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12.R: Introdução ao Cálculo (Revisão)

12.1: Encontrando limites - Abordagens numéricas e gráficas

Para os exercícios 1-6, use a Figura abaixo.

R 12.1.1.png

1)limx1+f(x)

Responda

2

2)limx1f(x)

3)limx1f(x)

Responda

não existe

4)limx3f(x)

5) Em quais valores de a funçãox é descontínua? Qual condição de continuidade é violada?

Responda

Descontínuo emx=1(limxaf(x) does not exist)x=3( jump discontinuity),x=7(limxaf(x) does not exist) e.

6) Usando a tabela abaixo, estimelimx0f(x).

x F(x)
\ (x\) ">−0,1 \ (F (x)\) ">2,875
\ (x\) ">−0,01 \ (F (x)\) ">2,92
\ (x\) ">−0,001 \ (F (x)\) ">2,998
\ (x\) ">0 \ (F (x)\) ">Indefinido
\ (x\) ">0,001 \ (F (x)\) ">2,9987
\ (x\) ">0,01 \ (F (x)\) ">2,865
\ (x\) ">0,1 \ (F (x)\) ">2,78145
\ (x\) ">0,15 \ (F (x)\) ">2,678
Responda

3

Para os exercícios 7-9, com o uso de um utilitário gráfico, use evidências numéricas ou gráficas para determinar os limites esquerdo e direito da função dada comox abordagensa. Se a função tiver limite à medida quex se aproximaa, indique-o. Caso contrário, discuta por que não há limite.

7)f(x)={|x|1 if x1x3 if x=1a=1

8)f(x)={1x+1 if x=2(x+1)2 if x2a=2

Responda

limx2f(x)=1

9)f(x)={x+3 if x<13x if x>1a=1

12.2: Encontrando limites - Propriedades dos limites

Para os exercícios 1-6, determine os limites selimxcf(x)=3limxcg(x)=5 e.

1)limxc(f(x)+g(x))

Responda

2

2)limxcf(x)g(x)

3)limxc(f(x)g(x))

Responda

15

4)limx0+f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0

5)limx0f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0

Responda

3

6)limx3+(3xx)

Para os exercícios 7-11, avalie os limites usando técnicas algébricas.

7)limh0((h+6)236h)

Responda

12

8)limx25(x2625x5)

9)limx1(x29xx)

Responda

10

10)limx4(712x+1x4)

11)limx3(13+1x3+x)

Responda

19

12.3: Continuidade

Para os exercícios 1-5, use evidências numéricas para determinar se o limite existe emx=a. Caso contrário, descreva o comportamento do gráfico da função emx=a.

1)f(x)=2x4;a=4

2)f(x)=2(x4)2;a=4

Responda

Emx=4, a função tem uma assíntota vertical.

3)f(x)=xx2x6;a=3

4)f(x)=6x2+23x+204x225;a=52

Responda

descontinuidade removível ema=52

5)f(x)=x39x;a=9

Para os exercícios 6-12, determine onde a função dadaf(x) é contínua. Onde não é contínuo, indique quais condições falham e classifique quaisquer descontinuidades.

6)f(x)=x22x15

Responda

contínuo ligado(,)

7)f(x)=x22x15x5

8)f(x)=x22xx24x+4

Responda

descontinuidade removível emx=2. f(2)não está definido, mas existem limites.

9)f(x)=x31252x212x+10

10)f(x)=x21x2x

Responda

descontinuidade emx=0x=2 e. Ambosf(0) e nãof(2) estão definidos.

11)f(x)=x+2x23x10

12)f(x)=x+2x3+8

Responda

descontinuidade removível emx=2. f(2)não está definido.

12.4: Derivativos

Para os exercícios de 1 a 5, encontre a taxa média de variaçãof(x)=f(x+h)f(x)h.

1)f(x)=3x+2

2)f(x)=5

Responda

0

3)f(x)=1x+1

4)f(x)=ln(x)

Responda

f(x)=ln(x+h)ln(x)h

5)f(x)=e2x

Para os exercícios 6-7, encontre a derivada da função.

6)f(x)=4x6

Responda

4

7)f(x)=5x23x

8) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico def(x) nox valor indicado. f(x)=x3+4x;x=2

Responda

y=8x+16

9) Para o exercício a seguir, com a ajuda de um utilitário gráfico, explique por que a função não é diferenciável em todos os lugares em seu domínio. Especifique os pontos em que a função não é diferenciável. f(x)=x|x|

10) Dado que o volume de um cone circular reto éV=13πr2h e que um determinado cone tem uma altura fixa de9 cm e comprimento de raio variável, determine a taxa instantânea de variação de volume em relação ao comprimento do raio quando o raio é2 cm. Dê uma resposta exata em termos deπ.

Responda

12\pi

Teste prático

Para os exercícios 1-6, use o gráfico def na Figura abaixo.

R Practice.png

1)f(1)

Responda

3

2)\lim \limits_{x \to -1^+} f(x)

3)\lim \limits_{x \to -1^-} f(x)

Responda

0

4)\lim \limits_{x \to -1} f(x)

5)\lim \limits_{x \to -2} f(x)

Responda

-1

6) Em quais valores dex éf descontínuo? Qual propriedade de continuidade é violada?

