1.7: Expressões racionais

Objetivos de

Nesta seção, os alunos irão:

• Simplifique expressões racionais.
• Multiplique expressões racionais.
• Divida expressões racionais.
• Adicione e subtraia expressões racionais.
• Simplifique expressões racionais complexas.

Uma confeitaria tem custos fixos$$280$ por semana e custos variáveis$$9$ por caixa de doces. Os custos semanais da loja em termos de$x$, o número de caixas feitas, são$280 +9x$. Podemos dividir os custos por semana pelo número de caixas feitas para determinar o custo por caixa de doces.

$$\dfrac{280+9x}{x} \nonumber$$

Observe que o resultado é uma expressão polinomial dividida por uma segunda expressão polinomial. Nesta seção, exploraremos quocientes de expressões polinomiais.

Simplificando expressões racionais

O quociente de duas expressões polinomiais é chamado de expressão racional. Podemos aplicar as propriedades das frações a expressões racionais, como simplificar as expressões cancelando fatores comuns do numerador e do denominador. Para fazer isso, primeiro precisamos fatorar o numerador e o denominador. Vamos começar com a expressão racional mostrada.

$$\dfrac{x^2+8x+16}{x^2+11x+28} \nonumber$$

Podemos fatorar o numerador e o denominador para reescrever a expressão.

$$\dfrac{{(x+4)}^2}{(x+4)(x+7)} \nonumber$$

Então, podemos simplificar essa expressão cancelando o fator comum$(x+4)$.

$$\dfrac{x+4}{x+7} \nonumber$$

Como fazer: Dada uma expressão racional, simplifique-a

1. Fator o numerador e o denominador.
2. Cancele quaisquer fatores comuns.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Simplifying Rational Expressions

Simplifique$\dfrac{x^2-9}{x^2+4x+3}$

Solução

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+1)} && \text{Factor the numerator and the denominator}\\ &\dfrac{x-3}{x+1} && \text{Cancel common factor } (x+3) \end{align*}$$

Análise

Podemos cancelar o fator comum porque qualquer expressão dividida por si só é igual$1$ a.

PERGUNTAS E RESPOSTAS

O$x^2$ prazo pode ser cancelado no último exemplo?

Não. Um fator é uma expressão que é multiplicada por outra expressão. O$x^2$ termo não é um fator do numerador ou do denominador.

Exercício$\PageIndex{1}$

Simplifique$\dfrac{x-6}{x^2-36}$

Responda

$\dfrac{1}{x+6}$

Multiplicação de expressões racionais

A multiplicação de expressões racionais funciona da mesma forma que a multiplicação de quaisquer outras frações. Multiplicamos os numeradores para encontrar o numerador do produto e, em seguida, multiplicamos os denominadores para encontrar o denominador do produto. Antes de multiplicar, é útil fatorar os numeradores e denominadores da mesma forma que fizemos ao simplificar expressões racionais. Muitas vezes, somos capazes de simplificar o produto de expressões racionais.

Como: Dadas duas expressões racionais, multiplique-as

1. Fator o numerador e o denominador.
2. Multiplique os numeradores.
3. Multiplique os denominadores.
4. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Multiplying Rational Expressions

Multiplique as expressões racionais e mostre o produto na forma mais simples:

$\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)}$

Solução

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)} && \text{Factor the numerator and denominator.}\\[4pt] &\dfrac{(x+5)(x-1)(2x-1)}{3(x+6)(x+5)} && \text{Multiply numerators and denominators}\\[4pt] &\dfrac{(x-1)(2x-1)}{3(x+6)} && \text{Cancel common factors to simplify} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{2}$

Multiplique as expressões racionais e mostre o produto na forma mais simples:

$\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+5x+6}\times\dfrac{x^2+7x+12}{x^2+8x+16}$

Responda

$\dfrac{(x+5)(x+6)}{(x+2)(x+4)}$

Dividindo expressões racionais

A divisão de expressões racionais funciona da mesma forma que a divisão de outras frações. Para dividir uma expressão racional por outra expressão racional, multiplique a primeira expressão pela recíproca da segunda. Usando essa abordagem, reescreveríamos$\dfrac{1}{x}÷\dfrac{x^2}{3}$ como o produto$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}$. Uma vez que a expressão de divisão tenha sido reescrita como uma expressão de multiplicação, podemos multiplicar como fizemos antes.

