3.8: Funções inversas e radicais
- Page ID
- 189220
Objetivos de
Nesta seção, você irá:
- Encontre o inverso de uma função polinomial invertível.
- Restrinja o domínio para encontrar o inverso de uma função polinomial.
Um monte de cascalho tem a forma de um cone com a altura igual ao dobro do raio.
O volume é encontrado usando uma fórmula da geometria elementar.
\[ \begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\pi r^2h \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}\pi r^2(2r)\\[4pt] &=\dfrac{2}{3}\pi r^3 \end{align*}\]
Escrevemos o volume\(V\) em termos de raio\(r\). No entanto, em alguns casos, podemos começar com o volume e querer encontrar o raio. Por exemplo: um cliente compra 100 pés cúbicos de cascalho para construir um monte em forma de cone com uma altura duas vezes maior que o raio. Quais são o raio e a altura do novo cone? Para responder a essa pergunta, usamos a fórmula
\[r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{2\pi}} \nonumber\]
Essa função é o inverso da fórmula para\(V\) em termos de\(r\).
Nesta seção, exploraremos os inversos das funções polinomiais e racionais e, em particular, as funções radicais que encontramos no processo.
Encontrando o inverso de uma função polinomial
Duas funções\(f\) e\(g\) são funções inversas se para cada par de coordenadas em\(f\)\((a,b)\),, existe um par de coordenadas correspondente na função inversa,\(g\),\((b, a)\). Em outras palavras, os pares de coordenadas das funções inversas têm a entrada e a saída trocadas. Somente funções individuais têm inversas. Lembre-se de que uma função individual tem um valor de saída exclusivo para cada valor de entrada e passa no teste da linha horizontal.
Por exemplo, suponha que um coletor de escoamento de água seja construído na forma de uma calha parabólica, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). Podemos usar as informações da figura para encontrar a área da superfície da água na calha em função da profundidade da água.
Como será útil ter uma equação para a forma da seção transversal parabólica, imporemos um sistema de coordenadas na seção transversal,\(x\) medido horizontalmente e\(y\) medido verticalmente, com a origem no vértice da parábola (Figura\(\PageIndex{3}\)).
A partir disso, encontramos uma equação para a forma parabólica. Colocamos a origem no vértice da parábola, então sabemos que a equação terá forma\(y(x)=ax^2\). Nossa equação precisará passar pelo ponto\((6, 18)\), a partir do qual podemos resolver o fator de estiramento\(a\).
\[ \begin{align*} 18&=a6^2 \\[4pt] a &=\dfrac{18}{36} \\[4pt] &=\dfrac{1}{2} \end{align*}\]
Nossa seção transversal parabólica tem a equação
\(y(x)=\dfrac{1}{2}x^2\)
Estamos interessados na área da superfície da água, por isso devemos determinar a largura no topo da água em função da profundidade da água. Para qualquer profundidade\(y\), a largura será dada por\(2x\), então precisamos resolver a equação acima\(x\) e encontrar a função inversa. No entanto, observe que a função original não é individual e, de fato, dada qualquer saída, há duas entradas que produzem a mesma saída, uma positiva e outra negativa.
Para encontrar um inverso, podemos restringir nossa função original a um domínio limitado no qual ela é individual. Nesse caso, faz sentido nos restringirmos a\(x\) valores positivos. Nesse domínio, podemos encontrar um inverso resolvendo a variável de entrada:
\[ \begin{align*} y&=\dfrac{1}{2}x^2 \\[4pt] 2y&=x^2 \\[4pt] x&=\pm \sqrt{2y} \end{align*}\]
Essa não é uma função conforme está escrita. Estamos nos limitando a\(x\) valores positivos, então eliminamos a solução negativa, nos dando a função inversa que estamos procurando.
\(y=\dfrac{x^2}{2}\),\(x>0\)
Como\(x\) é a distância do centro da parábola para cada lado, toda a largura da água no topo será\(2x\). A calha tem 3 pés (36 polegadas) de comprimento, então a área da superfície será:
\[ \begin{align*} \text{Area} &=l⋅w \\[4pt] &=36⋅2x \\[4pt] &=72x \\[4pt] &=72\sqrt{2y} \end{align*}\]
Este exemplo ilustra dois pontos importantes:
- Ao encontrar o inverso de uma quadrática, temos que nos limitar a um domínio no qual a função é individual.
