12.5: Theorem ya Binomial

Last updated
Save as PDF

Page ID: 175707

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Tumia Triangle Pascal ya kupanua binomial
Tathmini mgawo wa binomial
Tumia Theorem ya Binomial kupanua binomial

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

Kurahisisha:$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 1.25.
Panua:$(3 x+5)^{2}$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.32.
Panua:$(x-y)^{2}$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.32.

Tumia Triangle ya Pascal kupanua Binomial

Katika kazi yetu ya awali, tuna binomials za mraba ama kwa kutumia FOIL au kwa kutumia Pattern ya Mraba ya Binomial. Tunaweza pia kusema kwamba tulipanua$(a+b)^{2}$.

$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$

Kupanua$(a+b)^{3}$, tunatambua kwamba hii ni$(a+b)^{2}(a+b)$ na kuzidisha.

$(a+b)^{3}$
$(a+b)^{2}(a+b)$
$\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)$
$a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}$
$a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$

Ili kupata njia ambayo haifai sana ambayo itafanya kazi kwa upanuzi wa juu kama$(a+b)^{7}$, sisi tena tunatafuta ruwaza katika upanuzi fulani.

Jedwali 12.4.1
	Idadi ya Masharti	Muda wa Kwanza	Muda wa Mwisho
$(a+b)^{1}=a+b$	$2$	$a^{1}$	$b^{1}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$	$3$	$a^{2}$	$b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$	$4$	$a^{3}$	$b^{3}$
$(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}$	$5$	$a^{4}$	$b^{4}$
$(a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}$	$6$	$a^{5}$	$b^{5}$
$(a+b)^{n}$	$n$	$a^{n}$	$b^{n}$

Angalia maneno ya kwanza na ya mwisho yanaonyesha variable moja tu. Kumbuka kwamba$a^{0}=1$, ili tuweze kuandika upya masharti ya kwanza na ya mwisho ni pamoja na vigezo vyote viwili. Kwa mfano, tunaweza kupanua$(a+b)^{3}$ kuonyesha kila neno na vigezo vyote viwili.

Takwimu hii inaonyesha mfano a pamoja na b kwa nguvu ya 3 sawa na nguvu ya mara 3 b kwa nguvu ya 0 pamoja na mara 3 kwa nguvu ya mara 2 b kwa nguvu ya 1 pamoja na 3 a kwa nguvu ya mara 0 b kwa nguvu ya 3. — Kielelezo 12.4.1

Kwa ujumla, hatuwezi kuonyesha exponents sifuri, kama sisi kawaida kuandika$x$ badala ya$1x$.

Kumbuka

Sampuli katika Upanuzi wa$(a+b)^{n}$

Idadi ya maneno ni$n+1$.
Muda wa kwanza ni$a^{n}$ na muda wa mwisho ni$b^{n}$.
exponents juu ya$a$ kupungua kwa moja juu ya kila mrefu kwenda kushoto kwenda kulia.
exponents juu ya$b$ kuongezeka kwa moja juu ya kila mrefu kwenda kushoto kwenda kulia.
Jumla ya exponents juu ya muda wowote ni$n$.

Hebu tuangalie mfano wa kuonyesha mifumo mitatu iliyopita.

Takwimu hii inaonyesha mfano a plus b kwa nguvu ya 5 sawa na pamoja mara 5 mara b pamoja mara 10 b pamoja mara b pamoja mara 5 mara b pamoja na b. — Kielelezo 12.4.2

Kutoka mwelekeo sisi kutambuliwa, tunaona vigezo katika upanuzi wa$(a+b)^{n}$, itakuwa

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}$.

Ili kupata coefficients ya maneno, tunaandika upanuzi wetu tena kwa kuzingatia coefficients. Tunaandika tena coefficients kwa haki kutengeneza safu ya coefficients.

