Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

2.5: Números complexos

Objetivos de
  • Adicione e subtraia números complexos.
  • Multiplique e divida números complexos.
  • Resolva equações quadráticas com números complexos

Descoberto por Benoit Mandelbrot por volta de 1980, o conjunto Mandelbrot é uma das imagens fractais mais reconhecíveis. A imagem é construída com base na teoria da auto-similaridade e na operação de iteração. Aumentar o zoom em uma imagem fractal traz muitas surpresas, principalmente no alto nível de repetição de detalhes que aparece à medida que a ampliação aumenta. A equação que gera essa imagem acaba sendo bastante simples.

Uma representação visual do conjunto de Mandelbrot
Figura2.5.1: O conjunto de Mandelbrot exibe semelhança, o que é melhor mostrado em uma animação.

Para entender melhor isso, precisamos nos familiarizar com um novo conjunto de números. Lembre-se de que o estudo da matemática se baseia continuamente em si mesmo. Os números inteiros negativos, por exemplo, preenchem um vazio deixado pelo conjunto de números inteiros positivos. O conjunto de números racionais, por sua vez, preenche um vazio deixado pelo conjunto de números inteiros. O conjunto de números reais preenche um vazio deixado pelo conjunto de números racionais. Não é de surpreender que o conjunto de números reais também tenha vazios. Nesta seção, exploraremos um conjunto de números que preenche os vazios no conjunto de números reais e descobriremos como trabalhar nele.

Expressando raízes quadradas de números negativos como múltiplos dei

Sabemos como encontrar a raiz quadrada de qualquer número real positivo. De forma semelhante, podemos encontrar a raiz quadrada de qualquer número negativo. A diferença é que a raiz não é real. Se o valor no radicando for negativo, diz-se que a raiz é um número imaginário. O número imaginárioi é definido como a raiz quadrada de1.

1=i

Então, usando propriedades dos radicais,

i2=(1)2=1

Podemos escrever a raiz quadrada de qualquer número negativo como múltiplo dei. Considere a raiz quadrada de49.

49=49×(1)=491=7i

Usamos7i e não7i porque a raiz principal do49 é a raiz positiva.

Um número complexo é a soma de um número real e um número imaginário. Um número complexo é expresso na forma padrão quando escritoa+bi ondea está a parte real eb é a parte imaginária. Por exemplo,5+2i é um número complexo. Então, também é3+4i3.

O número complexo 5 + 2i é exibido. O 5 é rotulado como: Parte real e o 2i é rotulado como: Parte imaginária

Os números imaginários diferem dos números reais porque um número imaginário quadrado produz um número real negativo. Lembre-se de que quando um número real positivo é quadrado, o resultado é um número real positivo e quando um número real negativo é quadrado, o resultado também é um número real positivo. Os números complexos consistem em números reais e imaginários.

Definição: NÚMEROS IMAGINÁRIOS E COMPLEXOS

Um número complexo é um número do formulárioa+bi em que

  1. aé a parte real do número complexo.
  2. bé a parte imaginária do número complexo.

Seb=0, entãoa+bi é um número real. Sea=0 e nãob for igual a0, o número complexo é chamado de número imaginário puro. Um número imaginário é a raiz par de um número negativo.

Como fazer: Dado um número imaginário, expresse-o na forma padrão de um número complexo
  1. Escrevaa comoa1.
  2. 1Expresse comoi.
  3. Escrevaa×i na forma mais simples.
Exemplo2.5.1: Expressing an Imaginary Number in Standard Form

9Expresse em formato padrão.

Solução

9=91)=3i

Na forma padrão, isso é0+3i.

Exercício2.5.1

24Expresse em formato padrão.

Responda

24=0+2i6

Traçando um número complexo no plano complexo

Não podemos traçar números complexos em uma reta numérica como podemos fazer com números reais. No entanto, ainda podemos representá-los graficamente. Para representar um número complexo, precisamos abordar os dois componentes do número. Usamos o plano complexo, que é um sistema de coordenadas no qual o eixo horizontal representa o componente real e o eixo vertical representa o componente imaginário. Números complexos são os pontos no plano, expressos como pares ordenados(a,b), ondea representa a coordenada para o eixo horizontal eb representa a coordenada para o eixo vertical.