- O inverso de uma função quadrática é uma função de raiz quadrada. Ambas são funções do kit de ferramentas e diferentes tipos de funções de alimentação.
As funções que envolvem raízes são frequentemente chamadas de funções radicais. Embora não seja possível encontrar um inverso da maioria das funções polinomiais, alguns polinômios básicos têm inversas. Essas funções são chamadas de funções invertíveis e usamos a notação\(f^{−1}(x)\).
Aviso: não\(f^{−1}(x)\) é o mesmo que o recíproco da função\(f(x)\). Esse uso de “—1” é reservado para denotar funções inversas. Para denotar o recíproco de uma função\(f(x)\), precisaríamos escrever:
\[ (f(x))^{−1}=\frac{1}{f(x)}.\]
Uma relação importante entre funções inversas é que elas “se desfazem” umas às outras. Se\(f^{−1}\) for o inverso de uma função\(f\), então\(f\) é o inverso da função\(f^{−1}\). Em outras palavras, o que quer que a função\(f\) faça\(x\),\(f^{−1}\) o desfaz — e vice-versa.
\(f^{−1}(f(x))=x\), para todos\(x\) no domínio da\(f\)
e
\(f(f^{−1}(x))=x\), para todos\(x\) no domínio da\(f^{−1}\)
Observe que o inverso alterna o domínio e o alcance da função original.
VERIFICANDO SE DUAS FUNÇÕES SÃO INVERSAS UMA DA OUTRA
Duas funções,\(f\) e\(g\), são inversas uma da outra se, para todos,\(x\) no domínio de\(f\) e\(g\),
\(g(f(x))=f(g(x))=x\)
Como fazer: Dada uma função polinomial, encontre o inverso da função restringindo o domínio de forma que a nova função seja individual
- \(f(x)\)Substitua por\(y\).
- Intercâmbio\(x\)\(y\) e.
- Resolva e renomeie a função\(f^{−1}(x)\).\(y\)
Exemplo\(\PageIndex{1}\): Verifying Inverse Functions
\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)Mostre isso e\(f^{−1}(x)=\frac{1}{x}−1\) são inversos, para\(x≠0,−1\).
Solução
Devemos mostrar isso\(f^{−1}(f(x))=x\)\(f(f^{−1}(x))=x\) e.
\[ \begin{align*} f^{−1}(f(x)) &=f^{−1}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)\\[4pt] &=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x+1}}−1\\[4pt] &=(x+1)−1\\[4pt] &=x\end{align*}\]
e
\[ \begin{align*} f(f^{−1}(x)) &=f(\dfrac{1}{x−1})\\[4pt] &=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x−1}\right)+1}\\[4pt] &=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\\[4pt] &=x\end{align*}\]
Portanto,\(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) e\(f^{−1}(x)=\dfrac{1}{x}−1\) são inversas.
Exercício\(\PageIndex{1}\)
\(f(x)=\frac{x+5}{3}\)Mostre isso e\(f^{−1}(x)=3x−5\) seja inverso.
- Responda a
-
\(f^{−1}(f(x))=f^{−1}(\frac{x+5}{3})=3(\frac{x+5}{3})−5=(x−5)+5=x\)
- Resposta b
-
\(f(f^{−1}(x))=f(3x−5)=\frac{(3x−5)+5}{3}=\frac{3x}{3}=x\)
Exemplo\(\PageIndex{2}\): Finding the Inverse of a Cubic Function
Encontre o inverso da função\(f(x)=5x^3+1\).
Solução
Essa é uma transformação da função básica do kit de ferramentas cúbicas e, com base em nosso conhecimento dessa função, sabemos que ela é individual. Resolvendo o inverso resolvendo para\(x\).