A plus b kwa nguvu ya 0 sawa 1. Ngazi ya juu ya Triangle ya Pascal ni 1. b pamoja na nguvu ya 1 sawa 1 pamoja na 1 b. ngazi ya pili ya Triangle Pascal ni 1, 1. A plus b kwa nguvu ya 2 sawa na 1 a kwa nguvu ya 2 pamoja na 2 b pamoja na 1 b kwa nguvu ya 2. Ngazi ya tatu ya Triangle ya Pascal ni 1, 2, 1. A plus b kwa nguvu ya 3 sawa na 1 a kwa nguvu ya 3 pamoja na 3 a kwa nguvu ya 2 b pamoja na 3 b kwa nguvu ya 2 pamoja na 1 b kwa nguvu ya 3. Ngazi ya nne ya Triangle ya Pascal ni 1,3,3,1. Pamoja na b kwa nguvu ya 4 sawa na 1 a kwa nguvu ya 4 pamoja na 4 a kwa nguvu ya 3 b pamoja na 6 a kwa nguvu ya 2 b kwa nguvu ya 2 pamoja 4 b kwa nguvu ya 3 pamoja na 1 b kwa nguvu ya 4. Ngazi ya tano ya Triangle ya Pascal ni 1, 4, 6, 4, 1. Pamoja na b kwa nguvu ya 5 sawa na 1 a kwa nguvu ya 5 pamoja na 5 a kwa nguvu ya 4 b pamoja na 10 a kwa nguvu ya 3 b kwa nguvu ya 2 pamoja na 10 a kwa nguvu ya 2 b kwa nguvu ya 3. Mstari wa sita wa Triangle ya Pascal ni 1, 5, 10, 10, 5, 1. — Kielelezo 12.4.3

Safu ya kulia inaitwa Triangle ya Pascal. Angalia kila idadi katika safu ni jumla ya namba mbili karibu katika mstari hapo juu. Tunaweza kupata mstari unaofuata kwa kuanzia na kuishia na moja na kisha kuongeza namba mbili zilizo karibu.

Takwimu hii inaonyesha Triangle ya Pascal. Ngazi ya kwanza ni 1. Ngazi ya pili ni 1, 1. Ngazi ya tatu ni 1, 2, 1. Ngazi ya nne ni 1, 3, 3, 1. Ngazi ya tano ni 1, 4, 6, 4, 1. Ngazi ya sita ni 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ngazi ya saba ni 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. — Kielelezo 12.4.4

Pembetatu hii inatoa coefficients ya maneno wakati sisi kupanua binomials.

Ufafanuzi$\PageIndex{1}$

Pembetatu ya Pascal

Katika mfano unaofuata, tutatumia pembetatu hii na mifumo tuliyotambua kupanua binomial.

Mfano$\PageIndex{1}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(x+y)^{6}$.

Suluhisho:

Tunajua vigezo kwa ajili ya upanuzi huu kufuata mfano sisi kutambuliwa. exponents$x$ nonzero ya kuanza saa sita na kupungua kwa moja. exponents$y$ nonzero ya kuanza saa moja na kuongeza hadi sita. Jumla ya exponents katika kila muda itakuwa sita. Katika muundo wetu,$a=x$ na$b=y$.

$\begin{array}{l}{(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1} b^{1}+\_\_\_a^{n-2} b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}} \\ {(x+y)^{6}=x^{6}+\_\_\_x^{5} y^{1}+\_\_\_x^{4} y^{2}+\_\_\_x^{3} y^{3}+\_\_\_x^{2} y^{4}+\_\_\_x^{1} y^{5}+y^{6}}\end{array}$

Takwimu hii inaonyesha pamoja b kwa nguvu ya n sawa na nguvu ya n plus a kwa nguvu ikiwa n bala 1 b kwa nguvu ya 1 pamoja na nguvu ya n bala 2 b kwa nguvu ikiwa 2 plus ellipsis pamoja na a kwa nguvu ya 1 b kwa nguvu ya n minus 1 pamoja b kwa nguvu ya n. takwimu inayofuata inaonyesha x pamoja y kwa nguvu ya 6 sawa x kwa nguvu ya 6 pamoja x kwa nguvu ya 5 y kwa nguvu ya 1 pamoja x kwa nguvu ya 4 y kwa nguvu ya 2 pamoja x kwa nguvu ya 3 y kwa nguvu ya 3 pamoja x kwa nguvu ya 2 y kwa nguvu ya 4 pamoja x kwa nguvu ya 1 y kwa nguvu ya 5 pamoja na y kwa nguvu ya 6. — Kielelezo 12.4.6

Zoezi$\PageIndex{1}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(x+y)^{5}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(p+q)^{7}$.

