8.2: Uma média de população única usando a distribuição normal

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Calculando o intervalo de confiança

Para construir um intervalo de confiança para uma única média populacional desconhecida\(\mu\), onde o desvio padrão da população é conhecido, precisamos\(\bar{x}\) como estimativa\(\mu\) e precisamos da margem de erro. Aqui, a margem de erro (\(EBM\)) é chamada de limite de erro para uma média populacional (abreviado EBM). A média da amostra\(\bar{x}\) é a estimativa pontual da média populacional desconhecida\(\mu\).

A estimativa do intervalo de confiança terá a forma:

\[(\text{point estimate} - \text{error bound}, \text{point estimate} + \text{error bound})\nonumber \]

ou, em símbolos,

\[(\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\nonumber \]

A margem de erro (\(EBM\)) depende do nível de confiança (abreviado\(CL\)). O nível de confiança geralmente é considerado a probabilidade de que a estimativa do intervalo de confiança calculado contenha o verdadeiro parâmetro da população. No entanto, é mais preciso afirmar que o nível de confiança é a porcentagem dos intervalos de confiança que contêm o verdadeiro parâmetro da população quando amostras repetidas são coletadas. Na maioria das vezes, é a escolha da pessoa que constrói o intervalo de confiança escolher um nível de confiança de 90% ou mais, porque essa pessoa deseja ter uma certeza razoável de suas conclusões.

Há outra probabilidade chamada alfa\((\alpha)\). \(\alpha\)está relacionado ao nível de confiança,\(CL\). \(\alpha\)é a probabilidade de que o intervalo não contenha o parâmetro populacional desconhecido. Matematicamente,

\[\alpha + CL = 1.\nonumber \]

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Suponha que tenhamos coletado dados de uma amostra. Sabemos a média da amostra, mas não sabemos a média para toda a população. A média da amostra é sete e o limite de erro para a média é 2,5:\(\bar{x} = 7\) e\(EBM = 2.5\)

O intervalo de confiança é (7 — 2,5, 7 + 2,5) e o cálculo dos valores dá (4,5, 9,5). Se o nível de confiança (\(CL\)) for de 95%, então dizemos: “Estimamos com 95% de confiança que o valor real da média da população está entre 4,5 e 9,5”.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Suponha que tenhamos dados de uma amostra. A média da amostra é 15 e o limite de erro para a média é 3,2. Qual é a estimativa do intervalo de confiança para a média da população?

Resposta: (11,8, 18,2)

Um intervalo de confiança para uma média populacional com um desvio padrão conhecido é baseado no fato de que as médias da amostra seguem uma distribuição aproximadamente normal. Suponha que nossa amostra tenha uma média de\(\bar{x} = 10\), e nós construímos o intervalo de confiança de 90% (5, 15) onde\(EBM = 5\). Para obter um intervalo de confiança de 90%, devemos incluir os 90% centrais da probabilidade da distribuição normal. Se incluirmos os 90% centrais, deixamos de fora um total de\(\alpha = 10%\) em ambas as caudas, ou 5% em cada cauda, da distribuição normal.

Essa é uma curva de distribuição normal. O pico da curva coincide com o ponto 10 no eixo horizontal. Os pontos 5 e 15 são rotulados no eixo. As linhas verticais são desenhadas desses pontos até a curva, e a região entre as linhas é sombreada. A região sombreada tem área igual a 0,90. — Figura\(\PageIndex{1}\)

Para capturar os 90% centrais, devemos obter 1,645 “desvios padrão” em ambos os lados da média amostral calculada. O valor 1,645 é a pontuação z de uma distribuição de probabilidade normal padrão que coloca uma área de 0,90 no centro, uma área de 0,05 na extremidade esquerda da cauda e uma área de 0,05 na extremidade direita.

É importante que o “desvio padrão” usado seja apropriado para o parâmetro que estamos estimando, portanto, nesta seção, precisamos usar o desvio padrão que se aplica às médias da amostra, que é

\[\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\nonumber \]

Essa fração é comumente chamada de “erro padrão da média” para distinguir claramente o desvio padrão de uma média do desvio padrão da população\(\sigma\).

Em resumo, como resultado do teorema do limite central:

\(\bar{X}\)normalmente é distribuído, ou seja,\(\bar{X} \sim N(\mu_{x},\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\).
Quando o desvio padrão da população σ é conhecido, usamos uma distribuição normal para calcular o limite de erro.