\(y=5x^3+1\)
\(x=5y^3+1\)
\(x−1=5y^3\)
\(\dfrac{x−1}{5}=y^3\)
\(f^{−1}(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x−1}{5}}\)
Análise
Veja o gráfico de\(f\)\(f^{–1}\) e. Observe que um gráfico é o reflexo do outro sobre a linha\(y=x\). Esse é sempre o caso ao representar graficamente uma função e sua função inversa.
Além disso, como o método envolvia a troca\(x\) e\(y\), observe os pontos correspondentes. Se\((a,b)\) estiver no gráfico de\(f\), então\((b,a)\) está no gráfico de\(f^{–1}\). Como\((0,1)\) está no gráfico de\(f\), então\((1,0)\) está no gráfico de\(f^{–1}\). Da mesma forma, uma vez que\((1,6)\) está no gráfico de\(f\), então\((6,1)\) está no gráfico de\(f^{–1}\) (Figura\(\PageIndex{9}\)).
Exercício\(\PageIndex{2}\)
Encontre a função inversa de\(f(x)=\sqrt[3]{x+4}\).
- Resposta
-
\(f^{−1}(x)=x^3−4\)
Restringindo o domínio para encontrar o inverso de uma função polinomial
Até agora, conseguimos encontrar as funções inversas das funções cúbicas sem precisar restringir seus domínios. No entanto, como sabemos, nem todos os polinômios cúbicos são um para um. Algumas funções que não são individuais podem ter seu domínio restrito de forma que sejam individuais, mas somente sobre esse domínio. A função sobre o domínio restrito teria então uma função inversa. Como as funções quadráticas não são individuais, devemos restringir seu domínio para encontrar seus inversos.
RESTRINGINDO O DOMÍNIO
Se uma função não for um para um, ela não poderá ter um inverso. Se restringirmos o domínio da função para que ela se torne um para um, criando assim uma nova função, essa nova função terá um inverso.
Como: Dada uma função polinomial, restrinja o domínio de uma função que não seja um para um e, em seguida, encontre o inverso
- Restrinja o domínio determinando um domínio no qual a função original é individual.
- \(f(x)\)Substitua por\(y\).
- Intercâmbio\(x\)\(y\) e.
- Resolva e renomeie a função ou o par de funções\(f^{−1}(x)\).\(y\)
- Revise a fórmula para\(f^{−1}(x)\) garantindo que as saídas da função inversa correspondam ao domínio restrito da função original.
Exemplo\(\PageIndex{3}\): Restricting the Domain to Find the Inverse of a Polynomial Function
Encontre a função inversa de\(f\):
- \(f(x)={(x−4)}^2\),\(x≥4\)
- \(f(x)={(x−4)}^2\),\(x≤4\)
Solução
A função original não\(f(x)={(x−4)}^2\) é individual, mas está restrita a um domínio de\(x≥4\) ou\(x≤4\) no qual é individual (Figura\(\PageIndex{6}\)).
Para encontrar o inverso, comece\(f(x)\) substituindo pela variável simples\(y\).
\(y={(x−4)}^2\)Intercâmbio\(x\)\(y\) e.
\(x={(y−4)}^2\)Pegue a raiz quadrada.
\(\pm \sqrt{x}=y−4\)Adicione\(4\) aos dois lados.
\(4\pm \sqrt{x} =y\)
Essa não é uma função conforme está escrita. Precisamos examinar as restrições no domínio da função original para determinar o inverso. Como invertemos as funções de\(x\) e\(y\) para o original\(f(x)\), analisamos o domínio: os valores\(x\) poderiam assumir. Quando invertemos os papéis de\(x\) e\(y\), isso nos deu os valores que\(y\) poderíamos assumir. Para esta função, então\(x≥4\), para o inverso, devemos ter\(y≥4\), que é o que nossa função inversa fornece.
