2.5: Média geométrica

A média (aritmética), a mediana e o modo são todas medidas do “centro” dos dados, a “média”. Eles estão todos à sua maneira tentando medir o ponto “comum” nos dados, o que é “normal”. No caso da média aritmética, isso é resolvido encontrando o valor a partir do qual todos os pontos são distâncias lineares iguais. Podemos imaginar que todos os valores de dados são combinados por meio da adição e depois distribuídos de volta para cada ponto de dados em quantidades iguais. A soma de todos os valores é o que é redistribuído em quantidades iguais, de forma que a soma total permaneça a mesma.

A média geométrica redistribui não a soma dos valores, mas o produto de multiplicar todos os valores individuais e depois redistribuí-los em partes iguais, de forma que o produto total permaneça o mesmo. Isso pode ser visto na fórmula da média geométrica,\(\tilde{x}\): (Pronunciado\(x\) -tilde)

\[\tilde{x}=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\nonumber\]

onde\(\pi\) está outro operador matemático, que nos diz para multiplicar todos os\(x_{i}\) números da mesma forma que o sigma grego maiúsculo nos diz para somar todos os\(x_{i}\) números. Lembre-se de que um expoente fracionário está exigindo a enésima raiz do número, portanto, um expoente de 1/3 é a raiz cúbica do número.

A média geométrica responde à pergunta: “se todas as quantidades tivessem o mesmo valor, qual seria esse valor para obter o mesmo produto?” A média geométrica recebe esse nome do fato de que, quando redistribuída dessa maneira, os lados formam uma forma geométrica na qual todos os lados têm o mesmo comprimento. Para ver isso, veja o exemplo dos números 10, 51,2 e 8. A média geométrica é o produto da multiplicação desses três números (4.096) e da obtenção da raiz cúbica, pois há três números entre os quais esse produto deve ser distribuído. Assim, a média geométrica desses três números é 16. Isso descreve um cubo de 16x16x16 e tem um volume de 4.096 unidades.

A média geométrica é relevante em Economia e Finanças para lidar com o crescimento: crescimento dos mercados, no investimento, população e outras variáveis, o crescimento no qual há interesse. Imagine que nossa caixa de 4.096 unidades (talvez dólares) é o valor de um investimento após três anos e que os retornos do investimento em porcentagens foram os três números em nosso exemplo. A média geométrica nos fornecerá a resposta para a pergunta: qual é a taxa média de retorno: 16%. A média aritmética desses três números é de 23,6%. A razão para essa diferença, 16 versus 23,6, é que a média aritmética é aditiva e, portanto, não contabiliza os juros sobre os juros, juros compostos, embutidos no processo de crescimento do investimento. O mesmo problema surge quando se pede a taxa média de crescimento de uma população ou de vendas ou penetração no mercado, etc., conhecendo as taxas anuais de crescimento. A fórmula para a taxa média geométrica de retorno, ou qualquer outra taxa de crescimento, é:

\[r_{s}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\nonumber\]

A manipulação da fórmula da média geométrica também pode fornecer um cálculo da taxa média de crescimento entre dois períodos, conhecendo apenas o valor inicial a0a0 e o valor final anan e o número de períodos, nn. A fórmula a seguir fornece essas informações:

\[\left(\frac{a_{n}}{a_{0}}\right)^{\frac{1}{n}}=\tilde{x}\nonumber\]

Finalmente, notamos que a fórmula para a média geométrica exige que todos os números sejam positivos, maiores que zero. A razão, é claro, é que a raiz de um número negativo é indefinida para uso fora da teoria matemática. No entanto, existem maneiras de evitar esse problema. No caso de taxas de retorno e outros problemas simples de crescimento, podemos converter os valores negativos em valores equivalentes positivos significativos. Imagine que os retornos anuais dos últimos três anos sejam +12%, -8% e +2%. Usar os equivalentes multiplicadores decimais de 1,12, 0,92 e 1,02 nos permite calcular uma média geométrica de 1,0167. Subtraindo 1 desse valor dá a média geométrica de +1,67% como uma taxa líquida de crescimento populacional (ou retorno financeiro). A partir desse exemplo, podemos ver que a média geométrica nos fornece essa fórmula para calcular a taxa geométrica (média) de retorno para uma série de taxas de retorno anuais:

\[r_{s}=\tilde{x}-1\nonumber\]

onde\(r_{s}\) é a taxa média de retorno e\(\tilde{x}\) é a média geométrica dos retornos durante alguns períodos de tempo. Observe que a duração de cada período deve ser a mesma.

Como regra geral, deve-se converter os valores percentuais em seu multiplicador equivalente decimal. É importante reconhecer que, ao lidar com porcentagens, a média geométrica dos valores percentuais não é igual à média geométrica dos equivalentes do multiplicador decimal e é a média geométrica equivalente do multiplicador decimal que é relevante.