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2.5: Números complexos

Objetivos de
  • Adicione e subtraia números complexos.
  • Multiplique e divida números complexos.
  • Resolva equações quadráticas com números complexos

Descoberto por Benoit Mandelbrot por volta de 1980, o conjunto Mandelbrot é uma das imagens fractais mais reconhecíveis. A imagem é construída com base na teoria da auto-similaridade e na operação de iteração. Aumentar o zoom em uma imagem fractal traz muitas surpresas, principalmente no alto nível de repetição de detalhes que aparece à medida que a ampliação aumenta. A equação que gera essa imagem acaba sendo bastante simples.

Uma representação visual do conjunto de Mandelbrot
Figura2.5.1: O conjunto de Mandelbrot exibe semelhança, o que é melhor mostrado em uma animação.

Para entender melhor isso, precisamos nos familiarizar com um novo conjunto de números. Lembre-se de que o estudo da matemática se baseia continuamente em si mesmo. Os números inteiros negativos, por exemplo, preenchem um vazio deixado pelo conjunto de números inteiros positivos. O conjunto de números racionais, por sua vez, preenche um vazio deixado pelo conjunto de números inteiros. O conjunto de números reais preenche um vazio deixado pelo conjunto de números racionais. Não é de surpreender que o conjunto de números reais também tenha vazios. Nesta seção, exploraremos um conjunto de números que preenche os vazios no conjunto de números reais e descobriremos como trabalhar nele.

Expressando raízes quadradas de números negativos como múltiplos dei

Sabemos como encontrar a raiz quadrada de qualquer número real positivo. De forma semelhante, podemos encontrar a raiz quadrada de qualquer número negativo. A diferença é que a raiz não é real. Se o valor no radicando for negativo, diz-se que a raiz é um número imaginário. O número imaginárioi é definido como a raiz quadrada de1.

1=i

Então, usando propriedades dos radicais,

i2=(1)2=1

Podemos escrever a raiz quadrada de qualquer número negativo como múltiplo dei. Considere a raiz quadrada de49.

49=49×(1)=491=7i

Usamos7i e não7i porque a raiz principal do49 é a raiz positiva.

Um número complexo é a soma de um número real e um número imaginário. Um número complexo é expresso na forma padrão quando escritoa+bi ondea está a parte real eb é a parte imaginária. Por exemplo,5+2i é um número complexo. Então, também é3+4i3.

O número complexo 5 + 2i é exibido. O 5 é rotulado como: Parte real e o 2i é rotulado como: Parte imaginária

Os números imaginários diferem dos números reais porque um número imaginário quadrado produz um número real negativo. Lembre-se de que quando um número real positivo é quadrado, o resultado é um número real positivo e quando um número real negativo é quadrado, o resultado também é um número real positivo. Os números complexos consistem em números reais e imaginários.

Definição: NÚMEROS IMAGINÁRIOS E COMPLEXOS

Um número complexo é um número do formulárioa+bi em que

  1. aé a parte real do número complexo.
  2. bé a parte imaginária do número complexo.

Seb=0, entãoa+bi é um número real. Sea=0 e nãob for igual a0, o número complexo é chamado de número imaginário puro. Um número imaginário é a raiz par de um número negativo.

Como fazer: Dado um número imaginário, expresse-o na forma padrão de um número complexo
  1. Escrevaa comoa1.
  2. 1Expresse comoi.
  3. Escrevaa×i na forma mais simples.
Exemplo2.5.1: Expressing an Imaginary Number in Standard Form

9Expresse em formato padrão.

Solução

9=91)=3i

Na forma padrão, isso é0+3i.

Exercício2.5.1

24Expresse em formato padrão.

Responda

24=0+2i6

Traçando um número complexo no plano complexo

Não podemos traçar números complexos em uma reta numérica como podemos fazer com números reais. No entanto, ainda podemos representá-los graficamente. Para representar um número complexo, precisamos abordar os dois componentes do número. Usamos o plano complexo, que é um sistema de coordenadas no qual o eixo horizontal representa o componente real e o eixo vertical representa o componente imaginário. Números complexos são os pontos no plano, expressos como pares ordenados(a,b), ondea representa a coordenada para o eixo horizontal eb representa a coordenada para o eixo vertical.

Vamos considerar o número2+3i. A parte real do número complexo é2 e a parte imaginária é3. Traçamos o par ordenado(2,3) para representar o número complexo2+3i, conforme mostrado na Figura2.5.2.

Plano coordenado com os eixos x e y variando de menos 5 a 5. O ponto menos 2 mais 3i é plotado no gráfico. Uma seta se estende para a esquerda a partir das duas unidades de origem e, em seguida, uma seta se estende para cima três unidades a partir do final da seta anterior.
Figura2.5.2
PLANO COMPLEXO

No plano complexo, o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário, conforme mostrado na Figura2.5.3.