Vamos considerar o número2+3i. A parte real do número complexo é2 e a parte imaginária é3. Traçamos o par ordenado(2,3) para representar o número complexo2+3i, conforme mostrado na Figura2.5.2.

Plano coordenado com os eixos x e y variando de menos 5 a 5. O ponto menos 2 mais 3i é plotado no gráfico. Uma seta se estende para a esquerda a partir das duas unidades de origem e, em seguida, uma seta se estende para cima três unidades a partir do final da seta anterior.
Figura2.5.2
PLANO COMPLEXO

No plano complexo, o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário, conforme mostrado na Figura2.5.3.

Um plano de coordenadas em branco com o eixo x rotulado: real e o eixo y rotulado como: imaginário.
Figura2.5.3
Como fazer: Dado um número complexo, represente seus componentes no plano complexo
  1. Determine a parte real e a parte imaginária do número complexo.
  2. Mova-se ao longo do eixo horizontal para mostrar a parte real do número.
  3. Mova-se paralelamente ao eixo vertical para mostrar a parte imaginária do número.
  4. Faça um gráfico do ponto.
Exemplo2.5.2: Plotting a Complex Number on the Complex Plane

Faça um gráfico do número complexo34i no plano complexo.

Solução

A parte real do número complexo é3, e a parte imaginária é4. Traçamos o par ordenado(3,4) conforme mostrado na Figura2.5.4.

Plano coordenado com os eixos x e y variando de -5 a 5. O ponto 3 — 4i é traçado, com uma seta se estendendo para a direita a partir das 3 unidades de origem e uma seta se estendendo para baixo 4 unidades a partir do final da seta anterior.
Figura2.5.4
Exercício2.5.2

Faça um gráfico do número complexo4i no plano complexo.

Responda
Plano coordenado com os eixos x e y variando de menos 5 a 5. O ponto -4 i é representado graficamente.
Figura2.5.5

Adicionando e subtraindo números complexos

Assim como com números reais, podemos realizar operações aritméticas em números complexos. Para somar ou subtrair números complexos, combinamos as partes reais e depois combinamos as partes imaginárias.

NÚMEROS COMPLEXOS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Adicionando números complexos:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Subtração de números complexos:

(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i

Como fazer: Dados dois números complexos, encontre a soma ou a diferença
  1. Identifique as partes reais e imaginárias de cada número.
  2. Adicione ou subtraia as partes reais.
  3. Adicione ou subtraia as partes imaginárias.
Exemplo2.5.3: Adding and Subtracting Complex Numbers

Adicione ou subtraia conforme indicado.

  1. (34i)+(2+5i)
  2. (5+7i)(11+2i)

Solução

  1. (34i)+(2+5i)=34i+2+5i=3+2+(4i)+5i=(3+2)+(4+5)i=5+i
  2. (5+7i)(11+2i)=5+7i+112i=5+11+7i2i=(5+11)+(72)i=6+5i
Exercício2.5.3

Subtraia2+5i de34i.

Responda

(34i)(2+5i)=19i

Multiplicação de números complexos

Multiplicar números complexos é muito parecido com multiplicar binômios. A principal diferença é que trabalhamos com as partes real e imaginária separadamente.

Multiplicação de um número complexo por um número real

Vamos começar multiplicando um número complexo por um número real. Distribuímos o número real da mesma forma que faríamos com um binômio. Considere, por exemplo,3(6+2i):

Multiplicação de um número real e um número complexo. O 3 fora dos parênteses tem setas que se estendem dele até o 6 e o 2i dentro dos parênteses. Essa expressão é definida como igual à quantidade três vezes seis mais a quantidade três vezes duas vezes i; essa é a propriedade distributiva. A próxima linha é igual a dezoito mais seis vezes i; a simplificação.

