2.2: Os sistemas de coordenadas retangulares e os gráficos

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Objetivos de

Faça um gráfico de pares ordenados em um sistema de coordenadas cartesiano.
Representar graficamente equações traçando pontos.
Grafe equações com um utilitário gráfico.
Encontre$x$ -intercepta e$y$ -intercepta.
Use a fórmula da distância.
Use a fórmula do ponto médio.

Tracie partiu de Elmhurst, IL, para ir ao Franklin Park. No caminho, ela fez algumas paradas para fazer recados. Cada parada é indicada por um ponto vermelho na Figura$\PageIndex{1}$. Colocando uma grade de coordenadas retangular sobre o mapa, podemos ver que cada parada se alinha com uma interseção de linhas de grade. Nesta seção, aprenderemos como usar linhas de grade para descrever locais e mudanças nos locais.

Roteiro de uma cidade com nomes de ruas em uma grade de coordenadas x, y. Vários pontos são marcados em vermelho nas linhas da grade, indicando diferentes localizações no mapa. — Figura$\PageIndex{1}$

Traçando pares ordenados no sistema de coordenadas cartesiano

Uma história antiga descreve como o filósofo/matemático do século XVII René Descartes inventou o sistema que se tornou a base da álgebra quando estava doente na cama. De acordo com a história, Descartes estava olhando para uma mosca rastejando no teto quando percebeu que poderia descrever a localização da mosca em relação às linhas perpendiculares formadas pelas paredes adjacentes de seu quarto. Ele via as linhas perpendiculares como eixos horizontais e verticais. Além disso, ao dividir cada eixo em comprimentos unitários iguais, Descartes viu que era possível localizar qualquer objeto em um plano bidimensional usando apenas dois números: o deslocamento do eixo horizontal e o deslocamento do eixo vertical.

Embora haja evidências de que ideias semelhantes ao sistema de grade de Descartes existiram séculos antes, foi Descartes quem introduziu os componentes que compõem o sistema de coordenadas cartesianas, um sistema de grade com eixos perpendiculares. Descartes chamou o eixo horizontal de$x$ eixo -e o eixo vertical de eixo$y$ -eixo.

O sistema de coordenadas cartesiano, também chamado de sistema de coordenadas retangulares, é baseado em um plano bidimensional que consiste no$x$ eixo -e no$y$ eixo -. Perpendiculares entre si, os eixos dividem o plano em quatro seções. Cada seção é chamada de quadrante; os quadrantes são numerados no sentido anti-horário, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{2}$.

Esta é uma imagem de um plano x, y com os eixos identificados. A seção superior direita é rotulada: Quadrante I. A seção superior esquerda é rotulada: Quadrante II. A seção inferior esquerda é chamada: Quadrante III. A seção inferior direita é rotulada: Quadrante IV. — Figura$\PageIndex{2}$

O centro do plano é o ponto em que os dois eixos se cruzam. É conhecido como origem ou ponto$(0,0)$. A partir da origem, cada eixo é dividido em unidades iguais: números crescentes e positivos à direita no$x$ eixo -e acima no$y$ eixo -; números decrescentes e negativos à esquerda no$x$ eixo -e abaixo no$y$ eixo -. Os eixos se estendem até o infinito positivo e negativo, conforme mostrado pelas pontas das setas na Figura$\PageIndex{3}$.

Esta é uma imagem de um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de menos 5 a 5. — Figura$\PageIndex{3}$

Cada ponto no plano é identificado por sua$x$ coordenada -, ou deslocamento horizontal da origem, e sua$y$ coordenada -ou deslocamento vertical da origem. Juntos, nós os escrevemos como um par ordenado indicando a distância combinada da origem no formulário$(x,y)$. Um par ordenado também é conhecido como par de coordenadas porque consiste em$y$ coordenadas$x$ - e -. Por exemplo, podemos representar o ponto$(3,−1)$ no plano movendo três unidades para a direita da origem na direção horizontal e uma unidade para baixo na direção vertical. Veja a Figura$\PageIndex{4}$.

