1.4: Radicais e expressões racionais

objetivos de aprendizagem

• Avalie raízes quadradas.
• Use a regra do produto para simplificar as raízes quadradas.
• Use a regra do quociente para simplificar as raízes quadradas.
• Adicione e subtraia raízes quadradas.
• Racionalize os denominadores.
• Use raízes racionais.

Uma loja de ferragens$16$ vende escadas de$24$ -ft e de -ft. Uma janela está localizada$12$ pés acima do solo. É necessário comprar uma escada que chegue à janela a partir de um ponto no chão, a$5$ pés do prédio. Para descobrir o comprimento da escada necessário, podemos desenhar um triângulo reto, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{1}$, e usar o Teorema de Pitágoras.

Figura $\PageIndex{1}$: Um triângulo reto

$$\begin{align*} a^2+b^2&=c^2 \label{1.4.1} \\[4pt] 5^2+12^2&=c^2 \label{1.4.2} \\[4pt] 169 &=c^2 \label{1.4.3} \end{align*}$$

Now, we need to find out the length that, when squared, is $169$, to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.

Evaluating Square Roots

When the square root of a number is squared, the result is the original number. Since $4^2=16$, the square root of $16$ is $4$.The square root function is the inverse of the squaring function just as subtraction is the inverse of addition. To undo squaring, we take the square root.

In general terms, if $a$ is a positive real number, then the square root of $a$ is a number that, when multiplied by itself, gives $a$.The square root could be positive or negative because multiplying two negative numbers gives a positive number. The principal square root is the nonnegative number that when multiplied by itself equals $a$. The square root obtained using a calculator is the principal square root.

The principal square root of $a$ is written as $\sqrt{a}$. The symbol is called a radical, the term under the symbol is called the radicand, and the entire expression is called a radical expression.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Faz$\sqrt{25} = \pm 5$?

Solução

Não. Embora ambos$5^2$ e$(−5)^2$ sejam$25$, o símbolo radical implica apenas uma raiz não negativa, a raiz quadrada principal. A raiz quadrada principal de$25$ é$\sqrt{25}=5$.

Nota

A raiz quadrada principal de$a$ é o número não negativo que, quando multiplicado por si mesmo, é igual$a$. É escrito como uma expressão radical, com um símbolo chamado radical sobre o termo chamado radicando:$\sqrt{a}$.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Evaluating Square Roots

Avalie cada expressão.

1. $\sqrt{\sqrt{16}}$
2. $\sqrt{49}$-$\sqrt{81}$

Solução

1. $\sqrt{\sqrt{16}}= \sqrt{4} =2$porque$4^2=16$ e$2^2=4$
2. $\sqrt{49} -\sqrt{81} =7−9 =−2$porque$7^2=49$ e$9^2=81$

Exemplo$\PageIndex{3}$:

$\sqrt{25+144}$Pois, podemos encontrar as raízes quadradas antes de adicionar?

Solução

Não. $\sqrt{25} + \sqrt{144} =5+12=17$. Isso não é equivalente$\sqrt{25+144}=13$ a. A ordem das operações exige que adicionemos os termos no radicando antes de encontrar a raiz quadrada.

Exercício$\PageIndex{1}$

Avalie cada expressão.

1. $\sqrt{\sqrt{81}}$
2. $\sqrt{36} + \sqrt{121}$

 

Responda a

$3$

Resposta b

$17$

Usando a regra do produto para simplificar as raízes quadradas

Para simplificar uma raiz quadrada, nós a reescrevemos de forma que não haja quadrados perfeitos no radicando. Existem várias propriedades das raízes quadradas que nos permitem simplificar expressões radicais complicadas. A primeira regra que examinaremos é a regra do produto para simplificar raízes quadradas, que nos permite separar a raiz quadrada de um produto de dois números no produto de duas expressões racionais separadas. Por exemplo, podemos reescrever$\sqrt{15}$ como$\sqrt{3}\times\sqrt{5}$. Também podemos usar a regra do produto para expressar o produto de várias expressões radicais como uma única expressão radical.

A regra do produto para simplificar as raízes quadradas

Se$a$ e não$b$ forem negativos, a raiz quadrada do produto$ab$ é igual ao produto das raízes quadradas de$a$ e$b$

$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$$

COMO FAZER: Dada uma expressão radical de raiz quadrada, use a regra do produto para simplificá-la.