$$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{3}{x^3} \nonumber$$

Como: Dadas duas expressões racionais, divida-as

1. Reescreva como a primeira expressão racional multiplicada pelo inverso da segunda.
2. Fatore os numeradores e denominadores.
3. Multiplique os numeradores.
4. Multiplique os denominadores.
5. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Dividing Rational Expressions

Divida as expressões racionais e expresse o quociente na forma mais simples:

$\dfrac{2x^2+x-6}{x^2-1}÷\dfrac{x^2-4}{x^2+2x+1}$

Solução

\ [\ begin {align*} &\ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1} ÷\ dfrac {x^2-4} {x^2+2x+1}\\ [4pt]
&\ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1}\ times\ dfrac {x^2+2x+1} {x^2-4} &&\ text {Reescrever como um problema de multiplicação}\\ [4pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+2)} {(x-1) (x+1)}\ times\ dfrac {(x+1) (x+1)} {(x-2) (x+2)} &&\ text {Fatize o numerador e o denominador.}\\ [6pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+2) (x+1) (x+1)} {(x-1) (x+1) (x-2) (x+2)} &&\ text {Multiplique numeradores e denominadores}\\ [6pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+1)} {(x-1) (x-2)} &&\ text {Cancelar fatores comuns para simplificar}\ end {align*}\]

Exercício$\PageIndex{3}$

Divida as expressões racionais e expresse o quociente na forma mais simples:

$$\dfrac{9x^2-16}{3x^2+17x-28}÷\dfrac{3x^2-2x-8}{x^2+5x-14} \nonumber$$

Responda

$0$

Adicionando e subtraindo expressões racionais

Adicionar e subtrair expressões racionais funciona da mesma forma que somar e subtrair frações numéricas. Para somar frações, precisamos encontrar um denominador comum. Vejamos um exemplo de adição de frações.

$$\begin{align*} \dfrac{5}{24}+\dfrac{1}{40} &= \dfrac{25}{120}+\dfrac{3}{120}\\ &= \dfrac{28}{120}\\ &= \dfrac{7}{30} \end{align*}$$

Temos que reescrever as frações para que elas compartilhem um denominador comum antes de podermos somar. Devemos fazer a mesma coisa ao adicionar ou subtrair expressões racionais.

O denominador comum mais fácil de usar será o denominador menos comum, ou LCD. O LCD é o menor múltiplo que os denominadores têm em comum. Para encontrar o LCD de duas expressões racionais, fatoramos as expressões e multiplicamos todos os fatores distintos. Por exemplo, se os denominadores fatorados fossem$(x+3)(x+4)$ e$(x+4)(x+5)$, então o LCD seria$(x+3)(x+4)(x+5)$.

Depois de encontrarmos o LCD, precisamos multiplicar cada expressão pela forma$1$ que mudará o denominador para o LCD. Precisaríamos multiplicar a expressão por um denominador de$(x+3)(x+4)$ por$\dfrac{x+5}{x+5}$ e a expressão com um denominador de$(x+4)(x+5)$ por$\dfrac{x+3}{x+3}$.

Como: Dadas duas expressões racionais, some-as ou subtraia-as

1. Fator o numerador e o denominador.
2. Encontre o LCD das expressões.
3. Multiplique as expressões por uma forma de 1 que altere os denominadores para o LCD.
4. Adicione ou subtraia os numeradores.
5. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Adding Rational Expressions

Adicione as expressões racionais:

$$\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{y} \nonumber$$

Solução

Primeiro, temos que encontrar o LCD. Nesse caso, o LCD será$xy$. Em seguida, multiplicamos cada expressão pela forma apropriada de$1$ para obter$xy$ como denominador para cada fração.

$$\begin{align*} &\dfrac{5}{x}\times\dfrac{y}{y}+\dfrac{6}{y}\times\dfrac{x}{x}\\ &\dfrac{5y}{xy}+\dfrac{6x}{xy} \end{align*}$$

Agora que as expressões têm o mesmo denominador, simplesmente adicionamos os numeradores para encontrar a soma.

$$\dfrac{6x+5y}{xy} \nonumber$$

Análise

Multiplicar por$\dfrac{y}{y}$ ou$\dfrac{x}{x}$ não altera o valor da expressão original porque qualquer número dividido por si mesmo é$1$, e multiplicar uma expressão por$1$ dá a expressão original.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Subtracting Rational Expressions

Subtraia as expressões racionais:

$$\dfrac{6}{x^2+4x+4}-\dfrac{2}{x^2-4}$$

Solução

\ [\ begin {align*}
&\ dfrac {6}

ParseError: EOF expected (click for details)