Esta é uma imagem de um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de menos 5 a 5. O ponto (3, -1) é rotulado. Uma flecha se estende para a direita a partir das 3 unidades de origem e outra seta se estende para baixo uma unidade do final dessa seta até o ponto. — Figura$\PageIndex{4}$

Ao dividir os eixos em incrementos igualmente espaçados, observe que o$x$ eixo -pode ser considerado separadamente do$y$ eixo -. Em outras palavras, enquanto o$x$ eixo -pode ser dividido e rotulado de acordo com números inteiros consecutivos, o$y$ eixo -pode ser dividido e rotulado por incrementos de$2$, ou$10$, ou$100$. Na verdade, os eixos podem representar outras unidades, como anos em relação ao saldo em uma conta poupança ou quantidade em relação ao custo, e assim por diante. Considere o sistema de coordenadas retangulares principalmente como um método para mostrar a relação entre duas quantidades.

Sistema de coordenadas cartesiano

Um plano bidimensional onde o

$x$-eixo é o eixo horizontal
$y$-eixo é o eixo vertical

Um ponto no plano é definido como um par ordenado$(x,y)$, tal que$x$ é determinado por sua distância horizontal da origem e$y$ é determinado por sua distância vertical da origem.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Plotting Points in a Rectangular Coordinate System

Faça um gráfico dos pontos$(−2,4)$$(3,3)$, e$(0,−3)$ no plano.

Solução

Para traçar o ponto$(−2,4)$, comece na origem. A$x$ coordenada -é$–2$, então mova duas unidades para a esquerda. A$y$ coordenada -é$4$, então mova quatro unidades para cima na$y$ direção positiva.

Para traçar o ponto$(3,3)$, comece novamente na origem. A$x$ coordenada -é$3$, então mova três unidades para a direita. A$y$ coordenada -também é$3$, então mova três unidades para cima na$y$ direção positiva.

Para traçar o ponto$(0,−3)$, comece novamente na origem. A$x$ coordenada -é$0$. Isso nos diz para não nos movermos em nenhuma direção ao$x$ longo do eixo. A$y$ coordenada -é$–3$, então mova três unidades para baixo na$y$ direção negativa. Veja o gráfico na Figura$\PageIndex{5}$.

Esta é uma imagem de um gráfico em um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de menos 5 a 5. Os pontos (-2, 4); (3, 3); e (0, -3) são rotulados. As setas se estendem da origem até os pontos. — Figura$\PageIndex{5}$

Análise

Observe que quando uma das coordenadas é zero, o ponto deve estar em um eixo. Se a$x$ coordenada -for zero, o ponto estará no$y$ eixo -. Se a$y$ coordenada -for zero, o ponto estará no$x$ eixo -.

Representação gráfica de equações traçando pontos

Podemos traçar um conjunto de pontos para representar uma equação. Quando essa equação contém tanto uma$x$ variável quanto uma$y$ variável, ela é chamada de equação em duas variáveis. Seu gráfico é chamado de gráfico em duas variáveis. Qualquer gráfico em um plano bidimensional é um gráfico em duas variáveis.

Suponha que queremos representar graficamente a equação$y=2x−1$. Podemos começar substituindo um valor por$x$ na equação e determinando o valor resultante de$y$. Cada par de$y$ valores$x$ - e -é um par ordenado que pode ser plotado. A tabela$\PageIndex{1}$ lista os valores$x$ de de$–3$ até$3$ e os valores resultantes para$y$.

Tabela$\PageIndex{1}$
$x$	$y=2x−1$	$(x,y)$
\ (x\) ">$−3$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(−3)−1=−7$	\ ((x, y)\) ">$(−3,−7)$
\ (x\) ">$−2$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(−2)−1=−5$	\ ((x, y)\) ">$(−2,−5)$
\ (x\) ">$−1$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(−1)−1=−3$	\ ((x, y)\) ">$(−1,−3)$
\ (x\) ">$0$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(0)−1=−1$	\ ((x, y)\) ">$(0,−1)$
\ (x\) ">$1$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(1)−1=1$	\ ((x, y)\) ">$(1,1)$
\ (x\) ">$2$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(2)−1=3$	\ ((x, y)\) ">$(2,3)$
\ (x\) ">$3$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(3)−1=5$	\ ((x, y)\) ">$(3,5)$

Podemos traçar os pontos na tabela. Os pontos dessa equação específica formam uma linha, para que possamos conectá-los (Figura$\PageIndex{6}$). Isso não é verdade para todas as equações.