1. Fatore quaisquer quadrados perfeitos do radicando.
2. Escreva a expressão radical como um produto de expressões radicais.
3. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Using the Product Rule to Simplify Square Roots

Simplifique a expressão radical.

1. $\sqrt{300}$
2. $\sqrt{162a^5b^4}$

Solução

a.$\sqrt{100\times3}$ Fator o quadrado perfeito a partir do radicando.

$\sqrt{100}\times\sqrt{3}$Escreva a expressão radical como produto de expressões radicais.

$10\sqrt{3}$Simplifique

b.$\sqrt{81a^4b^4\times2a}$ Fator o quadrado perfeito a partir do radicando

$\sqrt{81a^4b^4}\times\sqrt{2a}$Escreva a expressão radical como produto de expressões radicais

$9a^2b^2\sqrt{2a}$Simplifique

Exercício$\PageIndex{2}$

Simplifique$\sqrt{50x^2y^3z}$

Resposta

$5|x||y|\sqrt{2yz}$

Observe os sinais de valor absoluto ao redor de$x$ e$y$? Isso porque o valor deles deve ser positivo!

Como fazer: Dado o produto de várias expressões radicais, use a regra do produto para combiná-las em uma expressão radical

1. Expresse o produto de várias expressões radicais como uma única expressão radical.
2. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Using the Product Rule to Simplify the Product of Multiple Square Roots

Simplifique a expressão radical.

$\sqrt{12}\times\sqrt{3}$

Solução

$$\begin{align*} &\sqrt{12\times3}\qquad \text{Express the product as a single radical expression}\\ &\sqrt{36}\qquad \text{Simplify}\\ &6 \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{3}$

Simplifique$\sqrt{50x}\times\sqrt{2x}$ assumindo$x>0$.

Resposta

$10|x|$

Usando a regra do quociente para simplificar as raízes quadradas

Assim como podemos reescrever a raiz quadrada de um produto como um produto de raízes quadradas, também podemos reescrever a raiz quadrada de um quociente como um quociente de raízes quadradas, usando a regra do quociente para simplificar as raízes quadradas. Pode ser útil separar o numerador e o denominador de uma fração sob um radical para que possamos tomar suas raízes quadradas separadamente. Nós podemos reescrever

$$\sqrt{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}. \nonumber$$

A REGRA DO QUOCIENTE PARA SIMPLIFICAR RAÍZES QUADRADAS

A raiz quadrada do quociente$\dfrac{a}{b}$ é igual ao quociente das raízes quadradas de$a$ e$b$, onde$b≠0$.

$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Como fazer: Dada uma expressão radical, use a regra do quociente para simplificá-la

1. Escreva a expressão radical como o quociente de duas expressões radicais.
2. Simplifique o numerador e o denominador.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Simplifique a expressão radical.

$\sqrt{\dfrac{5}{36}}$

Solução

$$\begin{align*} &\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{\sqrt{5}}{6}\qquad \text {Simplify denominator} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{4}$

Simplifique$\sqrt{\dfrac{2x^2}{9y^4}}$

Resposta

$\dfrac{x\sqrt{2}}{3y^2}$

Não precisamos dos sinais de valor absoluto$y^2$ porque esse termo sempre não será negativo.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Using the Quotient Rule to Simplify an Expression with Two Square Roots

Simplifique a expressão radical.

$\dfrac{\sqrt{234x^{11}y}}{\sqrt{26x^7y}}$

Solução

$$\begin{align*} &\sqrt{\dfrac{234x^{11}y}{26x^7y}}\qquad \text{Combine numerator and denominator into one radical expression}\\ &\sqrt{9x^4}\qquad \text{Simplify fraction}\\ &3x^2\qquad \text{Simplify square root} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{5}$

Simplifique$\dfrac{\sqrt{9a^5b^{14}}}{\sqrt{3a^4b^5}}$

Resposta

$b^4\sqrt{3ab}$

Adicionando e subtraindo raízes quadradas

Só podemos adicionar ou subtrair expressões radicais quando elas têm o mesmo radicando e quando têm o mesmo tipo de radical, como raízes quadradas. Por exemplo, a soma de$\sqrt{2}$ e$3\sqrt{2}$ é$4\sqrt{2}$. No entanto, muitas vezes é possível simplificar expressões radicais, e isso pode mudar o radicando. A expressão radical$\sqrt{18}$ pode ser escrita com a$2$ no radicando, como$3\sqrt{2}$, então$\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Como fazer: Dada uma expressão radical que requer adição ou subtração de raízes quadradas, resolva

1. Simplifique cada expressão radical.
2. Adicione ou subtraia expressões com radicandos iguais.

Exemplo$\PageIndex{8}$: Adding Square Roots

Adicionar$5\sqrt{12}+2\sqrt{3}$.