Jibu: $\begin{array}{c}{p^{7}+7 p^{6} q+21 p^{5} q^{2}+35 p^{4} q^{3}} {+35 p^{3} q^{4}+21 p^{2} q^{5}+7 p q^{6}+q^{7}}\end{array}$

Katika mfano unaofuata tunataka kupanua binomial na variable moja na moja ya mara kwa mara. Tunahitaji kutambua$a$ na$b$ kutumia kwa makini mfano.

Mfano$\PageIndex{2}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(x+3)^{5}$.

Suluhisho:

Tunatambua$a$ na$b$ ya muundo.

Takwimu hii inaonyesha jinsi tunavyotambua pamoja na b kwa nguvu ya n, katika muundo x plus 3 kwa nguvu ya 5. — Kielelezo 12.4.7

Katika muundo wetu,$a=x$ na$b=3$.

Tunajua vigezo kwa ajili ya upanuzi huu kufuata mfano sisi kutambuliwa. Jumla ya exponents katika kila muda itakuwa tano.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(x+3)^{5}=x^{5}+\_\_\_x^{4}\cdot3^{1}+\_\_\_x^{3}\cdot3^{2}+\_\_\_x^{2}\cdot3^{3}+\_\_\_x^{1}\cdot3^{4}+3^{5}$

Zoezi$\PageIndex{3}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(x+2)^{4}$.

Jibu: $x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+16$

Zoezi$\PageIndex{4}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(x+1)^{6}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}} {+6 x+1}\end{array}$

Katika mfano unaofuata, binomial ni tofauti na muda wa kwanza una mara kwa mara kutofautiana. Mara tu tunatambua$a$ na$b$ ya muundo, tunapaswa tena kutumia kwa makini mfano.

Mfano$\PageIndex{3}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(3x-2)^{4}$.

Suluhisho:

Tunatambua$a$ na$b$ ya muundo.

Takwimu hii inaonyesha jinsi tunavyotambua pamoja na b kwa nguvu ya n, katika muundo 3 x minus 2 kwa nguvu ya 4. — Kielelezo 12.4.9

Katika muundo wetu,$a=3x$ na$b=-2$.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(3 x-2 )^{4}=1 \cdot\left(\stackrel{3}{x}+4(3 x)^{3}(-2)^{1}+6(3 x)^{2}(-2)^{2}+4(3 x)^{1}(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\right.$

$(3 x-2)^{4}=81 x^{4}+4\left(27 x^{3}\right)(-2)+6\left(9 x^{2}\right)(4)+4(3 x)(-8)+1 \cdot 16$

$(3 x-2 )^{4}=81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16$

Zoezi$\PageIndex{5}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(2x-3)^{4}$.

Jibu: $16 x^{4}-96 x^{3}+216 x^{2}-216 x+81$

Zoezi$\PageIndex{6}$

Tumia Triangle Pascal ya kupanua$(2x-1)^{6}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{64 x^{6}-192 x^{5}+240 x^{4}-160 x^{3}} {+60 x^{2}-12 x+1}\end{array}$

Tathmini ya Mgawo wa Binomial

Wakati Triangle ya Pascal ni njia moja ya kupanua binomial, tutaangalia pia njia nyingine. Kabla ya kupata kwamba, tunahitaji kuanzisha baadhi nukuu zaidi factorial. Nukuu hii haitumiwi tu kupanua binomials, lakini pia katika utafiti na matumizi ya uwezekano.