- O domínio da função original estava restrito a\(x≥4\), então as saídas do inverso precisam ser as mesmas\(f(x)≥4\), e devemos usar o caso +:
\(f^{−1}(x)=4+\sqrt{x}\)
- O domínio da função original estava restrito a\(x≤4\), então as saídas do inverso precisam ser as mesmas\(f(x)≤4\), e devemos usar o caso —:
\(f^{−1}(x)=4−\sqrt{x}\)
Análise
Nos gráficos da Figura\(\PageIndex{6}\), vemos a função original representada graficamente no mesmo conjunto de eixos de sua função inversa. Observe que, juntos, os gráficos mostram simetria sobre a linha\(y=x\). O par de coordenadas\((4,0)\) está no gráfico de f e o par de coordenadas\((0, 4)\) está no gráfico de\(f^{−1}\). Para qualquer par de coordenadas, se\((a, b)\) estiver no gráfico de\(f\), então\((b, a)\) está no gráfico de\(f^{−1}\). Finalmente, observe que o gráfico de\(f\) cruza o gráfico de\(f^{−1}\) na linha\(y=x\). Os pontos de interseção dos gráficos de\(f\) e sempre\(f^{−1}\) estarão na linha\(y=x\).
Exemplo\(\PageIndex{4}\): Finding the Inverse of a Quadratic Function When the Restriction Is Not Specified
Restrinja o domínio e, em seguida, encontre o inverso de
\(f(x)={(x−2)}^2−3\).
Solução
Podemos ver que é uma parábola com vértice em\((2,–3)\) que se abre para cima. Como o gráfico diminuirá em um lado do vértice e aumentará no outro lado, podemos restringir essa função a um domínio no qual ela será individual, limitando o domínio\(x≥2\) a.
Para encontrar o inverso, usaremos a forma de vértice da quadrática. Começamos\(f(x)\) substituindo por uma variável simples e, em seguida\(y\), resolvemos por\(x\).
\(y={(x−2)}^2−3\)Intercâmbio\(x\)\(y\) e.
\(x={(y−2)}^2−3\)Adicione 3 aos dois lados.
\(x+3={(y−2)}^2\)Pegue a raiz quadrada.
\(\pm \sqrt{x+3}=y−2\)Adicione 2 aos dois lados.
\(2\pm \sqrt{x+3}=y\)Renomeie a função.
\(f^{−1}(x)=2\pm \sqrt{x+3}\)
Agora precisamos determinar qual estojo usar. Como restringimos nossa função original a um domínio de\(x≥2\), as saídas do inverso devem ser as mesmas, nos dizendo para utilizar o caso +
\(f^{−1}(x)=2+\sqrt{x+3}\)
Se a quadrática não tivesse sido dada na forma de vértice, reescrevê-la na forma de vértice seria o primeiro passo. Dessa forma, podemos observar facilmente as coordenadas do vértice para nos ajudar a restringir o domínio.
Análise
Observe que decidimos arbitrariamente restringir o domínio em\(x≥2\). Nesse caso, poderíamos facilmente ter optado por restringir o domínio\(f^{−1}(x)=2−\sqrt{x+3}\).\(x≤2\) Observe a função original representada graficamente no mesmo conjunto de eixos de sua função inversa na Figura\(\PageIndex{7}\). Observe que os dois gráficos mostram simetria sobre a linha\(y=x\). O par de coordenadas\((2, −3)\) está no gráfico de\(f\) e o par de coordenadas\((−3, 2)\) está no gráfico de\(f^{−1}\). Observe no gráfico de ambas as funções no mesmo conjunto de eixos que
domínio da\(f=\) faixa de\(f^{–1}=[2,\infty)\)
e
domínio da\(f^{–1}=\) faixa de\(f=[–3,\infty)\).
Finalmente, observe que o gráfico de\(f\) cruza o gráfico de\(f^{−1}\) ao longo da linha\(y=x\).
Exercício\(\PageIndex{4}\)
Encontre o inverso da função\(f(x)=x^2+1\), no domínio\(x≥0\).
- Responda
-
\(f^{−1}(x)=\sqrt{x−1}\)
Encontrando inversos
Observe que as funções dos exemplos anteriores eram todas polinômios e suas inversas eram funções radicais. Se quisermos encontrar o inverso de uma função radical, precisaremos restringir o domínio da resposta porque o alcance da função original é limitado.
Como: Dada uma função radical, encontre o inverso
- Determine o alcance da função original.
- \(f(x)\)Substitua\(y\) por e resolva por\(x\).
- Se necessário, restrinja o domínio da função inversa ao intervalo da função original.