Um plano de coordenadas em branco com o eixo x rotulado: real e o eixo y rotulado como: imaginário.
Figura2.5.3
Como fazer: Dado um número complexo, represente seus componentes no plano complexo
  1. Determine a parte real e a parte imaginária do número complexo.
  2. Mova-se ao longo do eixo horizontal para mostrar a parte real do número.
  3. Mova-se paralelamente ao eixo vertical para mostrar a parte imaginária do número.
  4. Faça um gráfico do ponto.
Exemplo2.5.2: Plotting a Complex Number on the Complex Plane

Faça um gráfico do número complexo34i no plano complexo.

Solução

A parte real do número complexo é3, e a parte imaginária é–4. Traçamos o par ordenado(3,−4) conforme mostrado na Figura\PageIndex{4}.

Plano coordenado com os eixos x e y variando de -5 a 5. O ponto 3 — 4i é traçado, com uma seta se estendendo para a direita a partir das 3 unidades de origem e uma seta se estendendo para baixo 4 unidades a partir do final da seta anterior.
Figura\PageIndex{4}
Exercício\PageIndex{2}

Faça um gráfico do número complexo−4−i no plano complexo.

Responda
Plano coordenado com os eixos x e y variando de menos 5 a 5. O ponto -4 i é representado graficamente.
Figura\PageIndex{5}

Adicionando e subtraindo números complexos

Assim como com números reais, podemos realizar operações aritméticas em números complexos. Para somar ou subtrair números complexos, combinamos as partes reais e depois combinamos as partes imaginárias.

NÚMEROS COMPLEXOS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Adicionando números complexos:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Subtração de números complexos:

(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i

Como fazer: Dados dois números complexos, encontre a soma ou a diferença
  1. Identifique as partes reais e imaginárias de cada número.
  2. Adicione ou subtraia as partes reais.
  3. Adicione ou subtraia as partes imaginárias.
Exemplo\PageIndex{3}: Adding and Subtracting Complex Numbers

Adicione ou subtraia conforme indicado.

  1. (3−4i)+(2+5i)
  2. (−5+7i)−(−11+2i)

Solução

  1. \begin{align*} (3-4i)+(2+5i)&= 3-4i+2+5i\\[4pt] &= 3+2+(-4i)+5i\\[4pt] &= (3+2)+(-4+5)i\\[4pt] &= 5+i \end{align*}
  2. \begin{align*} (-5+7i)-(-11+2i)&= -5+7i+11-2i\\[4pt] &= -5+11+7i-2i\\[4pt] &= (-5+11)+(7-2)i\\[4pt] &= 6+5i \end{align*}
Exercício\PageIndex{3}

Subtraia2+5i de3–4i.

Responda

(3−4i)−(2+5i)=1−9i

Multiplicação de números complexos

Multiplicar números complexos é muito parecido com multiplicar binômios. A principal diferença é que trabalhamos com as partes real e imaginária separadamente.

Multiplicação de um número complexo por um número real

Vamos começar multiplicando um número complexo por um número real. Distribuímos o número real da mesma forma que faríamos com um binômio. Considere, por exemplo,3(6+2i):

Multiplicação de um número real e um número complexo. O 3 fora dos parênteses tem setas que se estendem dele até o 6 e o 2i dentro dos parênteses. Essa expressão é definida como igual à quantidade três vezes seis mais a quantidade três vezes duas vezes i; essa é a propriedade distributiva. A próxima linha é igual a dezoito mais seis vezes i; a simplificação.

Como fazer: Dado um número complexo e um número real, multiplique para encontrar o produto
  1. Use a propriedade distributiva.
  2. Simplifique.
Exemplo\PageIndex{4}: Multiplying a Complex Number by a Real Number

Encontre o produto4(2+5i).

Solução

Distribua4 o.

\begin{align*} 4(2+5i)&= (4\cdot 2)+(4\cdot 5i)\\[4pt] &= 8+20i \end{align*}

Exercício\PageIndex{4}

Encontre o produto:\dfrac{1}{2}(5−2i).

Responda

\dfrac{5}{2}-i

Multiplicação de números complexos

Agora, vamos multiplicar dois números complexos. Podemos usar a propriedade distributiva ou, mais especificamente, o método FOIL porque estamos lidando com binômios. Lembre-se de que FOIL é um acrônimo para multiplicar os termos Primeiro, Interno, Externo e Último. A diferença com números complexos é que quando obtemos um termo quadradoi^2,, ele é igual-1.

\begin{align*} (a+bi)(c+di)&= ac+adi+bci+bdi^2\\[4pt] &= ac+adi+bci-bd(-1)\qquad i^2 = -1\\[4pt] &= ac+adi+bci-bd\\[4pt] &= (ac-bd)+(ad+bc)i \end{align*}

Agrupe termos reais e termos imaginários.