Calculando o intervalo de confiança

Para construir uma estimativa do intervalo de confiança para uma média populacional desconhecida, precisamos de dados de uma amostra aleatória. As etapas para construir e interpretar o intervalo de confiança são:

Calcule a média\(\bar{x}\) da amostra a partir dos dados da amostra. Lembre-se de que, nesta seção, já conhecemos o desvio padrão da população\(\sigma\).
Encontre a pontuação z que corresponde ao nível de confiança.
Calcule o limite do erro\(EBM\).
Construa o intervalo de confiança.
Escreva uma frase que interprete a estimativa no contexto da situação do problema. (Explique o que significa o intervalo de confiança, nas palavras do problema.)

Primeiro, examinaremos cada etapa com mais detalhes e, em seguida, ilustraremos o processo com alguns exemplos.

Encontrando a\(z\) pontuação -para o nível de confiança declarado

Quando conhecemos o desvio padrão da população\(\sigma\), usamos uma distribuição normal padrão para calcular o limite de erro EBM e construir o intervalo de confiança. Precisamos encontrar o valor de\(z\) que coloca uma área igual ao nível de confiança (na forma decimal) no meio da distribuição normal padrão\(Z \sim N(0, 1)\).

O nível de confiança\(CL\),, é a área no meio da distribuição normal padrão. \(CL = 1 - \alpha\), assim\(\alpha\) como a área que é dividida igualmente entre as duas pontas. Cada uma das caudas contém uma área igual\(\dfrac{\alpha}{2}\) a.

A\(z\) pontuação -que tem uma área à direita de\(\dfrac{\alpha}{2}\) é indicada por\(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\).

Por exemplo, quando\(CL = 0.95, \alpha = 0.05\) e\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025\); nós escrevemos\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025}\).

A área à direita\(z_{0.025}\) é\(0.025\) e a área à esquerda de\(z_{0.025}\) é\(1 - 0.025 = 0.975\).

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96\nonumber \]

usando uma calculadora, computador ou uma tabela de probabilidade normal padrão.

Inv Norm\((0.975, 0, 1) = 1.96\)

Lembre-se de usar a área à ESQUERDA de\(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\); neste capítulo, as duas últimas entradas no comando InvNorm são 0, 1, porque você está usando uma distribuição normal padrão\(Z \sim N(0, 1)\).

Calculando o limite de erro

A fórmula de limite de erro para uma média populacional desconhecida\(\mu\) quando o desvio padrão da população\(\sigma\) é conhecido é

\[EBM = z_{\alpha/2} \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber \]

Construindo o intervalo de confiança

A estimativa do intervalo de confiança tem o formato\((\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\).

O gráfico dá uma imagem de toda a situação.

\[CL + \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\alpha}{2} = CL + \alpha = 1.\nonumber \]

Essa é uma curva de distribuição normal. O pico da curva coincide com a barra x do ponto no eixo horizontal. Os pontos x-bar - EBM e x-bar + EBM são rotulados no eixo. As linhas verticais são desenhadas desses pontos até a curva, e a região entre as linhas é sombreada. A região sombreada tem uma área igual a 1 - a e representa o nível de confiança. Cada cauda sem sombra tem a área a/2. — Figura 8.2.2.

Escrevendo a interpretação

A interpretação deve indicar claramente o nível de confiança (\(CL\)), explicar qual parâmetro da população está sendo estimado (aqui, uma média da população) e indicar o intervalo de confiança (ambos os pontos finais). “Estimamos com ___% de confiança que a média real da população (incluindo o contexto do problema) está entre ___ e ___ (inclua unidades apropriadas).”

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Suponha que as pontuações dos exames de estatística sejam normalmente distribuídas com uma média populacional desconhecida e um desvio padrão da população de três pontos. Uma amostra aleatória de 36 pontuações é coletada e fornece uma média da amostra (pontuação média da amostra) de 68. Encontre uma estimativa do intervalo de confiança para a pontuação média do exame da população (a pontuação média em todos os exames).

Encontre um intervalo de confiança de 90% para a média real (populacional) das pontuações dos exames estatísticos.

Resposta

Você pode usar a tecnologia para calcular o intervalo de confiança diretamente.
A primeira solução é mostrada passo a passo (Solução A).
A segunda solução usa as calculadoras TI-83, 83+ e 84+ (Solução B).