Este é um gráfico de uma linha em um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de menos 8 a 8. Uma linha passa pelos pontos (-3, -7); (-2, -5); (-1, -3); (0, -1); (1, 1); (2, 3); e (3, 5). — Figura$\PageIndex{6}$

Observe que os$x$ valores -escolhidos são arbitrários, independentemente do tipo de equação que estamos representando graficamente. Obviamente, algumas situações podem exigir que valores específicos$x$ de sejam plotados para ver um resultado específico. Caso contrário, é lógico escolher valores que possam ser calculados facilmente, e é sempre uma boa ideia escolher valores negativos e positivos. Não existe uma regra que determine quantos pontos traçar, embora precisemos de pelo menos dois para representar graficamente uma linha. Lembre-se, no entanto, de que quanto mais pontos traçarmos, mais precisamente podemos esboçar o gráfico.

Como fazer: Dada uma equação, plote graficamente pontos

Faça uma tabela com uma coluna rotulada$x$, uma segunda coluna rotulada com a equação e uma terceira coluna listando os pares ordenados resultantes.
Insira$x$ -values na primeira coluna usando valores positivos e negativos. Selecionar os$x$ valores -em ordem numérica tornará a representação gráfica mais simples.
Selecione$x$ -valores que produzirão$y$ -valores com pouco esforço, de preferência aqueles que possam ser calculados mentalmente.
Faça um gráfico dos pares ordenados.
Conecte os pontos se eles formarem uma linha.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Graphing an Equation in Two Variables by Plotting Points

Faça um gráfico da equação$y=−x+2$ traçando pontos.

Solução

Primeiro, construímos uma tabela semelhante à Tabela$\PageIndex{2}$. Escolha$x$ valores e calcule$y$.

Tabela$\PageIndex{2}$
$x$	$y=−x+2$	$(x,y)$
\ (x\) ">$−5$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(−5)+2=7$	\ ((x, y)\) ">$(−5,7)$
\ (x\) ">$−3$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(−3)+2=5$	\ ((x, y)\) ">$(−3,5)$
\ (x\) ">$−1$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(−1)+2=3$	\ ((x, y)\) ">$(−1,3)$
\ (x\) ">$0$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(0)+2=2$	\ ((x, y)\) ">$(0,2)$
\ (x\) ">$1$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(1)+2=1$	\ ((x, y)\) ">$(1,1)$
\ (x\) ">$3$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(3)+2=−1$	\ ((x, y)\) ">$(3,−1)$
\ (x\) ">$5$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(5)+2=−3$	\ ((x, y)\) ">$(5,−3)$

Agora, traça os pontos. Conecte-os se eles formarem uma linha. Veja a Figura$\PageIndex{7}$.

Esta imagem é um gráfico de uma linha em um plano de coordenadas x, y. O eixo x inclui números que variam de menos 7 a 7. O eixo y inclui números que variam de menos 5 a 8. Uma linha passa pelos pontos: (-5, 7); (-3, 5); (-1, 3); (0, 2); (1, 1); (3, -1); e (5, -3). — Figura$\PageIndex{7}$

Exercício$\PageIndex{1}$

Construa uma tabela e represente graficamente a equação traçando pontos:$y=\dfrac{1}{2}x+2$.

Responda

Consulte a tabela$\PageIndex{3}$ e o gráfico abaixo.