Ili kupata coefficients ya masharti ya binomials kupanuliwa, tutahitaji kuwa na uwezo wa kutathmini notation$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ ambayo inaitwa mgawo wa binomial. Tunasoma$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ kama “$n$kuchagua$r$” au “$n$kuchukuliwa kwa$r$ wakati”.

Ufafanuzi$\PageIndex{1}$

Mgawo wa binomial$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$, wapi$r$ na$b$ ni integers na$0 \leq r \leq n$, hufafanuliwa kama

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Tunasoma$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ kama$r$ "$n$kuchagua" au "$n$kuchukuliwa kwa$r$ wakati.”

Mfano$\PageIndex{4}$

Tathmini:

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Suluhisho:

Tutatumia ufafanuzi wa mgawo wa binomial,

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$

Tumia ufafanuzi,$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, wapi$n=5, r=1$.

$\frac{5 !}{1 !(5-1) !}$

Kurahisisha.

$\frac{5 !}{1 !(4) !}$

Andika upya$5!$ kama$5\cdot 4!$

$\frac{5 \cdot 4 !}{1 ! \cdot 4 !}$

Kurahisisha, kwa kuondoa mambo ya kawaida.

$\frac{5\cdot \cancel{4 !}}{1 ! \cdot \cancel{4 !}}$

Kurahisisha.

$5$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)=5$

b.$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$

Tumia ufafanuzi,$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, wapi$n=7, r=7$.

$\frac{7 !}{7 !(7-7) !}$

Kurahisisha.

$\frac{7 !}{7 !(0) !}$

Kurahisisha. Kumbuka$0!=1$.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)=1$

c.$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$

Tumia ufafanuzi,$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, wapi$n=4, r=0$.

$\frac{4 !}{0 !(4-0) !}$

Kurahisisha.

$\frac{4 !}{0 !(4) !}$

Kurahisisha.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)=1$

d.$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Tumia ufafanuzi,$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, wapi$n=8, r=5$.

$\frac{8 !}{5 !(8-5) !}$

Kurahisisha.

$\frac{8 !}{5 !(3) !}$

Andika upya$8!$ kama$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!$ na uondoe mambo ya kawaida.

$\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot1}$

Kurahisisha.

$56$

$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)=56$

Zoezi$\PageIndex{7}$

Tathmini kila mgawo wa binomial:

$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {8}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {3}\end{array}\right)$

Jibu

$6$
$1$
$1$
$35$

Zoezi$\PageIndex{8}$

Tathmini kila mgawo wa binomial:

$\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{11} \\ {11}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {5}\end{array}\right)$

Jibu

$2$
$1$
$1$
$6$

Katika mfano uliopita,$(a)$$(b)$,$(c)$ kuonyesha baadhi ya mali maalum ya coefficients binomial.

Ufafanuzi$\PageIndex{2}$

Mali ya Coefficients ya Binomial

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua Binomial

Sasa tuko tayari kutumia njia mbadala ya kupanua binomials. Theorem ya Binomial inatumia mfano sawa kwa vigezo, lakini hutumia mgawo wa binomial kwa mgawo wa kila neno.

Ufafanuzi$\PageIndex{3}$

Theorem ya Binomial

Kwa idadi yoyote halisi$a$ na$b$, na integer chanya$n$,

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

Mfano$\PageIndex{5}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(p+q)^{4}$.

Suluhisho:

Tunatambua$a$ na$b$ ya muundo.

Takwimu hii inaonyesha jinsi tunavyotambua pamoja na b kwa nguvu ya n, katika muundo p plus q kwa nguvu ya 4. — Kielelezo 12.4.11

Katika muundo wetu,$a=p$ na$b=q$.

Tunatumia Theorem ya Binomial.