Solução

Podemos reescrever$5\sqrt{12}$ como$5\sqrt{4\times3}$. De acordo com a regra do produto, isso se torna$5\sqrt{4}\sqrt{3}$. A raiz quadrada de$\sqrt{4}$ é$2$, então a expressão se torna$5\times2\sqrt{3}$, que é$10\sqrt{3}$. Agora, os termos podem ter o mesmo radicando, então podemos adicionar.

$$10\sqrt{3}+2\sqrt{3}=12\sqrt{3} \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{6}$

Adicionar$\sqrt{5}+6\sqrt{20}$

Resposta

$13\sqrt{5}$

Exemplo$\PageIndex{9}$: Subtracting Square Roots

Subtrair$20\sqrt{72a^3b^4c}-14\sqrt{8a^3b^4c}$

Solução

Reescreva cada termo para que eles tenham radicandos iguais.

$$\begin{align*} 20\sqrt{72a^3b^4c} &= 20\sqrt{9}\sqrt{4}\sqrt{2}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 20(3)(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 120|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}$$

$$\begin{align*} 14\sqrt{8a^3b^4c} &= 14\sqrt{2}\sqrt{4}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 14(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 28|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}$$

Agora, os termos têm o mesmo radicando, então podemos subtrair.

$$120|a|b^2\sqrt{2ac}-28|a|b^2\sqrt{2ac}=92|a|b^2\sqrt{2ac}$$

Exercício$\PageIndex{7}$

Subtrair$3\sqrt{80x}-4\sqrt{45x}$

Resposta

$0$

Denominadores racionalizados

Quando uma expressão envolvendo radicais de raiz quadrada é escrita na forma mais simples, ela não conterá um radical no denominador. Podemos remover radicais dos denominadores de frações usando um processo chamado racionalização do denominador.

Sabemos que multiplicar por$1$ não altera o valor de uma expressão. Usamos essa propriedade de multiplicação para alterar expressões que contêm radicais no denominador. Para remover os radicais dos denominadores de frações, multiplique pela forma$1$ que eliminará o radical.

Para um denominador contendo um único termo, multiplique pelo radical no denominador sobre si mesmo. Em outras palavras, se o denominador for$b\sqrt{c}$, multiplique por$\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$.

Para um denominador contendo a soma ou diferença de um termo racional e irracional, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é encontrado alterando o sinal da porção radical do denominador. Se o denominador for$a+b\sqrt{c}$, então o conjugado é$a-b\sqrt{c}$.

Como fazer: Dada uma expressão com um único termo radical de raiz quadrada no denominador, racionalize o denominador

1. Multiplique o numerador e o denominador pelo radical no denominador.
2. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{10}$: Rationalizing a Denominator Containing a Single Term

Escreva$\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}$ na forma mais simples.

Solução

O radical no denominador é$\sqrt{10}$. Então multiplique a fração por$\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$. Em seguida, simplifique.

$$\begin{align*} &\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}\times\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\ &\dfrac{2\sqrt{30}}{30}\\ &\dfrac{\sqrt{30}}{15} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{8}$

Escreva$\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ na forma mais simples.

Resposta

$6\sqrt{6}$

Como: Dada uma expressão com um termo radical e uma constante no denominador, racionalizar o denominador

1. Encontre o conjugado do denominador.
2. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado.
3. Use a propriedade distributiva.
4. Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{11}$: Rationalizing a Denominator Containing Two Terms

Escreva$\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}$ na forma mais simples.