Tabela$\PageIndex{3}$
$x$	$y = 12x + 2$	$(x,y)$
\ (x\) ">$-2$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(−2)+2=1$	\ ((x, y)\) ">$(−2,1)$
\ (x\) ">$-1$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(−1)+2=32$	\ ((x, y)\) ">$(−1,32)$
\ (x\) ">$0$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(0)+2=2$	\ ((x, y)\) ">$(0,2)$
\ (x\) ">$1$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(1)+2=52$	\ ((x, y)\) ">$(1,52)$
\ (x\) ">$2$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(2)+2=3$	\ ((x, y)\) ">$(2,3)$

Esta é uma imagem de um gráfico em um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de menos 5 a 5. Uma linha passa pelos pontos (-2, 1); (-1, 3/2); (0, 2); (1, 5/2); e (2, 3). — Figura$\PageIndex{8}$

Representação gráfica de equações com um utilitário gráfico

A maioria das calculadoras gráficas exige técnicas semelhantes para representar graficamente uma equação. Às vezes, as equações precisam ser manipuladas para serem escritas no estilo$y=$ _____. O TI-84 Plus e muitas outras marcas e modelos de calculadoras têm uma função de modo, que permite que a janela (a tela para visualização do gráfico) seja alterada para que as partes pertinentes de um gráfico possam ser vistas.

Por exemplo, a equação$y=2x−20$ foi inserida no TI-84 Plus mostrado na Figura$\PageIndex{9a}$. Na Figura$\PageIndex{9b}$, o gráfico resultante é mostrado. Observe que não podemos ver na tela onde o gráfico cruza os eixos. A tela da janela padrão do TI-84 Plus mostra$−10≤x≤10$,$−10≤y≤10$ e. Veja a Figura\ (\ PageIndex {9 c}\).

Esta é uma imagem de três capturas de tela da calculadora lado a lado. A primeira tela é a tela de plotagem com a função y sub 1 igual a duas vezes x menos vinte. A segunda tela mostra a linha traçada no plano de coordenadas. A terceira tela mostra a tela de edição da janela com as seguintes configurações: Xmin = -10; Xmax = 10; Xscl = 1; Ymin = -10; Ymax = 10; Yscl = 1; Xres = 1. — Figura$\PageIndex{9}$: a. Insira a equação. b. Este é o gráfico na janela original. c. Essas são as configurações originais.

Ao mudar a janela para mostrar mais do$x$ eixo positivo e mais do$y$ eixo negativo, temos uma visão muito melhor do gráfico e das$y$ interceptações$x$ - e. Veja a Figura$\PageIndex{10a}$ e a Figura$\PageIndex{10b}$.

Esta é uma imagem de duas capturas de tela da calculadora lado a lado. A primeira tela é a tela de edição da janela com as seguintes configurações: Xmin = menos 5; Xmax = 15; Xscl = 1; Ymin = -30; Ymax = 10; Yscl = 1; Xres =1. A segunda tela mostra o gráfico do gráfico anterior, mas está mais centrada na linha. — Figura$\PageIndex{10}$: a. Esta tela mostra as novas configurações da janela. b. Podemos ver claramente as interceptações na nova janela.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Using a Graphing Utility to Graph an Equation

Use um utilitário gráfico para representar graficamente a equação:$y=−\dfrac{2}{3}x−\dfrac{4}{3}$.

Solução

Insira a equação no$y = \text{ function}$ da calculadora. Defina as configurações da janela para que as interceptações$x$$y$ - e - sejam exibidas na janela. Veja a Figura$\PageIndex{11}$.

Esta imagem é de um gráfico de linhas em um plano de coordenadas x, y. O eixo x tem números que variam de menos 3 a 4. O eixo y tem números que variam de menos 3 a 3. A função y = -2x/3 + 4/3 é plotada. — Figura$\PageIndex{11}$

Encontrando $x$- intercepta e $y$- intercepta

As interceptações de um gráfico são pontos nos quais o gráfico cruza os eixos. O$x$ -intercept é o ponto no qual o gráfico cruza o eixo $x$. Nesse ponto, a$y$ coordenada -é zero. O$y$ intercepto -é o ponto no qual o gráfico cruza o$y$ eixo -. Nesse ponto, a$x$ coordenada -é zero.

Para determinar o$x$ intercepto -, definimos$y$ igual a zero e resolvemos para$x$. Da mesma forma, para determinar o$y$ intercepto -, definimos$x$ igual a zero e resolvemos para$y$. Por exemplo, vamos encontrar os interceptos da equação$y=3x−1$.