Mbadala katika maadili$a=p, b=q$ na$n=4$.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{c}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{4-1} q^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{4-2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p^{4-3} q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Kurahisisha watetezi.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{3} q+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Tathmini coefficients, kumbuka,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(p+q)^{4}=1 p^{4}+4 p^{3} q^{1}+\frac{4 !}{2 !(2) !} p^{2} q^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !} p^{1} q^{3}+1 q^{4}$
$(p+q)^{4}=p^{4}+4 p^{3} q+6 p^{2} q^{2}+4 p q^{3}+q^{4}$

Zoezi$\PageIndex{9}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(x+y)^{5}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Zoezi$\PageIndex{10}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(m+n)^{6}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{m^{6}+6 m^{5} n+15 m^{4} n^{2}+20 m^{3} n^{3}} {+15 m^{2} n^{4}+6 m n^{5}+n^{6}}\end{array}$

Kumbuka kwamba wakati sisi kupanua$(p+q)^{4}$ katika mfano wa mwisho, kwa kutumia Theorem Binomial, tulipata coefficients sawa tunataka kupata kutoka kwa kutumia Pascal ya Triangle.

Takwimu hapo juu ni P plus q kwa nguvu ya 4 sawa 4 kuchagua mara 0 p kwa nguvu ya 4 pamoja na 4 kuchagua mara 1 p kwa nguvu ya 3 q pamoja 4 kuchagua mara 2 p kwa nguvu ya 2 q kwa nguvu ya 2 pamoja 4 kuchagua mara 3 p q kwa nguvu ya 3 pamoja 4 kuchagua mara 4 q kwa nguvu ya 4. P pamoja q kwa nguvu ya 4 sawa p kwa nguvu ya 4 p kwa nguvu ya 3 q pamoja na 6 p kwa nguvu ya 2 q kwa nguvu ya 2 pamoja na 4 p q kwa nguvu ya 3 pamoja q kwa nguvu ya 4. Takwimu hii upande wa kulia inaonyesha Triangle ya Pascal. Ngazi ya kwanza ni 1. Ngazi ya pili ni 1, 1. Ngazi ya tatu ni 1, 2, 1. Ngazi ya nne ni 1, 3, 3, 1. Ngazi ya tano ni 1, 4, 6, 4, 1. Ngazi ya sita ni 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ngazi ya saba ni 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. — Kielelezo 12.4.12

Mfano unaofuata, binomial ni tofauti. Wakati binomial ni tofauti, lazima tuwe makini katika kutambua maadili tutakayotumia katika muundo.

Mfano$\PageIndex{6}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(x-2)^{5}$.

Suluhisho:

Tunatambua$a$ na$b$ ya muundo.

Takwimu hii inaonyesha x minus 2 kwa nguvu ya 5. — Kielelezo 12.4.13

Katika muundo wetu,$a=x$ na$b=-2$.

Tunatumia Theorem ya Binomial.

Mbadala katika maadili$a=x, b=-2$, na$n=5$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{5-1}(-2)^{1}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{5-2}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{5-3}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x^{5-4}(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

Kurahisisha coefficients. Kumbuka,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{4}(-2)+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{3}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{2}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=1 x^{5}+5(-2) x^{4}+\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}(-2)^{2} x^{3}+\frac{5 !}{3 ! 2 !}(-2)^{3} x^{2}+\frac{5 !}{4 !1 !}(-2)^{4} x+1(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=x^{5}+5(-2) x^{4}+10 \cdot 4 \cdot x^{3}+10(-8) x^{2}+5 \cdot 16 \cdot x+1(-32)$

$(x-2)^{5}=x^{5}-10 x^{4}+40 x^{3}-80 x^{2}+80 x-32$

Zoezi$\PageIndex{11}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(x-3)^{5}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{x^{5}-15 x^{4}+90 x^{3}-270 x^{2}} {+405 x-243}\end{array}$

Zoezi$\PageIndex{12}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(y-1)^{6}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{y^{6}-6 y^{5}+15 y^{4}-20 y^{3}+15 y^{2}} {-6 y+1}\end{array}$

Mambo yanaweza kupata messy wakati maneno yote yana mgawo na kutofautiana.

Mfano$\PageIndex{7}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(2x-3y)^{4}$.

Suluhisho:

Tunatambua$a$ na$b$ ya muundo.

Takwimu hii inaonyesha jinsi tunavyotambua pamoja na b kwa nguvu ya n, kwa mfano 2 x chini ya 3 y mara nguvu ya 4. — Kielelezo 12.4.14

Katika muundo wetu,$a=2x$ na$b=-3y$.