7)f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{3}-3 & \text{ if } x\leq 2 \\ x^3+1 & \text{ if } x>2 \end{cases} a=2

Responda

\lim \limits_{x \to 2^-} f(x)=-\dfrac{5}{2}ae\lim \limits_{x \to 2^+} f(x)=9

Assim, o limite da função comox abordagens2 não existe.

8)f(x)=\begin{cases} x^3+1 & \text{ if } x<1 \\ 3x^2-1 & \text{ if } x=1\; a=1 \\ -\sqrt{x+3}+4 & \text{ if } x>1 \end{cases}

Para os exercícios 9-11, avalie cada limite usando técnicas algébricas.

9)\lim \limits_{x \to -5} \left ( \dfrac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}}{10+2x} \right )

Responda

-\dfrac{1}{50}

10)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{\sqrt{h^2+25}-5}{h^2} \right )

11)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{h^2+h} \right )

Responda

1

Para os exercícios 12-13, determine se a função dadaf é contínua ou não. Se for contínuo, mostre o porquê. Se não for contínuo, indique quais condições falham.

12)f(x)=\sqrt{x^2-4}

13)f(x)=\dfrac{x^3-4x^2-9x+36}{x^3-3x^2+2x-6}

Responda

descontinuidade removível emx=3

Para os exercícios 14-16, use a definição de uma derivada para encontrar a derivada da função dada emx=a.

14)f(x)=\dfrac{3}{5+2x}

15)f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{x}}

Responda

f'(x)=-\dfrac{3}{2a^{\frac{3}{2}}}

16)f(x)=2x^2+9x

17) Para o gráfico na Figura abaixo, determine onde a função é contínua/descontínua e diferenciável/não diferenciável.

R Pratique 17.png

Responda

descontínuo em-2,0, não diferenciável em-2,0, 2.

Para os exercícios 18-19, com a ajuda de um utilitário gráfico, explique por que a função não é diferenciável em todos os lugares em seu domínio. Especifique os pontos em que a função não é diferenciável.

18)f(x)=\left | x-2 \right | - \left | x+2 \right |

19)f(x)=\dfrac{2}{1+e^{\frac{2}{x}}}

Responda

não diferenciável emx=0 (sem limite)

Para os exercícios 20-24, explique a notação em palavras quando a altura de um projétil em péss,, é uma função do tempot em segundos após o lançamento e é dada pela funçãos(t).

20)s(0)

21)s(2)

Responda

a altura do projétil emt=2 segundos

22)s'(2)

23)\dfrac{s(2)-s(1)}{2-1}

Responda

a velocidade média det=1 atét=2

24)s(t)=0

Para os exercícios 25-28, use a tecnologia para avaliar o limite.

25)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)}{3x}

Responda

\dfrac{1}{3}

26)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\tan ^2(x)}{2x}

27)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)(1-\cos (x))}{2x^2}

Responda

0

28) Avalie o limite manualmente.

\lim \limits_{x \to 1}f(x), \text{ where } f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber

Em que valor (es) de a função abaixox é descontínua?

f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber

Para os exercícios 29-32, considere a função cujo gráfico aparece na Figura.

R Pratique 29-32.png

29) Encontre a taxa média de variação da função dex=1 parax=3.

Responda

2

30) Encontre todos os valores dex at whichf'(x)=0.

Responda

x=1

31) Encontre todos os valores dex at quef'(x) não existam.

32) Encontre uma equação da reta tangente ao gráficof do ponto indicado:f(x)=3x^2-2x-6,\; x=-2

Responda

y=-14x-18

Para os exercícios 33-34, use a funçãof(x)=x(1-x)^{\frac{2}{5}}

33) Faça um gráfico da funçãof(x)=x(1-x)^{\tfrac{2}{5}} inserindof(x)=x\left ((1-x)^2 \right )^{\tfrac{1}{5}} e depois inserindof(x)=x\left ((1-x)^{\tfrac{1}{5}} \right )^2.

34) Explore o comportamento do gráfico def(x) cercax=1 representando graficamente a função nos seguintes domínios[0.9, 1.1], [0.99, 1.01], [0.999, 1.001],[0.9999, 1.0001] e. Use essas informações para determinar se a função parece ser diferenciável emx=1.

Responda

O gráfico não é diferenciável emx=1 (cúspide).

Para os exercícios 35-42, encontre a derivada de cada uma das funções usando a definição: \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

(35)f(x)=2x-8

36)f(x)=4x^2-7

Responda

f'(x)=8x

37)f(x)=x-\dfrac{1}{2}x^2

38)f(x)=\dfrac{1}{x+2}

Responda

f'(x)=-\dfrac{1}{(2+x)^2}

39)f(x)=\dfrac{3}{x-1}

40)f(x)=-x^3+1

Responda

f'(x)=-3x^2

41)f(x)=x^2+x^3

(42)f(x)=\sqrt{x-1}

Responda

f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}

Contribuidores e atribuições