Como fazer: Dado um número complexo e um número real, multiplique para encontrar o produto
  1. Use a propriedade distributiva.
  2. Simplifique.
Exemplo2.5.4: Multiplying a Complex Number by a Real Number

Encontre o produto4(2+5i).

Solução

Distribua4 o.

4(2+5i)=(42)+(45i)=8+20i

Exercício2.5.4

Encontre o produto:12(52i).

Responda

52i

Multiplicação de números complexos

Agora, vamos multiplicar dois números complexos. Podemos usar a propriedade distributiva ou, mais especificamente, o método FOIL porque estamos lidando com binômios. Lembre-se de que FOIL é um acrônimo para multiplicar os termos Primeiro, Interno, Externo e Último. A diferença com números complexos é que quando obtemos um termo quadradoi2,, ele é igual1.

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bcibd(1)i2=1=ac+adi+bcibd=(acbd)+(ad+bc)i

Agrupe termos reais e termos imaginários.

Como fazer: Dados dois números complexos, multiplique para encontrar o produto
  1. Use a propriedade distributiva ou o método FOIL.
  2. Lembre-se dissoi2=1.
  3. Agrupe os termos reais e os termos imaginários
Exemplo2.5.5: Multiplying a Complex Number by a Complex Number

Multiplique(4+3i)(25i).

Solução

(4+3i)(25i)=4(2)4(5i)+3i(2)(3i)(5i)=820i+6i15(i2)=(8+15)+(20+6)i=2314i

Exercício2.5.5

Multiplique:(34i)(2+3i).

Responda

18+i

Dividindo números complexos

Dividir dois números complexos é mais complicado do que somar, subtrair ou multiplicar porque não podemos dividir por um número imaginário, o que significa que qualquer fração deve ter um denominador de número real para escrever a resposta na forma padrãoa+bi. Precisamos encontrar um termo pelo qual possamos multiplicar o numerador e o denominador que eliminará a porção imaginária do denominador para que acabemos com um número real como denominador. Esse termo é chamado de conjugado complexo do denominador, que é encontrado alterando o sinal da parte imaginária do número complexo. Em outras palavras, o complexo conjugado dea+bi éabi. Por exemplo, o produto dea+bi eabi é

(a+bi)(abi)=a2abi+abib2i2=a2+b2

O resultado é um número real.

Observe que os conjugados complexos têm uma relação oposta: o conjugado complexo dea+bi éabi e o conjugado complexo deabi éa+bi. Além disso, quando uma equação quadrática com coeficientes reais tem soluções complexas, as soluções são sempre conjugadas complexas umas das outras.

Suponha que queiramos dividirc+di pora+bi, ondea nemb é igual a zero. Primeiro escrevemos a divisão como uma fração, depois encontramos o conjugado complexo do denominador e multiplicamos.

c+dia+biondea0 eb0

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.

(c+di)(a+bi)(abi)(abi)=(c+di)(abi)(a+bi)(abi)=cacbi+adibdi2a2abi+abib2i2Apply the distributive property=cacbi+adibd(1)a2abi+abib2(1)Simplify, remembering that i2=1=(ca+bd)+(adcb)ia2+b2

Definição: O COMPLEXO CONJUGADO

O conjugado complexo de um número complexoa+bi éabi. É encontrado alterando o sinal da parte imaginária do número complexo. A parte real do número permanece inalterada.

  1. Quando um número complexo é multiplicado por seu conjugado complexo, o resultado é um número real.
  2. Quando um número complexo é adicionado ao seu conjugado complexo, o resultado é um número real.
Exemplo2.5.6: Finding Complex Conjugates

Encontre o conjugado complexo de cada número.

  1. 2+i5
  2. 12i

Solução

  1. O número já está no formulárioa+bi. O conjugado complexo éabi, ou2i5.
  2. Podemos reescrever esse número no formulárioa+bi como012i. O conjugado complexo éabi, ou0+12i. Isso pode ser escrito simplesmente como12i.