Para encontrar o$x$ -intercept, defina$y=0$.

\[\begin{align*} y &= 3x - 1\\ 0 &= 3x - 1\\ 1 &= 3x\\ \dfrac{1}{3}&= x \end{align*}\]

$x$−interceptar:$\left(\dfrac{1}{3},0\right)$

Para encontrar o$y$ -intercept, defina$x=0$.

\[\begin{align*} y &= 3x - 1\\ y &= 3(0) - 1\\ y &= -1 \end{align*}\]

$y$−interceptar:$(0,−1)$

Podemos confirmar que nossos resultados fazem sentido observando um gráfico da equação, como na Figura$\PageIndex{12}$. Observe que o gráfico cruza os eixos onde previmos.

Esta é uma imagem de um gráfico de linhas em um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de menos 4 a 4. A função y = 3x — 1 é plotada no plano de coordenadas — Figura$\PageIndex{12}$

Como: DADA UMA EQUAÇÃO, ENCONTRE AS INTERCEPTAÇÕES

Encontre o$x$ -intercept definindo$y=0$ e resolvendo para$x$.
Encontre o$y$ -intercept definindo$x=0$ e resolvendo para$y$.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Finding the Intercepts of the Given Equation

Encontre os interceptos da equação$y=−3x−4$. Em seguida, desenhe o gráfico usando apenas as interceptações.

Solução

$y=0$Definido para encontrar o$x$ -intercept.

\[\begin{align*} y &= -3x - 4\\ 0 &= -3x - 4\\ 4 &= -3x\\ \dfrac{4}{3}&= x \end{align*}\]

$x$−interceptar:$\left(−\dfrac{4}{3},0\right)$

$x=0$Definido para encontrar o$y$ -intercept.

\[\begin{align*} y &= -3x - 4\\ y &= -3(0) - 4\\ y &= -4 \end{align*}\]

$y$−interceptar:$(0,−4)$

Faça um gráfico dos dois pontos e desenhe uma linha passando por eles, como na Figura$\PageIndex{13}$.

Esta é uma imagem de um gráfico de linhas em um plano de coordenadas x, y. O eixo x varia de menos 5 a 5. O eixo y varia de menos 6 a 3. A linha passa pelos pontos (-4/3, 0) e (0, -4). — Figura$\PageIndex{13}$

Exercício$\PageIndex{2}$

Encontre os interceptos da equação e esboce o gráfico:$y=−\dfrac{3}{4}x+3$.

Resposta: $x$-intercept é$(4,0)$;$y$ -intercept é$(0,3)$

$Esta é uma imagem de um gráfico de linhas em um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de menos 4 a 6. A função y = -3x/4 + 3 é plotada.$
Figura$\PageIndex{14}$

Usando a fórmula de distância

Derivada do Teorema de Pitágoras, a fórmula da distância é usada para encontrar a distância entre dois pontos no plano. O Teorema de Pitágoras,$a^2+b^2=c^2$, é baseado em um triângulo reto onde$a$ e$b$ são os comprimentos das pernas adjacentes ao ângulo reto e$c$ é o comprimento da hipotenusa. Veja a Figura$\PageIndex{15}$.

Esta é uma imagem de um triângulo em um plano de coordenadas x, y. Os eixos x e y variam de 0 a 7. Os pontos (x sub 1, y sub 1); (x sub 2, y sub 1); e (x sub 2, y sub 2) são rotulados e conectados para formar um triângulo. Ao longo da base do triângulo, a seguinte equação é exibida: o valor absoluto de x sub 2 menos x sub 1 é igual a a. A hipotenusa do triângulo é rotulada: d = c. O lado restante é rotulado: o valor absoluto de y sub 2 menos y sub 1 é igual a b. — Figura$\PageIndex{15}$

A relação entre os lados$|x_2−x_1|$ e$|y_2−y_1|$ os lados$d$ é a mesma dos lados$a$ e$b$ dos lados$c$. Usamos o símbolo do valor absoluto para indicar que o comprimento é um número positivo porque o valor absoluto de qualquer número é positivo. (Por exemplo,$|-3|=3$.) Os símbolos$|x_2−x_1|$ e$|y_2−y_1|$ indicam que os comprimentos dos lados do triângulo são positivos. Para encontrar o comprimento$c$, pegue a raiz quadrada de ambos os lados do Teorema de Pitágoras.