Callstack:
    at (Idioma_Portugues/Mapa:_Algebra_universitaria_(OpenStax)/01:_Pré-requisitos/1.07:_Expressões_racionais), /content/body/div[5]/div[3]/div/p[3]/span, line 1, column 6

{(x+2) (x-2)}\ times\ dfrac {x+2} {x+2} &&\ text {Multiplique cada fração para obter LCD como denominador}\\
&\ dfrac {6 (x- 2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} -\ dfrac {2 (x+2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Multiplique}\\
&\ dfrac {6x-12- (2x+4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Aplicar distribuição propriedade ativa}\\
&\ dfrac {4x-16} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Subtrair}\\
&\ dfrac {4 (x-4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Simplifique}
\ end {align*}\]

PERGUNTAS E RESPOSTAS

Precisamos usar o LCD para adicionar ou subtrair expressões racionais?

Não. Qualquer denominador comum funcionará, mas é mais fácil usar o LCD.

Exercício$\PageIndex{4}$

Subtraia as expressões racionais:$\dfrac{3}{x+5}-\dfrac{1}{x-3}$

Responda

$\dfrac{2(x-7)}{(x+5)(x-3)}$

Simplificando expressões racionais complexas

Uma expressão racional complexa é uma expressão racional que contém expressões racionais adicionais no numerador, no denominador ou em ambos. Podemos simplificar expressões racionais complexas reescrevendo o numerador e o denominador como expressões racionais simples e dividindo. A expressão racional complexa$\dfrac{a}{\dfrac{1}{b}+c}$ pode ser simplificada reescrevendo o numerador como a fração$\dfrac{a}{1}$ e combinando as expressões no denominador como$\dfrac{1+bc}{b}$. Podemos então reescrever a expressão como um problema de multiplicação usando o inverso do denominador. Nós obtemos$\dfrac{a}{1}⋅\dfrac{b}{1+bc}$, o que é igual$\dfrac{ab}{1+bc}$ a.

Como fazer: Dada uma expressão racional complexa, simplifique-a

1. Combine as expressões no numerador em uma única expressão racional adicionando ou subtraindo.
2. Combine as expressões no denominador em uma única expressão racional adicionando ou subtraindo.
3. Reescreva como o numerador dividido pelo denominador.
4. Reescreva como multiplicação.
5. Multiplique.
6. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Simplifying Complex Rational Expressions

Simplifique:$\dfrac{y+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{y}}$

Solução

Comece combinando as expressões no numerador em uma expressão.

$$\begin{align*} &y\times\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}\qquad \text{Multiply by } \dfrac{x}{x} \text{ to get LCD as denominator}\\ &\dfrac{xy}{x}+\dfrac{1}{x}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\qquad \text{Add numerators} \end{align*}$$

Agora, o numerador é uma única expressão racional e o denominador é uma única expressão racional.

$$\begin{align*} &\dfrac{\dfrac{xy+1}{x}}{\dfrac{x}{y}}\\ \text{We can rewrite this as division, and then multiplication.}\\ &\dfrac{xy+1}{x}÷\dfrac{x}{y}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\times\dfrac{y}{x}\qquad \text{Rewrite as multiplication}\\ &\dfrac{y(xy+1)}{x^2}\qquad \text{Multiply} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{5}$

Simplifique:$\dfrac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{y}$

Responda

$\dfrac{x^2-y^2}{xy^2}$

PERGUNTAS E RESPOSTAS

Uma expressão racional complexa sempre pode ser simplificada?

Sim. Sempre podemos reescrever uma expressão racional complexa como uma expressão racional simplificada.

Mídia

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com expressões racionais.

1. Simplifique expressões racionais

2. Multiplique e divida expressões racionais

3. Adicionar e subtrair expressões racionais

4. Simplifique uma fração complexa

Conceitos-chave

• As expressões racionais podem ser simplificadas cancelando fatores comuns no numerador e no denominador. Veja o exemplo.
• Podemos multiplicar expressões racionais multiplicando os numeradores e multiplicando os denominadores. Veja o exemplo.
• Para dividir expressões racionais, multiplique pelo inverso da segunda expressão. Veja o exemplo.
• Adicionar ou subtrair expressões racionais requer encontrar um denominador comum. Veja o exemplo e o exemplo.
• Expressões racionais complexas têm frações no numerador ou no denominador. Essas expressões podem ser simplificadas. Veja o exemplo.