phi_E}{dt} (\text{Ampere-Maxwell law}). \label{eq4} \end{align}\]

Mara baada ya mashamba kuwa mahesabu kwa kutumia equations hizi nne, Lorentz nguvu equation

\[\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v} \times \vec{B}\]

hutoa nguvu ambayo mashamba hutumia chembe na malipo q kusonga kwa kasi\(\vec{v}\). Equation ya nguvu ya Lorentz inachanganya nguvu ya shamba la umeme na ya shamba la magnetic kwenye malipo ya kusonga. Vikosi vya magnetic na umeme vimechunguzwa katika modules za awali. Equations hizi nne za Maxwell ni, kwa mtiririko huo:

Milinganyo ya Maxwell

1. Sheria ya Gauss

Flux ya umeme kupitia uso wowote uliofungwa ni sawa na malipo ya umeme\(Q_{in}\) yaliyofungwa na uso. Sheria ya Gauss (Equation\ ref {eq1}) inaeleza uhusiano kati ya chaji ya umeme na shamba la umeme linalozalisha. Hii mara nyingi huonyeshwa kwa suala la mistari ya uwanja wa umeme inayotokana na mashtaka mazuri na kukomesha kwa mashtaka mabaya, na kuonyesha mwelekeo wa uwanja wa umeme kila hatua katika nafasi.

2. Sheria ya Gauss kwa magnetism

Sehemu ya magnetic inapita kupitia uso wowote uliofungwa ni sifuri (Equation\ ref {eq2}). Hii ni sawa na taarifa kwamba mistari ya magnetic shamba ni kuendelea, bila kuwa na mwanzo au mwisho. Mstari wowote wa shamba la magnetic unaoingia kanda iliyofungwa na uso lazima pia uondoke. Hakuna monopoles magnetic, ambapo magnetic shamba mistari ingekuwa kusitisha, wanajulikana kuwepo (tazama sehemu ya Magnetic Fields na Lines).

3. Sheria ya Faraday

Shamba la magnetic linalobadilika husababisha nguvu ya umeme (emf) na, kwa hiyo, uwanja wa umeme. Mwelekeo wa emf unapinga mabadiliko. Equation\ ref {eq3} ni sheria ya Faraday ya introduktionsutbildning na inajumuisha sheria ya Lenz. Shamba la umeme kutoka kwenye shamba la magnetic linalobadilika lina mistari ya shamba inayounda loops zilizofungwa, bila mwanzo au mwisho wowote.

4. Sheria ya Ampère-Maxwell

Mashamba ya magnetic yanazalishwa na mashtaka ya kusonga au kwa kubadilisha mashamba ya umeme. Hii ya nne ya milinganyo ya Maxwell, Equation\ ref {eq4}, inajumuisha sheria ya Ampère na kuongeza chanzo kingine cha mashamba magnetic, yaani kubadilisha mashamba ya umeme.

Ulinganifu wa Maxwell na sheria ya nguvu ya Lorentz pamoja inahusisha sheria zote za umeme na magnetism. Ulinganifu ambao Maxwell alianzisha katika mfumo wake wa hisabati hauwezi kuwa dhahiri mara moja. Sheria ya Faraday inaeleza jinsi kubadilisha mashamba magnetic yanavyozalisha mashamba ya umeme. makazi yao ya sasa ilianzishwa na Maxwell matokeo badala kutoka shamba kubadilisha umeme na akaunti kwa ajili ya shamba kubadilisha umeme kuzalisha shamba magnetic. Equations kwa madhara ya wote kubadilisha mashamba ya umeme na kubadilisha mashamba magnetic tofauti katika fomu tu ambapo ukosefu wa monopoles magnetic husababisha maneno kukosa. Ulinganifu huu kati ya madhara ya kubadilisha nyanja za magnetic na umeme ni muhimu katika kuelezea asili ya mawimbi ya sumakuumeme.