\[c^2=a^2+b^2\rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}\]

Daqui resulta que a fórmula da distância é dada como

\[d^2={(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2\rightarrow d=\sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2}\]

Não precisamos usar os símbolos de valor absoluto nessa definição porque qualquer número ao quadrado é positivo.

distância entre dois pontos

Dados os pontos finais$(x_1,y_1)$ e$(x_2,y_2)$, a distância entre dois pontos é dada por

\[d=\sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2}\]

Exemplo$\PageIndex{5}$: Finding the Distance between Two Points

Encontre a distância entre os pontos$(−3,−1)$$(2,3)$ e.

Solução

Vejamos primeiro o gráfico dos dois pontos. Conecte os pontos para formar um triângulo reto, como na Figura$\PageIndex{16}$

Esta é uma imagem de um triângulo em um plano de coordenadas x, y. O eixo x varia de menos 4 a 4. O eixo y varia de menos 2 a 4. Os pontos (-3, -1); (2, -1); e (2, 3) são plotados e rotulados no gráfico. Os pontos são conectados para formar um triângulo — Figura$\PageIndex{16}$

Em seguida, calcule o comprimento$d$ usando a fórmula da distância.

\[\begin{align*} d&= \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2+{(y_2 - y_1)}^2}\\ &= \sqrt{{(2-(-3))}^2+{(3-(-1))}^2}\\ &= \sqrt{{(5)}^2+{(4)}^2}\\ &= \sqrt{25+16}\\ &= \sqrt{41} \end{align*}\]

Exercício$\PageIndex{3}$

Encontre a distância entre dois pontos:$(1,4)$$(11,9)$ e.

Resposta: $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

Exemplo$\PageIndex{6}$: Finding the Distance between Two Locations

Vamos voltar à situação apresentada no início desta seção.

Tracie partiu de Elmhurst, IL, para ir ao Franklin Park. No caminho, ela fez algumas paradas para fazer recados. Cada parada é indicada por um ponto vermelho na Figura$\PageIndex{1}$. Encontre a distância total que Tracie percorreu. Compare isso com a distância entre suas posições inicial e final.

Solução

A primeira coisa que devemos fazer é identificar pares ordenados para descrever cada posição. Se definirmos a posição inicial na origem, podemos identificar cada um dos outros pontos contando as unidades leste (direita) e norte (acima) na grade. Por exemplo, a primeira parada é no$1$ quarteirão leste e no$1$ quarteirão norte, então está em$(1,1)$. A próxima parada fica a$5$ quarteirões a leste, então está em$(5,1)$. Depois disso, ela viajou$3$ quarteirões a leste e$2$ quarteirões ao norte até$(8,3)$. Por fim, ela viajou$4$ quarteirões ao norte para$(8,7)$. Podemos rotular esses pontos na grade como na Figura$\PageIndex{17}$.

Esta é uma imagem de um roteiro de uma cidade. O ponto (1, 1) fica na North Avenue e na Bertau Avenue. O ponto (5, 1) fica na North Avenue e na Wolf Road. O ponto (8, 3) fica na Mannheim Road e na McLean Street. O ponto (8, 7) fica na Mannheim Road e na Schiller Avenue. — Figura$\PageIndex{17}$

Em seguida, podemos calcular a distância. Observe que cada unidade de grade representa$1,000$ feet.

De seu local de partida até sua primeira parada em$(1,1)$, Tracie pode ter dirigido$1,000$ pés norte e depois$1,000$ pés leste, ou vice-versa. De qualquer forma, ela dirigiu$2,000$ os pés até sua primeira parada.
Sua segunda parada é em$(5,1)$. Então, de$(1,1)$ para$(5,1)$, Tracie dirigiu para o$4,000$ leste.
Sua terceira parada é em$(8,3)$. Existem várias rotas$(5,1)$ de$(8,3)$ a. Seja qual for a rota que Tracie decidiu usar, a distância é a mesma, pois não há ruas angulares entre os dois pontos. Digamos que ela dirigiu$3,000$ pés leste e depois$2,000$ pés norte por um total de$5,000$ pés.
A parada final de Tracie é em$(8,7)$. Esta é uma viagem reta$(8,3)$ para o norte de um total de$4,000$ pés.