Exemplo\(\PageIndex{5}\): Finding the Inverse of a Radical Function
Restrinja o domínio da função\(f(x)=\sqrt{x−4}\) e, em seguida, encontre o inverso.
Solução
Observe que a função original tem alcance\(f(x)≥0\). \(f(x)\)Substitua\(y\) por e resolva por\(x\).
\(y=\sqrt{x−4}\)\(f(x)\)Substitua por\(y\).
\(x=\sqrt{y−4}\)Intercâmbio\(x\)\(y\) e.
\(x=\sqrt{y−4}\)Quadrado em cada lado.
\(x^2=y−4\)Adicionar 4.
\(x^2+4=y\)Renomeie a função\(f^{−1}(x)\).
\(f^{−1}(x)=x^2+4\)
Lembre-se de que o domínio dessa função deve ser limitado ao alcance da função original.
\(f^{−1}(x)=x^2+4\),\(x≥0\)
Análise
Observe na Figura\(\PageIndex{8}\) que o inverso é um reflexo da função original sobre a linha\(y=x\). Como a função original tem somente saídas positivas, a função inversa tem somente entradas não negativas.
Exercício\(\PageIndex{5}\)
Restrinja o domínio e, em seguida, encontre o inverso da função\(f(x)=\sqrt{2x+3}\).
- Responda
-
\(f^{−1}(x)=\frac{x^2−3}{2}\),\(x≥0\)
Resolvendo aplicações de funções radicais
As funções radicais são comuns em modelos físicos, como vimos no abridor de seção. Agora temos ferramentas suficientes para resolver o problema apresentado no início da seção.
Exemplo\(\PageIndex{6}\): Solving an Application with a Cubic Function
Um monte de cascalho tem a forma de um cone com a altura igual ao dobro do raio. O volume do cone em termos do raio é dado por
\[V=\dfrac{2}{3}\pi r^3 \nonumber\]
Encontre o inverso da função\(V=\frac{2}{3}\pi r^3\) que determina o volume\(V\) de um cone e é uma função do raio\(r\). Em seguida, use a função inversa para calcular o raio desse monte de cascalho medindo 100 pés cúbicos. Use\(\pi=3.14\).
Solução
Comece com a função fornecida para\(V\). Observe que o domínio significativo para a função é\(r>0\) porque raios negativos não fariam sentido nesse contexto, nem um raio de\(0\). Observe também que o alcance da função (portanto, o domínio da função inversa) é\(V>0\). Resolva\(r\) em termos de\(V\), usando o método descrito anteriormente. Observe que em aplicações do mundo real, não trocamos as variáveis ao encontrar inversas. Em vez disso, mudamos qual variável é considerada a variável independente.
\[ V =\dfrac{2}{3}\pi r^3\nonumber \]
Resolver para\(r^3\).
\[r^3 =\dfrac{3V}{2\pi} \nonumber\]
Resolver para\(r\).
\[ r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{2\pi}} \nonumber \]
Esse é o resultado indicado no abridor de seção. Agora avalie isso para\(V=100\)\(\pi=3.14\) e.
\[ \begin{align*} r&=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{2\pi}} \\[4pt] &=\sqrt[3]{\dfrac{3⋅100}{2⋅3.14}} \\[4pt] &≈\sqrt[3]{47.7707} \\[4pt] &≈3.63 \end{align*}\]
Portanto, o raio é de cerca de 3,63 pés.
Determinando o domínio de uma função radical composta com outras funções
Quando funções radicais são compostas com outras funções, determinar o domínio pode se tornar mais complicado.
Exemplo\(\PageIndex{7}\): Finding the Domain of a Radical Function Composed with a Rational Function
Encontre o domínio da função:
\[f(x)=\sqrt{\frac{(x+2)(x−3)}{(x−1)}}. \nonumber\]
Solução
Como uma raiz quadrada só é definida quando a quantidade sob o radical não é negativa, precisamos determinar onde
\[\frac{(x+2)(x−3)}{(x−1)}≥0. \nonumber\]
A saída de uma função racional pode mudar os sinais (mudar de positivo para negativo ou vice-versa) em interceptos x e em assíntotas verticais. Para esta equação, o gráfico pode mudar os sinais em\(x=–2\)\(1\),\(3\) e.