Baadaye matumizi ya nadharia ya Einstein ya relativity kwa nadharia kamili na linganifu ya Maxwell ilionyesha kuwa vikosi vya umeme na magnetic si tofauti lakini ni maonyesho tofauti ya kitu kimoja—nguvu ya sumakuumeme. Nguvu ya sumakuumeme na nguvu dhaifu ya nyuklia ni sawa sawa kama nguvu ya electroweak. Uunganisho huu wa vikosi umekuwa motisha moja kwa majaribio ya kuunganisha yote ya vikosi vinne vya msingi katika asili-mvuto, umeme, nguvu, na dhaifu vikosi vya nyuklia (angalia Chembe Fizikia na Cosmology).

Mfumo wa Uenezi wa Wimbi la umeme

Kuona jinsi ulinganifu kuletwa na Maxwell akaunti kwa ajili ya kuwepo kwa pamoja mawimbi ya umeme na magnetic kwamba kueneza kwa njia ya nafasi, kufikiria muda tofauti magnetic shamba\(\vec{B}_0(t)\) zinazozalishwa na high-frequency alternating sasa kuonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Tunawakilisha\(\vec{B}_0(t)\) katika mchoro kwa moja ya mistari yake ya shamba. Kutoka kwa sheria ya Faraday, shamba la magnetic linalobadilika kwa njia ya uso husababisha uwanja wa umeme wa kutofautiana\(\vec{E}_0(t)\) wakati kwenye mipaka ya uso huo. Chanzo cha sasa cha uhamisho kwa uwanja wa umeme, kama chanzo cha sheria cha Faraday kwa uwanja wa magnetic, hutoa loops zilizofungwa tu za mistari ya shamba, kwa sababu ya ulinganifu wa hisabati unaohusika katika equations kwa mashamba ya umeme na yanayosababishwa na magnetic. uwanja line uwakilishi wa\(\vec{E}_0(t)\) inavyoonekana. Kwa upande mwingine, uwanja wa umeme unaobadilika\(\vec{E}_0(t)\) hujenga shamba la magnetic\(\vec{B}_1(t)\) kulingana na sheria ya Ampère iliyobadilishwa. Hii shamba kubadilisha induces\(\vec{E}_1(t)\) ambayo induces\(\vec{B}_2(t)\) na kadhalika. Kisha tuna mchakato wa kujitegemea unaosababisha kuundwa kwa mashamba ya umeme na magnetic tofauti wakati katika mikoa mbali na mbali zaidi na O. Utaratibu huu unaweza kutazamwa kama uenezi wa wimbi la umeme kupitia nafasi.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Jinsi ya kubadilisha\(\vec{E}\) na\(\vec{B}\) mashamba kueneza kupitia nafasi.

Katika sehemu inayofuata, tunaonyesha kwa maneno sahihi zaidi ya hisabati jinsi milinganyo ya Maxwell inavyoongoza kwa utabiri wa mawimbi ya sumakuumeme ambayo yanaweza kusafiri kupitia angani bila kati ya nyenzo, ikimaanisha kasi ya mawimbi ya sumakuumeme sawa na kasi ya nuru.

Kabla ya kazi ya Maxwell, majaribio yalikuwa yameonyesha kuwa mwanga ulikuwa jambo la wimbi, ingawa asili ya mawimbi bado haijulikani. Mnamo mwaka wa 1801, Thomas Young (1773—1829) alionyesha kuwa wakati boriti nyepesi ilipotenganishwa na slits mbili nyembamba na kisha kuunganishwa tena, muundo uliojengwa na pindo mkali na giza uliundwa kwenye skrini. Young alielezea tabia hii kwa kudhani kwamba mwanga ulijumuisha mawimbi ambayo yaliongeza kwa ufanisi katika baadhi ya pointi na kuharibu kwa wengine (angalia Kuingiliwa). Baadaye, Jean Foucault (1819—1868), akiwa na vipimo vya kasi ya mwanga katika vyombo vya habari mbalimbali, na Augustin Fresnel (1788—1827), pamoja na majaribio ya kina yanayohusisha kuingiliwa na diffraction ya mwanga, ilitoa ushahidi zaidi wa kuhitimisha kwamba mwanga ulikuwa wimbi. Hivyo, mwanga ulijulikana kuwa wimbi, na Maxwell alikuwa ametabiri kuwepo kwa mawimbi ya sumakuumeme yaliyosafiri kwa kasi ya nuru. Hitimisho lilionekana kuepukika: Mwanga lazima uwe aina ya mionzi ya umeme. Lakini nadharia ya Maxwell ilionyesha kuwa wavelengths na masafa mengine kuliko yale ya nuru yaliwezekana kwa mawimbi ya sumakuumeme. Alionyesha kuwa mionzi ya umeme yenye mali sawa ya msingi kama mwanga inayoonekana inapaswa kuwepo kwa mzunguko wowote. Ilibakia kwa wengine kupima, na kuthibitisha, utabiri huu.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Wakati emf katika capacitor imegeuka na capacitor inaruhusiwa kulipa, wakati shamba la magnetic linalosababishwa na sasa la uhamisho lina ukubwa mkubwa zaidi?

