7.4: Fator de correção de população finita

Vimos que o tamanho da amostra tem um efeito importante na variância e, portanto, no desvio padrão da distribuição amostral. Também é interessante a proporção da população total que foi amostrada. Assumimos que a população é extremamente grande e que amostramos uma pequena parte da população. À medida que a população se torna menor e amostramos um número maior de observações, as observações da amostra não são independentes umas das outras. Para corrigir o impacto disso, o Fator de Correção Finita pode ser usado para ajustar a variância da distribuição amostral. É apropriado quando mais de 5% da população está sendo amostrada e a população tem um tamanho populacional conhecido. Há casos em que a população é conhecida e, portanto, o fator de correção deve ser aplicado. A questão surge tanto para a distribuição amostral das médias quanto para a distribuição amostral das proporções. O Fator de Correção da População Finita para a variância das médias mostradas na fórmula de padronização é:

\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}\nonumber\]

e para a variação das proporções é:

\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\nonumber\]

Os exemplos a seguir mostram como aplicar o fator. As variações de amostragem são ajustadas usando a fórmula acima.

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Sabe-se que a população de pastores alemães brancos nos EUA é de 4.000 cães e o peso médio dos pastores alemães é de 75,45 libras. Também se aprende que o desvio padrão da população é de 10,37 libras. Se o tamanho da amostra for de 100 cães, determine a probabilidade de uma amostra ter uma média que difere da média de probabilidade real em menos de 2 libras.

Responda

Solução 7.1

\(N=4000, \quad n=100, \quad \sigma=10.37, \quad \mu=75.45, \quad(\overline{x}-\mu)=\pm 2\)

\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{ \pm 2}{\frac{10.37}{\sqrt{100}} \cdot \sqrt{\frac{4000-100}{4000-1}}}=\pm 1.95\nonumber\]

\[f(Z)=0.4744 \cdot 2=0.9488\nonumber\]

Observe que “difere por menos” faz referência à área em ambos os lados da média dentro de 2 libras à direita ou à esquerda.

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Quando um cliente faz um pedido com o Rudy's On-Line Office Supplies, um sistema computadorizado de informações contábeis (AIS) verifica automaticamente se o cliente excedeu seu limite de crédito. Registros anteriores indicam que a probabilidade de os clientes excederem seu limite de crédito é 0,06.

Suponha que em um determinado dia, 3.000 pedidos sejam feitos no total. Se selecionarmos aleatoriamente 360 pedidos, qual é a probabilidade de que entre 10 e 20 clientes excedam seu limite de crédito?

Responda

Solução 7.2

\(N=3000, \quad n=360, \quad p=0.06\)

\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{0.06(1-0.06)}{360}} \times \sqrt{\frac{3000-360}{3000-1}}=0.0117\nonumber\]

\[p_{1}=\frac{10}{360}=0.0278, \quad p_{2}=\frac{20}{360}=0.0556\nonumber\]

\[Z=\frac{p^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{0.0278-0.06}{0.011744}=-2.74\nonumber\]

\[p\left(\frac{0.0278-0.06}{0.011744}<\frac{0.0556-0.06}{0.011744}\right)\]