Solução A

Para encontrar o intervalo de confiança, você precisa da média da amostra\(\bar{x}\), e\(EBM\) a.

\[\bar{x} = 68\nonumber \]

\[EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber \]

\[\sigma = 3; n = 36\nonumber \]

O nível de confiança é 90% (CL = 0,90)

\[CL = 0.90\nonumber \]

então

\[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\nonumber \]

\[\dfrac{\alpha}{2} = 0.05 z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05}\nonumber \]

A área à direita\(z_{0.05}\) é\(0.05\) e a área à esquerda de\(z_{0.05}\) é\(1 - 0.05 = 0.95\).

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

usando\(\text{invNorm}(0.95, 0, 1)\) nas calculadoras TI-83,83+ e 84+. Isso também pode ser encontrado usando comandos apropriados em outras calculadoras, usando um computador ou usando uma tabela de probabilidade para a distribuição normal padrão.

\[EBM = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{36}}\right) = 0.8225\nonumber \]

\[\bar{x} - EBM = 68 - 0.8225 = 67.1775\nonumber \]

\[\bar{x} + EBM = 68 + 0.8225 = 68.8225\nonumber \]

O intervalo de confiança de 90% é (67,1775, 68,8225).

Solução B

Pressione STAT e flecha até TESTS.

Seta para baixo até 7:ZInterval.
Pressione ENTER.
Seta para Stats e pressione ENTER.
Seta para baixo e digite três para σ, 68 para\(\bar{x}\), 36 para\(n\) e .90 para o nível C.
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.
O intervalo de confiança é (até três casas decimais) (67,178, 68,822).

Interpretação

Estimamos com 90% de confiança que a pontuação média real do exame da população para todos os estudantes de estatística está entre 67,18 e 68,82.

Explicação do nível de confiança de 90%

Noventa por cento de todos os intervalos de confiança construídos dessa forma contêm a verdadeira pontuação média do exame estatístico. Por exemplo, se construíssemos 100 desses intervalos de confiança, esperaríamos que 90 deles contivessem a pontuação média real da população no exame.

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Suponha que os prazos médios de entrega de pizza sejam normalmente distribuídos com uma média populacional desconhecida e um desvio padrão da população de seis minutos. Uma amostra aleatória de 28 restaurantes de entrega de pizza é coletada e tem uma amostra de tempo médio de entrega de 36 minutos. Encontre uma estimativa do intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de entrega da população.

Resposta: (34.1347, 37.8653)

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Specific Absorption Rate

A Taxa de Absorção Específica (SAR) de um telefone celular mede a quantidade de energia de radiofrequência (RF) absorvida pelo corpo do usuário ao usar o aparelho. Todo telefone celular emite energia de RF. Modelos de telefone diferentes têm diferentes medidas de SAR. Para receber a certificação da Comissão Federal de Comunicações (FCC) para venda nos Estados Unidos, o nível de SAR de um telefone celular não deve ser superior a 1,6 watts por quilograma. A tabela mostra o nível de SAR mais alto para uma seleção aleatória de modelos de telefones celulares, conforme medido pela FCC.

Modelo de telefone	SAR	Modelo de telefone	SAR	Modelo de telefone	SAR
Apple iPhone 4S	1,11	LG Ally	1,36	Laser Pantech	0,74
BlackBerry Pearl 8120	1,48	LG AX275	1,34	Personagem Samsung	0,5
BlackBerry Tour 9630	1,43	LG Cosmos	1,18	Samsung Epic 4G Touch	0,4
Críquete TXTM8	1.3	LG CU515	1.3	Samsung M240	0,867
HP/Palm Centro	1,09	LG Trax CU575	1,26	Samsung Messager III SCH-R750	0,68
HTC One V	0,455	Motorola Q9h	1,29	Samsung Nexus S	0,51
HTC Touch Pro 2	1,41	Motorola Razr2 V8	0,36	Samsung SGH-A227	1,13
Vídeos do Huawei M835	0,82	Motorola Razr2 V9	0,52	Telefone SGH-A107 Go	0,3
Kyocera DuraPlus	0,78	Motorola V195s	1.6	Sony W350a	1,48
Mármore Kyocera K127	1,25	Nokia 1680	1,39	T-Mobile Concord	1,38

Encontre um intervalo de confiança de 98% para a média real (populacional) das Taxas de Absorção Específicas (SARs) para telefones celulares. Suponha que o desvio padrão da população seja\(\sigma = 0.337\).

Solução A

Para encontrar o intervalo de confiança, comece encontrando a estimativa pontual: a média da amostra.

\[\bar{x} = 1.024\nonumber \]

Em seguida, encontre\(EBM\) o. Como você está criando um intervalo de confiança de 98%,\(CL = 0.98\).