Para determinar os intervalos nos quais a expressão racional é positiva, podemos testar alguns valores na expressão ou esboçar um gráfico. Embora ambas as abordagens funcionem igualmente bem, neste exemplo, usaremos um gráfico conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{9}\).
Essa função tem duas interceptações x, ambas exibindo comportamento linear próximo às interceptações x. Há uma assíntota vertical, correspondente a um fator linear; esse comportamento é semelhante à função básica do kit de ferramentas recíproca e não há assíntota horizontal porque o grau do numerador é maior que o grau do denominador. Há um intercepto y em\((0,\sqrt{6})\).
A partir do intercepto y e do intercepto x em\(x=−2\), podemos esboçar o lado esquerdo do gráfico. A partir do comportamento na assíntota, podemos esboçar o lado direito do gráfico.
A partir do gráfico, agora podemos dizer em quais intervalos as saídas não serão negativas, para que possamos ter certeza de que a função original\(f(x)\) será definida. \(f(x)\)tem domínio\(−2≤x<1\) ou\(x≥3\), ou em notação de intervalo,\([−2,1)∪[3,\infty)\).
Encontrando inversas de funções racionais
Assim como na descoberta de inversas de funções quadráticas, às vezes é desejável encontrar o inverso de uma função racional, particularmente de funções racionais que são a razão de funções lineares, como em aplicações de concentração.
Exemplo\(\PageIndex{8}\): Finding the Inverse of a Rational Function
A função
\[\displaystyle C=\frac{20+0.4n}{100+n}\]
representa a concentração\(C\) de uma solução ácida após a adição de\(n\) mL de 40% de solução a 100 mL de uma solução de 20%. Primeiro, encontre o inverso da função; ou seja, encontre uma expressão para\(n\) em termos de\(C\). Em seguida, use o resultado para determinar quanto da solução de 40% deve ser adicionada para que a mistura final seja uma solução de 35%.
Solução
Primeiro, queremos o inverso da função para determinar quantos mL precisamos para uma determinada concentração. Resolveremos\(n\) em termos de\(C\).
\[ \begin{align*} C&=\dfrac{20+0.4n}{100+n} \\[4pt] C(100+n)&=20+0.4n\\[4pt] 100C+Cn&=20+0.4n\\[4pt] 100C−20&=0.4n−Cn\\[4pt] 100C−20&=(0.4−C)n\\[4pt] n&=\dfrac{100C−20}{0.4−C}\end{align*}\]
Agora, avalie essa função em 35%, o que é\(C=0.35\).
\[ \begin{align*} n&=\dfrac{100(0.35)−20}{0.4−0.35}\\[4pt] &=\dfrac{15}{0.05}\\[4pt] &=300\end{align*}\]
Podemos concluir que 300 mL da solução de 40% devem ser adicionados.
Exercício\(\PageIndex{8}\)
Encontre o inverso da função\(f(x)=\frac{x+3}{x−2}\).
- Responda
-
\(f^{−1}(x)=\frac{2x+3}{x−1}\)
Mídia
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com funções inversas e radicais.
Conceitos chave
- O inverso de uma função quadrática é uma função de raiz quadrada.
- Se\(f^{−1}\) for o inverso de uma função\(f\), então\(f\) é o inverso da função\(f^{−1}\). Veja o exemplo\(\PageIndex{1}\).
- Embora não seja possível encontrar um inverso da maioria das funções polinomiais, alguns polinômios básicos são invertíveis. Veja o exemplo\(\PageIndex{2}\).
- Para encontrar o inverso de certas funções, devemos restringir a função a um domínio no qual ela será individual. Veja exemplos\(\PageIndex{3}\) e\(\PageIndex{4}\)
- Ao encontrar o inverso de uma função radical, precisamos de uma restrição no domínio da resposta. Veja o exemplo\(\PageIndex{5}\)\(\PageIndex{7}\) e.
- Funções inversas e radicais podem ser usadas para resolver problemas de aplicação. Veja exemplos\(\PageIndex{6}\)\(\PageIndex{8}\) e.