12.R: Introdução ao Cálculo (Revisão)
12.1: Encontrando limites - Abordagens numéricas e gráficas
Para os exercícios 1-6, use a Figura abaixo.
1)limx→−1+f(x)
- Responda
-
2
2)limx→−1−f(x)
3)limx→−1f(x)
- Responda
-
não existe
4)limx→3f(x)
5) Em quais valores de a funçãox é descontínua? Qual condição de continuidade é violada?
- Responda
-
Descontínuo emx=−1(limx→af(x) does not exist)x=3( jump discontinuity),x=7(limx→af(x) does not exist) e.
6) Usando a tabela abaixo, estimelimx→0f(x).
x | F(x) |
---|---|
\ (x\) ">−0,1 | \ (F (x)\) ">2,875 |
\ (x\) ">−0,01 | \ (F (x)\) ">2,92 |
\ (x\) ">−0,001 | \ (F (x)\) ">2,998 |
\ (x\) ">0 | \ (F (x)\) ">Indefinido |
\ (x\) ">0,001 | \ (F (x)\) ">2,9987 |
\ (x\) ">0,01 | \ (F (x)\) ">2,865 |
\ (x\) ">0,1 | \ (F (x)\) ">2,78145 |
\ (x\) ">0,15 | \ (F (x)\) ">2,678 |
- Responda
-
3
Para os exercícios 7-9, com o uso de um utilitário gráfico, use evidências numéricas ou gráficas para determinar os limites esquerdo e direito da função dada comox abordagensa. Se a função tiver limite à medida quex se aproximaa, indique-o. Caso contrário, discuta por que não há limite.
7)f(x)={|x|−1 if x≠1x3 if x=1a=1
8)f(x)={1x+1 if x=−2(x+1)2 if x≠−2a=−2
- Responda
-
limx→−2f(x)=1
9)f(x)={√x+3 if x<1−3√x if x>1a=1
12.2: Encontrando limites - Propriedades dos limites
Para os exercícios 1-6, determine os limites selimx→cf(x)=−3limx→cg(x)=5 e.
1)limx→c(f(x)+g(x))
- Responda
-
2
2)limx→cf(x)g(x)
3)limx→c(f(x)⋅g(x))
- Responda
-
−15
4)limx→0+f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0
5)limx→0−f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0
- Responda
-
3
6)limx→3+(3x−〚x〛)
Para os exercícios 7-11, avalie os limites usando técnicas algébricas.
7)limh→0((h+6)2−36h)
- Responda
-
12
8)limx→25(x2−625√x−5)
9)limx→1(−x2−9xx)
- Responda
-
−10
10)limx→4(7−√12x+1x−4)
11)limx→3(13+1x3+x)
- Responda
-
−19
12.3: Continuidade
Para os exercícios 1-5, use evidências numéricas para determinar se o limite existe emx=a. Caso contrário, descreva o comportamento do gráfico da função emx=a.
1)f(x)=−2x−4;a=4
2)f(x)=−2(x−4)2;a=4
- Responda
-
Emx=4, a função tem uma assíntota vertical.
3)f(x)=−xx2−x−6;a=3
4)f(x)=6x2+23x+204x2−25;a=−52
- Responda
-
descontinuidade removível ema=−52
5)f(x)=√x−39−x;a=9
Para os exercícios 6-12, determine onde a função dadaf(x) é contínua. Onde não é contínuo, indique quais condições falham e classifique quaisquer descontinuidades.
6)f(x)=x2−2x−15
- Responda
-
contínuo ligado(−∞,∞)
7)f(x)=x2−2x−15x−5
8)f(x)=x2−2xx2−4x+4
- Responda
-
descontinuidade removível emx=2. f(2)não está definido, mas existem limites.
9)f(x)=x3−1252x2−12x+10
10)f(x)=x2−1x2−x
- Responda
-
descontinuidade emx=0x=2 e. Ambosf(0) e nãof(2) estão definidos.
11)f(x)=x+2x2−3x−10
12)f(x)=x+2x3+8
- Responda
-
descontinuidade removível emx=−2. f(−2)não está definido.
12.4: Derivativos
Para os exercícios de 1 a 5, encontre a taxa média de variaçãof(x)=f(x+h)−f(x)h.
1)f(x)=3x+2
2)f(x)=5
- Responda
-
0
3)f(x)=1x+1
4)f(x)=ln(x)
- Responda
-
f(x)=ln(x+h)−ln(x)h
5)f(x)=e2x
Para os exercícios 6-7, encontre a derivada da função.
6)f(x)=4x−6
- Responda
-
4
7)f(x)=5x2−3x
8) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico def(x) nox valor indicado. f(x)=−x3+4x;x=2
- Responda
-
y=−8x+16
9) Para o exercício a seguir, com a ajuda de um utilitário gráfico, explique por que a função não é diferenciável em todos os lugares em seu domínio. Especifique os pontos em que a função não é diferenciável. f(x)=x|x|
10) Dado que o volume de um cone circular reto éV=13πr2h e que um determinado cone tem uma altura fixa de9 cm e comprimento de raio variável, determine a taxa instantânea de variação de volume em relação ao comprimento do raio quando o raio é2 cm. Dê uma resposta exata em termos deπ.
- Responda
-
12\pi
Teste prático
Para os exercícios 1-6, use o gráfico def na Figura abaixo.