Essa é uma curva de distribuição normal. O ponto z0.01 é rotulado na borda direita da curva e a região à direita desse ponto está sombreada. A área dessa região sombreada é igual a 0,01. A área sem sombra é igual a 0,99. — Figura 8.2.3.

Você precisa descobrir\(z_{0.01}\) que a área abaixo da curva de densidade normal à direita\(z_{0.01}\) é\(0.01\) e a área à esquerda é 0,99. Use sua calculadora, um computador ou uma tabela de probabilidade para encontrar a distribuição normal padrão\(z_{0.01} = 2.326\).

\(EBM = (z_{0.01})\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = (2.326)\dfrac{0.337}{\sqrt{30}} =0.1431\)

Para encontrar o intervalo de confiança de 98%, encontre\(\bar{x} \pm EBM\).

\(\bar{x} - EBM = 1.024 – 0.1431 = 0.8809\)

\(\bar{x} - EBM = 1.024 – 0.1431 = 1.1671\)

Estimamos com 98% de confiança que a verdadeira média SAR para a população de telefones celulares nos Estados Unidos esteja entre 0,8809 e 1,1671 watts por quilograma.

Solução B

Pressione STAT e flecha até TESTS.
Seta para baixo até o intervalo 7:Z.
Pressione ENTER.
Seta para Stats e pressione ENTER.
Use a seta para baixo e insira os seguintes valores:
- \(\sigma: 0.337\)
- \(\bar{x}: 1024\)
- \(n: 30\)
- Nível C: 0,98
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.
O intervalo de confiança é (até três casas decimais) (0,881, 1,167).

Exercício\(\PageIndex{3}\)

A tabela mostra uma amostra aleatória diferente de 20 modelos de telefones celulares. Use esses dados para calcular um intervalo de confiança de 93% para a verdadeira média de SAR para telefones celulares certificados para uso nos Estados Unidos. Como anteriormente, suponha que o desvio padrão da população seja\(\sigma = 0.337\).

Modelo de telefone	SAR	Modelo de telefone	SAR
Blackberry Pearl 8120	1,48	Nokia E71x	1,53
HTC Evo Design 4G	0,8	Nokia N75	0,68
HTC Freestyle	1,15	Nokia N79	1.4
LG Ally	1,36	Sagem Puma	1,24
LG Fathom	0,77	Samsung Fascinate	0,57
LG Optimus Vu	0,462	Samsung Infuse 4G	0,2
Motorola Cliq XT	1,36	Samsung Nexus S	0,51
Motorola Droid Pro	1,39	Reabastecimento da Samsung	0,3
Motorola Droid Razr M	1.3	Walkman Sony W518a	0,73
Nokia 7705 Twist	0,7	ZTE X79	0,869

Resposta

\[\bar{x} = 0.940\nonumber \]

\[\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - CL}{2} = \dfrac{1 - 0.93}{2} = 0.035\nonumber \]

\[z_{0.035} = 1.812\nonumber \]

\[EBM = (z_{0.035})\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.812)\left(\dfrac{0.337}{\sqrt{20}}\right) = 0.1365\nonumber \]

\[\bar{x} - EBM = 0.940 - 0.1365 = 0.8035\nonumber \]

\[\bar{x} + EBM = 0.940 + 0.1365 = 1.0765\nonumber \]

Estimamos com 93% de confiança que a verdadeira média SAR para a população de telefones celulares nos Estados Unidos esteja entre 0,8035 e 1,0765 watts por quilograma.

Observe a diferença nos intervalos de confiança calculados no Example e no seguinte exercício Try It. Esses intervalos são diferentes por vários motivos: eles foram calculados a partir de amostras diferentes, as amostras tinham tamanhos diferentes e os intervalos foram calculados para diferentes níveis de confiança. Embora os intervalos sejam diferentes, eles não produzem informações conflitantes. Os efeitos desses tipos de mudanças são o assunto da próxima seção deste capítulo.

Alterando o nível de confiança ou o tamanho da amostra

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Suponha que mudemos o problema original no Exemplo usando um nível de confiança de 95%. Encontre um intervalo de confiança de 95% para a pontuação média verdadeira (populacional) do exame estatístico.

Resposta

Para encontrar o intervalo de confiança, você precisa da média da amostra\(\bar{x}\), e\(EBM\) a.