Suluhisho

Ni kubwa mara baada ya sasa kugeuka. Uhamisho wa sasa na shamba la magnetic kutoka kwao ni sawa na kiwango cha mabadiliko ya uwanja wa umeme kati ya sahani, ambayo ni kubwa wakati sahani zinaanza kulipa kwanza.

Uchunguzi wa Hertz

Mwanafizikia Mjerumani Heinrich Hertz (1857—1894) alikuwa wa kwanza kuzalisha na kuchunguza aina fulani za mawimbi ya sumakuumeme katika maabara. Kuanzia mwaka 1887, alifanya mfululizo wa majaribio ambayo si tu alithibitisha kuwepo kwa mawimbi ya sumakuumeme lakini pia alithibitisha kwamba zinasafiri kwa kasi ya nuru.

Hertz kutumika mbadala ya sasa RLC (kupinga inductor-capacitor) mzunguko kwamba resonates katika mzunguko inayojulikana\(f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) na kushikamana na kitanzi cha waya, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\). High voltages ikiwa katika pengo katika kitanzi zinazozalishwa cheche kwamba walikuwa wazi ushahidi wa sasa katika mzunguko na kusaidiwa kuzalisha mawimbi sumakuumeme.

Katika maabara, Hertz aliweka kitanzi kingine kilichounganishwa na mzunguko mwingine wa RLC, ambacho kinaweza kuzingatiwa (kama piga kwenye redio) kwa mzunguko huo wa resonant kama wa kwanza na inaweza kufanywa kupokea mawimbi ya sumakuumeme. Kitanzi hiki pia kilikuwa na pengo ambalo cheche zilizalishwa, kutoa ushahidi thabiti kwamba mawimbi ya sumakuumeme yalikuwa yamepokelewa.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Vifaa vinavyotumiwa na Hertz mwaka 1887 kuzalisha na kuchunguza mawimbi ya umeme.

Hertz pia alisoma kutafakari, kukataa, na mifumo ya kuingiliwa ya mawimbi ya umeme aliyotengeneza, kuthibitisha tabia yao ya wimbi. Aliweza kuamua wavelengths kutoka kwa mifumo ya kuingiliwa, na kujua masafa yao, angeweza kuhesabu kasi ya uenezi kwa kutumia equation\(v = f\lambda\), ambapo v ni kasi ya wimbi, f ni mzunguko wake, na\(\lambda\) ni wavelength yake. Hertz alikuwa na uwezo wa kuthibitisha kwamba mawimbi ya sumakuumeme husafiri kwa kasi ya mwanga. Kitengo cha SI cha mzunguko, hertz\((1 \, Hz = 1 \, cycle/second)\), kinachojulikana kwa heshima yake.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Je, shamba la umeme linaweza kuenea kama wimbi kupitia utupu bila shamba la magnetic? Thibitisha jibu lako.

Suluhisho

Hapana. Uwanja wa umeme unaobadilika kulingana na toleo lililobadilishwa la sheria ya Ampère ingeweza kushawishi shamba la magnetic linalobadilika.