Como fazer: Dados dois números complexos, multiplique para encontrar o produto
  1. Use a propriedade distributiva ou o método FOIL.
  2. Lembre-se dissoi^2=-1.
  3. Agrupe os termos reais e os termos imaginários
Exemplo\PageIndex{5}: Multiplying a Complex Number by a Complex Number

Multiplique(4+3i)(2−5i).

Solução

\begin{align*} (4+3i)(2-5i)&= 4(2)-4(5i)+3i(2)-(3i)(5i)\\[4pt] &= 8-20i+6i-15(i^2)\\[4pt] &= (8+15)+(-20+6)i\\[4pt] &= 23-14i \end{align*}

Exercício\PageIndex{5}

Multiplique:(3−4i)(2+3i).

Responda

18+i

Dividindo números complexos

Dividir dois números complexos é mais complicado do que somar, subtrair ou multiplicar porque não podemos dividir por um número imaginário, o que significa que qualquer fração deve ter um denominador de número real para escrever a resposta na forma padrãoa+bi. Precisamos encontrar um termo pelo qual possamos multiplicar o numerador e o denominador que eliminará a porção imaginária do denominador para que acabemos com um número real como denominador. Esse termo é chamado de conjugado complexo do denominador, que é encontrado alterando o sinal da parte imaginária do número complexo. Em outras palavras, o complexo conjugado dea+bi éa−bi. Por exemplo, o produto dea+bi ea−bi é

\begin{align*} (a+bi)(a-bi)&= a^2-abi+abi-b^2i^2\\[4pt] &= a^2+b^2 \end{align*}

O resultado é um número real.

Observe que os conjugados complexos têm uma relação oposta: o conjugado complexo dea+bi éa−bi e o conjugado complexo dea−bi éa+bi. Além disso, quando uma equação quadrática com coeficientes reais tem soluções complexas, as soluções são sempre conjugadas complexas umas das outras.

Suponha que queiramos dividirc+di pora+bi, ondea nemb é igual a zero. Primeiro escrevemos a divisão como uma fração, depois encontramos o conjugado complexo do denominador e multiplicamos.

\dfrac{c+di}{a+bi}ondea≠0 eb≠0

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.

\begin{align*} \dfrac{(c+di)}{(a+bi)}\cdot \dfrac{(a-bi)}{(a-bi)}&= \dfrac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}\\[4pt] &= \dfrac{ca-cbi+adi-bdi^2}{a^2-abi+abi-b^2i^2} \qquad \text{Apply the distributive property}\\[4pt] &= \dfrac{ca-cbi+adi-bd(-1)}{a^2-abi+abi-b^2(-1)} \qquad \text{Simplify, remembering that } i^2=-1\\[4pt] &= \dfrac{(ca+bd)+(ad-cb)i}{a^2+b^2} \end{align*}

Definição: O COMPLEXO CONJUGADO

O conjugado complexo de um número complexoa+bi éa−bi. É encontrado alterando o sinal da parte imaginária do número complexo. A parte real do número permanece inalterada.

  1. Quando um número complexo é multiplicado por seu conjugado complexo, o resultado é um número real.
  2. Quando um número complexo é adicionado ao seu conjugado complexo, o resultado é um número real.
Exemplo\PageIndex{6}: Finding Complex Conjugates

Encontre o conjugado complexo de cada número.

  1. 2+i\sqrt{5}
  2. -\dfrac{1}{2}i

Solução

  1. O número já está no formulárioa+bi. O conjugado complexo éa−bi, ou2−i\sqrt{5}.
  2. Podemos reescrever esse número no formulárioa+bi como0−\dfrac{1}{2}i. O conjugado complexo éa−bi, ou0+\dfrac{1}{2}i. Isso pode ser escrito simplesmente como\dfrac{1}{2}i.

Análise

Embora tenhamos visto que podemos encontrar o conjugado complexo de um número imaginário, na prática geralmente encontramos os conjugados complexos apenas de números complexos com um componente real e um componente imaginário. Para obter um número real de um número imaginário, podemos simplesmente multiplicar pori.

Exercício\PageIndex{6}

Encontre o conjugado complexo de−3+4i.

Responda

−3−4i

Como: Dados dois números complexos, divida um pelo outro
  1. Escreva o problema da divisão como uma fração.
  2. Determine o conjugado complexo do denominador.
  3. Multiplique o numerador e o denominador da fração pelo conjugado complexo do denominador.
  4. Simplifique.
Exemplo\PageIndex{7}: Dividing Complex Numbers

Divida(2+5i) por(4−i).