\(\bar{x} = 68\)

\(EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

\(\sigma = 3; n = 36\); O nível de confiança é de 95% (CL = 0,95).

\(CL = 0.95\)então\(\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\)

\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025 z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025}\)

A área à direita de\(z_{0.025}\) é 0,025 e a área à esquerda\(z_{0.025}\) é\(1 – 0.025 = 0.975\).

\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96\)

ao usar invnorm (0,975,0,1) nas calculadoras TI-83, 83+ ou 84+. (Isso também pode ser encontrado usando comandos apropriados em outras calculadoras, usando um computador ou usando uma tabela de probabilidade para a distribuição normal padrão.)

\(EBM = (1.96)\left(\dfrac{3}{\sqrt{36}}\right) = 0.98\)

\(\bar{x} – EBM = 68 – 0.98 = 67.02\)

\(\bar{x} + EBM = 68 + 0.98 = 68.98\)

Observe que o\(EBM\) é maior para um nível de confiança de 95% no problema original.

Interpretação

Estimamos com 95% de confiança que a média real da população para todas as pontuações dos exames estatísticos esteja entre 67,02 e 68,98.

Explicação do nível de confiança de 95%

Noventa e cinco por cento de todos os intervalos de confiança construídos dessa forma contêm o valor real da pontuação média da população em exames estatísticos.

Comparando os resultados

O intervalo de confiança de 90% é (67,18, 68,82). O intervalo de confiança de 95% é (67,02, 68,98). O intervalo de confiança de 95% é maior. Se você observar os gráficos, como a área 0,95 é maior do que a área 0,90, faz sentido que o intervalo de confiança de 95% seja maior. Para ter mais certeza de que o intervalo de confiança realmente contém o valor real da média da população para todas as pontuações dos exames estatísticos, o intervalo de confiança precisa necessariamente ser maior.

A parte (a) mostra uma curva de distribuição normal. Uma região central com área igual a 0,90 está sombreada. Cada cauda não sombreada da curva tem uma área igual a 0,05. A parte (b) mostra uma curva de distribuição normal. Uma região central com área igual a 0,95 está sombreada. Cada cauda não sombreada da curva tem uma área igual a 0,025. — Figura 8.2.4.

Resumo: Efeito da alteração do nível de confiança

Aumentar o nível de confiança aumenta o limite do erro, tornando o intervalo de confiança mais amplo.
Diminuir o nível de confiança diminui o limite do erro, tornando o intervalo de confiança mais estreito.

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Consulte novamente o exercício Try It para entrega de pizza. O desvio padrão da população é de seis minutos e o tempo médio de entrega da amostra é de 36 minutos. Use um tamanho de amostra de 20. Encontre uma estimativa do intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro tempo médio de entrega da pizza.

Resposta: (33,37, 38,63)

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Suponha que alteremos o problema original no Exemplo para ver o que acontece com o limite de erro se o tamanho da amostra for alterado.

Deixe tudo igual, exceto o tamanho da amostra. Use o nível de confiança original de 90%. O que acontece com o limite de erro e o intervalo de confiança se aumentarmos o tamanho da amostra e usarmos\(n = 100\) em vez de\(n = 36\)? O que acontece se diminuirmos o tamanho da amostra para\(n = 25\) em vez de\(n = 36\)?

\(\bar{x} = 68\)
\(EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)
\(\sigma = 3\); O nível de confiança é 90% (CL = 0,90);\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\).

Resposta

Solução A

Se aumentarmos o tamanho da amostra\(n\) para 100, diminuiremos o limite de erro.

Quando\(n = 100: EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{100}}\right) = 0.4935\).

Solução B

Se diminuirmos o tamanho da amostra\(n\) para 25, aumentaremos o limite de erro.

Quando\(n = 25: EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{25}}\right) = 0.987\).

Resumo: Efeito da alteração do tamanho da amostra

Aumentar o tamanho da amostra faz com que o limite de erro diminua, tornando o intervalo de confiança mais estreito.
Diminuir o tamanho da amostra faz com que o limite de erro aumente, tornando o intervalo de confiança mais amplo.

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Consulte novamente o exercício Try It para entrega de pizza. O tempo médio de entrega é de 36 minutos e o desvio padrão da população é de seis minutos. Suponha que o tamanho da amostra seja alterado para 50 restaurantes com a mesma média da amostra. Encontre uma estimativa do intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de entrega da população.