Análise

Embora tenhamos visto que podemos encontrar o conjugado complexo de um número imaginário, na prática geralmente encontramos os conjugados complexos apenas de números complexos com um componente real e um componente imaginário. Para obter um número real de um número imaginário, podemos simplesmente multiplicar pori.

Exercício2.5.6

Encontre o conjugado complexo de3+4i.

Responda

34i

Como: Dados dois números complexos, divida um pelo outro
  1. Escreva o problema da divisão como uma fração.
  2. Determine o conjugado complexo do denominador.
  3. Multiplique o numerador e o denominador da fração pelo conjugado complexo do denominador.
  4. Simplifique.
Exemplo2.5.7: Dividing Complex Numbers

Divida(2+5i) por(4i).

Solução

Começamos escrevendo o problema como uma fração.

(2+5i)(4i)

Em seguida, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.

(2+5i)(4i)(4+i)(4+i)

Para multiplicar dois números complexos, expandimos o produto da mesma forma que faríamos com polinômios (usando FOIL).

(2+5i)(4i)(4+i)(4+i)=8+2i+20i+5i216+4i4ii2=8+2i+20i+5(1)16+4i4i(1)i2=1=3+22i17=317+2217i

Separe as partes reais e imaginárias.

Observe que isso expressa o quociente na forma padrão.

Simplificando os poderes doi

Os poderes doi são cíclicos. Vamos ver o que acontece quando aumentamosi para poderes crescentes.

i1=ii2=1i3=i2i=1i=ii4=i3i=ii=i2=(1)=1i5=i4i=1i=i

Podemos ver que quando chegamos à quinta potência de i, ela é igual à primeira potência. À medida que continuamos a multiplicari aumentando os poderes, veremos um ciclo de quatro. Vamos examinar os próximos quatro poderes doi.

i6=i5i=ii=i2=1i7=i6i=i2i=i3=ii8=i7i=i3i=i4=1i9=i8i=i4i=i5=i

O ciclo se repete continuamente: ai,1,i,1, cada quatro potências.

Exemplo2.5.8: Simplifying Powers of i

Avalie:i35.

Solução

Desde entãoi4=1, podemos simplificar o problema considerando o maior númeroi4 possível de fatores. Para fazer isso, primeiro determine quantas vezes4 entra35:35=48+3.

i35=i48+3=i48i3=(i4)8i3=i8i3=i3=i

Exercício2.5.7

Avalie:i18

Responda

1

PERGUNTAS E RESPOSTAS

Podemos escreveri35 de outras formas úteis?

Como vimos no Exemplo2.5.8, reduzimosi35 parai3 dividindo o expoente4 e usando o restante para encontrar a forma simplificada. Mas talvez outra fatoração dei35 possa ser mais útil. A tabela2.5.1 mostra algumas outras fatorizações possíveis.

Tabela2.5.1
Fatoração dei35 i34i i33i2 i31i4 i19i16
Forma reduzida (i2)17i i33(1) i311 i19(i4)4
Formulário simplificado (1)17i i33 i31 i19

Cada uma delas acabará resultando na resposta que obtivemos acima, mas pode exigir várias etapas a mais do que nosso método anterior.

Mídia

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com números complexos.

  1. Adicionando e subtraindo números complexos
  2. Multiplique números complexos
  3. Multiplicação de conjugados complexos
  4. Elevando você a dois poderes

Conceitos-chave

  • A raiz quadrada de qualquer número negativo pode ser escrita como múltiplo de \(i\). Veja o exemplo.
  • Para traçar um número complexo, usamos duas linhas numéricas, cruzadas para formar o plano complexo. O eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário. Veja o exemplo.
  • Números complexos podem ser somados e subtraídos combinando as partes reais e combinando as partes imaginárias. Veja o exemplo.
  • Números complexos podem ser multiplicados e divididos.
    • Para multiplicar números complexos, distribua da mesma forma que ocorre com os polinômios. Veja o exemplo e o exemplo.
    • Para dividir números complexos, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador para eliminar o número complexo do denominador. Veja o exemplo e o exemplo.
  • Os poderes do i são cíclicos, repetindo-se a cada quatro. Veja o exemplo.