Solução

Começamos escrevendo o problema como uma fração.

\dfrac{(2+5i)}{(4−i)} \nonumber

Em seguida, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.

\dfrac{(2+5i)}{(4−i)}⋅\dfrac{(4+i)}{(4+i)} \nonumber

Para multiplicar dois números complexos, expandimos o produto da mesma forma que faríamos com polinômios (usando FOIL).

\begin{align*} \dfrac{(2+5i)}{(4-i)}\cdot \dfrac{(4+i)}{(4+i)}&= \dfrac{8+2i+20i+5i^2}{16+4i-4i-i^2}\\[4pt] &= \dfrac{8+2i+20i+5(-1)}{16+4i-4i-(-1)}\; i^2=-1 \\[4pt] &= \dfrac{3+22i}{17}\\[4pt] &= \dfrac{3}{17}+\dfrac{22}{17i} \end{align*}

Separe as partes reais e imaginárias.

Observe que isso expressa o quociente na forma padrão.

Simplificando os poderes doi

Os poderes doi são cíclicos. Vamos ver o que acontece quando aumentamosi para poderes crescentes.

i^1=i \nonumber i^2=-1 \nonumber i^3=i^2⋅i=-1⋅i=-i \nonumber i^4=i^3⋅i=-i⋅i=-i^2=-(-1)=1 \nonumber i^5=i^4⋅i=1⋅i=i \nonumber

Podemos ver que quando chegamos à quinta potência de i, ela é igual à primeira potência. À medida que continuamos a multiplicari aumentando os poderes, veremos um ciclo de quatro. Vamos examinar os próximos quatro poderes doi.

i^6=i^5⋅i=i⋅i=i^2=-1 \nonumber i^7=i^6⋅i=i^2⋅i=i^3=-i \nonumber i^8=i^7⋅i=i^3⋅i=i^4=1 \nonumber i^9=i^8⋅i=i^4⋅i=i^5=i \nonumber

O ciclo se repete continuamente: ai,−1,−i,1, cada quatro potências.

Exemplo\PageIndex{8}: Simplifying Powers of i

Avalie:i^{35}.

Solução

Desde entãoi^4=1, podemos simplificar o problema considerando o maior númeroi^4 possível de fatores. Para fazer isso, primeiro determine quantas vezes4 entra35: 35=4⋅8+3.

i^{35}=i^{4⋅8+3}=i^{4⋅8}⋅i^3={(i^4)}^8⋅i^3=i^8⋅i^3=i^3=−i \nonumber

Exercício\PageIndex{7}

Avalie:i^{18}

Responda

−1

PERGUNTAS E RESPOSTAS

Podemos escreveri^{35} de outras formas úteis?

Como vimos no Exemplo\PageIndex{8}, reduzimosi^{35} parai^3 dividindo o expoente4 e usando o restante para encontrar a forma simplificada. Mas talvez outra fatoração dei^{35} possa ser mais útil. A tabela\PageIndex{1} mostra algumas outras fatorizações possíveis.

Tabela\PageIndex{1}
Fatoração dei^{35} i^{34}⋅i i^{33}⋅i^2 i^{31}⋅i^4 i^{19}⋅i^{16}
Forma reduzida {(i^2)}^{17}⋅i i^{33}⋅(−1) i^{31}⋅1 i^{19}⋅{(i^4)}^4
Formulário simplificado {(−1)}^{17}⋅i −i^{33} i^{31} i^{19}

Cada uma delas acabará resultando na resposta que obtivemos acima, mas pode exigir várias etapas a mais do que nosso método anterior.

Mídia

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com números complexos.

  1. Adicionando e subtraindo números complexos
  2. Multiplique números complexos
  3. Multiplicação de conjugados complexos
  4. Elevando você a dois poderes

Conceitos-chave

  • A raiz quadrada de qualquer número negativo pode ser escrita como múltiplo de \(i\). Veja o exemplo.
  • Para traçar um número complexo, usamos duas linhas numéricas, cruzadas para formar o plano complexo. O eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário. Veja o exemplo.
  • Números complexos podem ser somados e subtraídos combinando as partes reais e combinando as partes imaginárias. Veja o exemplo.
  • Números complexos podem ser multiplicados e divididos.
    • Para multiplicar números complexos, distribua da mesma forma que ocorre com os polinômios. Veja o exemplo e o exemplo.
    • Para dividir números complexos, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador para eliminar o número complexo do denominador. Veja o exemplo e o exemplo.
  • Os poderes do i são cíclicos, repetindo-se a cada quatro. Veja o exemplo.