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5.1: Introdução

OBJETIVO DO CAPÍTULO

No final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de:

  • Reconheça e compreenda as funções de densidade de probabilidade contínua em geral.
  • Reconheça a distribuição uniforme de probabilidade e aplique-a adequadamente.
  • Reconheça a distribuição de probabilidade exponencial e aplique-a adequadamente.

Variáveis aleatórias contínuas têm muitas aplicações. As médias de rebatidas de beisebol, as pontuações de QI, a duração de uma ligação telefônica de longa distância, a quantidade de dinheiro que uma pessoa carrega, a duração de um chip de computador e os resultados do SAT são apenas alguns. O campo da confiabilidade depende de uma variedade de variáveis aleatórias contínuas.

Os valores das variáveis aleatórias discretas e contínuas podem ser ambíguos. Por exemplo, seX for igual ao número de milhas (até a milha mais próxima) que você dirige até o trabalho, entãoX é uma variável aleatória discreta. Você conta as milhas. SeX é a distância que você dirige até o trabalho, então você mede os valores deX eX é uma variável aleatória contínua. Para um segundo exemplo, seX for igual ao número de livros em uma mochila, entãoX é uma variável aleatória discreta. SeX é o peso de um livro, entãoX é uma variável aleatória contínua porque os pesos são medidos. A forma como a variável aleatória é definida é muito importante.

A imagem mostra plantas de rabanete de várias alturas brotando da sujeira.
Figura5.1.1: As alturas dessas plantas de rabanete são variáveis aleatórias contínuas. (Crédito: Rev Stan)

Propriedades das distribuições contínuas de probabilidade

O gráfico de uma distribuição contínua de probabilidade é uma curva. A probabilidade é representada pela área abaixo da curva. A curva é chamada de função de densidade de probabilidade (abreviada como pdf). Usamos o símbolof(x) para representar a curva. f(x)é a função que corresponde ao gráfico; usamos a função densidadef(x) para desenhar o gráfico da distribuição de probabilidade. A área abaixo da curva é dada por uma função diferente chamada função de distribuição cumulativa (abreviada como cdf). A função de distribuição cumulativa é usada para avaliar a probabilidade como área.

  • Os resultados são medidos, não contados.
  • Toda a área abaixo da curva e acima do eixo x é igual a um.
  • A probabilidade é encontrada para intervalos dex valores em vez dex valores individuais.
  • P(c<x<d)é a probabilidade de que a variável aleatóriaX esteja no intervalo entre os valorescd e. P(c<x<d)é a área abaixo da curva, acima do eixo x, à direitac e à esquerda ded.
  • P(x=c)=0A probabilidade quex assume qualquer valor individual é zero. A área abaixo da curva, acima do eixo x e entrex=c e nãox=c tem largura e, portanto, nenhuma área (área = 0). Como a probabilidade é igual à área, a probabilidade também é zero.
  • P(c<x<d)é o mesmoP(cxd) porque a probabilidade é igual à área.

Encontraremos a área que representa probabilidade usando geometria, fórmulas, tecnologia ou tabelas de probabilidade. Em geral, o cálculo é necessário para encontrar a área abaixo da curva para muitas funções de densidade de probabilidade. Quando usamos fórmulas para encontrar a área neste livro didático, as fórmulas foram encontradas usando as técnicas de cálculo integral. No entanto, como a maioria dos estudantes deste curso não estudou cálculo, não usaremos cálculo neste livro didático. Há muitas distribuições de probabilidade contínuas. Ao usar uma distribuição de probabilidade contínua para modelar a probabilidade, a distribuição usada é selecionada para modelar e ajustar a situação específica da melhor maneira.

Neste capítulo e no próximo, estudaremos a distribuição uniforme, a distribuição exponencial e a distribuição normal. Os gráficos a seguir ilustram essas distribuições.

Figura5.1.2: O gráfico mostra uma distribuição uniforme com a área entrex=3 ex=6 sombreada para representar a probabilidade de que o valor da variável aleatóriaX esteja no intervalo entre três e seis.
Figura5.1.3: O gráfico mostra uma distribuição exponencial com a área entrex=2 ex=4 sombreada para representar a probabilidade de que o valor da variável aleatóriaX esteja no intervalo entre dois e quatro.
Figura5.1.4: O gráfico mostra a distribuição normal padrão com a área entrex=1 ex=2 sombreada para representar a probabilidade de que o valor da variável aleatóriaX esteja no intervalo entre um e dois.

Glossário

Distribuição uniforme
uma variável aleatória contínua (RV) que tem resultados igualmente prováveis sobre o domínioa<x<b; geralmente é chamada de distribuição retangular porque o gráfico do pdf tem a forma de um retângulo. Notação:XU(a,b). A média éμ=a+b2 e o desvio padrão éσ=(ba)212. A função de densidade de probabilidade éf(x)=1ba paraa<x<b ouaxb. A distribuição cumulativa éP(Xx)=xaba.
Distribuição exponencial
uma variável aleatória contínua (VR) que aparece quando estamos interessados nos intervalos de tempo entre alguns eventos aleatórios, por exemplo, o período de tempo entre as chegadas de emergência em um hospital; a notação éXExp(m). A média éμ=1m e o desvio padrão éσ=1m. A função de densidade de probabilidade éf(x)=memx,x0 e a função de distribuição cumulativa éP(Xx)=1emx.