Solução

Comece encontrando o conjugado do denominador escrevendo o denominador e alterando o sinal. Então, o conjugado de$1+\sqrt{5}$ é$1-\sqrt{5}$. Em seguida, multiplique a fração por$\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$.

$$\begin{align*} &\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\times\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\\ &\dfrac{4-4\sqrt{5}}{-4}\qquad \text{Use the distributive property}\\ &\sqrt{5}-1\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{9}$

Escreva$\dfrac{7}{2+\sqrt{3}}$ na forma mais simples.

Resposta

$14-7\sqrt{3}$

Usando raízes racionais

Embora as raízes quadradas sejam as raízes racionais mais comuns, também podemos encontrar raízes cúbicas,$4^{th}$ raízes,$5^{th}$ raízes e muito mais. Assim como a função de raiz quadrada é o inverso da função quadrada, essas raízes são o inverso de suas respectivas funções de potência. Essas funções podem ser úteis quando precisamos determinar o número que, quando elevado a uma determinada potência, fornece um determinado número.

Compreendendo $n^{th}$as raízes

Suponha que saibamos disso$a^3=8$. Queremos descobrir a qual número elevado à$3^{rd}$ potência é igual$8$ a. Uma vez que$2^3=8$, dizemos que$2$ é a raiz cúbica de$8$.

A$n^{th}$ raiz de$a$ é um número que, quando elevado à$n^{th}$ potência, dá a. Por exemplo,$−3$ é a$5^{th}$ raiz de$−243$ porque${(-3)}^5=-243$. Se$a$ for um número real com pelo menos uma$n^{th}$ raiz, a$n^{th}$ raiz principal de$a$ é o número com o mesmo sinal de$a$ que, quando elevado à$n^{th}$ potência, é igual$a$.

A$n^{th}$ raiz principal de$a$ é escrita como$\sqrt[n]{a}$, onde$n$ é um número inteiro positivo maior ou igual$2$ a. Na expressão radical,$n$ é chamado de índice do radical.

Nota: Diretor$n^{th}$ Root

Se$a$ for um número real com pelo menos uma$n^{th}$ raiz, então a $n^{th}$raiz principal de$a$, escrita como$\sqrt[n]{a}$, é o número com o mesmo sinal de$a$ que, quando elevado à$n^{th}$ potência, é igual$a$. O índice do radical é$n$.

Exemplo$\PageIndex{12}$: Simplifying $n^{th}$ Roots

Simplifique cada uma das seguintes opções:

1. $\sqrt[5]{-32}$
2. $\sqrt[4]{4}\times\sqrt[4]{10234}$
3. $-\sqrt[3]{\dfrac{8x^6}{125}}$
4. $8\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{48}$

Solução

a.$\sqrt[5]{-32}=-2$ porque$(-2)^5=-32$

b. Primeiro, expresse o produto como uma única expressão radical. $\sqrt[4]{4096}=8$porque$8^4=4096$

c. $$\begin{align*} &\dfrac{-\sqrt[3]{8x^6}}{\sqrt[3]{125}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{-2x^2}{5}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} &8\sqrt[4]{3}-2\sqrt[4]{3}\qquad \text{Simplify to get equal radicands}\\ &6\sqrt[4]{3}\qquad \text{Add} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{10}$

Simplifique

1. $\sqrt[3]{-216}$
2. $\dfrac{3\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$
3. $6\sqrt[3]{9000}+7\sqrt[3]{576}$

Responda a

$-6$

Resposta b

$6$

Resposta c

$88\sqrt[3]{9}$

Usando expoentes racionais

Expressões radicais também podem ser escritas sem usar o símbolo radical. Podemos usar expoentes racionais (fracionários). O índice deve ser um número inteiro positivo. Se o índice$n$ for par, então a não pode ser negativo.

$$a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$

Também podemos ter expoentes racionais com numeradores diferentes de$1$. Nesses casos, o expoente deve ser uma fração em termos mais baixos. Nós elevamos a base a uma potência e tomamos a enésima raiz. O numerador nos diz a potência e o denominador nos diz a raiz.

$$a^{\tfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Todas as propriedades dos expoentes que aprendemos para expoentes inteiros também valem para expoentes racionais.

Nota: Expoentes racionais

Os expoentes racionais são outra forma de expressar$n^{th}$ as raízes principais. A forma geral de conversão entre uma expressão radical com um símbolo radical e uma com um expoente racional é

$$a^{\tfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Como fazer: Dada uma expressão com um expoente racional, escreva a expressão como um radical

1. Determine a potência observando o numerador do expoente.
2. Determine a raiz observando o denominador do expoente.
3. Usando a base como radicando, eleve o radicando à potência e use a raiz como índice.