1)f(1)
- Responda
-
3
2)\lim \limits_{x \to -1^+} f(x)
3)\lim \limits_{x \to -1^-} f(x)
- Responda
-
0
4)\lim \limits_{x \to -1} f(x)
5)\lim \limits_{x \to -2} f(x)
- Responda
-
-1
6) Em quais valores dex éf descontínuo? Qual propriedade de continuidade é violada?
7)f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{3}-3 & \text{ if } x\leq 2 \\ x^3+1 & \text{ if } x>2 \end{cases} a=2
- Responda
-
\lim \limits_{x \to 2^-} f(x)=-\dfrac{5}{2}ae\lim \limits_{x \to 2^+} f(x)=9
Assim, o limite da função comox abordagens2 não existe.
8)f(x)=\begin{cases} x^3+1 & \text{ if } x<1 \\ 3x^2-1 & \text{ if } x=1\; a=1 \\ -\sqrt{x+3}+4 & \text{ if } x>1 \end{cases}
Para os exercícios 9-11, avalie cada limite usando técnicas algébricas.
9)\lim \limits_{x \to -5} \left ( \dfrac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}}{10+2x} \right )
- Responda
-
-\dfrac{1}{50}
10)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{\sqrt{h^2+25}-5}{h^2} \right )
11)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{h^2+h} \right )
- Responda
-
1
Para os exercícios 12-13, determine se a função dadaf é contínua ou não. Se for contínuo, mostre o porquê. Se não for contínuo, indique quais condições falham.
12)f(x)=\sqrt{x^2-4}
13)f(x)=\dfrac{x^3-4x^2-9x+36}{x^3-3x^2+2x-6}
- Responda
-
descontinuidade removível emx=3
Para os exercícios 14-16, use a definição de uma derivada para encontrar a derivada da função dada emx=a.
14)f(x)=\dfrac{3}{5+2x}
15)f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{x}}
- Responda
-
f'(x)=-\dfrac{3}{2a^{\frac{3}{2}}}
16)f(x)=2x^2+9x
17) Para o gráfico na Figura abaixo, determine onde a função é contínua/descontínua e diferenciável/não diferenciável.
- Responda
-
descontínuo em-2,0, não diferenciável em-2,0, 2.
Para os exercícios 18-19, com a ajuda de um utilitário gráfico, explique por que a função não é diferenciável em todos os lugares em seu domínio. Especifique os pontos em que a função não é diferenciável.
18)f(x)=\left | x-2 \right | - \left | x+2 \right |
19)f(x)=\dfrac{2}{1+e^{\frac{2}{x}}}
- Responda
-
não diferenciável emx=0 (sem limite)
Para os exercícios 20-24, explique a notação em palavras quando a altura de um projétil em péss,, é uma função do tempot em segundos após o lançamento e é dada pela funçãos(t).
20)s(0)
21)s(2)
- Responda
-
a altura do projétil emt=2 segundos
22)s'(2)
23)\dfrac{s(2)-s(1)}{2-1}
- Responda
-
a velocidade média det=1 atét=2
24)s(t)=0
Para os exercícios 25-28, use a tecnologia para avaliar o limite.
25)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)}{3x}
- Responda
-
\dfrac{1}{3}
26)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\tan ^2(x)}{2x}
27)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)(1-\cos (x))}{2x^2}
- Responda
-
0
28) Avalie o limite manualmente.
\lim \limits_{x \to 1}f(x), \text{ where } f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber
Em que valor (es) de a função abaixox é descontínua?
f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber
Para os exercícios 29-32, considere a função cujo gráfico aparece na Figura.
29) Encontre a taxa média de variação da função dex=1 parax=3.
- Responda
-
2
30) Encontre todos os valores dex at whichf'(x)=0.
- Responda
-
x=1
31) Encontre todos os valores dex at quef'(x) não existam.
32) Encontre uma equação da reta tangente ao gráficof do ponto indicado:f(x)=3x^2-2x-6,\; x=-2
- Responda
-
y=-14x-18
Para os exercícios 33-34, use a funçãof(x)=x(1-x)^{\frac{2}{5}}
33) Faça um gráfico da funçãof(x)=x(1-x)^{\tfrac{2}{5}} inserindof(x)=x\left ((1-x)^2 \right )^{\tfrac{1}{5}} e depois inserindof(x)=x\left ((1-x)^{\tfrac{1}{5}} \right )^2.
34) Explore o comportamento do gráfico def(x) cercax=1 representando graficamente a função nos seguintes domínios[0.9, 1.1], [0.99, 1.01], [0.999, 1.001],[0.9999, 1.0001] e. Use essas informações para determinar se a função parece ser diferenciável emx=1.
- Responda
-
O gráfico não é diferenciável emx=1 (cúspide).
Para os exercícios 35-42, encontre a derivada de cada uma das funções usando a definição: \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
(35)f(x)=2x-8
36)f(x)=4x^2-7
- Responda
-
f'(x)=8x
37)f(x)=x-\dfrac{1}{2}x^2
38)f(x)=\dfrac{1}{x+2}
- Responda
-
f'(x)=-\dfrac{1}{(2+x)^2}
39)f(x)=\dfrac{3}{x-1}
40)f(x)=-x^3+1
- Responda
-
f'(x)=-3x^2
41)f(x)=x^2+x^3
(42)f(x)=\sqrt{x-1}
- Responda
-
f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}