Resposta: (34.6041, 37.3958)

Trabalhando de trás para frente para encontrar o limite de erro ou a média da amostra

Quando calculamos um intervalo de confiança, encontramos a média da amostra, calculamos o limite de erro e os usamos para calcular o intervalo de confiança. No entanto, às vezes, quando lemos estudos estatísticos, o estudo pode indicar apenas o intervalo de confiança. Se soubermos o intervalo de confiança, podemos trabalhar de trás para frente para encontrar o limite do erro e a média da amostra.

Encontrando o limite de erro

Do valor superior do intervalo, subtraia a média da amostra,
OU, do valor superior do intervalo, subtraia o valor mais baixo. Em seguida, divida a diferença por dois.

Encontrando a média da amostra

Subtraia o limite de erro do valor superior do intervalo de confiança,
OU, calcule a média dos pontos finais superior e inferior do intervalo de confiança.

Observe que há dois métodos para realizar cada cálculo. Você pode escolher o método mais fácil de usar com as informações que você conhece.

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Suponha que saibamos que um intervalo de confiança é (67,18, 68,82) e queremos encontrar o limite de erro. Talvez saibamos que a média da amostra é 68, ou talvez nossa fonte tenha fornecido apenas o intervalo de confiança e não tenha nos informado o valor da média da amostra.

Calcule o limite de erro:

Se soubermos que a média da amostra é\(68: EBM = 68.82 – 68 = 0.82\).
Se não soubermos a média da amostra:\(EBM = \dfrac{(68.82−67.18)}{2} = 0.82\).

Calcule a média da amostra:

Se soubermos qual é o limite do erro:\(\bar{x} = 68.82 – 0.82 = 68\)
Se não soubermos qual é o limite do erro:\(\bar{x} = \dfrac{(67.18+68.82)}{2} = 68\).

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Suponha que saibamos que um intervalo de confiança seja (42,12, 47,88). Encontre o limite do erro e a média da amostra.

Resposta: A média da amostra é 45, o limite de erro é 2,88

Calculando o tamanho da amostra\(n\)

Se os pesquisadores desejarem uma margem de erro específica, eles poderão usar a fórmula de limite de erro para calcular o tamanho amostral necessário. A fórmula de limite de erro para uma média da população quando o desvio padrão da população é conhecido é

\[EBM = \left(z_{\dfrac{a}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \label{samplesize}\nonumber \]

A fórmula para o tamanho da amostra é\(n = \dfrac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\), encontrada resolvendo a fórmula de limite de erro para\(n\). Na Equação\ ref {samplesize},\(z\) é\(z_{\dfrac{a}{2}}\), correspondendo ao nível de confiança desejado. Um pesquisador que planeja um estudo que deseja um nível de confiança e limite de erro especificados pode usar essa fórmula para calcular o tamanho da amostra necessária para o estudo.

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

O desvio padrão da população para a idade dos estudantes do Foothill College é de 15 anos. Se quisermos ter 95% de confiança de que a idade média da amostra está dentro de dois anos da idade média real da população dos estudantes do Foothill College, quantos estudantes do Foothill College selecionados aleatoriamente devem ser pesquisados?

Solução

Do problema, nós sabemos disso\(\sigma = 15\)\(EBM = 2\) e.
\(z = z_{0.025} = 1.96\), porque o nível de confiança é de 95%.

\(n = \dfrac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}} = \dfrac{(1.96)^{2}(15)^{2}}{2^{2}}\)usando a equação do tamanho da amostra.
Uso\(n = 217\): Sempre arredonde a resposta para o próximo número inteiro maior para garantir que o tamanho da amostra seja grande o suficiente.

Portanto, 217 estudantes do Foothill College devem ser entrevistados para ter 95% de confiança de que estamos dentro de dois anos da idade média da população real dos estudantes do Foothill College.

Exercício\(\PageIndex{7}\)

O desvio padrão da população para a altura dos jogadores de basquete do ensino médio é de três polegadas. Se quisermos ter 95% de confiança de que a altura média da amostra está dentro de uma polegada da altura média real da população, quantos estudantes selecionados aleatoriamente devem ser pesquisados?

Resposta: 35 estudantes

Referências

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Glossário

Nível de confiança (\(CL\)): a expressão percentual para a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha o verdadeiro parâmetro da população; por exemplo\(CL = 90%\), se o, em 90 das 100 amostras, a estimativa do intervalo incluirá o parâmetro da população real.

Limite de erro para uma média populacional (\(EBM\)): a margem de erro; depende do nível de confiança, do tamanho da amostra e do desvio padrão da população conhecido ou estimado.