Tunatumia Theorem ya Binomial.

Mbadala katika maadili$a=2x, b=-3y$ na$n=4$.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{4-1}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{4-2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{4-3}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) (-3y)^{4}$

Kurahisisha watetezi.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{1}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right)(-3 y)^{4}$

Tathmini coefficients. Kumbuka,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(2 x-3 y)^{4}=1(2 x)^{4}+4(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\frac{4 !}{2 !(2 x) !}(2 x)^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !}(2 x)^{3}(-3 y)^{3}+1(-3 y)^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}+4 \cdot 8 x^{3}(-3 y)+6\left(4 x^{2}\right)\left(9 y^{2}\right)+4(2 x)\left(-27 y^{3}\right)+81 y^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}-96 x^{3} y+216 x^{2} y^{2}-216 x y^{3}+81 y^{4}$

Zoezi$\PageIndex{13}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(3x-2y)^{5}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{243 x^{5}-810 x^{4} y+1080 x^{3} y^{2}} {-720 x^{2} y^{3}+240 x y^{4}-32 y^{5}}\end{array}$

Zoezi$\PageIndex{14}$

Tumia Theorem ya Binomial kupanua$(4x-3y)^{4}$.

Jibu: $\begin{array}{l}{256 x^{4}-768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {-432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}$

Uzuri halisi wa Theorem ya Binomial ni kwamba inatoa formula kwa muda wowote wa upanuzi bila ya kukokotoa jumla nzima. Hebu tuangalie mfano katika Theorem ya Binomial.

Takwimu hii inaonyesha plus b kwa nguvu ya n sawa n kuchagua mara 0 kwa nguvu ya n b kwa nguvu ya 0 plus n kuchagua mara 1 kwa nguvu ya n bala 1 b kwa 1 pamoja n kuchagua mara 2 kwa nguvu ya n bala 2 b kwa nguvu ya 2 plus ellipsis pamoja n kuchagua r mara kwa nguvu ya n minus r pamoja ellipsis pamoja na n kuchagua n mara b kwa nguvu ya n. — Kielelezo 12.4.15

Kumbuka, kwamba katika kila kesi exponent juu ya$b$ ni moja chini ya idadi ya muda. $(r+1)^{st}$Neno ni neno ambapo exponent ya$b$ ni$r$. Kwa hiyo tunaweza kutumia muundo wa$(r+1)^{st}$ neno ili kupata thamani ya muda maalum.

Kumbuka

Pata Muda maalum katika Upanuzi wa Binomial

$(r+1)^{s t}$Neno katika upanuzi wa$(a+b)^{n}$ ni

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}$

Mfano$\PageIndex{8}$

Kupata muda wa nne wa$(x+y)^{7}$.

Suluhisho:

Jedwali 12.4.1
Katika muundo wetu,$n=7, a=x$ na$b=y$.	$.$
Tunatafuta muda wa nne. Tangu$r+1=4$, basi$r=3$.
Andika formula	$.$
Mbadala katika maadili,$n=7, r=3, a=x$, na$b=y$.	$.$
$.$	$.$
Kurahisisha.	$.$
Kurahisisha.	$.$

Zoezi$\PageIndex{15}$

Kupata muda wa tatu wa$(x+y)^{6}$.

Jibu: $15x^{4}y^{2}$

Zoezi$\PageIndex{16}$

Kupata muda wa tano wa$(a+b)^{8}$.

Jibu: $8ab^{7}$

Mfano$\PageIndex{9}$

Pata mgawo wa$x^{6}$ muda wa$(x+3)^{9}$.