Exemplo$\PageIndex{13}$: Writing Rational Exponents as Radicals

Escreva$343^{\tfrac{2}{3}}$ como um radical. Simplifique.

Solução

O nos$2$ diz o poder e o nos$3$ diz a raiz.

$343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=\sqrt[3]{{343}^2}$

Sabemos disso$\sqrt[3]{343}=7$ porque$7^3 =343$. Como a raiz cúbica é fácil de encontrar, é mais fácil encontrar a raiz cúbica antes de fazer o quadrado para resolver esse problema. Em geral, é mais fácil encontrar a raiz primeiro e depois elevá-la a uma potência.

$$343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=7^2=49$$

Exercício$\PageIndex{11}$

Escreva$9^{\tfrac{5}{2}}$ como um radical. Simplifique.

Resposta

${(\sqrt{9})}^5=3^5=243$

Exemplo$\PageIndex{14}$: Writing Radicals as Rational Exponents

Escreva$\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}$ usando um expoente racional.

Solução

A potência é$2$ e a raiz é$7$, então o expoente racional será$\dfrac{2}{7}$. Nós recebemos$\dfrac{4}{a^{\tfrac{2}{7}}}$. Usando propriedades de expoentes, obtemos$\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}=4a^{\tfrac{-2}{7}}$

Exercício$\PageIndex{12}$

Escreva$x\sqrt{{(5y)}^9}$ usando um expoente racional.

Resposta

$x(5y)^{\dfrac{9}{2}}$

Exemplo$\PageIndex{15}$: Simplifying Rational Exponents

Simplifique:

uma.$5(2x^{\tfrac{3}{4}})(3x^{\tfrac{1}{5}})$

b.$\left(\dfrac{16}{9}\right)^{-\tfrac{1}{2}}$

Solução

uma.

$$\begin{align*} &30x^{\tfrac{3}{4}}\: x^{\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Multiply the coefficients}\\ &30x^{\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Use properties of exponents}\\ &30x^{\tfrac{19}{20}}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

b.

$$\begin{align*} &{\left(\dfrac{9}{16}\right)}^{\tfrac{1}{2}}\qquad \text{Use definition of negative exponents}\\ &\sqrt{\dfrac{9}{16}}\qquad \text{Rewrite as a radical}\\ &\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}\qquad \text{Use the quotient rule}\\ &\dfrac{3}{4}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{13}$

Simplifique${(8x)}^{\tfrac{1}{3}}\left(14x^{\tfrac{6}{5}}\right)$

Resposta

$28x^{\tfrac{23}{15}}$

Mídia

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com radicais e expoentes racionais.

Radicais

Expoentes racionais

Simplifique os radicais

Racionalizar o denominador

Conceitos chave

• A raiz quadrada principal de um número \(a\)é o número não negativo que, quando multiplicado por si mesmo, é igual$a$ . Veja o exemplo.
• Se \(a\)e não$b$ forem negativos, a raiz quadrada do produto$ab$ é igual ao produto das raízes quadradas de$a$ e$b$ veja o exemplo e o exemplo.
• Se \(a\)e não$b$ forem negativos, a raiz quadrada do quociente$\dfrac{a}{b}$ é igual ao quociente das raízes quadradas de$a$ e$b$ Veja o exemplo e o exemplo.
• Podemos somar e subtrair expressões radicais se elas tiverem o mesmo radicando e o mesmo índice. Veja o exemplo e o exemplo.
• Expressões radicais escritas na forma mais simples não contêm um radical no denominador. Para eliminar a raiz quadrada do radical do denominador, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Veja o exemplo e o exemplo.
• A$n^{th}$ raiz principal de$a$ é o número com$a$ o mesmo sinal de quando elevado à$n^{th}$ potência igual$a$. Essas raízes têm as mesmas propriedades das raízes quadradas. Veja o exemplo.
• Os radicais podem ser reescritos como expoentes racionais e os expoentes racionais podem ser reescritos como radicais. Veja o exemplo e o exemplo.
• As propriedades dos expoentes se aplicam aos expoentes racionais. Veja o exemplo.

Contribuidores e atribuições

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