Em seguida, adicionaremos as distâncias listadas na Tabela$\PageIndex{4}$.

Tabela$\PageIndex{4}$
De/Para	Número de pés percorridos
$(0,0)$para$(1,1)$	$2,000$
$(1,1)$para$(5,1)$	$4,000$
$(5,1)$para$(8,3)$	$5,000$
$(8,3)$para$(8,7)$	$4,000$
Total	$15,000$

A distância total que Tracie percorreu é de$15,000$ pés, ou$2.84$ milhas. Essa não é, no entanto, a distância real entre suas posições inicial e final. Para encontrar essa distância, podemos usar a fórmula da distância entre os pontos$(0,0)$$(8,7)$ e.

\[\begin{align*} d&= \sqrt{{(0-8)}^2+{(7-0)}^2}\\ &= \sqrt{64+49}\\ &= \sqrt{113}\\ &= 10.63 \text{ units} \end{align*}\]

Em$1,000$ pés por unidade de grade, a distância entre Elmhurst, IL, e Franklin Park é de$10,630.14$ pés, ou$2.01$ milhas. A fórmula da distância resulta em um cálculo mais curto porque é baseada na hipotenusa de um triângulo reto, uma diagonal reta da origem até o ponto$(8,7)$. Talvez você tenha ouvido o ditado “enquanto o corvo voa”, que significa a menor distância entre dois pontos porque um corvo pode voar em linha reta, mesmo que uma pessoa no solo precise percorrer uma distância maior nas estradas existentes.

Usando a fórmula do ponto médio

Quando os pontos finais de um segmento de linha são conhecidos, podemos encontrar o ponto a meio caminho entre eles. Esse ponto é conhecido como ponto médio e a fórmula é conhecida como fórmula do ponto médio. Dados os pontos finais de um segmento de linha$(x_2,y_2)$,$(x_1,y_1)$ e, a fórmula do ponto médio afirma como encontrar as coordenadas do ponto médio M.

\[M=\left (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} \right )\]

Uma visão gráfica de um ponto médio é mostrada na Figura$\PageIndex{18}$. Observe que os segmentos de linha em cada lado do ponto médio são congruentes.

Este é um gráfico de linhas em um plano de coordenadas x, y com os eixos x e y variando de 0 a 6. Os pontos (x sub 1, y sub 1), (x sub 2, y sub 2) e (x sub 1 mais x sub 2 acima de 2, y sub 1 mais y sub 2 tudo sobre 2) são plotados. Uma linha reta passa por esses três pontos. Pares de linhas paralelas curtas dividem as duas seções da linha para observar que elas são equivalentes. — Figura$\PageIndex{18}$

Exemplo$\PageIndex{7}$: Finding the Midpoint of the Line Segment

Encontre o ponto médio do segmento de linha com as extremidades$(7,−2)$$(9,5)$ e.

Solução

Use a fórmula para encontrar o ponto médio do segmento de linha.

\[\begin{align*} \left (\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} \right )&= \left (\dfrac{7+9}{2},\dfrac{-2+5}{2} \right )\\ &= \left (8,\dfrac{3}{2} \right ) \end{align*}\]

Exercício$\PageIndex{4}$

Encontre o ponto médio do segmento de linha com as extremidades$(−2,−1)$$(−8,6)$ e.

Resposta: $\left (-5,\dfrac{5}{2} \right )$

Exemplo$\PageIndex{8}$: Finding the Center of a Circle

O diâmetro de um círculo tem extremidades$(−1,−4)$$(5,−4)$ e. Encontre o centro do círculo.

Solução

O centro de um círculo é o centro, ou ponto médio, de seu diâmetro. Assim, a fórmula do ponto médio produzirá o ponto central.

\[\begin{align*} \left (\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} \right )&= \left (\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{-4-4}{2}) \right )\\ &= \left (\dfrac{4}{2},-\dfrac{8}{2} \right )\\ &= (2,4) \end{align*}\]

Mídia

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