Suluhisho:

Jedwali 12.4.2
Katika muundo wetu, basi$n=9, a=x$, na$b=3$.	$.$ Kielelezo 12.4.23
Tunatafuta mgawo wa$x^{6}$ muda. tangu$a=x$, na$x^{9-r}=x^{6}$, tunajua$r=3$.
Andika formula.	$.$ Kielelezo 12.4.24
Mbadala katika maadili,$n=9, 4=3, a=x$, na$b=3$.	$.$ Kielelezo 12.4.25
$.$ Kielelezo 12.4.26	$.$ Kielelezo 12.4.27
Kurahisisha.	$.$ Kielelezo 12.4.28
Kurahisisha.	$.$ Kielelezo 12.4.29
Kurahisisha.	$.$ Kielelezo 12.4.30

Zoezi$\PageIndex{17}$

Pata mgawo wa$x^{5}$ muda wa$(x+4)^{8}$.

Jibu: $7,168$

Zoezi$\PageIndex{18}$

Pata mgawo wa$x^{4}$ muda wa$(x+2)^{7}$.

Jibu: $280$

Kupata rasilimali hizi online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na Utaratibu.

Dhana muhimu

Sampuli katika upanuzi wa\ ((a+b) ^ {n}\ (
- Idadi ya maneno ni$n+1$.
- Muda wa kwanza ni$a^{n}$ na muda wa mwisho ni$b^{n}$.
- exponents juu ya$a$ kupungua kwa moja juu ya kila mrefu kwenda kushoto kwenda kulia.
- exponents juu ya$b$ kuongezeka kwa moja juu ya kila mrefu kwenda kushoto kwenda kulia.
- Jumla ya exponents juu ya muda wowote ni$n$.
Pembetatu ya Pascal

Mgawo wa Binomial $\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$: Mgawo wa binomial$\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$, wapi$r$ na$n$ ni integers na$0≤r≤n$, hufafanuliwa kama

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Tunasoma$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ kama “$n$kuchagua$r$” au “$n$kuchukuliwa kwa$r$ wakati”.

Mali ya Coefficients ya Binomial

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

Theorem ya Binomial:

Kwa idadi yoyote halisi$a$,$b$, na integer chanya$n$,

	Idadi ya Masharti	Muda wa Kwanza	Muda wa Mwisho
\((a+b)^{1}=a+b\)	\(2\)	\(a^{1}\)	\(b^{1}\)
\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\)	\(3\)	\(a^{2}\)	\(b^{2}\)
\((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)	\(4\)	\(a^{3}\)	\(b^{3}\)
\((a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}\)	\(5\)	\(a^{4}\)	\(b^{4}\)
\((a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}\)	\(6\)	\(a^{5}\)	\(b^{5}\)
\((a+b)^{n}\)	\(n\)	\(a^{n}\)	\(b^{n}\)

Kumbuka

Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\)

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\)

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Ufafanuzi\(\PageIndex{2}\)

Ufafanuzi\(\PageIndex{3}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Kumbuka

Mfano\(\PageIndex{8}\)

Zoezi\(\PageIndex{15}\)

Zoezi\(\PageIndex{16}\)

Mfano\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{17}\)

Zoezi\(\PageIndex{18}\)

Katika muundo wetu,\(n=7, a=x\) na\(b=y\).	$.$
Tunatafuta muda wa nne. Tangu\(r+1=4\), basi\(r=3\).
Andika formula	$.$
Mbadala katika maadili,\(n=7, r=3, a=x\), na\(b=y\).	$.$
$.$	$.$
Kurahisisha.	$.$
Kurahisisha.	$.$

Katika muundo wetu, basi\(n=9, a=x\), na\(b=3\).	$.$ Kielelezo 12.4.23
Tunatafuta mgawo wa\(x^{6}\) muda. tangu\(a=x\), na\(x^{9-r}=x^{6}\), tunajua\(r=3\).
Andika formula.	$.$ Kielelezo 12.4.24
Mbadala katika maadili,\(n=9, 4=3, a=x\), na\(b=3\).	$.$ Kielelezo 12.4.25
$.$ Kielelezo 12.4.26	$.$ Kielelezo 12.4.27
Kurahisisha.	$.$ Kielelezo 12.4.28
Kurahisisha.	$.$ Kielelezo 12.4.29
Kurahisisha.	$.$ Kielelezo 12.4.30